Теоретический тур.

Республиканская
физическая
олимпиада (III этап)
2009 год.
Теоретический
тур.
Условия задач.
9 класс.
Задание 1. «Просто кинематика»
1.1 Материальная точка движется
вдоль оси Ox . Проекция ее скорости
на эту ось зависит от времени по
закону представленному на графике 1.
1.1.1 Постройте график зависимости
координаты точки от времени, считая,
что при t  0 материальная точка
находилась в начале координат.
1.1.2 Найдите путь и перемещение
точки за все время движения (за 8
секунд).
1.2 Материальная точка движется
вдоль оси Ox . Проекция ее ускорения
на эту ось зависит от времени по
закону представленному на графике 2.
1.2.1 Постройте график зависимости
проекции скорости на ось Ox от
времени, считая, что при t  0
скорость точки равнялась нулю.
1.2.2 Найдите путь и перемещение
точки за все время движения (за 8
секунд).
1.3 На практике в разных странах используются различные системы единиц измерения.
Вы должны уметь переводить физические величины от одних единиц измерения к другим.
1.3.1 В США в качестве единицы измерения часто используется миля (1 миля = 1609 м).
миль
м
Автомобиль движется со скоростью 60
. Выразите скорость автомобиля в .
час
с
1.3.2 В аэродинамике скорость тел часто измеряют в Махах (отношение скорости тела,
к скорости звука – скорость в 1 Мах равна скорости звука). Самолет движется со
км
скоростью 2600
. Найдите его скорость в Махах. Считайте, что скорость звука в
час
м
воздухе равна 330 .
с
1.4 Материальная точка движется вдоль оси Ox . Проекция ее скорости V на эту ось
зависит от времени t по закону
V  V0 1 
t2
2
2
,
(1)
м
,  - в секундах.
с
Точка движется, когда ее скорость отлична от нуля, в том числе и при
отрицательных значениях t .
V
1.4.1 Постройте график зависимости величины
(т.е. скорости, измеренной в единицах
V0
t
V0 ) от величины (т.е. времени измеренном в единицах  ).

