(рис. 3.7).Здесь ДР - дифракционная решетка, Л - линза, Э

Часть 4
3.Примеры решения задач раздела Оптика
3.1.Фотометрия
Задача 1. Круглый зал диаметра D  30 м освещается лампой,
укреплённой в центре потолка. Найти высоту H зала, если известно, что
наименьшая освещённость стены зала в два раза больше наименьшей
освещённости пола.
Анализ и решение. Наименьшую
освещённость стены зала (рис. 3.1) можно
определить
E1  I cos   / r 2
тогда для наименьшей освещённости пола
E2  I cos   / r 2
Из условия задачи
E1 E 2  cos  cos   D 2H   2
Следовательно, искомая высота
H  D 4  7,5 м .
Задача 2. На высоте H1  2 м над серединой круглого стола диаметра
D  3 м висит лампа, сила света которой I1  100 кд . Её заменили лампой сила
света которой I 2  25 кд , изменив расстояние до стола так, что освещённость
середины стола осталась прежней. Как изменится освещённость края стола?
Анализ и решение. Освещённость середины стола E  I1 H12  I 2 H 22 ,
где H 2  высота второй лампы над столом. Освещённость края стола в первом
и во втором случаях соответственно
E1 
H
I1 H 1
2
1
D 4
2

32
,
E2 
H
I2H2
2
2
 D 2 4
32
Отсюда

E1
H 2  I 1 I 2  D 2 4
 1
32
E2
H 12  D 2 4



32
Освещённость края стола
уменьшится в 3 раза.
Задача 3. В вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника
расположены источники света S1 и S 2 равной силы (рис.3.2). Как следует
расположить маленькую пластинку А , чтобы освещённость её была
максимальна? Стороны треугольника AS1  AS2  a .
Анали
E




