Shpory - Mekhanika Molekulyarnaya Fizika I Termodi
реклама
1 Траектория, путь, перемещение. Скорость движения точки по прямой. Нахождение координаты по известной зависимости скорости от времени. Материальная точка – это тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию, которая называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности, криволинейное движение. воздействия на разные тела, вызывают разные по величине изменения скоростей этих тел. Чтобы описать этот опытный факт, вводится понятие импульса тела или количества движения: p m v . Силы, работа которых на замкнутом пути равна нулю, называется консервативными. плоскости, которую мы расположим перпендикулярно плоскости листа. Выберем на плоскости начало координат О и положение материальной точки будем описывать радиус- 11. Кинетическая энергия материальной точки. Связь вектором r . Скорость точки v , ее импульс p m v , кинетической энергии с работой сил. Теорема Кенига. Кинетическая энергия (или энергия движения) определяется ускорение a , и сила F будут расположены в плоски Если положение материальных точек массами и скоростями рассматриваемых тел. Рассмотрим описывается радиус-векторами r и r , то положение движения материальной точки, как показано на рисунке. тело: d p n . Подставляя сюда выражение для импульса 1 2 Fi материальную точку, движущуюся под действием силы F . dt i 1 центра масс С, будет описываться радиус-вектором r , Работа этой силы увеличивает кинетическую энергию c тела p m v , получим еще одну формулировку второго закона материальной точки W . Вычислим в этом случае малое который равен m1 r1 m2 r2 . В общем случае системы из n приращение (дифференциал) кинетической энергии: Ньютона: Произведение массы тела на его ускорение равно rc m1 m2 геометрической сумме сил, действующих на тела n dv . При m a Fi Путь - это расстояние между точками 1 и 2, отсчитанное i 1 материальных точек, положение центра масс будет dW dA F d r FS ds ma ds m dt ds mvdv вдоль траектории. Перемещение - это прямолинейный отрезок, n второй закон Ньютона. Всякое действие тел друг на друга проведенный из точки 1 в точку 2. Существуют три способа описываться радиус-вектором: m1 r1 m2 r2 ...mn rn = mi r i , где вычислении dW использован второй закон Ньютона i 1 носит характер взаимодействия: если тело 1 действует на тело rc описания движения материальной точки: координатный, Введем две новые физические M m1 m2 ... mn 2 с силой F 21 , то и тело 2 в свою очередь действует на тело 1 с векторный и естественный. FS ma , а также ds v - модуль скорости материальной величины: момент силы M и момент импульса L M = m1 + m2 + ... + mn - полная масса системы материальных dt силой F 12 . точек. Взяв производную, получим скорость центра масс: точки. Тогда dW можно представить в виде: относительно начала координат O. M [ r F ] -- момент силы Третий закон Ньютона: Силы с которыми действуют друг m v m v ...mn vn p1 p2 ... pn . Если система 2 vc rc 1 1 2 2 на друга взаимодействующие тела, равны по величине и mv2 -- кинетическая энергия движущейся относительно начала координат. Модуль вектора равен W mv M M M dW d противоположны по направлению: F 12 F 21 - третий закон 2 2 материальных точек замкнута, то p1 p2 ... pn con st , и M rFSin(r ˆ; F ) , где (rˆ; F ) - угол между векторами r и F Ньютона. Эти силы не компенсируют друг друга, поскольку материальной точки. приложены к разным телам. Теперь рассмотрим связь кинетической энергии с работой. . Если опустить перпендикуляр из точки O на направление При формулировке фундаментальных законов физики (в том тогда vc const . Если постоянная сила действует на тело, то оно будет 𝑡 действия силы, то его длина d F будет плечом силы F , 𝑛 числе и законов Ньютона) важно понимать, что эти законы (как Таким образом, при отсутствии внешних сил центр масс двигаться в направлении силы. Тогда элементарная работа по 𝛥𝑥1 = 𝑣1 𝑥 ∆𝑡1, 𝑥 = 𝑥0 + lim ∑ 𝑣𝑖𝑥 ∆𝑡𝑖 = 𝑥0 + ∫ 𝑣𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡 и любые законы естествознания) имеют ограниченную область системы материальных точек остается в покое или ∆𝑡→0 перемещению тела из точки 1 в точку 2, будет равна d F rSin(r ˆ; F ) и модуль момента сил будет равен 𝑖=1 применимости. Так, законы классической механики 𝑡0 движется прямолинейно и равномерно произведению силы F на перемещение dr : применимы только для описания движения достаточно Центр масс системы движется так как двигалась бы м/т с произведению силы на плечо, т.е. M Fd , что совпадает со F 2. Векторный и координатный способы описания массивных макроскопических тел, при условии их движения с массой равной масс всей системы под действием малыми (по сравнению со скоростью света) скоростями. движения точки в пространстве. Скорость (средняя, dA = F dr, отсюда , , школьным определением момента силы. Аналогично моменту результирующей всех внешних сил действующих на систему. линейная, мгновенная) и ускорение. Вычисление силы вводится момент импульса L [ r p] - момент импульса пройденного пути и перемещения. 5. Сила упругости. Закон Гука 9. Движение тел с переменной массой. Уравнение 1) Координатный способ: Равновесному положению молекул в жидкости и твердом материальной точки относительно начала координат. . Окончательно получаем: Мещерского, уравнение Циолковского. Если с системой отсчета связать декартову систему теле соответствует равенство сил притяжения и отталкивания. Уравнение движения тела с переменной массой координат (X, Y, Z) , то положение материальной точки А При деформации тел (как жидких, так и твердых) равновесные L rP sin( r ˆ; p) , где (r ˆ; F ) - угол между векторами r и p , На выполнении закона сохранения импульса основано можно задать с помощью координат (x, y, z). Траекторию расстояния между молекулами изменяются, поэтому возникают движение ракеты, если её рассматривать как замкнутую движения мы определим, если будем знать функцию x(t), y(t), . Следовательно, работа силы, силы, стремящиеся вернуть их в исходное состояние. Эти силы систему. Мы рассмотрим более общий случай движения тела с d p r sin(r ˆ; P) —плечо импульса p , т.е. длина z(t). приложенной к телу на пути r, численно равна изменению проявляются как силы упругости. Отметим, что силы переменной массой при наличии внешней силы, например, 2) Векторый способ: В этом случае достаточно перпендикуляра, опущенного из точки O на направление выбрать в системе отсчета точку О начала отсчета. Положение упругости не относятся к фундаментальным, законы движение ракеты в гравитационном поле Земли. кинетической энергии этого тела: Или изменение позволяющие вычислять их значения, как правило, являются точки А будет определяться вектором r , проведенным из кинетической энергии dK равно работе внешних сил: dK=dA. вектора p материальной точки. Оба вектора М и L , экспериментальными и выполняются приближенно. начала отсчета в данную точку А. Этот вектор называется Рассмотрим 2 с/сы отсчета S и S’,v̅ 𝑣̅𝑖 = 𝑣̅𝑖′ + v̅ Кинетическую В общем случае зависимость сил упругости от деформации согласно определения направлены перпендикулярно плоскости радиус – вектором точки А. Траектория движения будет энергию тела относительно ИСО найдем, исходя из может быть очень сложной, однако при малых деформации движения материальной точки. В общем случае неплоского определяться функцией r (t). Как мы видим векторный определения: справедлив закон Р.Гука: сила упругости пропорциональна способ описания движения более экономный, поскольку движения, направление векторов М и L не совпадают, но Eк=mivi2/2=mi(Vc+vi')2/2=mi Vc2/2+ mivi '2/2+mi Vcvi '. деформации тела и направлена в сторону Для этого рассмотрим два Полученное выражение представляет собой сумму трех существует закон, который связывает момент импульса L с требует определения одной функцией r (t), правда, векторной противоположную деформации. В простейшем случае 2 𝑀v близких момента времени t и t+ dt и вычислим изменение ′ ̅′ v̅ + слагаемых: 𝐸 = 𝐸 + 𝑃 𝑘 деформации растяжения и сжатия закон Р. Гука выражается функции от времени t. Для того, чтобы установить связь между моментом силы М . Чтобы установить этот закон, возьмем 2 импульса системы: ракета + вытекающий газ. Пусть в момент этими двумя способами описания, введем три единичных Кинетическая энергия твердого тела состоит из кинетической формулой , (1) времени t импульс системы равен p m v 1 .