1.4.2 Используя построенный график, найдите путь (в м), пройденный точкой, за
все время движения.
1.4.3 Используя тот же график, найдите зависимость ускорения точки (в единицах
системы СИ) от времени.
где V 0 и  - известные постоянные величины, V 0 задана в
Задание 2 «Кастрюля»
В этой задаче Вам необходимо описать нагревание и остывание воды в кастрюле с
учетом теплообмена с окружающей средой. Как Вам, наверное, известно, мощность
тепловых потерь в окружающую среду пропорциональна разности температур тела и
окружающей среды:
(1),
P   T  T0 
где  - коэффициент тепловых потерь (постоянная для поверхности некоторого вещества
величина); T - температура тела; T0 - температура окружающей среды.
В кастрюлю доверху наливают m  3,0 кг воды (удельная теплоемкость
c  4200 Дж кг  С ) при T  0,0  C и ставят на плиту.
При решении задачи используйте следующие приближения:
- мощность плиты постоянна;
- плита передает тепло только кастрюле;
- температуры воды и кастрюли всегда одинаковы;
- температура окружающей среды остается всегда постоянной;
- потери тепла через дно кастрюли отсутствуют;
- вода не испаряется;
- теплоемкость кастрюли равна нулю.
2.1 Плиту включили и измерили зависимость температуры от времени. В результате были
получены следующие данные. От 0  C до 5  C вода нагрелась за 51 секунду; от 40  C до
45 C за 89 секунд; и от 80 C до 85 C за 339 секунд.
2.1.1 Исходя из этих данных, покажите, что мощность теплопотерь действительно
пропорциональна разности температур (формула (1)).
2.1.2 Определите коэффициент тепловых потерь  . Укажите размерность этого
коэффициента.
2.1.3 Определите, за какое время вода нагревается от 20  C до 25 C .
2.1.4 Определите, до какой максимальной температуры можно нагреть воду на этой
плите.
2.2 После длительного нагревания, плиту выключили, и кастрюля начала остывать. Было
обнаружено, что вода остыла от 95 C до 90 C за 67 секунд; от 65 C до 60 C за 114
секунд; и от 35 C до 30 C за 393 секунды.
3
2.2.1 Покажите, что и в этом случае мощность теплопотерь пропорциональна
разности температур.
2.2.2 Определите значение комнатной температуры T0 .
2.2.3 Определите, за какое время вода остывает от 50 C до 45 C .
2.2.4 Используя данные части 2.1, определите мощность электрической плиты P .
Задание 3. «Чем длина отличается от ширины?»
3.1 Цилиндр радиуса r и длиной L изготовлен из
материала с удельным электрическим сопротивлением 1 .
Цилиндр покрывают тонкой оболочкой толщиной
h h  r  из материала, удельное сопротивление которого
равно  2 . Полученный таким образом образец зажимают
между двумя хорошо проводящими пластинами. Найдете
электрическое сопротивление полученного элемента, при
его подключении к проводящим пластинам.
3.2 Электрическая цепь, состоящая из двух последовательно
соединенных резисторов, сопротивления которых равны R1
и R2 , подключена к источнику постоянного напряжения U 0 .
Найдите силу тока в цепи и напряжение на резисторе R1 .
3.3 В цепи, рассмотренной в предыдущем пункте, к резистору
R1 параллельно подключают резистор сопротивлением R0 .
При этом в цепь включают амперметр и вольтметр, как
показано на схеме. Считая приборы идеальными
(сопротивление
амперметра
пренебрежимо
мало,
сопротивление вольтметра очень велико), рассчитайте
показания этих приборов. Найдите показания этих приборов,
если сопротивление R0 значительно больше сопротивлений
R1 и R2 . В этом случае ток через амперметр оказывается малым, поэтому вместо
амперметра в цепь включают миллиамперметр.
3.4 Для измерения удельного сопротивления изоляционного
материала используют следующую методику. Цилиндр радиуса
r и длиной L ( L  r ) с удельным сопротивлением  0
покрывают тонким слоем исследуемого материала толщиной h
( h  R ) . Полученный таким образом элемент помещают
внутрь цилиндрической трубки, электрическое сопротивление
которой пренебрежимо мало. Этот элемент включают в
электрическую цепь, как показано на схеме. Напряжение
источника равно U 0 , амперметр показывает малый (по сравнению с током через
источник) ток величиной I . Определите по этим данным удельное электрическое
сопротивление исследуемого изоляционного материала.