I
I
cos   cos 90 0    2  2 cos 45 0  cos   45 0
2
a
a

Следовательно, освещённость пластинки будет максимальна, если она
параллельна стороне треугольника S1S 2 :
Emax  2 I a 2
3.2.Задачи раздела Интерференция света
Задача 4. В установке для получения колец Ньютона пространство
между линзой (показатель преломления n1 =1,55) и плоской прозрачной
пластиной (показатель преломления n3 =1,5) заполнено жидкостью с
показателем преломления n = 1,6 (рис.24.2). Установка облучается
монохроматическим светом (  0 =6 10-7м), падающим нормально на
плоскую поверхность линзы. Найти радиус
кривизны линзы R, если радиус четвертого
( k  4 ) светлого кольца в проходящем свете
rk  1 мм .
Анализ и решение. Интерференция лучей
осуществляется в тонком жидком клине
(показатель преломления жидкости n больше
как n1, так и n3). Именно в этой тонкой жидкой
пленке неодинаковой толщины каждый луч
разделяется на две когерентные части. В проходящем свете k -й максимум
образуется вследствие интерференции луча 1, прошедшего в пластину без
отражения, и части 2 этого же луча, отразившегося от поверхностей
пластины и линзы (рис.3.3). Так как n>n3 и n>n1 , то при отражении от
поверхностей пластины и линзы потери полуволны не происходит.
Следовательно, приобретаемая лучами 1 и 2 оптическая разность хода
  2dn2 ,
где d - толщина жидкого клина в рассматриваемой точке. Учитывая, что
d  rk2 / 2 R ,
а также условие максимума, находим
2rk2 n2 / 2 R  k0 .
Отсюда радиус кривизны линзы
R  rk2 n2 / k0 ,
R  66cм .
Задача 5. Для уменьшения потерь света в объективах из-за отражения
от поверхностей линз последние покрывают тонкими пленками вещества с
показателем преломления n  nст , где nст - показатель преломления стекла
(при этом интенсивности отражений от обеих - поверхностей пленки будут
примерно одинаковыми). При какой минимальной толщине пленки
отражательная способность линзы будет минимальной при нормальном
падении света для длины волны  0 =0,55мкм, соответствующей середине
видимой области спектра? Принять nст = 1,5.
Анализ и решение. Сделаем рисунок,
поясняющий условие задачи (рис.3.4). Лучи
света, падающие на объектив, отражаются как от
верхней, так и от нижней
поверхности пленки.
Разность фаз колебаний интерферирующих лучей
1 и 2 определяется оптической разностью хода
лучей. (Изменение фазы на  при отражении от
оптически более плотной среды происходит как
с лучом 1, так и с лучом 2. Эти изменения
взаимно компенсируются и их можно не
учитывать).
Разность хода   2d n2  sin 2 i  2dn cos r , где i - угол падения луча; r угол преломления. При нормальном падении i  00 , r  0 , тогда   2dn .
Условие минимума   2k  1 / 2 . Из условия
2dn  2k  1 2 найдем
минимальную толщину пленки ( k  0 ):
2dn   / 2 ,
d   / 4 ,
6
d  0,55  10 /( 4 1,5 )  0,112  106 м .
Задача 6. Какой должна быть допустимая ширина щелей d 0 в опыте
Юнга, чтобы на экране Э , расположенном на расстоянии L  2 м от щелей
(рис. 3.5), получилась отчетливая интерференционная картина? Расстояние
между щелями d = 5мм. Длина волны  0 =5 10-7м.
Анализ и решение. В опыте Юнга две щели
(точки S1 и S 2 на рис.3.5) являются
когерентными источниками, дающими на
экране интерференционную картину.
Предположим, что эти источники точечные.
Тогда интерференционная картина
рассчитывается по формулам
х  хk 1  хk  L0 / d , хk  L / d  kL0 / d .
Сместим источники вверх и на расстояние d0. Интерференционная
картина сместится также вверх на расстояние d 0 . Рассмотрим суммарную
интерференционную картину от четырех точечных источников. Она будет
состоять из двух интерференционных картин, сдвинутых одна относительно
другой на расстояние d 0 . Если это расстояние меньше расстояния между
соседними светлой и темной полосами, которое равно 0 L / 2d , то суммарная
интерференционная картина получится отчетливой.
Пусть теперь имеется два неточечных когерентных источника (щели
шириной d0). Согласно сказанному, суммарная интерференционная картина
отчетлива, если выполняется условие
d 0   0 L / 2d ,
d 0  0,1 мм .
3.3.Дифракция света
Задача 7. Исходя из определения для зон Френеля, найти число m зон
Френеля, которые открывает отверстие радиуса r для точки, находящейся на
расстоянии b от центра отверстия, в случае если волна, падающая на
отверстие, плоская.
Анализ и решение.Сделаем
рисунок, поясняющий условие задачи
(рис.3.6). Мысленно разобьем отверстие
на кольце-вые зоны (в соответствии с
определением зон Френеля) так, что
колебания, возбуждаемые в точке М
двумя соседними зонами, были бы
противоположны по фазе (разность хода от сходных точек этих зон до точки
М равна  /2). Тогда край отверстий радиуса r будет являться внешней
границей m-ой зоной Френеля. В соответствии с теоремой Пифагора имеем:


2
2
b  m   b  r .
2

2
Учтя, что  <<b пренебрежем слагаемыми порядка  2 , последнее
равенство запишем в виде
r 2  mb .
Отсюда имеем искомое выражение
m
r2
.
b
Задача 8. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности
падает параллельный пучок лучей с длиной волны  =0,5мкм. Помещенная
вблизи решетки линза проектирует дифракционную картину на плоский
экран, удаленный от линзы на L= 1м.
Расстояние между двумя
максимумами первого порядка, наблюдаемыми на экране,  =20,2см.
Определить: а) постоянную дифракционной решетки; б) число максимумов,
которые дает решетка; в) максимальный угол отклонения лучей,
соответствующих последнему дифракционному минимуму.
Анализ и решение. Сделаем рисунок,
поясняющий условие задачи (рис. 3.7).Здесь
ДР - дифракционная решетка, Л - линза, Э экран.
а) Постоянная дифракционной решетки
a  b , длина волны  и угол отклонения
лучей  , соответствующий k  му
дифракционному максимуму, связаны
соотношением:
(1)
a  bsin   k ,
где k  порядок спектра или в случае
монохроматического света порядок
максимума. В данном случае k  1 , sin   tg
(ввиду того, что  <<L), tg 
/2
(см. рис.3.7).
L
С учетом этих равенств соотношение (1) примет вид
a  b 
Откуда искомая величина a  b 


