Дополнительные главы функционального анализа

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«Дополнительные главы функционального анализа»
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Федеральный ГОС ВО
Санкт-Петербург
2015
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью преподавания данной дисциплины является подготовка высококвалифицированных
специалистов в области математического анализа. В курсе особое внимание
уделяется изучению основных методов функционального анализа и применению их
на практике.
Задачей дисциплины является изучение основных методов функционального анализа, а
также приложений функционального анализа к другим областям математического
анализа. После освоения курса аспиранты должны свободно уметь применять
методы функционального анализа в теории обобщённых функций, а также овладеть
основами спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых ориентировано
изучение дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа»
Код
ОПК-1
ПК-1
ПК-3
Результат обучения (компетенция) аспиранта
способностью
самостоятельно
осуществлять
научно-исследовательскую
деятельность в соответствующей профессиональной области с использованием
современных методов исследования и информационно-коммуникационных
технологий
готовность применять методы функционального анализа в задачах математики,
механики и математической физики
готовность применять аппарат и методы теории операторов в математических и
физических задачах
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа» и ее вклад в
формирование результатов обучения (компетенций) :
 знание основных методов функционального анализа;
 знания о возможностях применения методов функционального анализа к
пространствам, которые обладают дополнительными свойствами или
структурой и возникающих при решении различных задач в
математическом анализе и математической физике;
 знания о спектральной теории операторов;
 умение ориентироваться в научной литературе, отечественной и
зарубежной, критически оценивать методы для решения задач;
 умение
представить
полученные
результаты,
подтвердить
их
достоверность, представить полученные результаты устно;
 способность на основе целостного, системного научного мировоззрения
формулировать научные идеи, предлагать пути и методы реализации этих
идей с привлечение философских и мировоззренческих знаний.
По окончании изучения дисциплины аспиранты должны владеть:
 знаниями о фундаментальных понятиях и теоремах функционального анализа
(теоремы о неподвижных точках, теоремы об открытом отображении и замкнутом
графике);
 знаниями о специальных свойствах пространств и операторов, возникающих в
функциональном анализе;
 навыками применения методов функционального анализа при решении задач
математического анализа и математической физики;
 навыками изложения и обсуждения собственных результатов в виде научной статьи.
Результаты изучения дисциплины используются в ходе изучения таких дисциплин как
«Целые функции», «Теория интерполяции линейных операторов», «Теория пространств
Харди», «Гармонический анализ в евклидовых пространствах», «Теория функциональных
моделей сжатий в гильбертовых пространствах», научно-исследовательской работы, при
прохождении педагогической практики и при подготовке выпускной квалификационной
работы аспиранта.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА
АСПИРАНТУРЫ
Дисциплина "Дополнительные главы функционального анализа" изучается в
четвертом семестре 2 курса аспирантуры. Изучение дисциплины опирается на знания в
области математики, математического и функционального анализа, философии,
специальных дисциплин направления подготовки 01.01.01, освоенных аспирантами на
предшествующих этапах обучения.
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО
ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ КОНТРОЛЯ
3.1. Виды учебной работы и формы контроля
Трудоемкость
4 сем.
Виды учебной работы
Лекции
Самостоятельная работа
Экзамен (подготовка, сдача)
Общая трудоемкость освоения
дисциплины
а.ч./нед
2
10
а.ч./сем.
18
90
Итого
а.ч.
18
90
1
108
3
В академических часах а.ч.
В зачетных единицах ЗЕ
3.2. Разделы дисциплины и виды учебной работы
Разделы дисциплины
К-во
часов
1
Теоремы о неподвижных точках.
9
2
Преобразование Фурье и дифференциальные уравнения.
11
3
Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике.
10
4
5
Принцип ограниченности.
10
Компактные операторы в различных смыслах.
9
6
Теорема Крейна-Мильмана и её приложения.
11
7
Банаховы алгебры.
11
8
Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве.
11
9
Аналитическая теория полугрупп.
26
ВСЕГО
108
4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ
Разделы дисциплины
Содержание разделов дисциплины
1
Теоремы о неподвижных
точках.