Во всех пунктах данной задачи сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь.
4
11 класс.
Задание 1. Электрическое поле Земли
Между поверхностью Земли и
ионосферой существует электрическое
поле, которое можно считать примерно
однородным. Напряженность поля Земли
В
Е0  100 ,
а
его
направление
м
соответствует отрицательному заряду Земли. Будем считать, что отрицательный заряд
равномерно распределен по поверхности нашей планеты несмотря на то, что физические
свойства суши и воды заметно различаются. На высоте h  50 км в атмосфере находится
однородный слой положительно заряженных частиц, называемых ионосферой.
Суммарный электрический заряд Земли и ионосферы равен нулю. Радиус Земли
м
RЗ  6,4  106 м ,
g  9,8 2 .
ускорение
свободного
падения
Диэлектрическую
с
проницаемость воздуха примите равной диэлектрической проницаемости вакуума   1 .
1.1 Для измерения электрического заряда Земли предлагается
следующий эксперимент. Подвесим незаряженный проводящий
шарик массы m  2,0 г и радиуса r  1,0 см на проводящей пружине
малой электроемкости. При этом шарик растянул пружину на
l1  2,5 см . После установления равновесия шарик при помощи
ключа К подключили к источнику постоянного напряжения
U  20 кВ . Вычислите удлинение пружины l2 после замыкания
ключа К в новом положении равновесия. Найдите относительное
l  l1
изменение удлинения пружины   2
после замыкания ключа К . Сделайте
l1
выводы о возможности измерения заряда планеты подобным способом. Считайте, что в
этом пункте на шарик действует только электрическое поле Земли.
1.2 Для более точного измерения напряженности поля Земли
использовали электрометра, основной частью которого служат два
m  1,5 г
небольших одинаковых шарика массой
каждый,
подвешенных на легких проводящих нитях длины l  50 см каждая.
Проводящий корпус электрометра заземлен и экранирует поле Земли.
На стержне электроскопа укреплен проводящий диск радиусом
R  1,0 м .
Два
таких
же
проводящих
параллельных
диска,
соединенные
АВ , для зарядки
проводником
посредством
электростатической
индукции в поле Земли сблизили на
малое расстояние d . После разрыва проводника АВ верхний диск А подносят на малое
расстояние к диску электроскопа, не касаясь его. Затем аналогичным образом заряжают
следующий диск A и кладут его на диск А . Процесс зарядки повторяют N  10 раз.
Оцените расстояние а , на которое разойдутся лепестки электроскопа после зарядки.
Укажите знак электрического заряда шариков электроскопа в описанном эксперименте.
5
1.3 Предполагая, что удельное сопротивление воздуха постоянно и равно
  2,9  1013 Ом  м , найдите силу тока I утечки с поверхности Земли через атмосферу к
ионосфере. Оцените время разрядки  Земли вследствие существования тока утечки.
1.4 Удивительно, но, несмотря на ток утечки, электрический заряд Земли с течением
времени практически не меняется. Следовательно, должен существовать ток подзарядки
планеты, который компенсирует ее разрядку с течением времени. Основной механизм
подзарядки Земли осуществляется в результате грозовой активности в атмосфере.
При зарождении грозового фронта в результате
электризации капелек воды в восходящих потоках воздуха в
атмосфере образуются области положительного (в верхней части
облака) и отрицательного (в его нижней части) зарядов1. Считайте,
что эти области накопления зарядов имеют форму шара радиуса
r  0,10 км . Расстояние между этими областями примите равным
Н  5,0 км , а расстояние от нижнего края грозового облака до
земли h  1,0 км . Известно, что при напряженности электрического
кВ
поля E1  3,0
(и более) наступает пробой воздуха, при котором
см
он становится проводником. Примем, что в этот момент ударяет
молния. Оцените, при каком минимальном заряде qmin заряженной области облака в
Землю может ударить молния? В данном пункте считайте поверхность Земли хорошим
проводником.
1.5 Считая, что при ударе мощной молнии, длящемся  2  40 мс средняя сила тока
I 2  200 кА , и что грозы на планете в течение года происходят равномерно, оцените
среднее количество ударов молний в Землю на Земле в течение суток.
Подсказка. Потенциал заряженного шара радиуса R и имеющего заряд q равен
q

