1 V Ашинский районный конкурс реферативно

V Ашинский районный конкурс
реферативно-исследовательских работ
Признаки равенства треугольников
Направление: математика
Работу выполнили:
Шилов Егор
Рокутов Степан
Вердяков Дмитрий
учащиеся 7 Б класса
МКОУ СОШ № 3 г.Аши
Научный руководитель:
Николаева Е.В.
учитель математики
МКОУ СОШ № 3 г.Аши
Аша - 2015
2
Содержание работы:
Введение ………………………………………………………………………… 3
Признаки равенства треугольников……………………………………………. 3
Вывод……………………………………………………………………… …. .. 10
Список литературы………………………………………………………… … 11
3
Введение.
В 7 классе мы стали изучать новый предмет геометрия и ее раздел
планиметрия. Треугольник – одна из основных фигур в планиметрии. При
решении задач используют его самые разнообразные свойства. Одно из
важнейших свойств для пары треугольников, устанавливать их равенство. В
школьном курсе изучается только 3 признака равенства треугольников,
которые позволяют решать определённый тип задач. Мы решили расширить
теоретическую базу по признакам равенства треугольников, добавив к
сторонам и углам такие элементы как биссектриса, медиана и высота, тем
самым расширить круг решаемых задач.
Таким образом, объект нашего исследования - это признаки равенства
треугольников.
Предмет исследования – это треугольник с медианами, биссектрисами
и высотами.
Цели исследования:
Изучить признаки равенства треугольников, сформулировать новые признаки
равенства треугольников, используя медианы, биссектрисы и высоты.
Задачи исследования:
1. Изучить литературу по исследуемой теме.
2. Создать банк признаков равенства треугольников.
Признаки равенства треугольников.
Треугольник – это одна из основных фигур в геометрии. Знакомый
всем треугольник по праву считается простейшей из плоских фигур: любая
плоская, т.е. простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать
хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки
попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет
называться треугольником. Так же называют и заключённую внутри
образовавшегося контура часть плоскости.
В рассмотренных нами энциклопедиях и справочниках, мы
нашли
лишь 3 признака равенства треугольников. В учебнике седьмого класса так
4
же предложены к изучению только 3 признака. Но в учебнике есть задачи,
требующие доказать равенство треугольников если равны биссектрисы,
медианы и высоты.
Признаки равенства треугольников.
Начнём с определения. Треугольники ABC и A1B1C1 называются
равными, если их можно совместить наложением, то есть если они имеют
соответственно равные стороны и углы: АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = А1С1,
А = А1, В = В1, С = С1,.
В
В1
А
С
А1
С1
Перечислим признаки равенства треугольников, которые мы изучили
в седьмом классе:
1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника
соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.
2) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника
соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
3) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Треугольник состоит из шести элементов. Из трёх углов и трёх сторон.
Изучив признаки равенства треугольников, у нас возник вопрос:
«Какое наименьшее количество элементов треугольника нужно взять для
установления равенства двух треугольников?»
Мы не сможем установить равенство двух треугольников по одному
элементу, потому что неизвестно: «Будут ли равны остальные элементы?»
5
В
В1
А
С
А1
С1
АС = А1С1
Так же невозможно установить равенство двух треугольников,
используя два элемента по причине нехватки информации для установления
равенства. Мы проверили это опытным путем, вырезая треугольники из
бумаги и накладывая их друг на друга.
В
В1
А
С
А1
С1
АВ = А1В1, АС = А1С1.
Однако,
при
этом
возможно
установление
равенства
двух
треугольников используя три элемента, об этом говорят сами признаки
равенства треугольников. Но при этом возникает вопрос: «Какие именно три
элемента нужно назвать, для установления равенства двух треугольников?»
Рассмотрев задачи учебника, мы обнаружили, что можно еще
сформулировать новые признаки равенства треугольников, используя
медианы, биссектрисы и высоты.
