ИДЗ_аналит геом_вект_алгебра

Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ I
I. Точка А (I; 4) является вершиной квадрата, а D (5; 1) – точкой пересечения
диагоналей. Составить уравнения сторон квадрата.
2. Составить уравнения сторон треугольника АВС, зная две его вершины А (3;4 ), В
( I ; -I ) и точку пересечения медиан М ( I; 2 ).
3. Провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между двумя данными
прямыми 2 x  y  1  0 и x  3 y  2  0 , делился в точке М (-I; 0) пополам.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2  3x  10 y  16  0 ;
б) 2 x2  5 y 2  4 x  15 y  17,75  0 ;
в) y 2  8 y  x 2  4 x  5  0 .
5. Дана парабола x 2  10 x  4 y  3 . Составить уравнение прямой, проходящей через ее
вершину параллельно прямой y  x  1 .
6. Найти угол между асимптотой гиперболы x 2 - y 2  32 , проходящей через I и III
квадранты, и прямой, соединяющий фокус параболы x 2 + 16 y  0 и центр окружности
x2  y 2  4 x  2 y  0 .
7. Найти скалярное ( AB , AC ) и векторное [ AB , AC ] произведения векторов.
Координаты точек А (0;2;1), В (3;1;2), С (-1; -1; 2) заданы в декартовой системе
координат.
8. Найти угол между прямыми
2 x  y  7  0

2 x  z  5  0
и
3x  2 y  8  0
.

 z  3x
9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x 1 y  2 z


и перпендикулярной плоскости
3
1
4
3x  y  z  2  0 .
10. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
А (3; 0; -1), B (1; 2; -4) и С (0; 7; -2).
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 2
1. Найти вершины равнобедренного треугольника, если даны вершина прямого
угла (3; 1) и уравнение гипотенузы 3x  y  2  0 .
2. Найти биссектрису того угла между прямыми 4 x  7 y  3 и 8 x  y  6  0 , в
котором лежит начало координат.
3. Найти углы и площадь треугольника со сторонами y  2 x ; y  20; y  x  3 .
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) x2  8x  2 y  14  0 ;
б) x2  9 y 2  4 x  36 y  41  0 ;
в) x2  y 2  6 x  4 y  9  0 .
5. Эллипс касается оси абсцисс в точке А (3;0) и оси ординат в точке
В (0;-4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии
параллельны координатным осям.
6. Написать уравнение окружности с центром в фокусе параболы
y 2  4 x  0 и радиусом, равным фокусному расстоянию гиперболы
7 x 2  9 y 2  63  0.
7. Найти скалярное ( AB, AC ) и векторное [ AB, AС ] произведения векторов.
Координаты точек А (2;5;-1), В (2;4;2), С (5;3;0) заданы в декартовой
системе координат.
8. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки А (1; 1; 0),
В (2; 0; 3) и С (0; -1; 2).
9. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р (3;1;1)
на прямую
x 1
z 5
y
.
4
3
10. Найти угол между прямой
2 x  3 y  1,5 z  7 .
x  2 y  2 z 1


и плоскостью
3
1
2
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 3
1. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: x  y  1  0 и 3x  y  4  0 и точка
пересечения его диагоналей (3;3). Найти уравнения двух других сторон.
2. На прямой 4 x  3 y  12  0 найти точку, равноудаленную от точек
(1; 2) и (1; 4) .
3. Даны две вершины треугольника (4;3) и (4; 1) и точка пересечения высот
Найти третью вершину.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2  2 x  4 y  2  0 ;
б) 4 x 2  8x  4 y 2  20  0 ;
в) x 2  3 y 2  6 x  12 y  39  0 .
5. Расстояния одного из фокусов эллипса до концов его большой оси
соответственно равны 7 и 1. Составить уравнение этого эллипса.
6. Найти точку, симметричную центру окружности x2  y 2  4 x  8 y  19  0
относительно прямой, соединяющей правый фокус гиперболы
x 2  3 y 2  3  0 с фокусом параболы x 2  16 y  0 .
7. Найти скалярное ( AB, AС ) и векторное [ AB, AС ] произведения векторов.
Координаты точек А (1;3; 4;) , В (2; 2; 1) , С (1;0; 2) заданы в декартовой
системе координат.
8. Дана точка Р (2;1;3) , найти ее проекцию на плоскость x  3 y  z  5  0 .
9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2;3; 5)
3x  y  2 z  9  0
параллельно прямой

x  3 y  2z  3  0
10. Составить уравнение плоскости, в которой лежат прямые
x  2 y  3 Z 1


1
2
0
и
x  t  2

y  t 3
 Z  2t  1

(3;3) .
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 4
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (5; 2)
на расстоянии 4 единиц от точки (-3; 1).
2. В прямоугольном равнобедренном треугольнике даны: уравнение
катета y  2 x и середины гипотенузы (4; 2). Найти уравнения других
сторон.
3. Найти биссектрисы углов между прямыми 3x  4 y  1 и 4 x  3 y  5  0 .
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) x 2  2 y 2  4 x  4 y  2  0 ;
б) 5x2  10 x  5 y 2  5 y  20  0 ;
в) 3x2  6 x  6 y  15  0.
5. Найти расстояние от левого фокуса
x2 y 2

 1 до центра окружности
25 16
x2  y 2  2x  4 y  0 .
6. Через вершину параболы y 2  4 y  8 x  4  0 провести прямые
параллельные асимптотам гиперболы x 2  9 y 2  16.
7. Найти скалярное ( AB, AC ) и векторное [ AB; AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (0; 1; 1), В (2; 1; 0), С (-1;5; 6)
заданы в декартовой системе координат.
8. Доказать параллельность прямых: x  2t  5 , y  t  2 , z  t  7
x  3y  z  2  0

 x  y  3z  2  0
9. Дана плоскость x  y  2 z  6  0 и вне ее точка М (1; 1; 1).
и
Найти точку P, симметричную точке М относительно данной
плоскости.
10. Написать уравнение плоскости, параллельной прямой
x  2 y 1 z  3