.
4 0 R
Задание 2. «Ваттметр»
Существует множество хитроумных устройств, измеряющих мощность в цепи
постоянного тока. Принцип их работы сводится к тому, чтобы каким-либо способом
перемножить ток и напряжение на нагрузке. Мы предлагаем Вам рассмотреть наиболее
простую схему такого устройства, состоящую из резисторов, вольтметра и двух диодов.
2.1. Сначала разберемся с диодом. Этот полупроводниковый прибор является нелинейным
элементом, т.е. сила тока не пропорциональна напряжению. В данной задаче диоды будут
включаться в прямом направлении. В этом случае можно считать, что сила тока
пропорциональна квадрату напряжения:
I D  kUD2 ,
где k  известный коэффициент.
1
Механизм разделения зарядов в восходящих потоках очень сложен и в данной задаче не рассматривается.
6
2.1.1 Рассмотрим участок цепи, состоящей из последовательно включенного диода
и резистора с сопротивлением R (рис. 1). Разность потенциалов на участке равна  .
Определите силу тока, текущего в этом участке.
 R .
2.1.2 Определите разность потенциалов на резисторе
2.1.3 Покажите, что если выполняется условие:
kR  1 ,
Рис.1
то сила тока в таком участке I  k   , а разность потенциалов на резисторе
2
 R  Rk   .
2
Воспользуйтесь формулой приближенного вычисления:
1  x   1  x x  1 .
2.2 Схема ваттметра представлена на рис.2.
Устройство состоит из двух участков с диодами
( AE и BF ), резистора R1 и вольтметра.
Сопротивление резистора R , гораздо больше
сопротивления нагрузки ( R  RH ). Кроме того,
выполняется условие пункта 1.3: kR  1 .
Вольтметр – идеальный, т.е. обладает очень
большим сопротивлением.
2.2.1 Напряжение в цепи равно U , сила
тока, текущего в нагрузке, равна I . Выберем
потенциал нижнего проводника равным нулю Рис.2
( 0  0 В ), а потенциал второго проводника,
идущего от источника напряжения, 1  U (точка A на рис. 2). Определите потенциалы
точек B , C и D .
2.2.2 Определите разность потенциалов между точками C и D . Преобразуйте,
полученное выражение к виду:
UV  IU .
Выразите коэффициент  через k , R , R1 и RH .
2.2.3 Покажите, что при малом сопротивлении резистора R1 по сравнению с
сопротивлением нагрузки ( R1  RH ), коэффициент  не зависит от RH , а определяется
только характеристиками элементов ваттметра.
2.2.4 Определите относительную погрешность 
приближении, описанном в предыдущем пункте.
7
измерения мощности в
Задание 3. «Сила и импульс»
3.1 Небольшой упругий шарик массы m быстро
движется со скоростью v0 по гладкой
горизонтальной поверхности, ограниченной
двумя стенками, находящимися на расстоянии l
друг от друга. Найдите среднюю силу давления шарика на одну из стенок, считая все
удары шарика о стенки абсолютно упругими.
Пояснение. Сила давления возникает из-за ударов шарика о стенку. В соответствии со
вторым законом Ньютона средняя сила равна отношению импульса, полученного
p
стенкой ко времени, в течение которого этот импульс был получен F 
. В данном
t
случае усреднение должно проводиться за промежуток времени
t , значительно
превышающий время между ударами шарика о стенку.
3.2 Два упругих тела движутся вдоль оси Ox :
тело массы m1 со скоростью u 0 , тело массы m2
со скоростью v0 . Тела сталкиваются абсолютно
упруго.
3.1.1 Найдите скорости тел после столкновения.
3.1.2 Допустим, масса второго тела пренебрежимо мала. Чему будут равны
скорости тел после столкновения в этом случае.
3.3 Рассмотрим движение
тяжелого
поршня
и
легкого шарика массы m ,
(который можно считать
материальной точкой) по
гладкой горизонтальной
поверхности, ограниченной вертикальной стенкой. Столкновения шарика с поршнем и
стенкой абсолютно упругие. Поршень движется с малой постоянной скоростью u 0 по
направлению к стенке. Первоначально шарик находится на расстоянии l 0 от стенки.
3.3.1 Чему будет равна скорость шарика v1 после его столкновения с поршнем?
3.3.2 На каком расстоянии l1 от стенки шарик столкнется с поршнем следующий
раз? Через какой промежуток времени  1 произойдет это столкновение?
3.3.3 Найдите скорость шарика vk после k -того столкновения с поршнем ( k номер удара шарика о поршень). На каком расстоянии l k произойдет следующее
столкновение? Через какой промежуток времени  k оно произойдет?
Выразите величины vk , l k ,  k в явном виде через заданные значения l 0 и u 0 .
3.3.4 Покажите, что средняя сила давления шарика на стенку F , зависит от
расстояния поршня до стенки l по закону
F  Al  ,
где A и  - постоянные величины. Найдите, чему они равны.
По-прежнему считайте, что промежуток времени, за который происходит
усреднение, значительно больше времени между ударами шарика о стенку.
Также
можно считать, что число столкновений шарика с поршнем очень велико.
8
Решения задач.
9 класс.
Задание 1. «Просто кинематика»
1.1.1 На временных интервалах
движение
0, 2; 2, 6; 6, 8с
является
равноускоренным,
поэтому графики зависимости
координаты от времени на этих
интервалах
будут
являться
отрезками парабол. Изменение
координаты можно подсчитать как
площади под участками графика
зависимости V t  . В итоге должен
получиться график, показанный на
рисунке.
Критериями правильности
построения графика являются:
- правильность координат точек 1, 2, 3, 4, 5;
- точки 1, 3, 5 являются вершинами парабол; т.е. в этих точках касательные должны быть
горизонтальны;
- в точках 2, 3 не должно быть изломов, т.е. участки парабол плавно переходят друг в
друга.
1.1.2 По графику видно, что перемещение точки равно x  0 . Пройденный путь равен
S  8,0 м .
1.2.1 График зависимости скорости от
времени совпадает с графиком зависимости
координаты от времени, построенный в
предыдущем пункте задачи.
В этом случае площадь под графиком
численно равна изменению координаты
точки.
Очевидно,
что
площади
заштрихованных участков (между отрезками
парабол и прямых) равны. Поэтому площадь
под графиком зависимости V t  равна
площади треугольника 1-3-5-1, которая
подсчитывается элементарно. Итого, в данном случае путь и перемещение равны
S  x  16 м .
1.3.1 Для выполнения данного пункта задачи следует провести преобразования
миль
1609 м
м
V  60
 60
 27 .
час
3600с
с
Обращаем внимание на правильность округления (в соответствии с точностью исходных
данных) – до двух значащих цифр!
9
1.3.2 В этом пункте цепочка «пересчета» имеет вид
км
1000 м
2600
2600
~ V
час 
3600с  2,19 Мах
V  
м
м
c
330
330
с
с
В данном случае результат должен быть округлен до трех значащих цифр.
1.4.1 В требуемых координатах график
имеет вид полуокружности.
1.4.2 В данных единицах измерения
пройденный путь равен площади под