2L
(2)
2 L

Подставляя данные, получим a  b 
2  1  0,5  10 6
 4,95  10 6  4,95 мкм .
0,202
б) Для определения числа максимумов, даваемых дифракционной
решеткой, вычислим сначала максимальное значение kmax исходя из того, что
максимальный угол отклонения лучей дифракционной решеткой не может
превышать 90о. Из формулы (1) найдем
k maх 
a  bsin  maх
(3)

Подставляя сюда значения величин, получим k maх 
4,95  10 6
 9,9 .
0,5  10 6
Но k должно быть целым и в, то же время, оно не может принять значение,
равное 10, так как при этом значении sin  будет больше 1, что невозможно,
следовательно, kmax = 9.
Общее число максимумов, даваемых дифракционной решеткой,
подсчитаем так. Влево и вправо от центрального максимума будет
наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному kmax, т.е. всего 2
kmax. Если учесть и центральный нулевой максимум, получим общее число
максимумов
n  2kmaх  1
n  2  9  1  19
.
(4)
в) Максимальный угол отклонения лучей, соответствующих
последнему дифракционному максимуму, найдем по формуле (1)
kmaх 
,
ab
9  0,5  10 6
sin  maх 
 0,91
4,95  10 6
Отсюда искомое значение угла  maх  65,5 0 .
sin  maх 
(5)
3.4.Задачи раздела Геометрическая оптика
1. Линза, расположенная между предметом и экраном дает, дает на экране
увеличенное изображение предмета. Когда линзу передвинули на 40 см
ближе к экрану, на нем появилось четкое уменьшенное изображение
предмета. Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние
между предметом и экраном равно 80 см.
2. Каково наименьшее возможно расстояние между предметом и его
действительным изображением, создаваемым собирающей линзой с
фокусным расстоянием 12 см?
3. Доказать, что оптическая сила системы сложенных вместе тонких линз
равна алгебраической сумме оптических сил каждой из этих линз.
4. У линзы находящейся в воздухе фокусное расстояние равно 5 см, а
погруженной в раствор сахара 35 см. Определить показатель преломления
раствора сахара.
5. Определить оптическую силу выпукло-вогнутой линзы с радиусами
кривизны 1 м и 40 см, изготовленной из стекла с показателем
преломления 1,5.
6. Определить радиусы кривизны выпукло-вогнутой линзы, если известно,
что один из них в три раза больше другого, а оптическая сила линза равна
8 дптр.
7. Два плоских зеркала образуют двугранный угол   179 . На расстоянии
 10 см от линии соприкосновения зеркал и на одинаковом расстоянии
от каждого зеркала находится точечный источник света. Определить
расстояние между мнимыми изображениями источника в зеркалах.
8. Пучок параллельных лучей падает на толстую стеклянную пластинку под
углом 60 , и, преломляясь, переходит в стекло. Ширина пучка в воздухе
равна 10 см. Определить ширину пучка в стекле, если показатель
преломления стекла равен 1,5.
9. Луч света переходит из среды с показателем преломления n 1 в среду с
показателем n 2 . Показать, что если отраженный и преломленный лучи
n
взаимно перпендикулярны, то выполняется условие tg  2 , где  - угол
n1
падения луча.
10. Отношение радиусов кривизны поверхностей линзы равно 2. Определить
радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, если оптическая сила
линзы равна 10 дптр.
11. Определить радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, если при
отношении радиусов кривизны поверхностей линзы, равном 3, ее
оптическая сила равна – 8 дптр.
12. Линза изготовлена из стекла, показатель преломления которого для
красных лучей 1,50, а для фиолетовых 1,52. Радиусы кривизны
поверхностей линзы одинаковы и равны 1 м. Определить разность
фокусных расстояний линзы для красных и фиолетовых лучей.
13. Фокусное расстояние собирающей линзы в воздухе равно 10 см.
Определить чему оно будет равно в воде, если показатель преломления
стекла равен 1,5, а воды 1,33.
14. Человек без очков читает книгу, располагая ее на расстоянии 12,5 см от
глаза. Какой оптической силы очки ему надо носить?
3.5.Задачи раздела Интерференция света
15. В опыте Юнга расстояние между щелями равно 0,8 мм. На каком