0
2
1
и прямой
проходящей через точку М (1; -1; 1).
 x  2t  2

 y  t 1
z  4

Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 5
1. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его
сторон АВ: x  3 y  3  0 ; АС: x  3 y  3  0 и основание Д (-1; 3)
высоты АД.
2. Стороны параллелограмма заданы уравнениями 2 x  y  5  0 и
x  2 y  4  0 , диагонали его пересекаются в точке (1; 4). Найти длины
его высот.
3. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями y  x  2 и
5 y  x  6 . Диагонали его пересекаются в начале координат.
Написать уравнения его двух других сторон и диагоналей
параллелограмма.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) 4 x 2  8x  4 y  4  4 y 2  0 ;
б) 9 x2  16 y 2  90 x  32 y  376  0 ;
в) x2  3 y  6 x  3 .
5. Найти каноническое уравнение гиперболы, если ее асимптоты
заданы уравнениями y  
5
x , а один из фокусов находится в точке
12
(-13;0).
6. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус параболы
y 2  8 x  0 параллельно прямой, соединяющей левый фокус
и нижнюю вершину эллипса x 2  10 y 2  10 .
7. Найти скалярное ( AB, AC ) и векторное [ AB; AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (1; 1; -1), В (2; 1; 0), С (1; 2; 1)
заданы в декартовой системе координат.
3x  2 y  z  3  0
4 x  3 y  4 z  1  0
8.Найти угол между прямой 
и плоскостью 2 x  y  5 z  2  0 .
9. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
 x  2t  3

y  t  4
z  t  2

и проходящей через точку пересечения прямых
x  2
x  1 y z  1,5

и y  t
.
 
2
4
1
 z  2t  9

10.Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки
А (2; -1; 3); В (-1;0;2); С (-2; 1; 3).
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 6
1. Уравнения двух сторон параллелограмма: x  2 y  1  0 и 2 x  y  3 .
Центр его в точке (1; 2). Найти уравнение двух других сторон.
2. Через точку (0; 1) провести прямую так, чтобы ее отрезок,
заключенный между двумя данными прямыми x  3 y  10  0 и
2 x  y  8 , делился в этой точке пополам.
3. Найти точку пересечения медиан равнобедренного треугольника, если даны
уравнения боковых сторон 7 x  y  9 и x  y  7 и точка (3; 8),
лежащая на основании.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) 3 y 2  5x  6 y  13 ;
б) 3x2  6 y 2  24 x  12 y  0 ;
в) 4 x2  4 y 2  8x  4 y  4 .
5. Написать уравнение равнобочной гиперболы, один из фокусов
которой совпадает с центром окружности x 2  y 2  12 x  0 .
6. Вывести уравнение прямой, проходящей через фокус параболы
y 2  8 x  0 перпендикулярно прямой, проходящей через левый
фокус эллипса x 2  10 y 2  10 и центр окружности x 2  y 2  2 y  0 .
7. Найти скалярное ( AB, AC ) и векторное [ AB; AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (3; 2; 1), В (1; 2; 3), С (0; 1; 2)
заданы в декартовой системе координат.
8. Найти проекцию точки Р (2; -1; 3) на плоскость 4 x  3 y  2 z  5  0 .
9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
М (3; -2; -7) параллельно плоскости 2x  3z  5  0.
10. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
 x  2t  3

y  t  4
 z  t  2

и проходящей через точку пересечения прямых
x 1 y z 1
 
2
3
1
и
x  1

y  t
 z  2t  1

Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 7
1. Середины сторон треугольника в точках (1; 2), (7; 4) и (3; -4).
Найти уравнение сторон.
2. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и
через точку пересечения медиан треугольника со сторонами:
x  y  4 ; 2 x  11y  37  0 ; 2 x  7 y  17.
3. Дана прямая 2 x  y  6  0 и на ней две точки А и В с ординатами
y A  6 ; yB  2. Написать уравнение высоты АД треугольника
АОВ, найти ее длину и угол ДАВ.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) 2 x2  3 y 2  4 x  12 y  8 ;
б) 7 y 2  3x  28 y  10  0 ;
в) x 2  6 x  y 2  4  0 .
5. Найти каноническое уравнение гиперболы, асимптотами которой
являются прямые линии y   x , а фокусы совпадают с фокусами
x2 y 2
эллипса   1.
64 28
6. Написать уравнение прямой, проходящей через фокус параболы
x 2  20 y  0 и центр окружности x 2  y 2  2 x  0.
7. Найти скалярное ( AB, AC ) и векторное [ AB; AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (0; 1; -1), В (2; 0; 1), С (1; 1; 1)
заданы в декартовой системе координат.
8. Найти угол между прямыми:
x  y  z  4  0

2 x  y  2 z  5  0
и
x  y  z  4  0

2 x  3 y  z  6  0
9. Найти проекцию точки Р (5; 2; -1) на плоскость 2 x  y  3z  23  0.
10. Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскостям
2 x  3 y  5 z  10 и  x  2 y  4 z  5 и проходящей через начало
координат.
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 8
1. Даны координаты двух вершин ромба А(0;2) и В (4;0) и уравнение
диагонали x  y  4  0 . Найти координаты остальных вершин.
2. Составит уравнение прямой, если точка М (3; 2) является проекцией
точки А (-2; 5) на эту прямую.
3. Составить уравнение сторон треугольника АВС, зная две его вершины А (3;4), В
(1;-1) и точку пересечения медиан М (1; 2).
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) x2  y 2  2 x  6 y  10  0 ;
б) 5x2  4 y 2  16 y  36  0 ;
в) y 2  4 y  2 x  0 .
5. Составить уравнение окружности, проходящей через начало
координат, если ее центр совпадает с левым фокусом эллипса
x2 y 2

 1.
36 27
6. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус параболы
y 2  12 x параллельно той асимптоте гиперболы
x2 y 2

 1 ; которая проходит через II и IV квадранты.
25 144
7. Найти скалярное ( AB, AC ) и векторное [ AB; AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (0; 1; -1), В (1; 0; 2), С (3; 2; 1)
заданы в декартовой системе координат.
8. Определить косинус угла между прямыми
 x  y  4z  5  0

2 x  y  2 z  4  0
и
x  6 y  6z  2  0

2 x  2 y  9 z  1  0
9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
Р (4;-3;1) и параллельной прямым
x y
z
 
6 2 3
и
x 1 y  3 z  4


.
5
4
2
10. Написать уравнение линии пересечения 2-х плоскостей:
2( x  1)  3 y  7( z  1)  0
в параметрическом виде.