Теорема Маркова-Какутани. Обобщение теоремы
Хана-Банаха. Теорема Шаудера-Тихонова.
2
Преобразование Фурье и
дифференциальные
уравнения.
Теорема Пэли-Винера. Операторное исчисление
Микусинского. Сходимость. Неравенство
Гординга. Теорем Фридрихса. Фундаментальное
решение. Теорема Мальгранжа-Эренпрейса.
Теоремы об открытом
отображении и замкнутом
графике.
Бочечные пространства. Инфрабочесные и
ультрабочечные пространства. Индуктивные
пределы. Теоремы о замкнутом графике. Теоремы
об открытом отображении.
3
4
Принцип ограниченности.
5
Компактные операторы в
различных смыслах.
6
Теорема КрейнаМильмана и её
приложения.
Принцип ограниченности для бочечных и
ультрабочечных пространств. Борнологические
пространства. Секвенциально полные и
квазиполные пространства.
Теорема о слабо компактных линейных
отображениях. Условия Данфорда-Петтиса и
Дьедоне. Интегральные операторы и ядерные
представления. Спектральная теория компактных
операторов.
Крайние точки. Замыкание выпуклой оболочки
крайних точек. Приложение к теореме
Бернштейна. Приложение к теореме Бохнера.
Функциональное исчисление. Положительные
функционалы. Групповая алгебра и локально
компактные группы, мера Хаара. Представления.
7
Банаховы алгебры.
Теорема Петера-Вейля. C*-алгебры и их
представления. W*-алгебры. Факторы фон
Неймана
Неограниченные операторы в гильбертовом
пространстве.
8
9
Неограниченные
операторы в гильбертовом
пространстве.
Аналитическая теория
полугрупп.
Неограниченные операторы. Замыкание
неограниченного оператора. Оператор,
сопряжённый с неограниченным оператором.
Преобразование Кэли. Спектральная теорема.
Полугруппы операторов.
Равностепенно непрерывные полугруппы в
локально выпуклых пространствах.
Инфинитезимальный производящий оператор.
Резольвента инфинитезимального производящего
оператора. Сжимающие полугруппы и
диссипативные операторы. Голоморфные
полугруппы.
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В преподавании дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа»
используются преимущественно традиционные образовательные технологии:
- лекции;
- самостоятельная работа аспирантов направлена на подготовку к практическим
занятиям и включает различные интернет-технологии.
- в преподавании курса следует применять современные технологии, такие как
проблемное обучение, междисциплинарное обучение.
Сообщение, сделанное аспирантом, можно рассматривать и как решение
теоретической проблемы и как самостоятельную работу.
5.
7. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
7.1. Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины
«Дополнительные главы функционального анализа» и её вклад в формирование
результатов обучения (компетенций) выпускника следует считать приобретение им:
 знаний о понятиях и методах функционального анализа;
 навыках применения теорем и методов (теоремы об открытом отображении,
теоремы о замкнутом графике, теоремы о неподвижной точке) при решении
различных задач математического и функционального анализа, теории функций
и математической физики;
 знаний о специальных свойствах и структурах пространств, возникающих в
функциональном анализе;
 знаний о понятиях и методах спектральной теории операторов и применении их
при изучении свойств операторов в функциональном анализе.
7.2. Оценочные средства
Оценка успешности освоения аспирантом дисциплины «Дополнительные
главы функционального анализа» включает посещение лекций, самостоятельную
подготовку отдельных разделов курса, успешную сдачу экзамена.
8.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
8.1. Рекомендованная литература
1. Р. Эдвардс, Функциональный анализ, Москва, 1969.
2. У. Рудин, Функциональный анализ, Москва, 1975.
3. К. Иосида, Функциональный анализ, Москва, 1967
4. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики. Функциональный
анализ, т. 1, Москва, 1977.