расстоянии от щелей надо поместить экран, чтобы ширина
интерференционной полосы была равна 2 мм?
16. На мыльную пленку  n  1,3 , находящуюся в воздухе, нормально падает
пучок белого света. При какой наименьшей толщине пленки отраженный
свет с длиной волны 0,55 мкм будет максимально ослаблен в результате
интерференции?
17. На тонкую пленку в направлении нормали к ее поверхности падает
монохроматический свет с длиной волны 500 нм. Отраженный свет
максимально
усилен
вследствие
интерференции.
Определить
минимальную толщину пленки, если показатель преломления равен 1,4.
18. Радиус четвертого темного кольца Ньютона в отраженном свете равен 2
мм. Определить радиус кривизны линзы, если длина волны 500 нм.
19. На тонкий стеклянный клин падает нормально пучок лучей с длиной
волны 500 нм. Расстояние между соседними темными полосами в
отраженном свете равно 0,5 мм. Определить угол между поверхностями
клина, если показатель преломления стекла 1,5.
20. На тонкую мыльную пленку с показателем преломления 1,33 под углом
30 падает свет с длиной волны 0,6 мкм. Определить угол между
поверхностями пленки, если расстояние между интерференционными
полосами в отраженном свете равно 4 мм.
21. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мнимыми
изображениями источника света равно 0,5 мм, а расстояние от них до
экрана равно 3 м. В желтом свете ширина интерференционных полос
равна 3 мм. Определить длину волны желтого цвета.
22. Расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона
в отраженном свете равно 9 мм. Радиус кривизны линзы 15 м. Определить
длину волны света, падающего на установку.
23. На каком расстоянии от центрального максимума находится третья
темная полоса в опыте Юнга, если расстояние между щелями равно 1,5
мм, расстояние до экрана равно 3 м? Щели освещаются красным светом с
длиной волны 0,7 мкм.
24. На поверхность линзы с показателем преломления 1,5 нанесена тонкая
пленка с показателем преломления 1,2. При какой наименьшей толщине
пленки произойдет максимальное усиление отраженных лучей с длиной
волны
0,4 мкм?
25. В опыте Юнга расстояние между щелями равно 1 мм, а расстояние от
щелей до экрана равно 3 м. Определить положение первой светлой
полосы, если щели осветить светом с длиной волны 0,5 мкм.
26. На стеклянный клин с показателем преломления 1,5 нормально падает
монохроматический свет. Угол клина 4 . Определить длину световой
волны, если расстояние между двумя соседними интерференционными
максимума в отраженном свете равно 0,2 мм
27. На линзу с показателем преломления 1,58 нормально падает
монохроматический свет с длиной волны 0,55 мкм. На линзу наносится
тонкая пленка с показателем преломления 1,26. При какой минимальной
толщине пленки отраженные лучи будут иметь наименьшую яркость?
28. Расстояние от щелей до экрана в опыте Юнга равно 1 м. Определить
расстояние между щелями, если на отрезке длиной 1 см укладывается 10
темных интерференционных полос. Длина волны 0,7 мкм.
3.6.Задачи раздела Дифракция света
29.На дифракционную решетку нормально падает белый свет. На какую
длину волны в спектре третьего порядка накладывается красная линия
   670 нм  в спектре второго порядка?
30. Какова постоянная дифракционной решетки, если максимум первого
порядка для света с длиной волны 546 нм наблюдается под углом 19 ?
31. Найти наибольший порядок максимума для света с длиной волны 589 нм,
если постоянная дифракционной решетки равна 2 мкм.
32. На узкую щель шириной 0,05 мм падает нормально свет с длиной волны
694 нм. Под каким углом будет наблюдаться второй дифракционный
максимум?
33. Посередине между источником света и экраном находится диафрагма с
круглым отверстием. Определить радиус отверстия, при котором центр
дифракционной картины является наиболее темным, если расстояние
между источником и экраном равно 1 м, а длина волны 500 нм.
34. Точечный источник света с длиной волны 0,5 мкм расположен на
расстоянии 1 м от круглого отверстия радиусом 1 мм. На каком