( x  1)  2 y  2( z  1)  0
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 9
1. Даны две вершины равностороннего треугольника (2;1) и (2;5). Найти третью
вершину.
2. На прямой x  3 y  9 найти точку, равноудаленную от начала координат
и от прямой x  3 y  2  0.
3. Даны точки А (-4; 0) и В(0; 6). Через середину отрезка АВ провести
прямую, отсекающую на оси ОХ отрезок вдвое больший, чем
на оси ОУ.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) x2  2 y 2  2 x  8 y  5  0 ;
б) y 2  18 x  14 y  29  0 ;
в) x2  8x  14 y  29  0 .
5. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус параболы
y 2  16 x  0 и центр окружности x 2  y 2  8 y. Сделать чертеж.
6. Найти уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса
16 x 2  25 y 2  400 параллельно той асимптоте гиперболы
x2 y 2

 1,
36 64
которая проходит через II и IV квадранты.
7. Найти скалярное ( AB, AC ) и векторное [ AB; AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (3; 2; -1), В (0; 1; 0), С (-1; 1; 1)
заданы в декартовой системе координат.
8. Найти угол между плоскостями 4 x  5 y  3z  1  0 и x  4 y  z  9  0 .
9.Найти уравнение прямой, проходящей через точку (0; 1; -3)
2 x  3 y  z  6  0
4 x  5 y  z  2  0.
и параллельной прямой 
10. Написать уравнение плоскости, перпендикулярной прямой
 x  t  3

 y  2t  1
z  t  5

и имеющей с ней общую точку с ординатой 5.
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 10
1. Найти уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин
(3; 4) и уравнения двух высот 7 x  2 y  1 и 2 x  7 y  6.
2. Даны уравнения двух сторон ромба 2 x  y  2  0 ; 2 x  y  8  0
и уравнение его диагонали x  y  4  0. Найти координаты вершин.
3. В прямоугольном треугольнике даны: уравнение катета 2 x  y  5  0
и высоты, опущенной из прямого угла А, x  y  3  0 . Гипотенуза
проходит через точку М (-5; 3). Найти координаты вершин
треугольника.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2  x  4 y  2  0 ;
б) x2  6 x  y 2  4 y  3  0 ;
в) y 2  8 y  3x 2  6 x  17  0 .
5. Найти острый угол между прямой, соединяющей правый фокус
эллипса
x2 y 2
2
2

 1 с точкой А (0; 4) и асимптотой гиперболы x  y  72 ,
64 28
проходящей в I и III координатных углах.
6. Составить каноническое уравнение параболы с вершиной в точке
А (1; 1) и директрисой x  4  0.
7. Найти скалярное ( AB, AC ) и векторное [ AB; AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (1; 1; -1), В (2; 1; -1), С (-1; 0; -1)
заданы в декартовой системе координат.
8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало
координат параллельно плоскости 5 x  3 y  2 z  3  0 .
9. Показать, что прямая
2 x  y  z  0.
x 1 y 1 z  3


параллельна плоскости
2
1
3
10.Составить уравнение плоскости, проходящей через (.)
М 0 (1; -2; 1) перпендикулярно прямой
x  2 y  z  3  0

 x  y  z  2  0.
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 11
1. Даны координаты вершин ромба С (2; 4) и Д (-2; 6) и уравнение
одной диагонали x  y  2  0. Найти уравнения сторон.
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (4; 3)
под углом 45 к прямой, отсекающей на осях координат отрезки
x  2, y  5.
3. В треугольнике задано уравнение стороны АВ 7 x  6 y  16  0
и уравнения двух высот AL 3x  5 y  2  0 и ВЕ 9 x  2 y  28  0.
Найти уравнения двух других сторон.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) x2  8x  3 y  19  0 ;
б) x 2  4 y 2  8 y  8  0 ;
в) x2  4 x  2 y  y 2  8  0 .
5. Найти острый угол между директрисой параболы y 2  16 x  0 и
прямой, соединяющей левый фокус гиперболы x2  y 2  8 с
центром окружности x2  y 2  4 x  10 y  7  0.
6. Найти каноническое уравнение эллипса, если его малая полуось
равна радиусу окружности x 2  y 2  2 y , а правый фокус совпадает
с центром другой окружности x2  y 2  6 x  16  0.
7. Найти скалярное ( AB , AC ) и векторное [ AB , AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (1; 1; 1), В (2; 3; 4), С (3; 2; 3)
заданы в декартовой системе координат.
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
M 1 (3; -1; 2), M 2 (4; -1; -1) и M 3 (2; 0; 2).
 x  2t  1
x  2 y 1 z  3


9. Найти угол между прямыми
и  y  t  2
5
2
1
 z  t  4.

10.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
 x  2t  1

 y  3t  2
 z  2t  3

и точку М (2; -2; 1).
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ I2
1. Найти радиус круга, вписанного в треугольник, если даны уравнения
сторон: 3x  4 y  25 ; 5 x  12 y  65 ; 8 x  15 y  85  0.
2. Через точку (1; 2) провести прямую, расстояния которой до точек
(2; 3) и (4; -5) были бы одинаковы.
3. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x  2 y  12,
уравнение высоты ВК: x  2 y  4, уравнение высоты AL: 4 x  y  6.
Написать уравнения сторон АС, ВС и третьей высоты.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) 2 x2  3 y 2  4 x  12 y  8 ;
б) y 2  6 x  14 y  49  0 ;
в) 3x2  6 x  3 y 2  6  0.
5. Найти каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку
М (8; 0), если один из его фокусов находится в точке А (-6; 0).
6. Через центр окружности x2  y 2  6 x  4 y  3  0 провести прямую,
параллельную прямой, соединяющей фокус параболы x 2  4 y  0
и левый фокус гиперболы
x2 y 2