За время dt энергии его поступательного движения и энергии его движения производную от вектора L : 1 где x - изменение длины тела, k - коэффициент E' относительно СО, связанной с центром масс. Это вектора, орты i , j , k , направленных вдоль осей X, Y, Z, пропорциональности (так же называемый коэффициентом dL d d r d p d p [ r p] p r утверждение называется теоремой Кёнига. Eк = E' + M·Vc2/2. [ v p] r dt M , упругости), зависящий от материала тела, его размеров и dt dt dt dt выброшен газ массой dm со скоростью v относительно соответственно. Тогда, как видно из рисунка, Для точки обода 𝑚𝑣 2 формы. Знак минус явно указывает, что сила упругости dp ракеты, и импульса системы: ракета + газ стал равен: т.к. F (II - й з - н Ньютона) и p v , то : направлена в сторону, противоположную деформации. r x i y j z k , а модуль радиус–вектора r равен dt 12. Потенциальная энергия в поле центральных сил Для того чтобы деформировать тело, к нему необходимо p 2 (m dm)( v d v ) dm( v u ) . В выражении для p 2 (потенциальное поле, консервативные силы). Закон dp приложить внешнюю силу, тогда возникающие деформации [r ] [r F ] M .В результате получаем: dL M -- закон сохранения механической энергии. Силы, работа которых приведут к появлению сил упругости (рис. 62). Итак, причиной раскроем скобки и пренебрежем малой величиной более dt dt r x2 y 2 z 2 . на замкнутом пути равна нулю, называется деформаций являются внешние воздействия, а сами высокого порядка ( dmdv 0 ) p 2 m v md v u dm . Тогда изменения момента импульса материальной точки консервативными. деформации являются причиной сил упругости. Если относительно начала координат. Потенциальная энергия (или энергия положения тел) деформированное тело находится в состоянии равновесия, то изменение импульса системы: ракета + газ за время dt равно: Закон сохранения момента импульса системы определяется действием на тело консервативных сил и зависит возникающая сила упругости оказывается равной по материальных точек d p p 2 p1 md v u d m , md v d p u d m . Подставляя это только от положения тела. Мы видели, что работу силы величине и противоположной по направлению внешней Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек: тяжести F m g при криволинейном движении материальной силе . Таким образом, соотношение справедливо Выберем начало координат О, тогда положение точек будет во второй закон Ньютона d p , получим уравнение F только в состоянии равновесия и является следствием условий точки A12 можно представить в виде разности значений dt задаваться радиус-векторами r 1 , r 2 , ..., r n . Пусть равновесия, а не 3 закона Ньютона. движения тела с переменной массой: d v dm функции mg h , взятых в точке 1 и в точке 2: A12 mgh1 mgh2 m F u 6. Силы трения. проявлением межмолекулярных материальные точки обладают импульсами p1 , p 2 , ..., p n , и dt dt . Оказывается, что всегда, когда силы консервативны, работу взаимодействий являются силы трения скольжения – силы, Пусть материальная точка уравнение Мещерского. Второй член справа в этом уравнении пусть между материальными точками системы действуют силы возникающие при относительном движении двух тел и этих сил на пути 1 2 можно представить в виде: представляет собой dm - силу реактивной тяги, где движется по траектории r (t), и пусть в момент времени t направленные вдоль границы их соприкосновения. Одна из u Fp внутреннего взаимодействия F ik , а также на материальные dt A12 U1 U 2 . Функция , которая зависит только от причин появления трения очевидна – поверхности она находится в точке 1, описываемой радиус-вектором r1 . U r взаимодействующих тел не являются идеально гладкими, точки действуют внешние силы F i . Определим моменты этих dm — секундный расход топлива. микроскопические выступы и впадины зацепляются друг за Рассмотрим достаточно близкий следующий момент времени положения тела – называется потенциальной энергией.𝑼 = dt ∞ друга, в них возникают силы упругости, направленные вдоль t + t. В этот момент времени материальная точка находится сил относительно начала координат: 𝑭(𝒓)𝒅𝒓 – выражение для нахождения потенциальной ∫ M ik - момент 𝒓 Уравнение Циолковского поверхности соприкосновения в точке 2, и положение ее описывается радиус-вектором энергии в случае центральных сил взаимодействия когда точки законы, описывающие рассматриваемый вид взаимодействия Рассмотрим движение ракеты в невесомости, т.е. . F 0 находятся на расстоянии r д/д. Тогда для элементарной работы внутренней силы F ik , M i - момент внешней силы F i . носят экспериментальный (эмпирический) характер. Наиболее r2 . Тогда r r 2 r 1 , будет перемещение Пусть в начальный момент времени t = 0 скорость ракеты получим dA dU – работа равна убыли потенциальной Определим также моменты импульсов материальных точек простой вид закона, описывающего силу трения скольжения, . Масса ракеты вместе с топливом равна M, масса самой энергии. Иначе можно сказать, что работа совершается за счёт установлен экспериментально и носит название закона Кулона- v 0 материальной точки за время t, а величина r будет L 1 , L 2 , ..., L n . Далее для каждой материальной точки Амонтона. Это закон утверждает, что сила трения запаса потенциальной энергии. Величину E , равную сумме ракеты M 0 . Ракета при горении топлива может выбрасывать t скольжения пропорциональна силе нормальной реакции кинетической и потенциальной энергий частицы, называют запишем закон изменения момента импульса представлять среднюю скорость точки на участке траектории газы со скоростью u. Какую максимальную скорость v может взаимодействующих тел и направлена в сторону, полной механической энергией тела: E W U – полная развить ракета при полном расходовании топлива? Из противоположную скорости относительного движения тел L1 M 1 M 12 M 13 ... M 1n 12. Мгновенную скорость v определим как предел при Просуммировав левые и правые механическая энергия тела. В заключении заметим, что (рис.68) , (1) безразмерный коэффициент уравнения Мещерского в этом случае получаем mdv = - udm, t 0, т.е. как производную от радиус-вектора r . пропорциональности (называемый коэффициент трения) μ L2 M 2 M 21 M 23 ... M 2 n используя второй закон Ньютона F p , дифференциал или dv u dm . Проинтегрируем левую и правую части зависит от материала соприкасающихся поверхностей и m v d v - скорость при криволинейном степени их обработки. Как правило, этот коэффициент кинетической энергии dW можно представить в виде: v lim r Ln M n M n1 M n 2 ... M n( n 1) t 0 t dt V M 0 dm определяется экспериментально. Сила трения может M0 M . этого уравнения dv u части этих уравнений, получим m v u ln M u ln M 0 возникнуть и в том случае, когда тела не движутся друг движениии материальной точки. Как видно из рисунка dW dA F d r p d r . Дифференциал потенциальной энергии 0 M относительно друга, такую силу называют силой трения L1 L 2 ... Ln ( M 1 M 2 ... M n ) ( M 12 M 12 ) ... ( M n( n 1) M ( n 1) n ) покоя. Повседневный опыт указывает, что для того чтобы v u ln r - уравнение Циолковского, где r M — скорость v направлена по касательной к траектории. Далее 0 M dU , как указывали выше, равен: dU dA F d r . сдвинуть одно тело относительно другого, необходимо M0 при t0 r s, и линейная скорость v равен Силы взаимодействия между материальными точками приложить силу, превышающую определенное пороговое число Циолковского. Чтобы ракета при существовавших на то Таким образом, если сила F – консервативная сила и действуют в противоположные стороны вдоль одной и той же значение d s - модуль производной от пути по времени время видах топлива развивала первую космической скорости 8 v прямой. Их моменты относительно начала координат О равны Таким образом, сила трения покоя может принимать отсутствуют другие внешние силы, то dt M , км /с, необходимо было иметь очень большое число по величине и противоположны по направлению. Поэтому максимальное значение, после чего трение покоя переходит в r dE dW dU 0 E W U const , т.