расстоянии от отверстия находится экран, если открыты только первые
три зоны Френеля?
35. На диафрагму с круглым отверстием радиусом 1,4 мм падает плоская
волна    0,7 мкм  . На каком минимальном расстоянии от отверстия
должен находиться экран, чтобы в центре дифракционной картины
наблюдалось наиболее темное пятно?
36. На диафрагму с круглым отверстием радиусом 1,4 мм падает плоская
волна    0,7 мкм  . На каком минимальном расстоянии от отверстия
должен находиться экран, чтобы в центре дифракционной картины
наблюдалось наиболее светлое пятно?
37. Дифракционная
решетка
освещена
нормально
падающим
монохроматическим светом. В дифракционной картине максимум второго
порядка отклонен на угол 14 . На какой угол отклонен максимум
третьего порядка?
38. При освещении дифракционной решетки белым светом спектры второго
и третьего порядка частично перекрывают друг друга. На какую длину
волны в спектре второго порядка накладывается фиолетовая    0,4 мкм 
спектра третьего порядка?
39. На дифракционную решетку содержащую 500 штрихов на 1 мм,
нормально падает белый свет   ф  0,4 мкм,  к  0,78 мкм  . Определить
ширину спектра первого порядка на экране удаленном на 3 м от решетки.
40. Определить число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если углу в
30 соответствует максимум четвертого порядка для света с длиной
волны 0,5 мкм.
41. На щель шириной 0,1 мм нормально падает свет с длиной волны 0,6 мкм.
Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположен на
расстоянии 1 м от нее. Определить расстояние между первыми
дифракционными максимума, расположенными по обе стороны от
центрального максимума.
42. На щель шириной 0,1 мм нормально падает свет с длиной волны 0,6 мкм.
Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположен на
расстоянии 1 м от нее. Определить расстояние между первыми
дифракционными максимума, расположенными по обе стороны от
центрального максимума.
3.7.Задачи раздела Поляризация света
43. Пучок света, идущий в воздухе, падает на поверхность жидкости под
углом 54 . Определить угол преломления лучей, если отраженный луч
полностью поляризован.
44. Пучок естественного света падает на стекло с показателем преломления
равном 1,73. Определить, при каком угле преломления отраженный от
стекла пучок света будет полностью поляризован.
45. Естественный свет проходит через поляризатор и анализатор,
поставленные так, что угол между их главными плоскостями равен  . Как
анализатор, так и поляризатор поглощают и отражают по 8% падающего
на них света. Оказалось, что интенсивность света, вышедшего из
анализатора равна 9% интенсивности естественного света, падающего на
поляризатор. Найти угол  .
46. Угол  между плоскостями пропускания николей равен 45 . Во сколько
раз уменьшится интенсивность света, выходящего из анализатора, если
этот угол увеличить до 60 ?
47. Определить во сколько раз ослабится интенсивность света, прошедшего
два николя, расположенные так, что угол между их главными
плоскостями равен 60 , а в каждом николе теряется 8% интенсивности
падающего света.
48. Угол между главными плоскостями двух николей равен 60 .
Естественный свет, проходя такую систему, ослабляется в 16 раз.
Пренебрегая потерей света при отражении, определить коэффициент
поглощения света в николях.
49. Пластинка кварца толщиной 2мм помещена между двумя скрещенными
николями. Пренебрегая потерями света в николях, определить, во сколько
раз уменьшится интенсивность света, прошедшего эту систему? Удельное
вращение кварца 15 град мм .
50. Плоско поляризованный свет, прошедший через поляроид, оказывается
полностью погашенным. Если же на пути света поместить кварцевую
пластинку, то интенсивность света, прошедшего через поляроид,
уменьшается в 3 раза. Определить минимальную толщину кварцевой
пластинки.
51. Пластинка кварца толщиной 2 мм поворачивает плоскость поляризации
света на угол 53 . Какой толщины пластинку надо взять, чтобы повернуть
плоскость поляризации на угол 180 ?