графиком, т.е.
. Далее следует
2
перейти в систему СИ. Единицей
измерения длины в используемой
«безразмерной»
системе
единиц
является V0 , поэтому пройденный путь (и перемещение) равен

S  V0 .
2
1.4.3 На графике зависимости скорости от времени ускорение численно равно
коэффициенту наклона касательной. В данном случае касательная перпендикулярна
радиусу окружности, проведенному в точку касания. Из рисунка следует, что
коэффициент наклона касательной АС
равен тангенсу угла ОАС, взятому с
противоположным знаком, то есть в используемых единицах
~
~
OB
t
t
~
,
a 
 ~~ 
~
AB
V t 
1 t 2
~ V
~ t
здесь V 
, t  . Для перехода в систему единиц СИ необходимо учесть, что

V0
единицей измерения ускорения является величина
a
V0 ~
V
a   02
2


~
t
1 ~
t2
10
V0
2
. Окончательно получаем
t

V0
2

1
t2
2
.
Задание 2 «Кастрюля»
1. В каждом случае вода нагревается на T  5  C . Температурный интервал достаточно
маленький. Поэтому можно считать, что мощность тепловых потерь в окружающую среду
остается практически неизменной в этом интервале. Для большей точности в формулу
теплопотерь
(1)
P   T  T0 
будем подставлять среднее значение температуры. В нашем случае:
(2).
T1  2,5 C T2  42,5 C T3  82,5 C
За некоторый промежуток времени t вода получает от плиты количество теплоты
равное Pt Дж и отдает в окружающую среду количество теплоты равное P t Дж.
Уравнение теплового баланса выглядит следующим образом:
(3).
cmT  P  P t
Подставив выражение для мощности тепловых потерь, запишем уравнение (3) в виде:
T
cm
 P    T  T0 
(4).
t
Преобразуем уравнение (4) к виду:
T
cm
 P  T0    T     T
(5),
t
где   P  T0
(6),
1.1 Используя данные задачи, можно вычислить значение правой части выражения (5) для
каждого случая, т.е. для каждой средней
T
температуры (2) найти значение cm
.
t
Получим:
T
1.
T1  2,5 C cm
 1235
t1
T
2. T2  42,5 C cm
 708
(7)
t2
T
3. T3  82,5 C cm
 188
t3
Рис.1
Если мощность теплопотерь действительно
T
пропорциональна разности температур, то все три точки на графике зависимости cm
t
от T будут находиться на одной прямой. Нетрудно убедиться, что это действительно так
(рис. 1).
1.2 Определим постоянные  и  аналитически:
T
T
cm
 cm
Вт
t1
t3

 13 
(8);
T 3  T1
C
  1270 Вт
(9);
T  22,5 C . Подставим это значение, а также
значения постоянных  и  в уравнение (5). Получим:
1.3 При нагревании от 20  C до 25 C
11
cm
T
    T  978
t x
(10).
Откуда:
cmT
 64c
(11).
978
1.4 Температура воды перестает изменяться, когда мощность теплопотерь становится
равной мощности плиты. При этом правая часть выражения (5) обращается в ноль. Таким
образом, максимальная температура равна:
t x 
Tmax 

 98 C

(12)
2.1 При выключенной плите уравнение теплового баланса будет выглядеть следующим
образом:
T
cm
   T  T0    T  T0
(13)
t
T
Таким образом, зависимость cm
от T и в
t
случае остывания должна быть линейной.
Убедимся в этом:
T
1. T1  92,5 C cm
 940
t1
T
2. T2  62,5 C cm
 553
(14).
t2
T
3. T3  32,5 C cm
 160
t3
Зависимость действительно линейная (рис. 2).
Рис.2
2.2 Можно убедиться, что постоянная  и в этом случае равна:
T
T
cm
 cm
t1
t3
 
 13
T 3  T1
(15).
А постоянная T0 :
T0  263Вт
(16).
Отсюда определяем значение комнатной температуры:
T0  20C
(17).
2.3 При остывании от 50 C до 45 C , средняя температура T  47,5 C Подставим
известные величины в уравнение (13) и получим время остывания:
cmT
(18).
t x 
 176c
  T  T0
2.4 Мощность входила в выражение для коэффициента  в первой части задачи
(выражение (6)). Зная комнатную температуру, можно вычислить мощность
электроплиты:
P    T0  1,0  103 Вт
(19).



12
Задание 3. «Чем длина отличается от ширины?»
3.1 Используя известные формулы для сопротивления проводника и параллельного
соединения проводников, найдем требуемое сопротивление
r
1
1
1  r 2 2 rh
 2 r  2 1 h  





