prod-1659-diplom - Исследования в Гимназии №1505
реклама
ГБОУ Гимназия №1505 «Московская городская педагогическая гимназия–лаборатория» Диплом по математике «Топология» Выполнил: Булаев Дмитрий 10 «Б» Научный руководитель: Маргаритов В. С. Москва 2014 г. 1 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение………………………………...………………………………………3 Глава 1…………………………………………………………………………...4 Основы топологии……………………………………………………………...4 Топология линий и графов……………………………………………………..6 Топология поверхностей……………………………………………………….7 Лента Мёбиуса………………………………………………………………….8 Бутылка Клейна…………………………………………………………………9 Теорема Эйлера…………………………………………………………....…...10 Проблема 4 красок………………………………………………………...…...12 Теория узлов и кольца………………...……………………………………….13 Глава 2…………………………………………………………………...……...15 2 Введение Диплом посвящен изучению разделу математики - топологии и анализу орнаментов разных стран и веков с использованием теории узлов. Эта тема актуальна тем, что в настоящее время эта наука достаточно активно развивается, причем уже имеется множество работ, посвященных ей. Впервые, развитие топологии начиналось с решения некоторых задач геометрии. Первыми математиками, использующими методы топологии, были Лейбниц (немецкий ученый конца XVII начала XVII веков) и Эйлер (швейцарский ученый начала XVIII века). А к XX веку топология стала отдельной наукой, которой занимался ряд известных математиков, таких как Пуанкаре (Франция), Хаусдорф (Германия), Александров (Россия). Причем, эта наука, на мой взгляд, интереснее проходимых в школе других разделов математики ввиду наличия красочных задач и примеров. Целью данного диплома является создание текста, собирающего в себе основную информацию о топологии и подходящего для прочтения и осмысления его учениками школ, не имевшими до этого опыта работы с этой частью математики. К этому тексту будет прилагаться анализ орнаментов, как узлов, с использованием знаний из теории узлов. Простейшие идеи топологии возникают из наблюдения за окружающим миром. Знания геометрии недостаточно, так как помимо «метрических» свойств фигур существуют и другие свойства, например, замкнутости линий, наличие узлов, наличие «дырок» на поверхности фигур и так далее. Эти свойства тел не меняются при деформации, допускающих любые растяжения без разрывов. Эти свойства называются топологическими, и, соответственно, топология занимается изучением топологических свойств фигур. Помимо элементарных геометрических фигур, топологическими свойствами обладают и многие математические объекты. 3 Задачи: Подбор информации о топологии, на основе работ ученых и 1. интернет ресурсов, для написания диплома по этой теме, собирающего в себя основную информации о топологии. Анализ разных орнаментов разных веков с точки зрения теории 2. узлов. Глава 1 Основы топологии Для первичного осмысления отличий топологии от геометрии просмотрим таблицу: Отличие топологии от геометрии В геометрии В топологии В векторной геометрии Движения (перемещения) – отображения, сохраняющие расстояние между точками Гомеоморфное отображение – непрерывное взаимнооднозначное отображение, причем обратное к нему тоже непрерывно Параллельный перенос – отображение, сохраняющее длины векторов и их направление Конгруэнтные фигуры – фигуры, которые переводятся одна в другую («совмещаются») с помощью движений, вращений и зеркальных отражений, а так же комбинаций всех этих приемов Гомеоморфные фигуры – фигуры, которые, после любых деформаций, кроме разрезания и склеивания, могут стать абсолютно одинаковыми и наложиться друг на друга. Параллельный перенос фигур – изменение положения фигур, при котором фигуры, состоящие из векторов, переводятся одна в другую («совмещаются») с помощью параллельного переноса векторов, образующих эти фигуры Топологические свойства фигур (инварианты) – те свойства фигур, которые не изменяются при гомеоморфных отображениях 4 *Гомеоморфность – свойство 2х фигур, показывающее возможность 1 фигуры деформироваться, не прерываясь и не склеиваясь, так, что она станет 2ой фигурой и наоборот. Примеры топологических инвариантов - связность (пример: «П» - несвязная фигура, «О» - связная фигура) - фундаментальная группа – группа, рассматривающая наличие «дырок» в пространстве (если в пространстве имеется «дырка», то оно не может быть гомеоморфно точке (пример: буква «О» - не гомеоморфна точке) - Эйлерова характеристика - наличие узлов - количество сторон топологического объекта - ориентированность или неориентированность - наличие или отсутствие края Пример гомеоморфных тел - гиря и бублик - буквы «Ь» и «О» - треугольник и круг - узел и окружность - круг с выколотой точкой и кольцо - круг и перекрученное несколько раз кольцо - планета Земля и остров 5 Топология линий и графов Линии и графы тоже рассматриваются в топологии и имеются определения и свойства, данные в учебниках по топологии. Я считаю, что именно с помощью этих определений легче понять, как в топологии рассматриваются линии. Определения, свойства и примеры Вложимая в плоскость фигура – фигура, которая гомеоморфна некоторой фигуре, лежащей в плоскости.1 Несвязанная фигура – фигура, имеющая более 1 компонента. 1 Компонент – «кусок» фигуры, не связанный с другими «кусками» фигуры. 1 Пример: число «11» имеет 2 куска (компонента), не связанных друг с другом: «1», «1». Разбивающая точка фигуры – такая точка, после удаления которой из некоторой фигуры мы получаем несвязанную фигуру. 1 Графы называются гомеоморфными, если от одного к другому можно перейти с помощью нескольких операций добавления и удаления вершины на ребре. 1 У гомеоморфных фигур количество их компонентов одинаково. 1 Индекс точки – число дуг, сходящихся в этой точке. 1 Конечный граф – фигура, состоящая из конечного числа дуг. 1 Уникурсальный граф – такой граф, который можно пройти непрерывным движением, не проходя одно и то же ребро дважды. 1 -У уникурсального графа степень каждой вершины четна или ровно у 2 вершин степень нечетна1 Гамильтонов граф – граф, по которому можно пройти непрерывным движением и при этом каждая вершина графа встречается ровно 1 раз Свойство гамильтоново графа: «Если вершины графа можно раскрасить 2мя красками так, что концы любого ребра являются разноцветными и число вершин одного цвета равно числу вершин другого цвета, то этот граф – гамильтонов». 1 В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович «Наглядная топология». Москва "Наука" Главная редакция физико-математической литературы. 1982 1 6 Полный граф – граф без петель, у которого любые 2 вершины соединены точно 1 ребром.1 Планарный граф – граф, который можно уложить на плоскость без самопересечений. 1 Контур графа – замкнутая цепочка ребер, объединение которых представляет собой линию, гомеоморфную окружности. 1 Дерево – связанный граф, не содержащий ни одного контура. 1 Топология поверхностей Для начала изучения топологии поверхностей рассмотрим особенности расположения точек в плоскостях. Точки лежат в фигуре(-ах), есть 3 варианта расположения точек, эти варианты определяются положением окрестностью точки. Окрестность точки - множество, содержащее данную точку, и близкие к ней точки (находящиеся на определенном заданном расстоянии). 1) Точка лежит в фигуре и ее окрестность имеет форму круга 2) Точка лежит на границе фигуры и ее окрестность имеет форму полукруга 3) Точка лежит сразу в нескольких (n) фигурах и ее окрестность образует n полукругов, соединенных по общему диаметру. В этом месте фигура разветвляется. 1 Фигура, у которой каждая точка x имеет окрестность, гомеоморфную кругу – поверхность. Также имеются поверхности с краем. Пример: круг. В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович «Наглядная топология». Москва "Наука" Главная редакция физико-математической литературы. 