№ 161. Если сторона и медиана, проведенная к этой стороне и угол
между ними одного треугольника равны стороне и медиане, проведенной
к этой стороне и углу между ними другого треугольника, то такие
треугольники равны.
A
В
A1
М
С
В1
М1
С1
6
Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, медианы AM=A1M1, BC=B1C1, AMB=A1M1B1
Доказать: ΔABC = ΔA1B1C1
Доказательство
1. Рассмотрим ΔABМ и ΔA1B1М1:
AM=A1M1 по условию; BM=B1M1 как половины равных сторон;
AMB=A1M1B1 по условию. Отсюда следует, что ΔABМ = ΔA1B1М1 по
двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что
B=B1 и АB=А1B1.
2. Рассмотрим ΔABС и ΔA1B1С1:
BC=B1C1 по условию; B=B1 и АB=А1B1 по доказанному. Отсюда следует,
что ΔABС = ΔA1B1С1 по двум сторонам и углу между ними.
№. 140. Если две стороны и медианы, проведенная к одной из них одного
треугольника равны соответственно двум сторонам и медиане,
проведенной к соответствующей стороне другого треугольника, то такие
треугольники равны.
A
A1
M
B
M1
C
B1
C1
Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, медианы BM = B1M1, AB=A1B1, AC=A1C1
Доказать: ΔABC = ΔA1B1C1
Доказательство
1. Рассмотрим ΔABМ и ΔA1B1М1:
BM = B1M1, AB=A1B1 по условию; АМ = А1М1 как половины равных сторон.
Отсюда следует, что ΔABМ = ΔA1B1М1 по трем сторонам. Из равенства
треугольников следует, что А=А1.
2. Рассмотрим ΔABС и ΔA1B1С1:
7
AB=A1B1, AC=A1C1 по условию; А=А1 по доказанному. Отсюда следует,
что ΔABС = ΔA1B1С1 по двум сторонам и углу между ними.
№. 176. Если две стороны и медианы, проведенная к третьей стороне
одного треугольника равны соответственно двум сторонам и медиане,
проведенной к третьей стороне другого треугольника, то такие
треугольники равны.
В
Р
В1
M
A
C
Р1
M1
A1
C1
Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, медианы АM = А1M1, AB=A1B1, AC=A1C1
Доказать: ΔABC = ΔA1B1C1
Доказательство
1. Проведем лучи АМ и А1М1 и отложим на этих лучах равные отрезки МР =
АМ и М1Р1 = А1М1.
2. Рассмотрим ΔАМС и ΔРМВ:
АМ = МР по построению; ВМ = МС так как АМ медиана по условию;
АМС = ВМР как вертикальные. Отсюда следует, что ΔАМС = ΔРМВ по
двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что
АС = ВР. Аналогично доказывается, что А1С1 = В1Р1.
Так как АС = А1С1, то и ВР = В1Р1.
3. Рассмотрим Δ АВР и ΔA1В1Р1:
AВ=A1В1 по условию; ВР = В1Р1 по доказанному; АР = А1Р1 по построению.
Отсюда следует, что Δ АВР = ΔA1В1Р1 по трём сторонам. Из равенства
треугольников следует, что ВАМ = В1А1М1.
4. Рассмотрим ΔВАМ и ΔВ1А1М1:
AM=A1M1 и АВ = А1В1 по условию; ВАМ = В1А1М1 по доказанному.
Отсюда следует, что ΔВАМ = ΔВ1А1М1 по двум сторонам и углу между
ними. Из равенства треугольников следует, что ВМ =В1М1.
8
5. Рассмотрим ΔАВС и ΔА1В1С1:
AB=A1B1, AC=A1C1 по условию, ВС = 2ВМ = 2В1М1 = В1С1. Отсюда следует,
что ΔАВС = ΔА1В1С1 по трём сторонам.
Если сторона, прилежащий к ней угол и высота, проведенная к данной
стороне одного треугольника соответственно равны стороне,
прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне другого
треугольника, то такие треугольники равны.