R R1 R2
1 L  2 L 1  2 L
.
R
1  2 L

 r  2 r  2 1 h 
(1)
1 L

 r 2 1  2
1 h 

 2 r 

Ответ может быть представлен и в других эквивалентных формах.
3.2 Используя стандартные формулы, находим
U0
R1
.
I
; U 1  IR1  U 0
R1  R2
R1  R2
(2)
3.3 При подключении дополнительного резистора для расчета силы тока и напряжения
можно воспользоваться полученными формулами (2), в которых вместо величины R1
следует подставить сопротивление двух параллельных резисторов
RR
(3)
R1  1 0 .
R1  R0
В этом случае напряжение окажется равным
R1 R0
R1  R0
R1 R0
R1
,
(4)
U1  U 0
 U0
 U0
R1 R0
R1  R2
R1 R0  R2 R1  R0 
 R2
R1  R0
а сила тока через амперметр
U
R1
.
(5)
I A  1  U0
R0
R1 R0  R2 R1  R0 
Если сопротивление резистора R0 велико, то можно пренебречь его проводимостью и
считать, что напряжение на нем совпадает с напряжением, рассчитанным по формуле (2),
т.е.
R1
.
(6)
U1  U 0
R1  R2
Сила тока в этом случае оказывается равной
U
R1
.
(7)
IA  0
R0 R1  R2
13
3.4 При решении данного пункта задачи
следует учитывать, что ток течет поперек
изоляционного слоя, причем распределение
тока (точнее плотности тока) вдоль цилиндра
не будет однородным. Так как сопротивление
изоляции велико, то и измеряемый ток будет
малым.
Следовательно,
распределение
напряжений U x  между элементом
x
цилиндра и хорошо проводящей трубкой будет
примерно таким же, как при отключенном
амперметре, то есть меняться по линейному
закону от U 0 до нуля. Это дает основание использовать в качестве среднего напряжения
между цилиндром и проводящей трубкой среднее арифметическое напряжений на концах
U
цилиндра, то есть 0 . Следовательно, измеряемый ток равен
2
U
(8)
I 0 .
2R
h
Где R   
- сопротивление изоляционного слоя при протекание тока «поперек».
2 rL
Таким образом, получаем
U  2 rL
U  rLU 0
I 0
  0
.
(9)
2 h
Ih
11 класс.
Задание 1. Электрическое поле Земли
а) Согласно закону Гука удлинение пружины под действием силы тяжести
mg
l1 
, где k – коэффициент упругости пружины. Отсюда можем выразить
k
mg
k
.
(1)
l1
После подключения шарика к источнику постоянного напряжения его потенциал
относительно Земли станет равным напряжению источника. При этом на шарике появится
электрический заряд q , который можно найти из условия
1 q

 U

q  40 rU .
(2)
40 r
Соответственно, со стороны электрического поля Земли на шарик начнет
действовать сила, направленная вниз и равная
F  qE  40 rUE .
(3)
Искомое удлинение пружины l2 после замыкания ключа К найдем из равенства
mg  F mg  F
kl2  mg  F
 l2 

l1 .
(4)
k
mg
Таким образом, отношение удлинений пружины до и после замыкания ключа
40 rUE
l  l1
F
.
(5)
 2


l1
mg
mg
Расчет дает значение
14
  1,0  10 4 .
(6)
Как видим, удлинение пружины составит крайне малую величину, равную сотым
долям процента от l1 . Зафиксировать столь малое смещение пружины будет практически
невозможно. Следовательно предлагаемая методика измерения заряда планеты является
неприемлемой.
б) При зарядке дисков в поле Земли посредством электростатической индукции на
них появятся электрические заряды, которые, согласно
принципу
электростатической
защиты,
создадут
электрическое поле, напряженность которого равна по
модулю
и
противоположна
по
направлению

напряженности E0 поля Земли (см. рис.). Считая, что
диски образуют плоский конденсатор, найдем
q0   S   0 ES   0 E R 2 ,
(7)
где  – поверхностная плотность электрических зарядов на одном диске, S – площадь
диска.
Как следует из рисунка, при зарядке на верхнем диске А окажется отрицательный
заряд.
Соответственно, после разрыва проводника АВ и переноса диска к электроскопу
на диске электроскопа образуется положительный заряд такой же величины. Вследствие
электронейтральности стержня электроскопа (он изолирован от корпуса диэлектрической
прокладкой) на каждом из его шариков окажутся отрицательные заряды, равные по
q
модулю 0 . Таким образом, после складывания N  10 заряженных дисков вблизи
2
q
электроскопа на каждом из его шариков появится отрицательный заряд q  N 0 .
2

Предположим, что под действием силы Кулона FK нити электроскопа (с
шариками) разошлись на малый угол 2 (см. рис.). Из условия равновесия шариков с
учетом малости угла их расхождения (   0 ) получаем
FK
a
(8)
 tg    .
mg
2l
q
q
( N 0 )( N 0 )
1
2
2 , то выражение (8) можно
Поскольку FK 
40
a2
переписать в виде
N 2 q02
a
(9)
 .
2
160 a mg 2l
Из (9) получаем оценку расстояния, на которое разойдутся
небольшие шарики электроскопа после зарядки дисков
N 2 q02l
0l N 2 E 2 R 4
3
a