1982 1 7 В топологии поверхности можно разделить на группы по критериям: компактность или некомпактность, с границей или без границы, связность или несвязность, замкнутость или открытость. Чтобы лучше понять, что такое замкнутая поверхность нам нужно рассмотреть многоугольники, сделанные из векторов. Также каждый из этих векторов назван определенной буквой, и каждая использованная буква попадается в названиях векторов ровно 2 раза. Замкнутая поверхность без края – поверхность, полученная из описанных многоугольников склейкой сторон, помеченных одинаковыми буквами, согласно выбранным на этих сторонах направлениям. Замкнутая поверхность с краем – поверхность, полученная из описанных многоугольников склейкой сторон, помеченных одинаковыми буквами, согласно выбранным на этих сторонах направлениям, но еще и со сторонами без названий и без направлений. Для определения ориентированности поверхности можно рассмотреть эту поверхность и замкнутую кривую, находящуюся на ней и имеющую направление. На этой кривой возьмем некий контур, к примеру, монету на краю которой тоже указано направление, и начнем двигать этот контур по направлению линии. После прохождения всей кривой направление на контуре может остаться начальным или измениться на обратное направление. Если есть такая кривая, после прохождения по которой контура, направление контура не изменилось, то рассматриваемая поверхность называется ориентированной. Если есть такая кривая, после прохождения по которой контура, направление контура изменилось, то рассматриваемая поверхность называется неориентированной. Лента Мёбиуса Одной из самых известных неориентированных поверхностей является лента Мёбиуса. Это лента прямоугольный формы, перекрученная 1 раз и склеенная. Эта поверхность имеет лишь одну сторону и, соответственно, 2 края. Чтобы доказать односторонность можно провести линию, не отрываясь, которая замкнется. В топологии это доказывается таким образом: имеется точка А и 2 противоположных по направлению, но с одним и тем же началом в этой точке, вектора, направленных вверх и вниз по плоскости данной ленты. Передвигаем точку А вдоль длины всей ленты и передвигаем эти вектора так, чтобы они в каждый момент передвижения были направлены соответственно вверх и вниз плоскости ленты. После прохождения точкой всей длину ленты и возвращение точки в ее начальное положение вектора поменяют свои направления «на противоположный знак», то есть вектор, который был направлен вниз до начала движение, в конце движения будет направлен, с 8 точностью наоборот, вверх. Поверхности с таким свойством называются односторонними. Черные вектора – начальные, а красные – конечные Бутылка Клейна Бутылка Клейна является еще одной небезызвестной поверхностью. Она, как и лента Мебиуса, имеет 1 сторону и не имеет краёв, так как у этой поверхности нет ни внутренней, ни внешней сторон в обычном виде. Более того, для подтверждения наличия только 1 стороны, мы можем провести опыт, похожий на опыт с лентой Мебиуса. Представим бутылку Клейна как поверхность, образованную большим количеством колец, следующих друг за другом. Теперь, не рассматривая векторов, а только раскрашивая кольца по порядку, продвигаясь дальше по кольцам, в один момент мы обнаружим, что мы наткнулись на уже закрашенное кольцо и бутылка полностью закрашена «со всех сторон». К тому же эта бутылка обладает одним интересным свойством – при ее разрезании по линии симметрии получатся 2 ленты Мебиуса. 9 Теорема Эйлера Каждая грань любого многогранника гомеоморфна кругу. Поверхность любого выпуклого многогранника гомеоморфна сфере. Все вершины и ребра образуют связный граф, который «разбивает» поверхность многогранника на отдельные грани (куски, гомеоморфные кругу). 1 Теорема Эйлера: Для всякого многогранника, поверхность которого гомеоморфна сфере, а каждая грань гомеоморфна кругу, справедливо отношение: «Вершины» – «Ребра» + «Грани» = 2. 1 В топологии есть теорема более общая, чем теорема Эйлера: Пусть на сфере или гомеоморфной ей поверхности имеется связный граф, имеющий Х вершин, Z ребер и разбивающий сферу на Y областей (граней), тогда: X – Z + Y = 2. 1 Для того, чтобы убедиться в верности этой теоремы на практике рассмотрим таблицу, где указаны данные о Платоновских телах. В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович «Наглядная топология». Москва "Наука" Главная редакция физико-математической литературы. 