Дополнительная литература
1. М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк, Спектральная теория самосопряжённых операторов в
гильбертовом пространстве, Ленинград, 1980
Электронные и интернет-ресурсы:
http://www.oxfordjournals.org
http://www.springerlink.com
http://www.sciencedirect.com/science
9. МАТЕРИАЛЬНО - ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория математических проблем геофизики ПОМИ РАН, оснащенная необходимой
техникой, оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
Фонд оценочных средств
«Дополнительные главы функционального анализа»
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Санкт-Петербург
2015
1.ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью преподавания данной дисциплины является подготовка высококвалифицированных
специалистов в области математического анализа. В курсе особое внимание
уделяется изучению основных методов функционального анализа и применению их
на практике.
Задачей дисциплины является изучение основных методов функционального анализа, а
также приложений функционального анализа к другим областям математического
анализа. После освоения курса аспиранты должны свободно уметь применять
методы функционального анализа в теории обобщённых функций, а также овладеть
основами спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых ориентировано
изучение дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа»
Код
ОПК-1
ПК-1
ПК-3
Результат обучения (компетенция) аспиранта
способностью
самостоятельно
осуществлять
научно-исследовательскую
деятельность в соответствующей профессиональной области с использованием
современных методов исследования и информационно-коммуникационных
технологий
готовность применять методы функционального анализа в задачах математики,
механики и математической физики
готовность применять аппарат и методы теории операторов в математических и
физических задачах
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Дополнительные главы функционального анализа» и ее вклад в
формирование результатов обучения (компетенций) :
 знание основных методов функционального анализа;
 знания о возможностях применения методов функционального анализа к
пространствам, которые обладают дополнительными свойствами или
структурой и возникающих при решении различных задач в
математическом анализе и математической физике;
 знания о спектральной теории операторов;
 умение ориентироваться в научной литературе, отечественной и
зарубежной, критически оценивать методы для решения задач;
 умение
представить
полученные
результаты,
подтвердить
их
достоверность, представить полученные результаты устно;
 способность на основе целостного, системного научного мировоззрения
формулировать научные идеи, предлагать пути и методы реализации этих
идей с привлечение философских и мировоззренческих знаний.
По окончании изучения дисциплины аспиранты должны владеть:
 знаниями о фундаментальных понятиях и теоремах функционального анализа
(теоремы о неподвижных точках, теоремы об открытом отображении и замкнутом
графике);
 знаниями о специальных свойствах пространств и операторов, возникающих в
функциональном анализе;
 навыками применения методов функционального анализа при решении задач
математического анализа и математической физики;
 навыками изложения и обсуждения собственных результатов в виде научной статьи.
Результаты изучения дисциплины используются в ходе изучения таких дисциплин как
«Целые функции», «Теория интерполяции линейных операторов», «Теория пространств
Харди», «Гармонический анализ в евклидовых пространствах», «Теория функциональных
моделей сжатий в гильбертовых пространствах», научно-исследовательской работы, при
прохождении педагогической практики и при подготовке выпускной квалификационной
работы аспиранта.
2. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
2.1. Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины
«Дополнительные главы функционального анализа» и её вклад в формирование
результатов обучения (компетенций) выпускника следует считать приобретение им:
 знаний о понятиях и методах функционального анализа;
 навыках применения теорем и методов (теоремы об открытом отображении,
теоремы о замкнутом графике, теоремы о неподвижной точке) при решении
различных задач математического и функционального анализа, теории функций
и математической физики;
 знаний о специальных свойствах и структурах пространств, возникающих в
функциональном анализе;
 знаний о понятиях и методах спектральной теории операторов и применении их
при изучении свойств операторов в функциональном анализе.
2.2. Оценочные средства
Аттестация проводится в форме экзамена.
Вопросы экзамена:
1)Теорема Маркова-Какутани.
2) Обобщение теоремы Хана-Банаха об возможности продолжения линейных форм,
инвариантных относительно семейства автоморфизмов.
3) Гильбертов куб, свойство неподвижной точки для Гильбертова куба. Теорема ШаудераТихонова.
4) Преобразование Фурье быстро и медленно растущих функций. Преобразование Фурье
обобщенных функций. Теоремы Планшереля и Парсеваля. Преобразование Фурье свертки
обобщенных функций.
5) Теорема Пэли-Винера.