е. в этом случае вектора скорости. моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, терние скольжения. Силы, препятствующие движению, M 0 В механике вводится еще одна важная характеристика полная механическая энергия тела сохраняется. и сумма моментов всех внутренних сил равна нулю. В наблюдаются и при качении одного тела по поверхности движения – ускорение, т.е. скорость изменения вектора т.е. масса топлива во много раз должна была превышать массу Закон сохранения механической энергии системы другого. Эти силы называются силами трения качения. Сразу n оболочки ракеты. Чтобы избежать этого Циолковский результате получим d (L L ... L ) M . Если материальных точек. Рассмотрим систему, состоящую из n подчеркнем, что природа этих сил отличается от сил сухого i 1 2 n скорости v во времени: a lim v d v v r предложил использовать многоступенчатые ракеты. После материальных точек, между которыми действуют dt i 1 трения. Основной причиной возникновения трения качения t 0 t dt выгорания топлива в одной ступени ракеты эта ступень являются неупругие деформации самого катящегося тела и система материальных точек является замкнутой, то n M 0 , консервативные силы внутреннего взаимодействия , и ускорение материальной точки. Учитывая определение F ik отбрасывается , и начинает работать следующая ступень i поверхности, по которой происходит качение. Так колесо, i 1 ракеты. Циолковский таким образом предсказал полеты кроме того на материальные точки действуют внешние расположенное на горизонтальной поверхности деформирует и тогда имеет место закон сохранения момента импульса скорости v , ускорение a есть вторая производная от человека в космическое пространство. последнюю. При движении колеса деформации не успевают консервативные силы F i и внешние неконсервативные силы закон сохранения момента импульса L1 L2 ... Ln co nst восстановиться, поэтому колесу, приходится, как бы все время 10. Работа силы. Мощность. Геометрическая форма радиус-вектора r по времени t (две точки означают вторую взбираться на небольшую горку, из-за чего появляется момент F i . Для каждой материальной точки запишем второй закон системы материальных точек. Если система материальных представления работы. производную по времени t). сил, тормозящий качение (рис. 72). Неупругие деформации Механическая работа и мощность точек является замкнутой, то суммарный момент импульса колеса также приводят к появлению тормозящих сил. Если на тело действует сила, то эта сила совершает работу по системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени. 3. Движение материальной точки по окружности Таким образом, силы трения качения определяются упругими перемещению этого тела. Прежде чем дать определение работе Ньютона: p 1 F 12 F 13 ... F 1n F 1 F 1 , (равномерное и произвольное). Баллистическое свойствами взаимодействующих тел. Закон для силы трения при криволинейном движении материальной точки, 14. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. движение. Криволинейное движение точки в также является экспериментальным и приближенным, его рассмотрим частные случаи: Угловая скорость и угловое ускорение как векторные пространстве. p 2 F 22 F 23 ... F 2 n F 2 F 2 ,…, величины. Связь между векторами скорости и угловой Дв по окр это движ-е по траектории к-ая я-ся дугой принято записывать в форме , (2) скорости. окружности. При этом положение м/т м. определить углом где N - сила нормальной реакции, R - радиус катящегося тела, p n F n 2 F n 3 ... F n.n 1 F n F n . Далее левые и правые a)Сила постоянная F const , движение прямолинейное. В Угловая скорость и угловое ускорение Рассмотрим пофорота φ и радиус вектора проведенного из центра окр в k - коэффициент трения качения, имеющий размерность длины. твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. этом случае механическая работа A равна: A = F s cos = данную точку. Для описания вводится понятие угловой При записи формулы в такой форме, коэффициент трения части каждого уравнения умножим скалярно на d r i , ∆𝜑 Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности скорости 𝜔ср = , мгновенная понимается как предел к к-му качения определяется, главным образом, материалом ∆𝑡 соответственно, где i – номер материальной точки. разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. ∆𝜑 𝑑𝜑 взаимодействующих тел и не зависит от радиуса катящегося стремится 𝜔ср при стремлении к нулю ∆𝑡. 𝜔мгн = lim = , Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 Покажем это на примере i -ой материальной точки: тела. 2𝜋 (рис. 1). Ее положение через промежуток времени Δt зададим при равномерном движении 𝜔 = . 𝑇 углом Δφ. Элементарные (бесконечно малые) повороты можно 𝑑𝑥 𝑑𝑦 7. Закон сохранения импульса в изолированной системе x=Rcosφ y=Rsinφ, 𝑣𝑥 = = −𝜔𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑣𝑦 = = 𝜔𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑→ рассматривать как векторы (они обозначаются Δφ или dφ). p i F i1 F i 2 ... F in F i F i d r i , , или A = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 F s из двух материальных точек. Изменение импульса системы 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣 Модуль вектора dφ равен углу поворота, а его направление 𝑣 = 𝜔𝑅. 𝑎𝑥 = 𝑥 = −𝜔 2𝑅 cos 𝜑 𝑎𝑦 = = −𝜔 2𝑅 sin 𝜑 → материальных точек. Импульс силы. 𝑑𝑡 𝑑𝑡 совпадает с направлением поступательного движения острия Fcos s = FS s , где FS – проекция силы F на перемещеРассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. 𝑎 = 𝜔2𝑅 винта, головка которого вращается в направлении движения . Это p d r ( F F ... F ) d r F d r F d r i i 2 in i i i i i i i1 Между материальными точками действуют силы внутреннего Если угол поворота произвольным образом зависит от ние. В данном случае F s=const, и геометрический смысл точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого 𝑑𝜑(𝑡) взаимодействия F , а также на материальные точки действуют работы A – это площадь прямоугольника, построенного в равенство можно записать в виде: времени, то и 𝜔 зависит от времени.𝜔(𝑡) = , 𝜑(𝑡) = винта (рис. 1). Векторы, направления которых связываются с ik 𝑑𝑡 𝑡2 координатах F , , s . , или S направлением вращения, называются псевдовекторами или dWi dUi вз dUi внеш dAi 𝜑0 + ∫𝑡 𝜔(𝑡)𝑑𝑡 угловое ускорение есть предел к которому внешние силы Fi . Здесь Fik - внутренняя сила, действующая на 1 аксиальными векторами. Эти векторы не имеют ∆𝜔 𝑑𝜔(𝑡) стремится отношение Δω к Δt→0 𝜀(𝑡) = lim = , d (Wi U i вз U i внеш) dAi , где Wi – кинетическая энергия определенных точек приложения: они могут откладываться из 𝑑𝑡 i-ю материальную точку со стороны k-й материальной точки, ∆𝑡→0 ∆𝑡 b) Движение прямолинейное, сила переменная, т.е. F S 𝑡2 любой точки оси вращения. Угловой скоростью называется const. Построим график проекции силы на направление Fi - внешняя сила, действующая на i-ю материальную точку. i -ой материальной точки, U i вз – внутренняя векторная величина, равная первой производной угла поворота 𝜔(𝑡) = 𝜔0 + ∫ 𝜀(𝑡)𝑑𝑡 перемещения FS как функции перемещения s. Полное Материальные точки системы обладают импульсом: 𝑡1 потенциальная энергия i -ой материальной точки, U i внеш – перемещение представим как сумму n малых перемещений 𝑑𝑥 𝑑𝑦 тела по времени: Вектор ω 𝑣𝑥 (𝑡) = = −𝜔(𝑡)𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑(𝑡), 𝑣𝑦 = = 𝜔(𝑡)𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑(𝑡) внешняя потенциальная энергия i -ой материальной точки, si . Для малого i -ого перемещения si работа равна p i mi v i - импульс i-ой материальной точки. Система направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑥 = 𝜀(𝑡)𝑅 sin 𝜑(𝑡) − 𝜔 2 (𝑡)𝑅 cos 𝜑(𝑡) так же, как и вектор dφ (рис. 2). Размерность угловой скорости материальных точек называется замкнутой, если внешние Ai Fs i si или площади заштрихованной трапеции на d Ai – работа, которую совершают над i -ой 𝑎𝑦 = 𝜀(𝑡)𝑅 cos 𝜑(𝑡) − 𝜔 2 (𝑡)𝑅 sin 𝜑(𝑡) ω=Т-1, а ее единица — радиан в секунду (рад/с). Линейная силы отсутствуют, или их равнодействующая равна нулю: 𝑎̅(𝑡) = 𝜀(𝑡)(−𝑖𝑥 + 𝑗𝑦) + (−𝜔 2(𝑡)(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗) скорость точки (см. рис. 1) материальной точкой внешняя неконсервативная сила. n = 0. Запишем для каждой материальной точки второй Скалярное произведение первого на второе равно нулю→ Fi Просуммируем левые и правые части преобразованных i 1 перпендикулярны 𝑎𝑛 = −𝜔 2𝑅 второе указанным образом уравнений движения. 