Типовой расчёт по линейной алгебре (примеры решения некоторых задач) 1. Даны три вершины треугольника ABC: А (6; 0), B(8; 10), C(14; 8). Найти уравнение и длину проведённой из вершины В: а) медианы; б) высоты. 1.1. Уравнение и длина медианы, проведённой из вершины В Напомним, что медиана, проведённая из вершины В, делит противоположную сторону AC треугольника (к примеру, точкой М) на две равные части. Это значит, что и проекции точки M на оси OX и OY будут соответственно вычисляться как C y Ay 8 0 C x Ax 14 6 10. My 4. 2 2 2 2 Отсюда вектор BM {M x B x ; M y B y } {10 8; 4 10} {2; 6}. Mx Уравнение прямой, проходящей через две точки, записывается как x x1 y y1 x 2 x1 y 2 y1 Значит, уравнение медианы у нас запишется как y By x Bx или M x Bx M y B y x 8 y 10 . 10 8 4 10 То есть 6( x 8) 2( y 10) или 3x y 38 0. Длина медианы BM ( Bx M x ) 2 ( B y M y ) 2 (8 10) 2 (10 4) 2 40 1.2. Уравнение и длина высоты, проведённой из вершины В Высота треугольника ABC, проведённая из точки B, опускается на сторону AC под прямым углом. Поэтому решение может состоять в том, что мы определяем уравнение проходящей через точки А и С прямой, затем – уравнение нормали (перпендикуляра) к АС, проводим её через точку B и определяем точку H пересечения высоты и отрезка AC, откуда найдём остальные искомые данные. Уравнение высоты, проходящей через вершину B: y By x Bx С y Ay Ax C x или y 10 8 x или y 18 x . Длина высоты BH x 8 y 10 8 0 6 14 или x 8 y 10 8 8 или 2S , где S – площадь треугольника ABC. AC 1 1 ( B x Ax )(C y Ay ) (C x Ay )( B y Ay ) (8 6)(8 0) (14 6)(10 0) 2 2 1 1 2 8 8 10 64 32. 2 2 S AC ( Ax C x ) 2 ( Ay C y ) 2 (6 14) 2 (0 8) 2 82 82 2 64 8 2 . Длина высоты из точки B BH 2S 2 32 8 . AC 8 2 2