 1.
64 36
7. Найти скалярное ( AB , AC ) и векторное [ AB , AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (0; 0; 2), В (2; 1; -1), С (-1; -1; -1) заданы
в декартовой системе координат.
8. Доказать перпендикулярность прямых
x y 1 z


1
2
3
и
3x  y  5 z  1  0

2 x  3 y  8 z  3  0.
9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
М (2; -1; 1) перпендикулярно двум плоскостям 2x  z 1  0 и y  0.
10. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
 x  2t  1

y  t  2
 z  t

и пересекающей плоскость 2 x  3 y  z  5 в той же точке, что и ось ОХ.
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ I3
1. Найти уравнение прямой, лежащей посередине между прямыми
3 x  2 y  5 и 6 x  4 y  3  0.
2. Дан треугольник А (-4; 2), В (-2; -2), С (6; 8). Через концы его медианы
АМ проведены прямые АР и МР соответственно параллельные двум другим
медианам. Найти координаты точки Р.
3. Из начала координат проведены две взаимно перпендикулярные
прямые, образующие с прямой 2 x  y  5 равнобедренный треугольник.
Найти его площадь.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) 4 x 2  9 y 2  16 x  54 y  101;
б) 3x2  5 y  6 x  13  0 ;
в) 2 x2  4 x  2 y 2  8 y  15 .
5. Найти каноническое уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен
3
и эллипс проходит через точку М ( 4 2 ;
4
14 ).
6. Найти проекцию левого фокуса гиперболы x 2  y 2  72 на прямую,
соединяющую фокус параболы x2  16 y  0 с центром окружности
x 2  y 2  4 x.
7. Найти скалярное ( AB; AС ) и векторное [ AB, AС ] произведения векторов.
Координаты точек А (1; -1; -1), В (3; 2; 1), С (-2; 3; -1) заданы в
декартовой системе координат.
8. Найти тупой угол между прямыми: x  3t  2 , y  0 , z  t  3 и
x  2t 1 , y  0 , z  t  3.
9. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку
М (3; 1; -2) и через прямую
x 1 y  3 z

 .
5
2
1
10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А (1; -1; 0),
В (2; 3; -1) и С (0; 2 ; 1).
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ I4
1. Через начало координат провести прямую, образующую с прямыми
x  y  5 и x  0 треугольник площадью 25 кв. единиц.
2. Найти центр окружности, описанной около треугольника с вершинами
(0; 5), (1; -2) и (-6; 5).
3. Даны точки А (-2; 0) и В (2;-2). На отрезке ОА, где О (0; 0), построен
параллелограмм ОАСД, диагонали которого пересекаются в точке В.
Написать уравнение сторон и диагоналей параллелограмма и найти угол САД.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) 3x2  4 y 2  18x  8 y  5 ;
б) y 2  2 x  4 y  2  0 ;
в) 5 x 2  20 x  5 y 2  55  0 .
5. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах
эллипса
x2 y 2

 1 , а директрисы проходят через фокусы этого
100 64
эллипса.
6. Найти расстояние от фокуса параболы x 2  20 y  0 до прямой,
соединяющей центр окружности x 2  y 2  2 x с точкой А (0; 5).
7. Найти скалярное ( AB , AC ) и векторное [ AB , AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (3; 1; -1), В (0; 2; 3), С (-1; 0; -1) заданы
в декартовой системе координат.
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
А (0; 1; 3), В (-2; 0; 4) и С (1; -5; 2).
9. Найти проекцию точки Р (1; -2; 1) на плоскость x  2 y  3z  5  0.
x  2 y  3 z 1


3
2
1
и пересекающей плоскость x  3 y  z  7 в той же точке, что ось ОX.
10. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ I5
1. Найти точку, симметричную точке (5; 7) относительно прямой
x  2y  4 .
2. Уравнение основания равнобедренного треугольника x  y  1  0;
уравнение боковой стороны x  2 y  2  0 . Точка (-2; 0) - на другой
боковой стороне. Найти уравнение этой стороны.
3. Дана прямая 4 x  3 y  1  0. Найти прямую, параллельную данной и
удаленную от на нее на расстояние, равное 3.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) x 2  4 x  8 y  12 ;
б) y 2  12 y  x 2  2 x  12  0 ;
в) 2 x2  6 x  3 y 2  12 y  2, 25  0 .
5. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет
е = 5/4, фокус F (5; 0) и уравнение соответствующей директрисы
5x 16  0.
6. Через фокус параболы x2  16 y  0 провести прямую, перпендикулярно
прямой, проходящей через центр окружности x 2  y 2  2 x  4 y  20  0
и левый фокус эллипса 4 x 2  13 y 2  52.
7. Найти скалярное ( AB , AC ) и векторное [ AB , AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (2; 5; -1), В (3; 4; 2), С (1; 2; -1) заданы в
декартовой системе координат.
8. Найти угол между плоскостями:
4 x  3 y  2 z  1  0 и x  2 y  2 z  3  0.
 x  2t  1
9. Написать уравнение прямой, параллельной прямой  y  t  4
 z  t  1

и проходящей через точку пересечения прямой
x 1 y z 1
 
2
3
1
с плоскостью x  y  2 z  4  0.
10. Написать уравнение линии пересечения двух плоскостей
 ( x  2)  2 y  4( z  3)  0
в параметрическом виде.