1982 1 10 Платоновские тела Многогранник Тетраэдр Октаэдр Икосаэдр Гексаэдр (куб) Додекаэдр Число вершин 4 6 12 8 20 Число ребер Число граней 6 12 30 12 30 4 8 20 6 12 Эйлерова характеристика 2 2 2 2 2 Таким образом, мы убедились, что для всех многоугольников, гомеоморфных сфере это теорема верна. Но существуют и многоугольники негомеоморфные сфере, поскольку они имеют дырки, как и в примере, данном ниже. Одной из таких фигур является куб с вырезанным насквозь параллелепипедом и с надстройками (усеченными 4гранными пирамидами) на нижней и на верхней гранях. У этой фигуры 16 граней, 32 ребра и 16 вершин, таким образом, подставляя эти данный в формулу Эйлера, мы получаем «0». Таким образом, Эйлерова характеристика для этой фигуры – «0». 11 «Проблема 4 красок» Еще одной известной задачей в топологии является задача 4 красок, которая формулируется так: «Имеется карта с множеством граничащих территорий. Можно ли раскрасить всю эту карту, используя только 4 цвета так, чтобы 2 любые граничащие территории были разных цветов?» Впервые эта проблема была сформулирована Гутри в 1852 году. Он считал, что все для того, чтобы обозначить все графства Англии достаточно 4 красок. В 1892 году математик Хивуд доказал, что любую карту, можно раскрасить в 5 цветов. В 1968 году Оре и Стемпл доказали, что любую карту, имеющую не более 40 стран, можно раскрасить в 4 цвета. В 1976 году были совершены попытки доказать, что требуется более 4 цветов, на что ЭВМ, проанализировав все возможные карты, давала положительный ответ на этот вопрос, но считается, что ЭВМ могла ошибаться. В 1997 году Робертсоном, Сандерсом, Сеймуром и Томасом было опубликовано более простое доказательство, проделанное с помощью компьютера, доказывающее справедливость этой теории. А в 2005 году доказательство было проделано Гонтиром с использованием специализированного программного обеспечения, что полностью доказало теорему о 4 красках. 12 Теория узлов и кольца Основной задачей теории узлов является определение того, что 2 непохожих друг на друга узла топологически представляют собой одно и то же, то есть изотопны. Так же имеется подзадача – определить, является ли угол тривиальным, то есть не имеется ли на нем зацепки. Для решения этих задач используют проекции этих узлов на плоскость. А сам узел на проекции называется перекрестком. В 1920х годах в Германии математик Курт Рейдемейстер сделал прорыв в топологии, открыв, что для определения изотопности узлов необходимо применить к их проекциям ряд простых действий, таких как при завязывании шнурков на обуви. Потом математики придумали новый способ рассмотрения этой задачи замену проекций узлов на некоторую алгебраическую конструкцию, а именно, на полиномы. Это направление в решении задач развивалось в конце XIX века американскими учеными Александером и Конвеем. А именно, полином Конвея различает более тонкие примеры. Каупфман и Джонс продолжали развивать этот раздел теории узлов и для создания своих полиномов они использовали теорию статистической физики. Итоговым прорывом было изобретение русского ученого В. Васильева в 1990 году. Он придумал целую «семью» полиномов, которая при этом бесконечна, то есть он ввел правило, по которому можно строить любую «семью». Но до сих пор эта теория не доказана окончательно, но и не опровергнута, поэтому все еще проводятся исследования в этом вопросе. 1 Питер Тейн, ученый второй половины XIX века, занимался проблемой классификации узлов. Для разбиения узлов на группы были рассмотрены все плоские кривые с разным кол-вом перекрестков (до 10) и исключены пары или группы кривых, изотопных друг другу. 1 Если концы нити, на которой завязан узел, не соединены, то узел можно развязать. В топологии, узел – линия в трехмерном пространстве, гомеоморфная окружности. А.Б.Сосинский "Узлы. Хронология одной математической теории" Москва. Издательство МЦНМО. 