𝑑𝜔(𝑡) 𝑑𝑣(𝑡) , n n n n закон Ньютона: d p1 𝑎𝜏 = 𝜀(𝑡)𝑅 = 𝑅 = F12 F13 ... F1n F1 d ( Wi U i вз U i (внеш) ) dAi , или 𝑑𝑡 𝑑𝑡 dt i 1 i 1 i 1 i 1 𝑎 = √𝑎𝑛2 + 𝑎𝜏2 Второй закон Ньютона: Скорость изменения импульса тела равна геометрической сумме сил, действующих на данное 4. 3акон инерции. Инерциальные системы отсчета. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона и область его применимости. Существуют с/сы отсчета названные инерциальными в зависимости к-х тела достаточно удалены д/д и движутся прямолинейно и равномерно В основе классической механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687г. Первый закон Ньютона: Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной системой отсчета. Инерциальных систем отсчета существует бесконечное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно (т.е. с постоянной скоростью), будет также инерциальной. Опытным путем установлено, что система отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси направлены на соответствующим образом выбранные звезды, являются инерциальной. Эта система называется гелиоцентрической системой отсчета. Всякое тело противится попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел называется инертностью. В качестве количественной характеристики инертности используется величина, называемая массой тела m. Для количественной характеристики взаимодействия тел или полей вводится физическая величина, называемая силой F Воздействие на данное тело со стороны других тел вызывает изменение его скорости. Опыт показывает, что одинаковые . d p2 ,……… d pn F21 F23 ... F2n F2 Fn1 Fn2 ... F n( n1) Fn dt dt Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим 3 i 1 3 . Сумма d pi ( F12 F21) ( F13 F31) ... Fi dt i 1 производных равна производной от суммы, а также по третьему закону Ньютона: F 12 F 21 0,..., F 1n F n1 0 . В результате получим: d dt точек замкнута, т.е. n n n pi Fi i 1 Fi 0 . Если система материальных i 1 , тогда i 1 место закон сохранения импульса: d dt n n n pi Fi i 1 A12 lim S 0 S 2 n FSi si FS ds . Величина, стоящая под i 1 S1 интегралом будет представлять элементарную работу по бесконечно малому перемещению ds : d A FS d s F d r – = 0, и имеет элементарная работа. . c) Движение криволинейное, сила F переменная. Разбиваем траекторию движения материальной точки на бесконечно i 1 p i co n st i 1 d (W U вз U внеш) dA , где W – кинетическая энергия рисунке. Полная механическая работа по перемещению из точки 1 в точку 2 будет равна: p 1 p 2 ... p n const -- закон сохранения импульса системы материальных точек. Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный импульс системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени. 𝑑𝑃 Если система не замкнута = 𝐹внеш . ∆𝑃̅ = ̅̅̅̅̅̅ 𝐹внеш 𝑑𝑡 – импульс 𝑑𝑡 силы, мера действия силы за некоторый промежуток времени. малые перемещения d r и работу силы F по перемещению материальной точки из точки 1 в точку 2 определяем как 8. Теорема о движении центра масс. 2 – работа при Важное значение для системы материальных точек имеет криволинейный интеграл: A F dr 12 такое понятие, как центр масс. Сначала рассмотрим две 1 материальные точки с массами m1 и m2 и найдём их центр масс. криволинейном движении. В данном случае центр масс - это точка С, которая лежит на прямой соединяющей материальные точки. системы материальных точек, U вз , U внеш – внутренняя и внешняя потенциальная энергия м.т., dA – полная работа внешних неконсервативных сил. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, правая часть полученного уравнения будет равна нулю и, следовательно, полная механическая энергия системы остается постоянной: E W U вз U внеш co n st –- закон сохранения механической энергии системы материальных точек. Полная механическая энергия системы материальных точек, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной, т.е. сохраняется во времени. Для замкнутой системы закон сохранения полной механической энергии имеет вид: E W U вз const . Полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной, т.е. сохраняется во времени. Если в замкнутой системе, кроме консервативных, действуют такие неконсервативные силы, например, силы трения, то полная механическая энергия системы не сохраняется. Рис.1 т.е v=ωR. В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение: При этом модуль векторного произведения, по определению, равен ωRsin(ω, R), а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта его вращения от ω к R. Рис.2 Если ω=const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т - временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени Δt=Т соответствует Δφ=2π, то ω=2π/T, откуда Т=2π/ω. Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения: n=1/T=ω/(2π), откуда ω=2πn. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой 13. Понятие момента силы и момента импульса, связь между ними. Закон динамики вращательного движения производной yгловой скорости по времени: (для материальной точки и системы материальных точек). Закон сохранения момента импульса. Для простоты рассмотрим случай плоского движения, т.е. траектория движения материальной точки лежит в одной Линейная скорость элементарной массы m i равна vi ri , где ri -расстояние массы m i от оси вращения. Следовательно, для кинетической энергии элементарной массы Рис.3 При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору ω (рис. 3), при замедленном - противонаправлен ему (рис. 4). 2 2 2 получается выражение W mi vi mi ri . Кинетическая i 2 2 энергия вращающегося твёрдого тела складывается из кинетических энергий его частей. W n W 1 2 n m r 2 . i ii 2 i 1 i 1 Сумму, входящую в правую часть этого соотношения назовём моментом инерции I тела относительно оси вращения n необходимо не только изменить потенциальную энергию корабля в поле тяготения, но и сообщить ему некоторую кинетическую энергию для обращения по круговой орбите. Скорость обращения находится из условия равенства ускорения свободного падения и центростремительного Тогда откуда находим взлетную скорость, позволяющую вывести корабль на круговую орбиту радиусом r: I mi ri 2 - момент инерции твёрдого тела. Таким поперечное сечение трубы за единицу времени. Для этого сначала определим поток жидкости через кольцо радиуса r и . Стационарное течение – это установившееся движение жидкости, при котором вектор скорости в каждой точке пространства остаётся постоянным, т.е. ускорения: и составляет минимальная кинетическая энергия, которую должны сообщить кораблю двигатели при взлете, равна v (r , t ) времени v (r ) r 2 толщиной dr : dQ vdS v0 1 2 rdr -поток жидкости R 2 . Линии тока - это линии, проведённые в через кольцо dr. Интегрируя по r, получим поток жидкости через поперечное сечение трубы: движущейся жидкости так, что касательные к ним в каждой точке совпадают по направлению с вектором скорости v . Густота линий тока пропорциональна величине скорости в данном месте. Трубка тока – это часть жидкости, ограниченная линиями тока. Частицы жидкости при своём движении не Нормальная составляющая ускорения Значит, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение аτ, нормальное ускорение а n) и угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами: s=Rφ, v=Rω, аτ=Rε, an=ω2R. В случае равнопеременного движения точки по окружности (ω=const) ω=ω0±εt, φ=ω0t±εt2/2, где ω0 — начальная угловая скорость. 15. Момент инерции. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Момент инерции твердого тела Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Чтобы удержать ось от перемещений в пространстве, заключим её в подшипники. Опирающийся па нижний подшипник фланец Фл , предотвращает передвижение оси в вертикальном направлении . Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменным расстоянием между ними. Линейная скорость элементарной массы m i равна vi ri , где ri - 18. Инвариантность законов динамики в ИСО. Сила инерции. Пусть одна система движется относительно другой равномерно и прямолинейно со скоростью 𝑉̅ тогда 𝑟̅ = 𝑟̅′ + 𝑅̅ 𝑟̅ (𝑡) = 𝑟̅′ (𝑡) + 𝑅̅. Необходимо заметить что инерциальность с/с отсчета здесь фактически не использована поэтому закон сложения скоростей справедлив и в случае если 2-ая система движется ускоренно но не вращается 𝑎̅ = 𝑎̅′ абсолютное уск-ие равно относительному, это означает что ускорение инвариантно при переходе из одной ИСО в другое. 𝐹̅ = 𝑚𝑎̅, 𝐹̅′ = 𝑚𝑎̅′ . Сила зависит от разности 𝑟̅ и разности скоростей поэтому и сила инвариантно при переходе из одной ИСО в др. Система отсчета движется поступательно и ускоренно. Выберем 2-ую с/с так чтобы она двигалась относительно первой ИСО прямо и ускоренно. 𝑣(𝑡) = 𝑣 ′ (𝑡) + 𝑉̅ (𝑡), 𝑎̅ = 𝑎̅′ + 𝐴̅, где 𝐴̅ ̅ 𝑑𝑉 = я-ся переносным ускорением и тогда 𝐹 = 𝑑𝑡 𝑚(𝑎̅′ + 𝐴̅ ) 𝐹̅ − 𝑚𝐴̅ = 𝑚𝑎̅′ 𝐹ин = −𝑚𝐴̅ Для того чтобы сохранить формулировку закона ньютона в НИСО надо добавить силу инерции возникающего за счет 19. Система отсчета равномерно вращается (материальная точка покоится в НИСО, материальная точка движется в НИСО). Теорема Кориолиса. Пусть дан диск который равномерно вращается с угловой скоростью ω и пусть шарик соединен с центром диска пружиной. Шарик покоится. В этом случае он занимает положение при к-ом сила натяжения пружины оказывается равной ̅̅̅̅ 𝐹пр = −𝑚𝜔 2 𝑅 так выглядит ситуация со стороны ИСО. Свяжем с диском и вращающуюся с/с отсчета в к-ой диск и шарик покоятся т.е нах-ся в равновесии. Тут равновесие можно ̅̅̅̅ объяснить действием силы инерции ̅̅̅̅ 𝐹пр + 𝐹 ин = 0. 𝐹ин = −𝐹пр = 𝑚𝜔 2𝑅 = 𝐹ц.б. Силу инерции действующую на м/т в равномерно вращающейся с/с отсчета называют центробежной силой. Д.т.ч. описать состояние покоя в такой НИСО необходимо учитывать центробежную силу инерции. Пусть шарик масоой m движется вдоль радиуса расстояние массы m i от оси вращения. Следовательно, для кинетической энергии элементарной массы получается m r 2 2 . Кинетическая энергия выражение W ii i 2 2 вращающегося твёрдого тела складывается из кинетических mi vi2 энергий его частей. W n W 1 2 n m r 2 . Сумму, i ii 2 i 1 i 1 входящую в правую часть этого соотношения назовём моментом инерции I тела относительно оси вращения n I mi ri 2 - момент инерции твёрдого тела..Слагаемые i 1 этой суммы представляют момент инерции материальной точки относительно оси вращения I mr 2 - момент инерции материальной точки относительно оси вращения. Размерность момента инерции [ I ]= 1 кг м 2 . Таким образом, кинетическая энергия тела вращающегося вокруг неподвижной 2 оси, равна W I - кинетическая энергия вращающегося 2 𝐿 = 𝐼𝜔 𝑑(𝐼𝜔) твёрдого тела. 𝑑𝑡 = 𝑀 } – уравнение вращательного 𝐼𝜀 = 𝑀 движения тела. Произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно моменту внешних сил относительно неподвижной оси вращения. 16. Работа при вращении тела. Условия равновесия твердого тела. с постоянной скоростью 𝑣. Начнем вращать диск с 𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 тогда когда шарик достигнет края окажется в точке В. 𝑣′ относительно диска. Поэтому в с/с связанной с вращающимся диском на шарик действовала сила инерции кот-ую назвали силой Кориолиса. 𝑚 движется относительно вращающейся с/сы отсчета равномерно по ркружности в перпенд плоскости оси вращеня 𝑣 = 𝑣 ′ + 𝜔𝑅. Для того чтобы частица двигалась по окружности относительно ИСО на неё д.действовать сила направленная к 𝑚𝑣 2 𝑚(𝑣 ′ +𝜔𝑅)2 𝑚𝑣 ′2 центру окружности 𝐹 = = = + 2𝑚𝑣 ′ 𝜔 + 𝑅 𝑚𝑣 ′2 𝑅 r0. Тогда где υ1 — первая космическая скорость для рассматриваемой планеты. Для Земли, которая естественно интересует нас прежде всего, υ1z = 7,9 км/с. Пусть теперь , т. е. корабль, стартуя с поверхности планеты, имеет такую скорость, что способен преодолеть узы тяготения планеты и удалиться от нее на произвольно большое расстояние. При этом корабль будет двигаться по параболической траектории. По этой причине такая скорость носит название параболической относительно данной планеты, или второй космической. Она равна Для Земли υ2z = 11,2 км/с. Все эти рассуждения справедливы для изолированной планеты. Однако, если планета входит в планетную систему, имеющую центральное светило — Солнце, то, освободившись от тяготения планеты, корабль отнюдь не избавится от притяжения Солнца. Теперь он станет обращаться по замкнутой траектории вокруг Солнца. Чтобы разорвать путы солнечного притяжения, мы должны сообщить кораблю параболическую скорость относительно Солнца: 20. Законы Кеплера и обобщение Ньютона (закон всемирного тяготения). Сила тяжести. Поле тяготения. Космические скорости. 1) Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов орбиты. 2) Отрезок, соединяющий Солнце с планетой, описывает равные площади за равные промежутки времени. 3) Квадраты периодов обращения нескольких планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей эллипсов. 1 сохранения момента импульса. S r , r 2 - вектор площади треугольника. ⃗⃗𝑖 , приложенной к точке Рассмотрим действие внешней силы 𝐹 массой 𝑚𝑖 . За время 𝑑𝑡 элементарная масса 𝑚𝑖 проходит путь 𝑑𝑆𝑖 = 𝑟𝑖 𝑑𝜑𝑖 . Работа силы ⃗⃗𝐹𝑖 на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которая ⃗⃗⃗⃗𝑖𝑥 силы. 𝑑𝐴𝑖 = очевидно, равна тангенциальной составляющей 𝐹 𝐹𝑖𝑥 𝑑𝑆𝑖 = 𝐹𝑖𝑥 𝑟𝑖 𝑑𝜑. Но 𝐹𝑖𝑥 равна модулю момента 𝑀𝑖 силы ⃗⃗𝐹𝑖 относительно оси вращения. Работа 𝑑𝐴𝑖 = 𝑀𝑖 𝜑𝑖 , и будет положительна, если 𝑀𝑖 имеет такое же направление, как и 𝜔 ⃗ отрицательное, если направление векторов 𝑀𝑖 и 𝜔 ⃗ 𝑑𝜔 противоположны.𝜔 = 𝑖. С учетом, что 𝑑𝐴𝑖 = 𝑀𝑖 𝜔𝑑𝑡. Работа 𝑑𝑡 всех сил, приложенных к телу 𝑑𝐴 = ∑𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 𝜑𝑖 = 𝑑𝜑 ∑𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 = 𝑀𝑑𝜑. Полная работа 𝐴 = 𝜑 𝑡 ∫0 𝑀𝑑𝜑 = ∫0 𝑀𝜔𝑑𝑡 dS dt 1 [r, v] 2 1 [ r , p] 2m dS dt - секторальная площадь. L const 2m 3) Для эллипсов вывод более громоздкий, но для круговых орбит просто: maц 2 , T GmM GmM , m2r 2 2r 3 const , r2 r 4 2 r 3 const , T2 r13 r23 T 2 r3 12 13 . T12 T22 T2 r2 Кеплеровские законы были уточнены и объяснены на основе 17. Теорема Гюйгенса - Штейнера. Момент инерции и закона всемирного тяготения Исааком Ньютоном. Закон же кинетическая энергия вращения твердого тела вокруг всемирного тяготения гласит: неподвижной оси. Сила F взаимного притяжения между материальными Момент инерции тела относительно нецентральной оси. точками массами m1 и m2, находящиеся на расстоянии r друг Теорема Штейнера. Пусть тело вращается вокруг от друга, равна: F=Gm1m2/r^2, где G - гравитационная неподвижной нецентральной оси. Это тело обладает постоянная. Закон открыт Ньютоном также в XVII веке 2 кинетической энергией W I (1), (понятно, что на основе законов Кеплера). 2 Таким образом в формулировке Ньютона законы Кеплера звучат так: - первый закон: под дествием силы тяготения одно небесное тело может двигаться по отношению к другому по окружности, эллипсу, параболе и гиперболе. Надо сказать, что он справедлив для всех тел, между которыми действует взаимное притяжение. - формулирование второго закона Кеплера не дана, так как в этом не было необходимости. - третий закон Кеплера сформулирован Ньютоном так: квадраты сидерических периодов планет, умноженные на сумму масс Солнца и планеты, относятся как кубы больших полуосей орбит планет. где I - момент инерции СИЛА ТЯЖЕСТИ Частным, но крайне важным для нас видом ' ' силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к тела относительно данной нецентральной оси O O . Земле. Эту силу называют силой тяжести. Согласно закону 𝑚𝑀 Проведём через центр масс С ось ОО , параллельную данной всемирного тяготения, она выражается формулой 𝐹𝑇 = 𝐺 (𝑅+ℎ)2 ' ' нецентральной оси O O . Тогда вращение твёрдого тела можно представить как результат вращения центра масс С ' вокруг оси O O ' и вращение твёрдого тела вокруг центральной оси ОО тоже с угловой скоростью . Кинетическую энергию тоже можно представить как сумму двух слагаемых. W I 0 2 2 2 c mv 2 (2); где vс d - линейная скорость центра масс. C учётом (1) и (2) получаем I I 0 md - теорема Штейнера. Теорема Штейнера: 2 пересекают стенок трубки тока. Возьмем несжимаемую жидкость и рассмотрим в ней трубку тока. Объём жидкости, прошедшей через поперечное сечение S за время t, равен Svt. Тогда Q = Sv - поток жидкости, т.