Урок1. Четырехугольники: параллелограмм (частные случаи), трапеция 1. Прямоугольник и его свойства Напомним, что параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Рис. 1). Рис. 1 Рассмотрим частные случаи параллелограмма: 1. 2). Прямоугольник. Параллелограмм, один из углов которого равен Поскольку один угол данного параллелограмма равен что все углы прямоугольника составляют (см. Рис. , можем сделать вывод, . Рис. 2 Определение Прямоугольником называется параллелограмм, у которого хотя бы один угол равен Итак, если хотя бы один угол параллелограмма равен , то это прямоугольник. Одного угла достаточно в силу свойств параллелограмма, согласно которым противоположные углы параллелограмма равны, а сумма углов при одной стороне составляет . Все свойства параллелограмма присущи прямоугольникам: - противоположные стороны равны; - противоположные углы равны; - диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам; Собственные свойства прямоугольника: - диагонали прямоугольника равны – АС = BD. Если в параллелограмме диагонали равны, то данный параллелограмм является прямоугольником. Чтобы доказать данный факт, нужно доказать, что хотя бы один угол заданного параллелограмма прямой. 2. Ромб и его свойства 2. Ромб. Параллелограмм, у которого соседние стороны равны (см. Рис. 3). Чтобы нарисовать ромб, нужно провести две взаимно перпендикулярных прямых, отложить на одной из них в обе стороны равные отрезки, на другой также отложить в обе стороны равные отрезки, и соединить полученные четыре точки. Рис. 3 Определение Ромбом называется параллелограмм, у которого соседние стороны равны. Ромбу, как и прямоугольнику, присущи все свойства параллелограмма: - все стороны ромба равны по определению; - диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам; - противоположные углы ромба равны. Докажем, что диагонали ромба перпендикулярны. Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, АВ = ВС, точка О – середина основания АС, т.к. диагонали ромба, как любого параллелограмма, точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, ВО – медиана. Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой, таким образом, . Мы доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба. Признак ромба Если все стороны четырехугольника равны, то данный четырехугольник – ромб. 3. Квадрат и его свойства 3. Квадрат (см. Рис. 4) ABCD – параллелограмм. Хотя бы один угол равен пара соседних сторон равна друг другу – АВ = ВС. – . Хотя бы одна Рис. 4 Если четырехугольник является квадратом, это означает, что у него все стороны равны (как у ромба), а все углы прямые (как у прямоугольника). Таким образом, квадрат – это частный случай ромба, у которого все углы прямые, и частный случай прямоугольника, у которого соседние стороны равны. Для квадрата справедливы все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. 4. Трапеция, виды трапеции Рассмотрим еще один четырехугольник – трапецию. Определение Трапеция – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны (см. Рис. 5). AD||BC, AB || CD. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные – боковыми сторонами. Как и у любого четырехугольника, у трапеции есть диагонали АС и BD. Рис. 5 Частные случаи трапеции: - Если боковые стороны трапеции равны друг другу, то она называется равнобедренной или равнобочной; - Трапеция, у которой хотя бы один из углов прямой, называется прямоугольной. Пусть заданы пересекающиеся прямые m и n (см. Рис. 6). Точка пересечения – О. Отложим на прямой m от точки О равные отрезки длиной а, получим точки А1, А2, А3 в одну сторону и А4, А5 в другую сторону. Через полученные точки проведем параллельные прямые. Получили точки пересечения построенных параллельных прямых с прямой n: B1, B2, B3, Рис. 6 B4, B5. Оказывается, что из равенства отрезков на прямой а вытекает равенство отрезков на прямой n – на другой стороне угла . 5. Теорема Фалеса, формулировка и пример Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые так, чтобы они пересекли вторую сторону угла, то на второй стороне угла получатся также равные отрезки. Пример: рассечь отрезок на три равные части (см. Рис. 7). Задан отрезок АВ, требуется разделить его на три равные части. Из точки А отложим на горизонтальной прямой три отрезка длиной а, получаем точку К. Соединим точки В и К. Через концы отложенных отрезков проводим прямые, параллельные ВК. По теореме Фалеса, мы получили равные отрезки длиной b на стороне АВ. Рис. 7 Итак, на данном уроке мы рассмотрели частные случаи параллелограмма, а именно ромб, прямоугольник и квадрат, и их свойства. Кроме того, мы рассмотрели трапецию и ее частные случаи, вспомнили теорему Фалеса и выполнили пример. Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет 1. Terver.ru (Источник). 2. Terver.ru (Источник). 3. Fmclass.ru (Источник). Домашнее задание 1. Задание 1: диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Найдите углы 2. треугольника , если АВ = BD. Задание 2: прямые, содержащие боковые стороны трапеции ABCD с основанием AD, пересекаются в точке М. Найдите угол если 3. углы , . Задание 3: докажите, что если в параллелограмме ABCD равны, то он является прямоугольником.