2005 1 13 Также можно рассматривать и несколько веревок. Пример: если взять несколько веревок и соединить концы одной из них так, чтобы образовалось кольцо, продеть 2ую в это «кольцо» и соединить ее концы, то получатся 2 зацепленных друг за друга кольца – зацепление. Описанное в примере зацепление – зацепление Хопфа. Также существует такой интересный математический объект, как кольца Борромео. Этот объект представляет собой 3 кольца, скрещенных таким образом, чтобы было невозможно их расцепить, но при этом, каждая образованная этими кольцами пара не образовала зацепление (при удалении 3го кольца, другие 2 кольца остаются не зацепленными) и зацепить 2 любых кольца способом Хопфа, то 3 кольцо останется не зацепленным за другие 2. 1 Помимо узлов в топологии существует понятие «коса» - это множество нитей, сплетенных определенным образом. При этом, верхние и нижние точки этих нитей закреплены на «палочках» и могут быть передвинуты любым образом, но не разрываясь. Чтобы получить из косы узел или несколько узлов мы можем соединить верхние точки нитей с нижними, то есть замкнем эти нити. 2 Основываясь на этих фактах, уже упомянутый Александер сформулировал теорему, которая звучит так: «Каждый узел может быть получен как замыкание некоторой косы». 2 В.В.Прасолов. «Наглядная топология». МЦНМО. 1995. А.Б.Сосинский "Узлы. Хронология одной математической теории" Москва. Издательство МЦНМО. 2005 1 2 14 Глава 2 Практическая часть Анализ орнаментов с помощью приемов теории узлов Гипотеза: в орнаментах разных стран появляются более сложные элементы и неразвязываемые узлы с течением времени. Для систематизации рассмотрения орнаментов используется разделение по векам и/или странам. Помимо вывода, итогом этой работы будет таблица, характеризующая все рассмотренные орнаменты. Египетский орнамент (с 3000 лет до н.э.) В Египте нечасто использовались орнаменты, состоящие непосредственно из «веревок», но всё же, они есть. Они состоят из простых веревок, не имеющих узлов на них, соответственно, на этом этапе рисунок на орнаменте все еще не является узлом или зацеплением. Орнамент на картинке можно разделить на несколько повторяющихся одинаковых частей. Рассмотренная часть орнамента состоит из 4 компонент, каждый из которых имеет концы и не имеет никаких узлов или зацеплений. 15 Римский орнамент (с VII века до н.э.) У римлян в орнаментах появляется новый элемент – кольцо, которое сковывает 2 части одной веревки. Если «выпрямить» эту веревку, то кольца не спадут. А если убрать один вид колец (либо верхний, либо нижний) и распрямить, то оставшийся вид колец спадет и останется веревка без пересечений или узлов. То есть, рисунок на этом орнаменте состоит из 3 видов компонент – верхнее кольцо, нижнее кольцо, веревка. Каждое кольцо пересекает веревку по 4 раза, причем 2 раза сверху и 2 раза снизу. Греческий орнамент (с III века до н.э.) Спустя более 2,5 тысяч лет с появления орнаментов начинают появляться новые виды орнаментов и «улучшаться» старые. А именно, появляются новые варианты расположения непересекающихся веревок без узлов, как в египетском орнаменте и появляются новые виды орнаментов: 1. зацепления 2. пересекающиеся веревки 16 На схеме №1 изображена замкнутая веревка, хотя на орнаменте отчетливо видно 2 незамкнутые веревки. В топологии, при рассмотрении незамкнутых веревок и притом, что мы не видим концов этих веревок мы может считать, что эти веревки замыкаются вне рассмотренного участка орнамента. Это делается потому, что в теории узлов рассматривают, в основном, только замкнутые веревки (потому что на незамкнутых веревках любые узлы можно развязать). На схеме №2 имеется 2 компонента. Они не пересекают друг друга, но каждый из них разветвляется. На схеме №3 есть 2 компонента, которые пересекаются, причем 1 из находится снизу в каждом пересечении. На схеме №4 имеется «бесконечный» ряд колец, каждое из которых зацеплено за 2 соседних. То есть, на этом орнаменте представлены обычные зацепления Хопфа, только в большом количестве. На схеме №5 изображено 2 компонента, пересекающих друг друга. Причем синий компонент пересекает красный поочередно снизу и сверху. Японский орнамент В Японии в орнаментах очень редко веревки использовались как элементы, что и подтверждается обилием орнаментов на рисунке, не подходящих для рассмотрения со стороны топологии. Также в японском орнаменте видны схожести с орнаментами других стран, но тут