5) Операторное исчисление Микусинского. Операция, обратная свертке, оператор
интегрирования, скалярный оператор, оператор дифференцирования. Приложение к
интегрированию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
6) Неравенство Гординга.
7) Фундаментальное (обобщенное) решение для сильно эллиптического оператора. Теорема
Фридрихса.
8) Теорема Мальгранжа-Эренпрейса.
9) Бочечные пространства, инфрабочечные и ультрабочечные пространства. Определения и
основные свойства.
11) Индуктивные пределы пространств, индуктивная топология. Примеры: пространство
пробных функций в теории распределений, пространства функций, голоморфных на
нектором замкнутом множестве. Индуктивные пределы бочечных пространств.
12) Теоремы об открытом отображении. Теорема об обратном операторе. Приложения к
дифференциальным уравнениям, коэффициентам Фурье
13) Теоремы о замкнутом графике. Приложения к топологическим базисам.
14) Теорема Банаха-Штейнгауза (принцип ограниченности) для бочечных и ультрабочечных
пространств. Приложения для коэффициентов Фурьев суммируемых функций и к теории
суммирования.
15) Борнологические пространства. Индуктивный предел и факторпространства
борнологических простанств.
16) Секвенциально полные и квазиполные пространства.
17) Определение и некоторые простейшие свойства компактных линейных отображений.
Множества компактных и предкомпактных линейных отображений.
18) Теорема о слабо компактных линейных отображениях.
19) Условие Данфорда-Петтиса, общие свойства.
20) Теорема Гротендика о сильном условии Данфорда-Петтиса для пространств
непрерывных и интегрируемых функций. Пространства, для которых верно условие
Данфорда-Петтиса.
20) Условие Дьедоне, свойства. Теорема Гротендика об условии Дьедоне для пространств
непрерывных функций.
20) Интегральные операторы, достаточные условия непрерывности для пространств L^p.
Достаточные условия для компактности. Теорема Банаха, теорема Канторовича.
21) Ядерное представление линейных отображений пространств непрерывных функций.
Критерии компактности и слабой компактности линейных отображений пространств
непрерывных функций.
21) Спектр компактного эндоморфизма. Альтернатива Фредгольма.
22) Спектральная теория компактных эндоморфизмов гильбертова пространства. Свойства
спектра компактного самосопряженного эндоморфизма.
23) Крайние точки. Замыкание выпуклой оболочки крайних точек. Теорема КрейнаМильмана.
24) Приложение к теореме Бернштейна.
25) Приложение к теореме Бохнера.
26) Функциональное исчисление. Инегрирование функций со значениями в банаховых
алгебрах.
27) Функциональное исчисление для коммутативных и некоммутативных банаховых алгебр.
Производная Фреше. Разделенные разности.
28) Свойства производных. Теорема об обратной функции. Экспоненциальная функция.
29) Положительные функционалы. Определение и простейшие свойства. Крайние точки
выпуклых множеств положительных функционалов.
30) Групповая алгебра и локально компактные группы. Мера Хаара, посторение и основные
свойства.
31) Предсталения.
32) Теорема Петера-Вейля.
33) C*-алгебры и их представления.
34) W*-алгебры, свойства, представления.
35) Факторы фон Неймана.
36) Неограниченные операторы. График оператора. Симметрические операторы.
Самосопряженные операторы.
37) Замыкание неограниченного оператора.
38) Оператор, сопряжённые с неограниченным оператором.
39) Преобразование Кэли. Свойства преобразования Кэли симметрического оператора.
Индекс деффекта.
40) Спектральная теорема для самосопряженных операторов. Приложения к построению
квадратного корня из самосопряженного оператора.
41) Нормальные операторы. Спектральная теорема для нормальных операотров.
42) Полугруппы операторов.
43) Равностепенно непрерывные полугруппы в локально выпуклых пространствах. Примеры
полугрупп.
44) Инфинитезимальный производящий оператор.
45) Резольвента инфинитезимального производящего оператора.
46) Сжимающие полугруппы и диссипативные операторы. Теорема Филлипса и Люмера.
47) Голоморфные полугруппы. Эквивалентность трех условий.