2( x  2)  3 y  2( z  3)  0
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 16
1. Даны две противоположные вершины квадрата А (-5; 2) и
С (3; -4). Составить уравнения его сторон.
2. Даны две смежные вершины параллелограмма А (-3; 1) и
В (2; 2) и точка пересечения его диагоналей Е (3; 0). Составить
уравнения высот этого параллелограмма, проведенных из
вершины А.
3. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку
пересечения прямых 5 x  3 y  7  0 , 2 x  4 y  13  0 и делит пополам отрезок,
ограниченный точками А (-3; 5) и В (7; -3).
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) x2  4 x  8 y  12 ;
б) 5x2  9 y 2  30 x  18 y  9  0 ;
в) 3x2  15x  3 y 2  6 y  3, 25 .
5. Найти каноническое уравнение эллипса, если его эксцентриситет
равен 4/5 и малая полуось равна 6 .
6. Найти расстояние от фокуса параболы y 2  4 x  0 до прямой,
проходящей через центр окружности x2  y 2  4 y  0 параллельно
прямой, соединяющей точки А (1; 3) и В (-3; 5).
7. Найти скалярное ( AB, AС ) и векторное [ AB, AС ] произведения
векторов. Координаты точек А (3; 1; 2), В (2; 3; 3), С (1; 2; 1)
заданы в декартовой системе координат.
8. Найти угол между плоскостями
x  2 y  4 z  5 и 2 x  4 y  3z  2 .
9. Найти точку пересечения прямых
x 1 y  2 z  4


1
5
2
и
x  2 y  5 z 1


.
2
2
3
10.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М (1; 2; -3) параллельно прямым
x 1 y 1 z  7


;
2
3
3
x5 y2 z 3


.
3
2
1
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 17
1. Пересечение медиан – в точке (-1; 0); x  y  1  0 и y  1  0 уравнения двух сторон. Найти уравнение третьей стороны треугольника.
2. Через точку (-1; 1) провести прямую так, чтобы середина ее
отрезка между прямыми x  2 y  1 и x  2 y  3 лежала на
прямой x  y  1.
3. В равнобедренном треугольнике известны: уравнение основания
x  2 y  3  0 ; уравнение одной из боковых сторон 4 x  y  5  0 ;
6 28
) на другой боковой стороне. Найти расстояние
5 5
точка ( ;
боковой стороны от противолежащей вершины.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2  x  4 y  2  0 ;
б) x2  16 y 2  6 x  96 y  137  0 ;
в) x2  y 2  4 x  6 y  9  0.
5. Через центр окружности x2  6 x  y 2  10  0 провести прямую,
параллельную той асимптоте гиперболы
x2 y 2

 1, которая
4 9
проходит через II и IV квадранты.
6. Найти точку, симметричную с центром окружности
x 2  y 2  4 x  8 y  19  0 относительно прямой, соединяющей левый
фокус эллипса x 2  5 y 2  5  0 с фокусом параболы x 2  8 y  0 .
7. Найти скалярное ( AB; AС ) и векторное [ AB, AС ] произведения
векторов. Координаты точек А (2; 5; 1), В (3; 4; 2), С (0; 3; -1)
заданы в декартовой системе координат.
8. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
пересечения плоскости x  y  z  1 с прямыми x  y  2( z  1);
3( x  1)  2 y  z.
9. Первая плоскость проходит через точки А (0; -1; -2),
В (1; 3; 1) и С (5; 0; 2), вторая – через точки А, С, Д (1; 1; 1).
Найти угол между этими плоскостями.
10.Написать уравнение прямой, перпендикулярной плоскости
2 x  3 y  4 z  10 и пересекающей ее в точке с абсциссой 2 и
ординатой 4.
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 18
1. Найти уравнение сторон треугольника, у которого 2 x  3 y  1  0
и x  y  0 - высоты, а (1; 2) – одна из вершин.
2. Даны две вершины треугольника А (2; -3) и В (5; 1), уравнения
стороны ВС x  2 y  7 и медианы АМ 5 x  y  13. Составить
уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ,
и вычислить ее длину.
3. Даны вершины ромба С (2; 4) и Д (-2; 6) и уравнение одной
диагонали x  y  2  0. Найти уравнения сторон ромба.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) 3x2  4 y 2  18x  8 y  5  0 ;
б) 3x 2  18x  3 y  0 ;
в) 4 x 2  16 x  4 y 2  8 y  5  0.
5. Составить каноническое уравнение параболы, если известно
уравнение ее директрисы x  7  0 и фокус F (-7; 0).
6. Найти уравнение прямой, проходящей через центр окружности
x 2  y 2  6 x  4 y  3  0 параллельно прямой, соединяющей фокус
x2 y 2
параболы x  4 y  0 левым фокусом гиперболы   1.
64 36
7. Найти скалярное ( AB , AC ) и векторное [ AB , AC ] произведения
2
векторов. Координаты точек А (2; 1; 1), В (1; 2; 2), С (1; 1; -1)
заданы в декартовой системе координат.
8. Доказать параллельность прямых
x  2 y 1 z


3
2
1
x  y  z  0
 x  y  5 z  8  0.
и 
9. Точка Р (1; 2 ; -3) служит основанием перпендикуляра,
опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой
плоскости.
10.Найти уравнение прямой, проходящей через точку N (5; -1; -3)
2 x  3 y  z  6  0
4 x  5 y  z  2  0.
и параллельной прямой 
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 19
1. В прямоугольном треугольнике даны уравнения катета
2 x  y  5  0 , уравнение высоты, опущенной из прямого угла
x  y  3  0 , и вершина (-4; 2). Найти другие вершины.
2. Даны координаты вершин ромба А (0; 2) и В (4; 0) и уравнение
диагонали x  y  4  0. Найти координаты остальных вершин.
3. Составить уравнение прямой, удаленной от А (4; -2) на 4
единицы и параллельной прямой 8 x  15 y  0.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) x2  2 y 2  4 x  4 y  2 ;
б) x2  4 x  y 2  8 y  5  0 ;
в) 3x2  9 x  y 2  4 y  1, 25  0.
5. Найти уравнения прямых, параллельных прямой, проходящей
через фокус параболы y 2  4 x  0 и центр окружности
x 2  y 2  4 x  8 y  3  0 , касающихся этой окружности.
6. Найти каноническое уравнение эллипса, фокусы которого
совпадают с вершинами гиперболы
x2 y 2

 1, а вершины
144 25
находятся в фокусах этой гиперболы.
7. Найти скалярное ( AB , AC ) и векторное [ AB , AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (1; -1 ; 0), В (2; 3; 4), С (3; 0; -1)
заданы в декартовой системе координат.
8. Точка Р (2; -1; -1) служит основанием перпендикуляра,
опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой
плоскости.
9. Проверить, что прямые
 x  4t  2

 y  2t
 z  8t  7

x  2 y  3 z 1


2
0
1
и
перпендикулярны.
10.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x 1 y  2 z  2