появляется новая деталь – веревка с исходящими из нее другими веревками, структура как у ветви на дереве. И, так как тут нет узлов, зацеплений или самопересечений, то не имеет смысла рассматривать рисунок на этом орнаменте, как узел. 17 Индийский орнамент В индийском орнаменте повторяются черты японского – разветвление веревки и остаются черты греческого – пересечение нескольких веревок. И появляются: 1. замкнутые веревки с пересечением 2. замкнутые веревки с множеством самопересечений (более 1) Схема орнамента №2 состоит из 1 компонента, который замкнут и самопересечен 8 раз, причем пересечен одинаково, то есть веревка пересекает себя только сверху или снизу, смотря какое направление движения по веревке выбирать и, если распрямить эту веревку получается обычная окружность. Схема орнамента №3 состоит из нескольких одинаковых компонент, а именно веревок с 1 самопересечением, каждая из которых не зацепляется ни за один из соседних элементов, так как каждый последующий элемент лежит на 1 слой ниже предыдущего. Но все еще в орнаментах не наблюдаются узлы. Персидский орнамент (VI-VII века н.э.) 18 В орнаменте этой страны усложняются варианты пересечения веревок на орнаментах из ранее рассмотренных эпох, а именно, используются самопересечения, пересечения 3х веревок, пересечения веревок поочередно, «продевание» веревки через самопересечение на другой, а также и комбинации этих приемов. При этом остаются такой элемент других стран, как замкнутые веревки с самопересечениями. Схема №1: 2 компонента, каждый из компонент на местах пересечений поочередно находится сверху и снизу; в сумме имеется 9 пересечений. Схема №2: 1 компонент, который замкнут и самопересечен 4 раза, причем пересечен одинаково, то есть веревка пересекает себя только сверху или снизу, смотря какое направление движения по веревке выбирать. И этот 19 элемент непрерывно и не разрывая можно преобразовать в кольцо. Схема №3: 3 вида компонент. Причем, синий всегда находится под зеленым, красный под синим, а зеленый под красным. На орнаменты изображены бесконечно повторяющиеся разноцветные соты – 6-гранники. Мы можем рассматривать эти 6-гранники, как кольца, так как они гомеоморфны друг другу. И, так как эти многогранники соединяются друг с другом по 1 общему ребру, то кольца одного цвета соединяются друг с другом по 1 части дуги. Рассматривая, как элемент орнамента, 3 соседних кольца разных цветов, мы видим, что этот орнамент состоит из бесконечного числа колец Борромео. Этот орнамент также обладает свойством колец Борромео – если убрать 1 кольцо любого цвета, то останется 2 незацепленных кольца, при этом 3 кольца образуют зацепление, которое невозможно расцепить. Схема №4: 3 компонента, зеленый компонент – замкнутый, красный и синий – незамкнутые, красный и синий компоненты огибают зеленый по 1 разу, таким образом самопересекаясь. Также, концы синего компонента пересекают дважды зеленый компонент над ним, а концы красного пересекают дважды зеленый компонент под ним. А зеленый компонент самопересекается дважды и продевается в самопересечения красного и синего компонентов. Причем, синий и красный компоненты можно распрямить и них пропадут самопересечения (что и показано на 2ом фото к этой схеме). Так как на этих орнаментах элементы (веревки) либо повторяются до бесконечности, либо имеют концы, то мы можем считать все эти пересечения или узлы подходящими для развязывания. 20 Турецкий орнамент (с XVI века) В турецком орнаменте повторяются детали персидского: самопересечения, пересечения 3х веревок, пересечения веревок поочередно, а также и комбинации этих приемов. На схеме №2 показано зацепление из 3 частей, которое невозможно расцепить, даже если убрать один из компонент. Красный компонент 4 раза самопересекается и пересекается поочередно сверху и снизу по 8 раз с фиолетовым и зеленым компонентами. При этом красный и зеленый компоненты тоже пересекаются 8 раз и тоже поочередно. 