.
80 mg
8mg
Расчет по формуле (10) дает
3
(10)
a  4,9 см .
(11)
Как видим из (11) шарики разойдутся на вполне регистрируемое расстояние.
Заметим, что подобная методика была использована при одной из первых попыток
измерения заряда Земли.
15
в) Поскольку высота, на которой находится ионосфера, мала по сравнению с
радиусом Земли, то можно считать, что в промежутке между Землей и ионосферой
напряженность электрического поля остается постоянной.
Мысленно выделим на поверхности Земли вертикальный цилиндр с площадью
основания S и высотой h , упирающийся в ионосферу (см. рис.).
Сопротивление воздуха внутри этого цилиндра
h
R .
(12)
S
Напряжение между торцами цилиндра найдем, используя связь
между
напряжением
и
напряженностью
однородного
электростатического поля
(13)
U  Eh
Применяя закон Ома, получим значение тока утечки
U ES
.
(14)
I 
R

Подставляя в (14) значение площади земной поверхности S  4RЗ2 , окончательно
получаем
U 4RЗ2 E
(15)
I1  
 1,8 кА .
R

Полученное большое значение тока утечки в значительной степени обусловлено
большим значением площади земной поверхности.
Для оценки времени  разрядки Земли потребуем, чтобы за это время между
ионосферой и Землей был перенесен заряд, равный заряду Земли. Будем также считать,
что в процессе разрядки Земли сила тока остается постоянной, хотя в реальности она
уменьшается вследствие уменьшения напряженности поля Земли. Тогда
4RЗ2 E
I1  (15) 
 q.

С учетом выражения для напряженности Е 
1
40
сферической

q
электростатического поля,
RЗ2
поверхностью, преобразуем
создаваемого равномерно заряженной
полученное равенство к виду

1

   0 .
(16)
 0
Расчет по формуле (16) дает неожиданный результат
(17)
  2,6  102 с  4,3 мин .
Таким образом, вследствие конечного сопротивления воздуха
между Землей и ионосферой наша планета разрядилась бы довольно
быстро и утратила бы свой электрический заряд. Однако наблюдения
показывают, что заряд Земли не уменьшается с течением времени.
Это говорит о том, что в природе существует механизм непрерывной
зарядки Земли, обеспечивающий поступление новых порций заряда и
компенсирующий ток утечки.
г) При силе тока утечки I1 за сутки ( t  86400 c ) Земля
потеряет заряд q1  I1t . Согласно условию, этот же заряд планета
должна получить в результате грозовой активности. Таким образом
It
(18)
I1t  N 3 I 2 2

N3  1 .
I 2 2
16
Расчет дает, что каждые сутки на планете гремит около N 3  2  10 4 гроз, львиная
доля которых приходится на тропические пояса Земли.
д) При достаточно сложном механизме формирования и распределения
электрических зарядов внутри и на поверхности грозового облака ключевым моментом
для возникновения молнии является возникновение первичного канала или ступенчатого
лидера, который формирует траекторию основного электрического удара, производящего
огромный термический, а также световой и звуковой эффекты. Внутри этого канала
проводимость воздуха значительно выше проводимости окружающего воздуха, а ток, как
известно, достаточно «умен», поскольку выбирает путь наименьшего сопротивления.
Для расчета заряда грозовой тучи построим заряд-изображение небольшого
сферического заряда ее нижней части, заряженной отрицательно, относительно
проводящей поверхности Земли (см. рис). Тогда суммарная напряженность поля зарядов
тучи и индуцированных зарядов на поверхности Земли может быть оценена как
1 q
2
 E1

q  20 E1h 2  0,17 Кл .
(19)
2
40 h
Задание 2. «Ваттметр»
1.1 Если по участку течет ток I , то падение напряжения на диоде
I
UD 
k
а напряжение на резисторе
U R  IR
Сумма этих напряжений равна разности потенциалов на всем участке цепи:
U D  U R  
Подставляя значения (1) и (2), получим квадратное уравнение относительно
1
IR 
I    0
k
Физический смысл имеет только положительный корень этого уравнения:
 1  1  4kR
I 
2R k
Тогда
  1  1  4kR
I  
2R k

1.2 Разность потенциалов на резисторе:




(1),
(2).
(3).
I:
(4).
(5).
2
(6).
2
  1  1  4kR 
 R
 R  IR  

2
R
k


1.3 При выполнении условия kR  1 , формула (6) преобразуется к виду:
  1  1  2kR  
2
I 
  k  
2R k


