6. расчет режимов сложнозамкнутых сетей

6. РАСЧЕТ РЕЖИМОВ СЛОЖНОЗАМКНУТЫХ СЕТЕЙ
Три основных матричных уравнения - обобщенное уравнение состояния, узловое и
контурное уравнения определяют взаимосвязь параметров установившегося режима с
параметрами электрической системы:
обобщенное уравнение состояния
M  J 
 NZ  I  E  ,
 B  K 
(6.1)
узловое уравнение
Yy U   J  MYBE ,
контурное уравнение
(6.2)
M 1 
Z K I K  E K  NZ B    J .
0 
(6.3)
Первая матрица соединений (инциденций) M характеризует соединение ветвей в
узлах. Эта матрица является прямоугольной - число строк на единицу меньше числа
узлов схемы, а число столбцов равно числу ветвей. Элементы матрицы равны Mij=1,
если узел i является начальной вершиной ветви j, либо Mij=-1, если узел i является
конечной вершиной ветви j и Mij=0, если узел не является вершиной ветви. Матрица
токов в ветвях I - матрица столбец. Число ее элементов соответствует числу ветвей
схемы замещения. Матрица задающих токов
(токов нагрузок) J - матрица столбец
с числом элементов на единицу меньше общего числа узлов. В выражение для второго
закона Кирхгофа входит матрица соединения ветвей в независимые контуры N (вторая
матрица инциденций) - это прямоугольная матрица, число строк ее равно количеству
независимых контуров, а число столбцов равно числу ветвей схемы замещения.
Элементы матрицы равны: Nij=1, если ветвь j входит в контур i и направление тока в
ветви совпадает с направлением обхода контура, Nij=-1, если ветвь j входит в контур i и
направление тока в ветви противоположно направлению обхода контура, Nij=0 если
ветвь j не входит в контур i.
Матрица сопротивлений ветвей ZB в общем случае квадратная, а при отсутствии
взаимоиндуктивной связи между элементами - диагональная, с числом строк равным
числу ветвей схемы замещения. Матрица контурных ЭДС - матрица столбец с числом
элементов равным числу независимых контуров схемы замещения. Матричное узловое
уравнение связывает напряжения узлов относительно балансирующего с задающими
токами и ЭДС в ветвях:
(6.4)
YY U   J  MYB E .
Информация о параметрах системы в узловых уравнениях содержится в матрицах
проводимостей ветвей YB
и матрице узловых проводимостей YY. Матрица
проводимостей ветвей это матрица обратная матрице сопротивления ветвей. Для
диагональной матрицы элементы определяются через сопротивления ветвей
(6.5) Матрица узловых
YBii  1 / Z Bii
проводимостей может быть определена через матрицы проводимостей и соединения
ветвей в узлах
YY  MYB M t .
(6.6)
Матрица узловых проводимостей может быть сформирована по схеме замещения.
Диагональный элемент Yyii равен сумме проводимостей ветвей связанных с i узлом.
Недиагональный элемент ij равен проводимости ветви между узлами i и j с обратным
знаком либо нулю, если непосредственная связь между узлами отсутствует.
Из матричного узлового уравнения определяются напряжения узлов относительно
балансирующего
(6.7)
U   YY1 (J  MYB E) ,
что позволяет определить токи в ветвях
I  ZB1 (M t U   E) .
(6.8)
Матричное выражение системы контурных уравнений связывает контурные токи
(токи в хордах) с контурными ЭДС и задающими токами
M 1 
Z K I K  E K  NZ B    J .
0 
(6.9)
Матрица контурных сопротивлений может быть вычислена через матрицу
сопротивлений ветвей и вторую матрицу инциденций
(6.10)
Z K  NZ B N t ,
либо сформирована по схеме замещения. Диагональные элементы являются суммой
сопротивлений ветвей схемы, образующих соответствующий контур. Недиагональные
элементы ZK равны сумме сопротивлений, одновременно
входящих в контуры i и j, либо нулю при отсутствии общих ветвей. Слагаемое
положительно при совпадении направлений обхода контуров на общей ветви и
отрицательно в противоположном случае.
Сложные схемы последовательными упрощениями можно свести к простейшим
замкнутым (сетям с двусторонним питанием). Совокупность упрощающих приемов
сведена в методе преобразования. Для преобразования схем замещения используются
следующие формулы:
перенос нагрузок в другие узлы
S 1( 2)  S 2 Ẑ 2 /(Ẑ1  Ẑ 2 )
S
 S  S
1 2
1
1( 2)
,
S 3( 2)  S 2 Ẑ1 /(Ẑ1  Ẑ 2 )
,
S
 S  S
3 2
3
(6.11)
3( 2)
эквивалентирование последовательных ветвей
 Z
 Z
 ;
(6.12)
Z
S  S 1  S 2 ;
1
2
эквивалентирование параллельных ветвей
(6.13)
S  S1  S 2 ;
 Z
 Z