21 Арабский орнамент (XI-XII века) В арабском орнаменте все активнее используются кольца, а именно: Схема №1: 3 замкнутых компонента, каждый из которых по 4 раза пересекает другие 2 компонента (причем, 2 раза сверху и 2 раза снизу). Если убрать один из компонентов, то на оставшихся компонентах все еще останутся зацепления, которые мы можем увидеть на правом фото. Схема №2: 3 замкнутых компонента, каждый из которых по 6 раз пересекает другие 2 компонента (причем, 3 раза сверху и 3 раза снизу). Если убрать один из компонентов, то на оставшихся компонентах все еще останутся зацепления, которые мы можем увидеть на правом фото. 22 Схема №3: 4 компонента, зацепляющиеся за 2 соседних, образуя при этом по 4 пересечения. Убирая любой из компонент, мы получаем все еще зацепленные компоненты, а именно, обыкновенную цепочку. Мавританский орнамент В мавританском орнаменте используются самопересечения и пересечения, причем появляются узлы, трудные для представления и замкнутые, то есть неразвязываемые (как в пункте 3). И, в отличие от арабских орнаментов, тут не используются зацепления нескольких замкнутых веревок. На схеме №1 фиолетовые компоненты всегда лежат на слой ниже, чем синие, поэтому на этом орнаменте нет зацеплений. На схеме №2 будем считать, что концы каждого фиолетового элемента замкнуты, а продолжение этих элементов на орнаменте – дальнейшим разветвлением. На схеме №3 изображен 1 компонент с большим количеством самопересечений, образованных из разветвлений. При этом не все наложения линий друг на друга на этой схеме являются самопересечениями. Линии, являющиеся самопересечениями на схеме обведены кружками. 23 Таблица с детальным рассмотрением каждого описанного орнамента Орнамент (страна/ номер) Кол-во видов компонент Замкнутость Компонент (хотя бы 1) Египетский Римский Греческий №1 Греческий №2* Греческий №3 Греческий №4 Греческий №5 Японский* Индийский №1* Индийский №2 Индийский №3 Персидский №1 Персидский №2 Персидский №3 Персидский №4 Персидский №5 Турецкий №1 Турецкий №2 Арабский №1 Арабский №2 Арабский №3 Мавританск. №1 Мавританск. №2 Мавританск. №3 4 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 3 3 2 2 3 3 3 4 2 2 1 × √ √ × × √ × × × √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Наличие и количество пересечений/ самопересечений в сумме ×/× 8/× ×/× ×/× ∞/× ∞/× 4/× ×/× ×/× ×/8 ×/1 9/× ×/4 6/× 10/4 12/17 4/× 24/4 12/× 18/× 12/× 2/1 2/× ×/6 Наличие и количество колец** Возможность развязать/ расцепить × 2 1 × × √ × × × × × × × 3 × × 1 1 3 3 4 1 2 × √ × × √ √ × × √ √ × × × × × × × √ × × × × √ × × *В этом орнаменте главной чертой или одной из главных является разветвление **В таблице кольцами считаются замкнутые веревки без самопересечений. Вывод Орнаменты развивались по-разному в разных странах, при этом они усложнялись, появлялись новые приемы при создании орнаментов, а именно: самопересечение, разветвление, пересечение нескольких веревок, зацепление замкнутых веревок. При этом, судя по данным в таблице, можно увидеть, насколько сильно изменились орнаменты, сравнив самый первый орнамент с один из изобретенных позже. 24 Список литературы 1. А.Б.Сосинский. «Узлы. Хронология одной математической теории» Москва. Издательство МЦНМО. 2005. 2. В.Л. Попов. «Сборник задач по топологии» 3. В.Л. Попов. «Упражнения по курсу Дискретная математика. Теория графов» 4. Я. Стюарт. «Топология». Интернет-библиотечка «Квант» 1980 г. http://kvant.mccme.ru/1992/07/topologiya.htm (ссылка действительна на 05.05.2014) 5. Видео. Математик Александра Скрипченко о эффективных алгоритмах, представлениях лорда Кельвина и движениях Рейдемейстера. http://postnauka.ru/video/3388 (ссылка действительна на 05.05.2014) 6. В.В.Прасолов. «Наглядная топология» 7. Б.Кордемский. «Топологические опыты своими руками» http://kvant.mccme.ru/1974/03/topologicheskie_opyty_svoimi_r.htm http://kvant.mccme.ru/1974/02/topologicheskie_opyty_svoimi_r.htm (ссылки действительны на 05.05.2014) 8. В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович. Москва. «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 1982 9. Сайт с описанием орнаментов разных стран http://arttower.ru/forum/index.php?showtopic=11314&st=0&p=128858&#en try128858 (ссылка действительна на 05.05.2014) 25