(7).
2
а формула (7) – к виду:
 R  Rk  
2
(8),
(9).
2.1 Т.к. R  RH , то ток через резисторы R1 равен току через нагрузку. Поэтому падение
напряжения на резисторе R1 :
17
Тогда потенциал точки B :
U1  IR1
(10).
B  U  U1  U  IR1
(11).
Напряжение на участке AE равно U . Напряжение на резисторе R определим,
воспользовавшись выражением (9):
(12).
 RAE  RkU 2
Тогда потенциал точки C :
C  0  RAE  RkU 2
(13).
Напряжение на участке BF равно B  U  IR1 . Поэтому напряжение на резисторе R :
 RBF  Rk U  IR1 
2
(14)
Потенциал точки D :
 D  0   RBF  Rk U  IR1 2
2.2 Разность потенциалов между точками C и D :
2
UV  C   D  RkU 2  Rk U  IR1  
 RI 
 2kRR1UI  kRR12 I 2  2kRR1UI 1  1 
 2U 
Ток и напряжения связаны законом Ома, т.е.:
I
1

U RH  R1
Поэтому показания вольтметра:


R1

UV  2kRR1UI 1 
 2R1  RH  
Коэффициент  :

  2kRR1 1 
(15).
(16).
(17).
(18).

R1

2R1  RH  
(19).

2.3 При выполнении условия R1  RH выражение для коэффициента  принимает вид:
(19),
  2kRR1
Т.е. действительно не зависит от сопротивления нагрузки.
2.4 Относительная погрешность измерения:
kRR12
kRR12
(20).


R1  RH
RH
Задание 3. «Сила и импульс»
3.1 Импульс, полученный стенкой за одно
столкновение равен
p  2mv0 ,
(1)
время между ударами, очевидно, равно
l
(2)
t  2 0
v0
Следовательно, средняя сила давления шарика на стенку равна
p mv02
F

.
t
l0
18
(3)
3.2 Для определения скоростей тел после
соударения следует воспользоваться законами
сохранения импульса и механической энергии
m1u 0  m2 v 0  m1u1  m2 v1
(4)
m1u 02 m2 v02 m1u12 m2 v12 .



2
2
2
2
Для решения системы уравнений, преобразуем их и разделим одно на другое:
m1 u 02  u12  m2 v12  v02
 u 0  u1  v1  v0  v1  u 0  v0  u1 .

m1 u 0  u1   m2 v1  v0 
Тем самым, получаем систему двух линейных уравнений, решение которых находится
легко
m1  m2
2m 2

u1  m  m u 0  m  m v0

1
2
1
2
.
(5)
m1u 0  m2 v0  m1u1  m2 u 0  v0  u1   
v  2m1 u  m1  m2 v
 1 m1  m2 0 m1  m2 0




Если масса второго тела пренебрежимо мала ( m2  0 ), то из формул (5) следует
u1  u 0
.

v1  2u 0  v0
3.3.1 Полагая в формуле (6) v0  0 , находим скорость шарика после первого удара
v1  2u 0 .
(6)
(7)
3.3.2 До следующего столкновения
поршень пройдет расстояние l 0  l1  ,
а шарик l 0  l1  . Приравнивая их
времена движения, получим
уравнение
l0  l1 l0  l1
.
(8)

u0
2u 0
Из которого находим точку второго удара
1
l1  l 0 .
(9)
3
И время между ударами
l l
2l
(10)
1  0 1  0 .
u0
3 u0
3.3.3 Из формул (6) следует, что после каждого удара скорость шарика увеличивается на
2u 0 (следует учесть, что шарик при всяком ударе летит навстречу поршню):
vk  2u0  vk 1 .
(11)
Таким образом, скорости шарика после ударов образуют арифметическую прогрессию,
поэтому явное выражение для скорости шарика после k -того столкновения с поршнем
имеет вид
vk  2k  u0 .
(12)
19
Чтобы установить связь между координатами точек последовательных ударов запишем
уравнение, аналогичное уравнению (8), из которого определим
l k 1  l k l k 1  l k l k 1  l k
2k  1
(13)


 lk 
l k 1 .
u0
vk
2ku0
2k  1
Последовательно подставляя значения легко найти, что
1
lk 
l0 .
(14)
2k  1
Время между последовательными ударами рассчитывается по формуле
l l
1  l0
2 l0
 1
.
(15)
 k  k 1 k  

  2
u0
 2k  1 2k  1  u 0 4k  1 u0
Средняя сила давления шарика на поршень после k -того удара равна
2v
2  2k  u 0
mu 2
p
F
m k m
 2k 4k 2  1 0 .
(16)
l0
2
t
k
l0
4k 2  1 u 0


После большого числа ударов k  1 можно считать, что 4k 2  1  4k 2 , и
l0
 2k  1  2k , поэтому
lk

3

2
mu02
mu02  l0 
3 mu0
F  2 k 4k  1
 8k

  .
l0
l0
l0  l 
Следовательно,   3 , A  mu02 l 02 .
2
20
(17)