Z
1 2 /(Z1  Z2 ) ;
преобразование треугольника в звезду



 Z
 Z




Z
1
12 31 /(Z12  Z23  Z31) , S1  S12  S31,



 Z
 Z




Z
2
12 23 /(Z12  Z23  Z31) , S2  S23  S12 ,



 Z
 Z




Z
3
23 31 /(Z12  Z23  Z31) , S3  S31  S23 ;
(6.14)
преобразование звезды в треугольник
 Z
 Z
 Z
 Z
 
€  S Z
€
€
Z
S 12  (S 1Z
12
1
2
1 2 / Z3 ,
1
2 2 ) / Z12 ,
 Z
 Z
 Z
 Z
 
(6.15)
Z
S 23  (S 2 Ẑ2  S 3Ẑ3 ) / Ẑ23
23
2
3
2 3 / Z1 ,



 Z
 Z
 Z
 Z
 
Z
S13  (S1Ẑ1  S3Ẑ3 ) / Ẑ13
31
3
1
3 1 / Z2 ,
Рис.6.1. Приемы метода
преобразования сети.
Пример 6.1. Применение узловых уравнений для расчета сложнозамкнутой сети.
Рис.6.2. Схема замещения
сложнозамкнутой сети.
Для
аналитического
представления
схемы
замещения
определим
матрицу
узловых
проводимостей
схемы
через первую матрицу
инциденций и матрицу
проводимостей
ветвей
схемы замещения:
1
0
 1 0 1

M 0
0
0  1  1
 0  1  1 0 1 
 1 0 0 
 0 0  1


; M t   1 0  1 ;


 1 1 0 
 0  1 1 
1.22  j4.12



1.08  j3.66



ZB1  YB  0.01
1.28  j2.76


1.46  j1.52



1.42  j1.48 
 3.96  j8.35  1.46  j1.52  1.28  j2.71
MYB M t  0.01 1.46  j1.52 2.88  j3.00  1.42  j1.48  .
 1.28  j2.71  1.42  j1.48 3.78  j7.88 
Выполним операцию обращения матрицы узловых проводимостей классическим
методом. Количество элементов в искомой матрице соответствует количеству элементов
исходной. Необходимо вычислить значение одного определителя третьего порядка и
шести второго.
При введении элементов в комплексной форме этот подход может
оказаться наиболее рациональным. Для этого предварительно находим значение
определителя;
D  (3.96  j8.35)( 2.28  j3)( 4.58  j3)  (1.46  j1.52 )( 1.42  j1.48) 
(1.28  j2.71)  (1.28  j2.71)( 1.46  j1.52 )( 1.42  j1.48)  (1.28  j2.71) 
(2.88  j3)( 1.28  j2.71)  (1.42  j1.48)( 1.42  j1.48)(3..96  j8.35) 
(4.58  j7.88)( 1.46  j1.52 )( 1.46  j1.52 )  (202 ,3  j15,3)10 6
Определяем значения элементов обратной матрицы. Учитываем симметрию получаемой
матрицы, что объясняется симметрией исходной матрицы узловых проводимостей:
Z11 
1 2.88  j3.00  1.42  j1.48  4
10  5.07  j15 .12 ;
D  1.42  j1.48 3.78  j7.88
Z12  Z 21 
Z 22 
 1  1.46  j1.52  1.28  j2.71 4
1  1.46  j1.52 2.88  j3.00 4
10  3.40  j11 .62 Z13  Z 31 
10  1.67  j8.00 ;
D  1.42  j1.48 3.78  j7.88
D  1.28  j2.71  1.42  1.48
1 3.96  j8.35  1.28  2.71  4
10  20 .08  j29 .12 ;
D  1.28  j2.71 3.78  j7.88
Z 23  Z 32 
Z 33 
 1 3.96  j8.35  1.46  j1.52 4
10  3.35  j11 .91 ;
D  1.28  j2.71  1.42  j1.48
1 3.96  j8.35  1.46  j1.52 4
10  5.43  15 .96 .
D  1.46  j1.52 2.88  j3.00
Формируем обратную матрицу из вычисленных значений элементов;
5.07  j15 .12 3.40  j11 .62 1.67  j8.00 
Z  3.40  j11 .62 20 .08  j29 .12 3.35  j11 .91
 1.67  j8.00
3.35  j11 .91 5.43  j15 .96 
.
Определяем матрицу токов нагрузок по значению номинального напряжения сети
и мощностям нагрузок узлов
J 
1
3
255  j102 
382  j153 