перпендикулярно плоскости 3x  2 y  z  5  0.
2
3
2
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 20
1. Дан треугольник с вершинами А (0; -4); В (3; 0) и С (0; 6). Найти
расстояние вершины С от биссектрисы угла А.
2. Составить уравнение сторон треугольника, зная одну из его вершин
(-4; 2) и уравнения двух медиан 3x  2 y  2  0 и 3x  5 y  12.
3. Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника
2 x  y  8  0 и x  2 y  12 и точка (4; 0) на основании. Найти уравнение
основания.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2  4 x  2 y  7  0 ;
б) 16 x2  4 y 2  32 x  16 y  32  0 ;
в) x2  y 2  4 x  2 y  4  0.
5. Через левый фокус эллипса x 2  10 y 2  10 провести прямую,
перпендикулярную асимптоте гиперболы
x2 y 2

 1 , проходящей
9 16
через I и III квадранты.
6. Парабола симметрична относительно оси Х, вершина ее помещается в
точке (-5; 0), и на оси ординат она отсекает хорду, длина которой
l=12. Написать уравнение этой параболы.
7. Найти скалярное ( AB , AC ) и векторное [ AB , AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (3; 2; 1), В (4; 3; 0), С (2; -1; 5) заданы
в декартовой системе координат.
8. Определить угол между прямыми
x  2 y  z  3

x  z  0
и
3x  y  4 z  1

 x  5 y  z  2.
9. Даны точки А (1; -3; 1) и В (-5; 1; 0). Через середину отрезка АВ
провести плоскость, перпендикулярную этому отрезку.
10.Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
x  2 y 1 z 1


и точку (1; -1; 2).
2
1
2
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 21
1. Через начало координат провести прямые так, чтобы отрезки их между
прямыми x  y  1  0 и x  y  2  0 были равны 3.
2. В треугольнике АВС известны: сторона АВ 4 x  y  12 ; высота
ВМ 5 x  4 y  15 ; высота АN 2 x  2 y  9. Найти уравнения двух
других сторон и третьей высоты.
3. Луч света проходит через точку (2; 3), отражается от прямой x  y  1  0
и попадает в точку (1; 1). Найти уравнения луча падающего и луча
отраженного.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2  6 x  8 y  22  0 ;
б) x 2  y 2  4 x  4 y  7  0 ;
в) 4 x2  16 y 2  8x  32 y  44  0.
5. Составить каноническое уравнение гиперболы, если уравнение одной
5
3
из ее асимптот y   x , а ее мнимая полуось равна 15.
1
6
x2 y 2
той асимптоте гиперболы   1 , вдоль которой х и у имеют
25 16
6. Через фокус параболы x  y 2 провести прямую, перпендикулярную
разные знаки.
7. Найти скалярное ( AB , AC ) и векторное [ AB , AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (2; -5; 3), В (1; -4; 0), С (3; 3; 1) заданы в
декартовой системе координат.
8. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р (3; 2; 1)
на прямую
x 1
z4
y
.
4
3
9. Найти координаты точки, симметричной точке А (1; -1; 2)
относительно плоскости x  2 y  z  3.
10.Составить уравнение плоскости, в которой лежат три точки:
А (-2; -1; 1), В (3; -2; 1) и С (4; 1; 0).
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 22
1. Дан центр квадрата С (-1 ; 0) и уравнение стороны x  3 y  5.
Найти уравнения остальных сторон.
2. Даны две вершины треугольника А (2; -3) и В (5; 1): уравнения стороны ВС
x  2 y  7 и медианы АМ 5 x  y  13 . Составить уравнение высоты, опущенной
из вершины С на сторону АВ и вычислить ее длину.
3. В ромбе известны уравнения двух сторон 2 x  y  8  0 и x  2 y  10  0
и точка пересечения диагоналей М (1; 3). Найти координаты вершин.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) x2  y 2  6 x  4 y  3  0 ;
б) 2 y 2  6 y  9 x  4,5  0 ;
в) 5x2  4 y 2  16 y  36  0.
5. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса
x2 y 2

 1.
25 9
Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.
6. Найти каноническое уравнение параболы, если ее фокус совпадает
с левым фокусом гиперболы 25x 2  144 y 2  3600.
7. Найти скалярное ( AB , AC ) и векторное [ AB , AC ] произведения
векторов. Координаты точек А (3; 2 ;1), В (1; 2; 3), С (2; 2; 2) заданы в
декартовой системе координат.
8. Даны точки M 1 (0; -1; 3) и M 2 (1; 3; 5). Написать уравнение плоскости,
проходящей через точку M 1 и перпендикулярной вектору M1M 2.
9. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные
прямые
x 1 y 1 z  2


1
2
3
x y 1 z 1


.
1
2
3
и
10. Найти угол между прямыми
4 x  y  z  12  0

y  z  2  0
и
3x  2 y  16  0

3x  z  0.
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 23
1. Точки (1; 2); (-1; -1) и (2; 1) – вершины треугольника. Найти
уравнение биссектрисы внутреннего угла при точке (-1; -1).
2. Найти прямую, параллельную прямым x  2 y  1 и x  2 y  3 ,
расположенную между ними и делящую расстояние между ними
в соотношении 1:3.
3. Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника
3 x  y  0 и x  3 y  0 и точка (5; 0) на его основании. Найти
периметр и площадь треугольника.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2  8x  8 y  0 ;
б) x 2  y 2  8x  2 y  1  0 ;
в) 9 x2  4 y 2  72 x  32 y  172.
5. Пусть А – точка пересечения прямых x  y и 2 x  y  15  0 , а
В – правый фокус эллипса
x2 y 2

 1. Найти окружность, для
16 7
которой отрезок АВ служит диаметром.
6. Найти уравнение прямой, проходящей через вершину параболы
y  x 2  4 x перпендикулярно прямой, соединяющей точку
А (1; 2) с левым фокусом гиперболы x2  y 2  8.
7. Найти скалярное ( AB, AС ) и векторное [ AB, AС ] произведения
векторов. Координаты точек А (2; 0; 3), В (1; -2; 7), С (2; 5; 0)
заданы в декартовой системе координат.
8. Найти проекцию точки М (1; 2; 3) на плоскость 4 x  5 y  8 z  21  0.
9. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
x  2 y  3 z 1