е. объём жидкости, прошедшей через поперечное сечение S за единицу времени. Если жидкость несжимаема, то объем жидкости между сечениями S1 и S2 будет оставаться неизменным, и тогда S1v1 = S2v2 . Это справедливо для любой пары S1 и S2 , и мы получаем Sv = const – теорема о неразрывности струи: Для несжимаемой жидкости величина потока жидкости Sv в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинаковой. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли. Идеальная жидкость – жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует. и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. II.Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источник света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. 22. Гармонический осциллятор. Превращения энергии при колебаниях осциллятора. Примеры гармонических осцилляторов (физический маятник, математический маятник). Гармонический осциллятор (в классической механике) — это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы , пропорциональной смещению. Кин. И потен. Энергии меняются в противофазе вокруг общего среднего значения с удвоенной частотой с течением времени кинетическая переходит в потенциальную и наоборот. Полная энергия остается постоянной. 23. Плотность среды и давление в гидростатике. Основные законы гидростатики. Барометрическая формула. Жидкости и газы находятся в напряженном сжатом ∆𝑚 состоянии. Степень напряженности хар-ся давлением 𝜌 = . ∆𝑉 Выделим мысленно мелкую площадку внутри объема жидкости. На площадку с 2-х сторон действуют силы происходящие от беспорядоченного движения молекул. Пусть сила с одной стороны, с другой тоже равнa ΔF, тогда давление на площадку называют отношение сила нормально ∆𝐹 действующей на площадку к величине площадки ΔS: 𝑃 = ∆𝑆 Закон паскаля давление в любом месте покоящейся жидкости одинакова по всем направлениям и одинаково передаются по всему объему занимаемому жидкостью (этот закон справедлив в достаточно малом объеме когда сила тяжести действующая на данный объем во много раз меньше сил давления на его стенки. АРХИМЕДА ЗАКОН: на всякое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости. 𝐹 = 𝜌𝑔𝑉 Р-dP dx Р x х=0 давление уменьшается на малую величину dP gdx , где постоянную: P P0e RT . следующий опыт: В жидкость погружены две параллельные друг другу пластины, линейные размеры которых значительно превосходят расстояние между ними d. Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение относительно нижней с v0 под действием постоянной силы v0 S -- сила трения, действующая на пластину d коэффициент вязкости. Опыт показывает, что v( z) v0 z d v12 получим: 2 gh P1 v22 2 ` gh2 P2 . Поскольку сечения S1 и S2 произвольные, то это справедливо в любом сечении трубки тока. В стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие: v 2 2 2 оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше. Истечение жидкости из отверстия Рассмотрим истечение жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде. Выделим в жидкости трубку тока, имеющую своим сечением с одной стороны открытую поверхность, а с другой стороны – отверстие, через которое вытекает жидкость. P1 = P2 – давления в обоих сечениях равны атмосферному. Скорость перемещения открытой поверхности в широком сосуде положим, равна нулю. Тогда: gh1 v 2 2 v0 d - модуль градиента скорости. F d v S - сила тр dz внутреннего трения между слоями жидкости при ее движении. Размерность коэффициент вязкости: в СИ 1Па с , в СГС 1П (пуаз) . 1 Па с=10 П. У жидкостей коэффициент вязкостиуменьшается с увеличением температуры, у газов наоборот. Наблюдается два вида течения жидкости (газа): 1)Ламинарное (слоистое) течение - течение, при котором жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. 2)Турбулентное течение – течение, при котором возникает сильное перемешивание жидкости. Течение жидкости при этом нестационарное. Английский учёный Рейнольдс установил, что характер течения жидкости зависит от значения безразмерной величины: vl Re - число Рейнольдса, где l характерный для - кинематический коэффициент вязкости. 26. Параметры, определяющие состояние вещества. Идеальный газ. Вывод основного уравнения кинетической теории газов. Вывод основных газовых законов. Уравнение состояния идеальных газов. Идеальным газом называется газ, молекулы которого не взаимодействуют друг с другом на расстоянии и имеют исчезающе малые собственные размеры. Состояние заданной массы m идеального газа определяется значениями трёх параметров: давления P, объёма V, и температуры Т. Уравнение состояния идеального газа или уравнение Менделеева - Клапейрона является обобщением законов идеального газа, открытых экспериментально до создания МКТ. Однако, из основного уравнения МКТ (2.3), можно получить уравнение состояния идеального газа. Для этого подставим вместо средней кинетической энергии поступательного движения молекулы в основное уравнение МКТ идеальных газов правую часть равенства (2.4), получим уравнение, в которое не входят микропараметры газа P nkT (2.5). Так как n gh2 , где v – скорость течения из отверстия. Отсюда: v 2 gh dv dz v gh P const – уравнение Бернулли. 2 скорость частиц жидкости в разных слоях. Так как поперечного сечения размер. Как видно из этого выражения, имеет смысл ввести новую характеристику вязкой жидкости: Для горизонтальной линии тока уравнение Бернулли примет v12 v22 P1 P2 , т.е. давление вид: N V или PV NkT . Учитывая, что - , следовательно, P N m NA N kT V , получим формула Торричелли, где h = h1 - h2. K vv t - N=NA K Svv - реакция импульс силы. Fr t газовая постоянная [2,3,5,15] или универсальная газовая постоянная [1,6,7,] , то получим уравнение Менделеева вытекающей струи. Fr Sv2 2 ghS Течение жидкости по трубе. Формула Пуазейля. V Дж , а так как N Ak = R = 8,3 моль К m m Пологая течение жидкости ламинарным, найдём закон изменения скорости v с расстоянием r от оси трубы, т.е. v(r) -? Выделим воображаемый цилиндрический объём жидкости радиуса r и длинны l. Поскольку скорости всех частиц жидкости являются постоянными v = const, сумма внешних сил, приложенных к любому объёму жидкости, равна нулю. На основание цилиндра действуют силы давления, сумма которых равна: . На боковую поверхность цилиндра действует сила трения: F d v 2r . Поскольку тр dz dv Fдавл Fтр (1) , то ( P1 P2 ) r 2 2r . Учитывая, dz - молярная RT (2.6). Уравнение состояния газа часто удобно использовать в записи, предложенной Клапейроном, если количество вещества не изменяется PV m R или T PV const (2.7). Уравнение (2.7) часто называют T обобщённым газовым законом. Тот факт, что из основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа можно вывести уравнение состояния идеального газа, подтверждает верность молекулярно-кинетической теории вещества. Основное уравнение молекулярно – кинетической теории газов. Возьмем сосуд с газом и определим давление P газа на стенки сосуда. Для простоты рассмотрения выберем этот сосуд в форме куба с ребром l и расположим его в декартовой системе координат, как показано на рисунке. Пусть в сосуде имеется всего N молекул. Предположим, что: 1)Вдоль оси х движется одна треть всех молекул, т.е. N1 N 3 ; 2)Удар молекул о стенку Q идеально упругий и молекулы проходят расстояние, равное размеру куба, не испытывая соударений. Импульс силы, полученный стенкой при ударе молекулы, определим из второго закона Ньютона. F t p . где p mV2 m V 1 - изменение импульса молекулы, m – масса молекулы. Поскольку масса стенки намного больше массы молекулы, то V2 V 1 и p 2mV1 или по модулю p 2 mV , где использовано обозначение V1 V2 V . Таким образом, одна молекула одна молекула за время t передает стенке импульс силы F t 2 mV , а за время t 1 сек передаёт стенке импульс силы равный F 1 2 mVk , где k (3.15'). 24. Понятие потока жидкости (газа) и уравнение непрерывности. Вывод уравнения Бернулли. Теорема Торричелли. Течение в горизонтальной трубе. Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости -формула Пуазеля . Ее можно 25. Вязкость. Ламинарное течение в трубе. Формула Пуазейля. Турбулентное течение жидкости. Число Рейнольдса. Гидродинамика вязкой жидкости. Коэффициент вязкости. Ламинарные и турбулентные течения. Всем реальным жидкостям и газам присуща вязкость или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Рассмотрим Fтр 4 gx 4 при ее движении, где - коэффициент внутреннего трения или Fдавл (P1 P2 ) r 2 Р0 Рис.3.8 Известно, что атмосферное давление с высотой уменьшается. Установим закон изменения атмосферного давления в зависимости от высоты. Упростим задачу, считая температуру постоянной и не изменяющейся с высотой. При возрастании высоты на небольшую величину dx 2 8 F . Пусть S - площадь поверхности пластин, тогда - плотность газа, = m0n, m0 - масса молекулы. Удобно что скорость убывает с расстоянием от оси трубы, т.е. выразить плотность газа через макропараметры – температуру dv ( P1 P2 )r , dv d v , из (1) получим: и давление. Для этого воспользуемся формулой (2.5) и получим dr 2 dz dr m P m Pg P , тогда 0 , а n dP 0 dx . P1 P2 kT kT kT dv rdr . Интегрирование даёт: 2 mg dP Разделим переменные 0 dx Интегрируя, P kT P P2 2 v 1 r c . Так как при r = R скорость v = 0, то 4 mg получаем: ln P 0 x ln C , где С - постоянная kT P P2 c 1 R 2 , где R - радиус трубы. интегрирования, которую находим из условия : при x=0 и 4 где 𝑚 – масса тела, М – масса Земли, R – радиус Земли, h – m gx P высота тела над поверхностью Земли. Сила тяжести направлена С=Р0 . Тогда ln P ln P0 m0 gx или ln 0 . P0 kT kT вертикально вниз, к центру Земли. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ, пространство вокруг предмета, После потенцирования получим барометрическую формулу чья масса способна притягивать другой предмет. Сила этого m0 gx притяжения, разделенная на массу второго предмета, и есть сила гравитационного поля. Предмет с большой массой, такой P P0e kT (3.15). Учитывая, что масса молекулы P1 P2 2 r 2 - закон изменения скорости как Земля, имеет мощное гравитационное поле, и оказываемое может быть выражена через молярную массу и число Авогадро v(r ) 4 R 1 R 2 им воздействие называется силой гравитации (или тяготения). Слабая гравитационная сила существует даже между очень m0 , а N Ak R , показатель экспоненты можно жидкости от расстояния до оси трубы. Если маленькими частицами. NA Элементарная работа перемещения тела массой m в поле P1 P2 2 - скорость на оси трубы, то v v ( 0 ) R тяготения небесного тела массой М равна записать через молярную массу и универсальную газовую 0 Момент инерции I относительно произвольной оси равен где r — расстояние между центрами сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной масс обоих тел, G — гравитационная постоянная. Изменение данной и проходящей через центр масс тела, и произведения потенциальной энергии тела, когда его расстояние до центра массы тела m на квадрат расстояния d между осями : тяготения меняется от r1 до r2, равно работе, совершаемой над 2 Таким образом, теорема Штейнера, по существу, I I 0 md телом при таком перемещении: сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции Подсчитаем относительно оси, проходящей через центр масс тела. минимальную энергию, требующуюся для выведения космического корабля на круговую орбиту радиусом r с поверхности планеты радиусом r0. В этом случае нам 1 некоторой скоростью Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения. Рассмотрим = 16,7 км/с. объём жидкости V, ограниченный стенками трубки токаи и Итак, сообщив кораблю скорость υ3 у поверхности Земли, мы перпендикулярными к линиям тока сечениями S и S . За время 1 2 можем послать его к любой звезде, лежащей в плоскости t этот объём переместится. В силу непрерывности струи: V1 обращения Земли. К любой, кроме ближайшей — Солнца! = V2 =V. Энергия каждой частицы жидкости складывается из её кинетической и потенциальной энергии. Вследствие 21. Элементы специальной (частной) теории стационарности течения приращение энергии Е всего относительности. Постулаты Эйнштейна. Преобразования рассматриваемого объёма V можно вычислить как разность Лоренца и их следствия. Основной закон релятивисткой динамики материальной точки. Закон взаимосвязи массы и энергий заштрихованных объёмов V1 и V2. энергии. Vv 2 Vv 2 2 1 E Vgh2 Vgh1 где 2 2 В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна, сформулированные им в 1905 г. плотность жидкости. В идеальной жидкости приращение I. Принцип относительности: никакие опыты (механические, энергии должно равняться работе, совершаемой над электрические, оптические), проведенные внутри выделенным объёмом силами давления: Е = А (1), А = P1S1l1 даннойинерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно - P2S2l2 = (P1 - P2)V. Подставляя в (1) и сократив V, Потен mv2/2, потенциальная kx2/2. 2 𝑚𝜔02 𝑥𝑚𝑎𝑥 (1 − cos( 2(𝜔0𝑡 + 𝜑))) 𝑊𝑘 = 4 2 𝑚𝜔02 𝑥𝑚𝑎𝑥 (1 + cos( 2(𝜔0𝑡 + 𝜑))) 𝑊𝑛 = 4 1) Мы показали, что замкнутые орбиты являются эллипсами. 2) Второй закон Кеплера представляет собой закон P P R использовать для определения коэффициента вязкости где MC — масса Солнца, rorb — радиус орбиты планеты, которую мы для простоты считаем круговой, υorb — скорость орбитального движения планеты. Для Земли υorb = 29,8 км/с и υpar C = 42,1 км/с. Означает ли это, что мы обязаны разогнать корабль до скорости 42,1 км/с для того, чтобы он ушел произвольно далеко от Солнца? Конечно, нет, ведь мы можем использовать грандиозную катапульту, которой снабдила нас природа,— Землю, несущуюся по своей орбите со скоростью υorb. Легко понять, что для Земли скорость, позволяющая, хотя бы в принципе, долететь до любого космического объекта, расположенного в плоскости орбиты Земли за пределами Солнечной системы,— третья космическая скорость — равна 𝑅 𝑚𝜔 2𝑅. В НИСО = 𝐹 − 2𝑚𝑣 ′ 𝜔 − 𝑚𝜔 2 𝑅, 2𝑚𝑣 ′ 𝜔 - сила 𝑅 Кориолиса. 𝐹̅𝑘 = 2[𝑣̅′ × 𝜔] сила кориолиса действует только на тела движущиеся относительно вращающейся системы отсчета и ⏊-на 𝜔 и 𝑣, находится по правилу буравчика. r2 1 R R v0 1 2 2 rdr 2v0 rdr 2 r 3dr R R 0 0 R2 R 4 1 1 2v0 R 2v0 Sv0 2 2 2 4R 2 0 Возьмем вначале радиус орбиты r = образом, кинетическая энергия тела вращающегося вокруг Рис.4 Тангенциальная составляющая ускорения a τ=dv/dt , v=ωR и R Q i 1 2 неподвижной оси, равна W I - кинетическая энергия 2 вращающегося твёрдого тела. Q v , как функцию r2 Вычислим поток v(r ) v0 1 2 R жидкости Q – т. е. объём жидкости, протекающей через 2 𝑃𝑉 = 3 𝑁′ 𝑚𝑐 2 2 , 𝑚𝑐 2 2 одной молекулы. : k – средняя кинетическая энергия R NA 1,3810 23 Дж К - постоянная Больцмана 28. Распределение скоростей молекул по Максвеллу. Так Наивероятнейшая скорость.Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям и 2l энергиям теплового движениПри выводе основного как t - промежуток времени между двумя уравнения молекулярно-кинетической теории молекулам заV давали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю последовательными ударами,. то k 1 V , тогда и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул t 2l все направления движения являются равновероятными, т. е. в 2 2 любом направлении в среднем движется одинаковое число 2mV mV . Теперь подсчитаем суммарный молекул. По молекулярно-кинетической теории, как бы ни F 1 2l l изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой m0 в газе, находящемся импульс силы, который передают стенке N1 молекул, в состоянии равновесия при Т = const, остается постоянной и движущихся вдоль оси x, за 1 сек равной <vкв> =3kT/m0. Это объясняется тем, что в газе, 2 2 2 N1 V V ... V находящемся m 2 m 1 m Nравновесия, m V 2 устанавливается 2 N1 2 в состоянии (V1 V22 ... VN21 ) N1некоторое Vстационарное, N1 не меняющееся со временем Fi i 1 l l N1 l 3 скоростям, l которое подчиняется распределение молекул по вполне определенному статистическому закону. Этот закон , где скобки < > обозначают среднее значение выражения, стоящего в скобках. Если извлечь корень квадратный из < V2 >, теоретически выведен Дж. Максвеллом.При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл предполагал, получим среднюю квадратичную скорость молекул, которую что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового V12 V22 ... VN2 движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, будем обозначать <Vкв> VКВ что силовые поля на газ не действуют.