318  j127 
.
Определяем разность напряжений узлов и узла баланса в первом приближении
  ZJ 
U

1
3
 7.46  j9.59 
16 .73  j14 .02 


 8.40  j10 .76 
.
Это позволяет найти напряжения узлов;
110   7.46  j9.59   102 .54  j9.59 
  U  3U
  110   16 .73  j14 .02    93 .27  j14 .02 
U
Y
c
 
 
 

110   8.40  j10 .76  101 .60  j10 .76 
.
Уточняем значения токов узлов по уточненным напряжениям узлов:
150 .7  j77 .4 
J    239 .0  139 .7


188 .2  j99 .3 
Уточняем значения падений напряжений. Дальнейших уточнений при анализе режимов
работы сетей 110 кВ не требуется:
   ZJ  
U

1
3
 9.49  j9.59 
20 .94  j13 .08 


10 .30  j10 .25 
.
Определяем уточненные значения напряжений узлов
110   9.49  j9.59  100 .51  j9.59 


U Y  110   20 .94  j13 .08   89 .06  j13 .08  .
110  10 .30  j10 .25  99 .70  j10 .25 
Определяем токи в ветвях схемы сети
 295 .1  j158 .2 
280 .9  j153 .8


I  Y
 M U

B t    16 .5  j8.1  .


 127 .1  j71 .1 
 111 .3  j67 .7 
Пример 6.2. Применение метода преобразования для расчета сложнозамкнутой
схемы.
Применим метод преобразования к схеме замещения с одним источником
электроэнергии A, семью нагрузками узлов и десятью ветвями. На первом этапе
преобразуем схему к простейшей замкнутой схеме.
Перенесем нагрузки из узлов 2 и 7 в узлы 1 и 6:
S  S  (S (Z
 €
€
€
€
€
€
1
1
2 27  Z 67 )  S7 Z 67 ) /(Z12  Z 27  Z 67 ) ,
€ Z
€ )  S Z
€
€
€
€
S 6  S 6  (S 7 (Z
17
27
2 12 ) /(Z12  Z 27  Z 67 ) .
После исключения нагрузок, возможно заменить сопротивления ветвей 12,27 и 67
эквивалентным
 Z
 Z
 Z
 .
Z
16
12
27
67
Заменим сопротивления треугольника между узлами 1, 4 и 6 на сопротивления
эквивалентной звезды
 Z
 Z





 



Z
48
14 46 /(Z14  Z 46  Z16 ) , Z 68  Z16 Z 46 /(Z14  Z 46  Z16 )
Рис.6.3. Порядок изменения схемы при использовании приемов метода преобразования
электрической сети.
 Z
 Z




Z
18
14 16 /(Z14  Z46  Z16 ) .
Исключаем нагрузки из узлов 4, 5 и 6 путем их переноса в узлы 3 и 8,
эквивалентируем
образующиеся
после
этого
последовательно
включенные
сопротивления:
 €
€ /(Z
€ Z
€ )  (S (Z
€
€
€
€
€
S 3  S 3  S 4 Z
48
34
48
5 56  Z 68 )  S6 Z 68 ) /(Z35  Z56  Z 68 ) ,
S 8  S 4 Ẑ34 /(Ẑ34  Ẑ 48 )  (S 5 Ẑ35  S 6 (Ẑ35  Ẑ56 )) /(Ẑ35  Ẑ56  Ẑ 68 ) .
 Z
 Z
 Z
 .
Z
16
12
27
67
После этих действий возможна замена эквивалентным сопротивлением ветвей 34,
48, 35, 56, 68:
( Z  Z 48 )( Z 35  Z 56  Z 68 )
Z 38  34
Z 34  Z 48  Z 35  Z 56  Z 68
.
В результате преобразований схема сведена к простейшей замкнутой схеме
(кольцевой). Определяем мощности на головных участках схемы по известным
выражениям:
S  ( Ẑ  Ẑ38  Ẑ A3 )  S 8 ( Ẑ38  Ẑ A3 )  S 3 Ẑ A3
,
S A1  1 18
Ẑ A1  Ẑ18  Ẑ38  Ẑ A3
S  ( Ẑ  Ẑ38  Ẑ A1 )  S 8 ( Ẑ18  Ẑ A1 )  S 1 Ẑ A1
.
S A3  3 18
Ẑ A1  Ẑ18  Ẑ38  Ẑ A3
Последовательно возвращаемся к исходной схеме и определяем искомые
параметры режима.