и пересекающей плоскость x  2 y  z  5  0
3
2
1
в той же точке, что ось ОУ.
10. Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскостям
2 x  5 y  3z  5 и  x  7 y  4 z  6 и проходящей через начало
координат.
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 24
1. Найти прямую, проходящую через точку (2; 3), зная, что отрезок
этой прямой между прямыми 3x  4 y  7  0 и 3x  4 y  8  0 равен 3 2.
2. Даны две вершины треугольника (2; 2) и (3; 0) и точка пересечения
его медиан (3; 1). Найти третью вершину.
3. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения
двух его сторон x  2 y  4 и x  2 y  10 и уравнение одной из его
диагоналей y  2  x.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2  4 x  2 y  5  0 ;
б) x2  16 y 2  6 x  64 y  57  0 ;
в) 9 x2  18x  9 y 2  72 y  27.
5. Эллипс проходит через точки М( 3 ; -2) и N( 2 3 ; 1). Составить
уравнение эллипса, приняв его оси за оси координат.
6. Найти расстояние от центра окружности x 2  y 2  4 x  6 y  9  0
до прямой, проходящей через фокус параболы y 2  12 x , и
параллельной прямой, соединяющей точки А(-1; 6) и В (5; 2).
7. Найти скалярное ( AB, AС ) и векторное [ AB, AС ] произведения
векторов. Координаты точек А (5; 2; 3), В (4; -1; 0), С (2; 4; 5)
заданы в декартовой системе координат.
8. Доказать параллельность прямых:
 x  y  3z  1  0

x  y  z  3  0
и
 x  2 y  5z  1  0

 x  2 y  3z  9  0.
9. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат
и перпендикулярной плоскостям x  y  z  7  0 и 3x  2 y  12 z  5  0.
10. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
x  2 y 1 z 1


и проходящей через точку пересечения прямых:
2
0
1
x  t  2
 x  3t  2


и
 y  t  1
 y  2t  1
 z  2t  3
 z  t  3.


Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 25
1. Даны уравнения двух сторон параллелограмма x  2 y  2  0 ,
5 x  2 y  22  0 и точка пересечения его диагоналей М (2; -1).
Найти координаты его вершин.
2. Найти проекцию точки А (-1; -5) на прямую 4 x  7 y  26  0.
3. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его
сторон АВ: x  3 y  3  0 , АС: x  3 y  3  0 и основание Д (-1; 3)
высоты АД.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) x 2  5 y  6 x  6  0 ;
б) 2 x2  y 2  8x  2 y  63  0 ;
в) 4 x2  16 y 2  8x  128 y  196  0.
5. Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления
расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними
равно 20 м. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки
крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить
величину прогиба этого троса в середине между точками
крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги
параболы.
6. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус параболы
y 2  8 x  0 , и параллельной прямой, проходящей через фокус
и нижнюю вершину эллипса x 2  10 y 2  10.
7. Найти скалярное ( AB, AC ) и векторное [ AB, AC ] произведения
векторов. Координаты точек А(5; 3; 1), В (4; 2; 0), С (-1; 2; 7)
заданы в декартовой системе координат.
8.
Найти расстояние от точки (-1; 2; 2) до плоскости x  y  5 z  1.
9.
Составить уравнение проекции прямой
x 1
z 3
 y 1 
на
3
2
плоскость ХОУ.
10. Составить уравнение плоскости, содержащей прямую
x  2 y 1 z  3


и проходящей через начало координат.
2
0
2
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 26
1. Даны уравнения двух сторон прямоугольника x  3 y  6  0 ,
3x  y  12  0 и точка пересечения его диагоналей Е (7; 2).
Составить уравнение двух других сторон прямоугольника.
2. Найти точку В, симметричную точке А (8; 12) относительно
прямой x  2 y  6  0.
3. Даны две вершины треугольника А (-2; 1), В (2; 10) и точка
пересечения его высот М (3; 6). Составить уравнения сторон треугольника.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2  3x  10 y  16  0 ;
б) 16 x2  16 y 2  96 x  128 y  368  0 ;
в) x2  16 y 2  8x  96 y  144  0.
5. Зеркальная поверхность прожектора образована вращением
параболы вокруг ее оси симметрии. Диаметр зеркала 80 см, а
глубина его 10 см. На каком расстоянии от вершины параболы
нужно поместить источник света, если для отражения лучей
параллельным пучком он должен быть в фокусе параболы?
6. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус эллипса
x 2  10 y 2  10 и перпендикулярной той асимптоте гиперболы
16 x 2  9 y 2  144 , которая проходит через I и III квадранты.
7. Найти скалярное ( AB, AС ) и векторное [ AB, AС ] произведения
векторов. Координаты точек А (2; 0; 1), В (5; 3; 4), С (-1; 2; 6)
заданы в декартовой системе координат.
8. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
А (1; 3; -2) на прямую
x 1 y  3 z  5


.
2
1
3
9. Написать уравнение плоскости, содержащей начало координат и
прямую 3( x  1)  y  2( z  2).
10. Написать уравнение линии пересечения плоскостей
2 x  3 y  5 z  10 и x  6 y  7 z  7.
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 27
1. Заданы вершины треугольника А (-4; 8), В (2; -5), С (5; 0). Найти
точку пересечения медианы ВN с высотой AL.
2. В прямоугольном треугольнике заданы вершины В (-4; 2) и С (1; -3)
и точка М (-14; 7), лежащая на одном из катетов. Найти расстояние
от вершины А прямого угла до гипотенузы.
3. Найти на прямой АВ - А (1; 2); В (6; 12) –точку на расстоянии 2 5
от начала координат.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2  6 x  2 y  11  0 ;
б) x2  4 x  y 2  8 y  5  0 ;
в) 3x2  4 y  9 x  y 2  1, 25.
5. Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал дугу
параболы и упал на расстоянии 16 м от начального положения.
Определить параметр параболической траектории, зная, что
наибольшая высота, достигнутая камнем, равна 12 м.
6. Найти каноническое уравнение гиперболы, если ее фокусы
x2 y3
совпадают с вершинами эллипса   1 , а асимптоты проходят
40 3
через точку А (1; 3).
7. Найти скалярное ( AB, AС ) и векторное [ AB, AС ] произведения
векторов. Координаты точек А (3; 4; -2), В (1; 2; 5), С (0; 3; -1)
заданы в декартовой системе координат.
8. Найти проекцию точки А (-1; 1; 2) на плоскость 2 x  y  z  3.
9. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения
плоскости x  y  z  1 с прямыми x  2( y  1)  z и 3( x  1)  2 y  z.
10. Написать уравнение плоскости, перпендикулярной прямой
x 1 y  2 z