52. Раствор глюкозы с концентрацией 280 кг м3 содержащийся в стеклянной
трубке, поворачивает плоскость поляризации света на угол 32 .
Определить концентрацию глюкозы в другом растворе, налитом в трубку
такой же длины, если он поворачивает плоскость поляризации на угол
24 .
53. При прохождении света через трубку длиной 20 см, содержащую десяти
процентный раствор сахара, плоскость поляризации поворачивается на
угол 13,3 . В другом растворе сахара, налитом в трубку длиной 15 см
плоскость поляризации поворачивается на угол 5,2 . Определить
концентрацию второго раствора.
54. Определить угол полной поляризации для стекла, показатель
преломления которого равен 1,57.
55. Предельный угол полного отражения для некоторого вещества равен 45 .
Чему равен для этого вещества угол полной поляризации?
56. Доказать, что при падении света на границу раздела двух прозрачных
сред под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно
перпендикулярны.
3.7.Задачи раздела Поляризация света
57. Пучок света, идущий в воздухе, падает на поверхность жидкости под
углом 54 . Определить угол преломления лучей, если отраженный луч
полностью поляризован.
58. Пучок естественного света падает на стекло с показателем преломления
равном 1,73. Определить, при каком угле преломления отраженный от
стекла пучок света будет полностью поляризован.
59. Естественный свет проходит через поляризатор и анализатор,
поставленные так, что угол между их главными плоскостями равен  . Как
анализатор, так и поляризатор поглощают и отражают по 8% падающего
на них света. Оказалось, что интенсивность света, вышедшего из
анализатора равна 9% интенсивности естественного света, падающего на
поляризатор. Найти угол  .
60. Угол  между плоскостями пропускания николей равен 45 . Во сколько
раз уменьшится интенсивность света, выходящего из анализатора, если
этот угол увеличить до 60 ?
61. Определить во сколько раз ослабится интенсивность света, прошедшего
два николя, расположенные так, что угол между их главными
плоскостями равен 60 , а в каждом николе теряется 8% интенсивности
падающего света.
62. Угол между главными плоскостями двух николей равен 60 .
Естественный свет, проходя такую систему, ослабляется в 16 раз.
Пренебрегая потерей света при отражении, определить коэффициент
поглощения света в николях.
63. Пластинка кварца толщиной 2мм помещена между двумя скрещенными
николями. Пренебрегая потерями света в николях, определить, во сколько
раз уменьшится интенсивность света, прошедшего эту систему? Удельное
вращение кварца 15 град мм .
64. Плоско поляризованный свет, прошедший через поляроид, оказывается
полностью погашенным. Если же на пути света поместить кварцевую
пластинку, то интенсивность света, прошедшего через поляроид,
уменьшается в 3 раза. Определить минимальную толщину кварцевой
пластинки.
65. Пластинка кварца толщиной 2 мм поворачивает плоскость поляризации
света на угол 53 . Какой толщины пластинку надо взять, чтобы повернуть
плоскость поляризации на угол 180 ?
66. Раствор глюкозы с концентрацией 280 кг м3 содержащийся в стеклянной
трубке, поворачивает плоскость поляризации света на угол 32 .
Определить концентрацию глюкозы в другом растворе, налитом в трубку
такой же длины, если он поворачивает плоскость поляризации на угол
24 .
67. При прохождении света через трубку длиной 20 см, содержащую десяти
процентный раствор сахара, плоскость поляризации поворачивается на
угол 13,3 . В другом растворе сахара, налитом в трубку длиной 15 см
плоскость поляризации поворачивается на угол 5,2 . Определить
концентрацию второго раствора.
68. Определить угол полной поляризации для стекла, показатель
преломления которого равен 1,57.
69. Предельный угол полного отражения для некоторого вещества равен 45 .
Чему равен для этого вещества угол полной поляризации?
70. Доказать, что при падении света на границу раздела двух прозрачных
сред под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно
перпендикулярны.