A
В
A1
М
С
В1
М1
С1
Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, высоты AM=A1M1, ВС = В1С1, В = В1
Доказать: ΔАВС = ΔА1В1С1
Доказательство
1. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВМ и А1В1М1, у которых
AM=A1M1 и В = В1 по условию, значит, ΔАВМ = ΔА1В1М1 по катету и
острому углу. Из равенства треугольников следует, что АВ = А1В1.
2. Рассмотрим ΔАВС и ΔА1В1С1:
ВС = В1С1, В = В1 по условию; АВ = А1В1 по доказанному. Отсюда
следует, что ΔАВС = ΔА1В1С1 по двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны и высота, проведенная к третьей стороне одного
треугольника равны соответственно двум сторонам и высоте,
проведенной к третьей стороне другого треугольника, то такие
треугольники равны.
A
В
A1
М
С
В1
М1
С1
9
Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, высоты AM=A1M1, АВ = А1В1, АС = А1С1
Доказать: ΔАВС = ΔА1В1С1
Доказательство
1. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВМ и А1В1М1, у которых
AM=A1M1 и АВ = А1В1по условию, значит, ΔАВМ = ΔА1В1М1 по катету и
гипотенузе. Из равенства треугольников следует, что ВМ = В1М1.
2. Аналогично доказывается, что СМ = С1М1.
3. Рассмотрим ΔАВС и ΔА1В1С1:
АВ = А1В1, АС = А1С1по условию; ВС = ВМ + МС = В1М1 + М1С1 = В1С1.
Отсюда следует, что ΔАВС = ΔА1В1С1 по трём сторонам.
Если сторона, прилежащий к ней угол и его биссектриса одного
треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и
его биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.
A
В
A1
М
С
В1
М1
С1
Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, Биссектрисы AM=A1M1, АВ = А1В1, ВАС =
В1А1С1
Доказать: ΔАВС = ΔА1В1С1
Доказательство
1. Рассмотрим ΔАВМ и ΔА1В1М1:
АВ = А1В1, AM=A1M1 по условию; ВАМ = В1А1М1 как половины равных
углов. Отсюда следует, что ΔАВМ = ΔА1В1М1 по двум сторонам и углу
между ними. Из равенства треугольников следует, что В = В1.
2. Рассмотрим ΔАВС и ΔА1В1С1:
АВ = А1В1, ВАС = В1А1С1 по условию; В = В1 по доказанному. Отсюда
следует, что ΔАВС = ΔА1В1С1 по стороне и прилежащим к ней углам.
10
Вывод:
В
ходе
исследования
мы
обнаружили
признаки
равенства
треугольников с использованием биссектрис, медиан и высот треугольника,
доказательство которых полностью опирается на известные три признака,
изучаемые в школе. Доказательства новых признаков не всегда просты. В
задаче с медианой есть хитрость с дополнительным построением. Нужно
продлить медиану на равную её длину и рассмотреть полученные
треугольники.
При
доказательстве
равенства
треугольников
с
использованием высот применяются признаки равенства прямоугольных
треугольников. При решении задач можно использовать новые признаки
равенства треугольников.
11
Список литературы:
1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. Для общеобразоват. учреждений/Л.С.Атанасян,
В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 22-е изд. – М. : Просвещение, 2013.
2. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. –
3-е издание. – М.: Просвещение, 2002.
3. Справочник школьника: 5 – 11 классы. – М.: АСТ – ПРЕСС, 2002.
4. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в
вузы/Д.И. Аверьянов, М34 П. И. Алтынов, И. И. Баврин и др. – 3-е изд., испр.
– М.: Дрофа, 2000.
5. Большой справочник школьника: 5 – 11 классы. – 3-е изд., стереотип.- М.:
Дрофа, 2000
6. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/Сост. А. П. Савин, В. В.
Станцо, А. Ю. Котова: Под общ. ред. О. Г. Хинн; Худож. А. В. Кардашук, А.
Е. Шабельник, А. О. Хоменко. – М.: АСТ, 1995.