 и имеющей с ней общую точку с абсциссой 2.
2
1
3
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 28
x
2
1. В прямоугольном треугольнике известны уравнение катета y   ,
координаты вершины прямого угла В (2; -1) и уравнение медианы,
проведенной к другому катету 8 x  11y  10  0. Найти уравнение
гипотенузы.
2. В ромбе известны уравнения двух сторон 2 x  y  8  0 ; 2 x  y  3  0
и точка пересечения диагоналей М (1; 3). Найти координаты вершин ромба.
3. В параллелограмме известны уравнения двух сторон:
СД 2 x  y  1  0 , АД x  2 y  10  0 и уравнение диагонали АС x  y  5  0. Найти
длину и уравнение высоты ВN.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) x2  10 x  4 y  33  0 ;
б) 3x2  7 y 2  14 y  6 x  11  0 ;
в) 5x2  15x  5 y 2  10 y  1  0.
5. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы,
параметр которой равен р=0,1 м. Определить высоту струи, если
известно, что она попадает в бассейн на расстоянии 2 м от места
выхода.
6. Через левый фокус гиперболы x2  y 2  8 провести прямую,
параллельную прямой, проходящей через правую вершину эллипса
x2 y 2

 1 и центр окружности x 2  y 2  4 x  10 y  7  0.
64 28
7. Найти скалярное ( AB, AС ) и векторное [ AB, AС ] произведения
векторов. Координаты точек А (2; 0; 2), В (3; -1; 4), С (2; 5; 1)
заданы в декартовой системе координат.
8. Определить угол между прямыми:
x  2 y  z  3
3x  y  4 z  1
и
.


x  z  0
 x  5 y  z  0
9. Написать уравнение прямой, проходящей через середину отрезка
АВ: А (3; 2; 1), В (-2; 3; 0) перпендикулярно плоскости 4 x  y  2 z  5.
10. Написать уравнение плоскости, параллельной прямой
x 1 y  3 z  2
x 1 y  3 z  2




и прямой
и проходящей через
2
0
1
1
2
1
начало координат.
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 29
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (1; 2 3 )
под углом в 60 к прямой x  5 3 y  15  0.
2. Даны уравнения двух сторон параллелограмма x  3 y  8  0 ,
7 x  5 y  40  0 и его диагонали 5 x  7 y  8  0. Составить уравнения
остальных сторон и второй диагонали.
3. Даны две вершины треугольника А (-1; 3) и В (3; 2), уравнения
стороны ВС: 2 x  3 y  0 и медианы АМ: 3 x  y  0. Составить
уравнение высоты СД.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2  5x  6 y  4  0 ;
б) x2  y 2  6 x  4 y  12  0 ;
в) x2  16 y 2  2 x  32 y  1  0.
5. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр этой
параболы, зная, что пролет арки равен 24 м, а высота – 6 м.
6. Найти острый угол между асимптотой гиперболы x2  y 2  50 ,
проходящей через I и III квадранты, и прямой, соединяющей левый
фокус эллипса
x2
 y 2  1 и центр окружности x 2  y 2  2 x  6 y  0.
10
7. Найти скалярное ( AB, AС ) и векторное [ AB, AС ] произведения
векторов. Координаты точек А (2; 3; -3), В (1; 2; 5), С (2; -1; 0)
заданы в декартовой системе координат.
8. Из точки А (-1; 1; 3) опустить перпендикуляр на плоскость
2 x  y  z  3.
9. Найти проекцию прямой x  2( y  1)  z  6 на плоскость 2 x  y  4 z  1.
10.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; -2; 1)
x  2 y  z  3  0
 x  y  z  2  0.
перпендикулярно к прямой 
Индивидуальное домашнее задание
по аналитической геометрии и векторной алгебре
ВАРИАНТ 30
1. Даны вершины треугольника А (-2; 1), В (1; -1) и С (3; 5). Составить
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану
АД.
2. Найти точку, симметричную точке А (4; 6) относительно прямой,
проходящей через точки В (-3; 5) и С (2; -5).
3. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из вершин
А (-1; 3) и уравнения двух высот 3x  4 y  8  0 и 5 x  2 y  8  0.
4. Привести к каноническому виду и построить:
а) x2  4 x  5 y  14  0 ;
б) 2 x2  3 y 2  8x  12 y  4 ;
в) 3x2  15x  3 y 2  6 y  3, 25.
5. Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится
Солнце. Наименьшее расстояние Земли от Солнца равно
приблизительно 147,5 миллионов километров, а наибольшее – 152, 5
миллиона километров. Найти большую полуось и эксцентриситет
орбиты Земли.
6. Найти каноническое уравнение параболы, если ее фокус совпадает с
правым фокусом гиперболы
x2 y 2

 1, а уравнение директрисы
144 25
x  1.
7. Найти скалярное ( AB, AС ) и векторное [ AB, AС ] произведения
векторов. Координаты точек А (2; 7; 0), В (3; 4; -1), С (5; 5; 5)
заданы в декартовой системе координат.
8. Найти координаты точки, симметричной точке А (-1; 2; 1)
относительно плоскости x  2 y  3z  6.
9. Написать уравнение линии пересечения плоскостей
3x  y  z  2 и x  4 y  z  5.
10.Найти угол между прямой
2x  z  7.
x  3 y  3 z 1


и плоскостью
2
0
1