Закон Максвелла N описывается некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон - средняя квадратичная скорость молекул газа. Давление, скоростей молекул намалые интервалы, равные dv, то на кажоказываемое газом на грань куба, равно: дый интервал скорости будет приходиться некоторое число N1 молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом 2 Fi интервале. Функция f(v) определяет относительное число N m V 1 2 i 1 P 2 nm V , где n – молекул dN (v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до l 3 l3 3 v+dv, т. е.откуда f(v)=dN(v)/Ndv Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f(v) — закон для концентрация молекул. Запишем это выражение в виде распределения молекул идеального газа по скоростям: – число ударов молекул за 1 сек. 2 P n 3 m V2 2 , чтобы подчеркнуть, что в левую часть этого выражения входит средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы Тогда m V 2 2 кинетической теории ( уравнение Клаузиуса ) С учетом уравнения состояния идеального газа: P n k T получаем энергия поступательного движения молекул. Мы видим, что величина kT есть мера энергии теплового движения молекул. Газовые законы установлены в 17 веке экспериментально. Однако, их можно получить, используя уравнение Менделеева - Клапейрона. Закон Бойля-Мариотта. Для данного количества const рассмотрим изотермический процесс, то есть процесс, протекающий без изменения температуры (Т= const). Используя уравнение (2.6) или (2.7), получим уравнение изотермы, выраженное через давление и объём газа: PV const (2.7). или P1V1 P2V2 (2.7’). Для данного и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что функция f(v) удовлетворяет условию нормировки Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Значение наиболее вероятной скорости ожно найти продифференцировав выражение (44.1) (постоянные множители опускаем) по аргументу v, приравняв результат нулю и используя условие для максимума выражения f(v): количества вещества при изотермическом процессе произведение давления на объём есть величина постоянная. Для построения диаграммы Р(V) выразим давление через объем P m RT . Зависимость между давлением и объёмом V – обратно пропорциональная, графически представлена гиперболой на рис.2.3 а. Температурные зависимости давления и объёма представлены на рис.2.3 б и в, соответственно. Закон Гей-Люссака. Для данного количества вещества m const рассмотрим изобарический процесс, то есть процесс, протекающий без изменения давления (Р = const). Используя уравнение (2.6) или (2.7), получим уравнение изобары, выраженное через температуру и объём: V const ,(2.8). через параметры начального и конечного T состояния V1 T1 V2 T2 или V1 V2 T1 T2 . Для данного количества вещества при изобарическом процессе отношение объёма к температуре (или наоборот) есть постоянная величина. Изобарический закон можно записать и в виде: V V 0 1 t . Здесь V0 - объём газа при t=0 C, t0 температура в С, - термический коэффициент объемного 0 1 dV . Для идеального газа V dT P расширения; V v RT P dV vR vR V 1 , dT P , но P T , тогда T P - термический коэффициент объёмного расширения идеального газа равен величине, обратной температуры. Изображение этого процесса приведено на рис. 2.4. Закон Шарля. Для данного количества вещества m P T const рассмотрим Значения v=0 и v= соответствуют минимумам выражения (44.1), а значение v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость vв: Из формулы (44.2) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рис. 66) сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться. Средняя скорость молекулы <v> (средняя арифметическая скорость) 29. Число степеней свободы. Закон Больцмана. Внутренняя энергия газа. Важной характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия U — энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц. Из этого определения следует, что к внутренней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях. Внутренняя энергия — однозначная функция термодинамического состояния системы, т. е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией (она не зависит от того, как система пришла в данное состояние). Это означает, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение внутренней энергии определяется только разностью значений внутренней энергии этих состояний и не зависит от пути перехода. В § 1 было введено понятие числа степеней свободы — числа независимых переменных (координат), полностью определяющих положение системы в пространстве. В ряде задач молекулу одноатомного газа (рис. 77, а) рассматривают как материальную точку, которой приписывают три P1 P2 T1 T2 P1 T1 P2 T2 . Для данного количества вещества при изохорическом процессе отношение давления к температуре (или наоборот) есть величина постоянная. Изображение этого процесса приведено на рис. 2.5. Закон Авогадро При одинаковых давлениях (Р) и температурах (Т) в равных объемах (V) любого газа содержится одинаковое число молекул. PV N1kT PV N2kT , следовательно, N1 = N2 Закон Дальтона (для смеси газов) Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений Рсм=Р1+Р2+... +РК (2.10). Этот закон можно также получить, используя уравнение состояния идеального газа. PсмV N1 N 2 Ni kT , Pсм N1kT N kT N kT 2 i V V V P1 N1kT V парциальное давление - давление, которое оказывал бы данный компонент газа, если бы он один занимал весь объем, предоставленный смеси. 27. Универсальная газовая постоянная. Средняя квадратичная скорость молекул. Постоянная Больцмана и средняя кинетическая энергия одной молекулы. R - Численно равна работе расширения одного моля идеального газа в изобарном процессе при увеличении температуры на 1 К.=8,31дж/(моль*К) Сфера. 2𝑚𝑈𝑐𝑜𝑠𝜑 = ∆𝑃1 , 𝐴𝐵 = 2𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑, число ударов о 𝑈 стенку за 1 с 𝜈 = следовательно сумма всех импульсов 2𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 сообщенных одной молекулой за 1 с равняется 2𝑚𝑈𝑐𝑜𝑠𝜑 × 𝑈 2𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑚𝑈 2 𝑅 а у нас таких молекул 𝑁′ т.е. сумма импульсов за 1 с ∆𝑃⁄∆𝑡 = 𝐹 = ∑ 𝑈 2 сила с которой все молекулы давят на стенку. 𝑃 = сообщенных стенке всеми молеклами 𝑚 𝑅 𝐹 𝑆 = 1 𝑚 ∑ 𝑈2 3 𝑅4𝜋𝑅2 3 ∑ 𝑈2 𝑐=√ 𝑁′ = 1𝑚 ∑ 𝑈 2 3𝑉 1 1 , 𝑃𝑉 = 3 𝑚 ∑ 𝑈 2 = 3 𝑁′𝑚 среднеквадратичная скорость одной молекул на 1 градус: (4.2.2) [Cμ] = Дж/(моль×К). Из п. 1.2 известно, что молярная масса – масса одного моля: где А – атомная масса; mед - атомная единица массы; NА число Авогадро; моль μ – количество вещества, в котором содержится число молекул, равное числу атомов в 12 г изотопа углерода 12С. Теплоёмкость термодинамической системы зависит от того, как изменяется состояние системы при нагревании. Если газ нагревать при постоянном объёме, то всё подводимое тепло идёт на нагревание газа, то есть изменение его внутренней энергии. Теплоёмкость при этом обозначается СV. СР – теплоемкость при постоянном давлении. Если нагревать газ при постоянном давлении Р в сосуде с поршнем, то поршень поднимется на некоторую высоту h, то есть газ совершит работу (рис. 4.2). . Итак, проводимое тепло и теплоёмкость зависят от того, каким путём осуществляется передача тепла. Значит, Q и С не являются функциями состояния. Величины СР и СV оказываются связанными простыми соотношениями. Найдём их. Пусть мы нагреваем один моль идеального газа при постоянном объёме(dA = 0). Тогда первое начало термодинамики запишем в виде: (4.2.3) т.е. бесконечно малое приращение количества теплоты равно приращению внутренней энергии dU. Теплоемкость при постоянном объёме будет равна: ∑ 𝑈2 𝑁′ Сравнивая эту формулу с другой формулой dU i RdT, 2 получим выражение для молярной теплоёмкости газа при Из (4.2.4) следует, что A CV (T1 T2 ) T1 1: PV1 RT1 V1 2: PV RT2 V T 2 2 внутренней энергии газа тоже не равно нулю dQ dU dA - первое начало термодинамики. i RT 2 , где m Подставив это выражение в dU + dA = 0, получим дифференциальное уравнение: dT T ( 1) CV dV V 0, 0 , можно записать в виде . Это дифференциальное уравнение приводится к полному дифференциалу: d (ln(TV 1)) 0. Решение этого дифференциального уравнения имеет вид 1 1 R V TV 1 co n st , получим PV co n st, или PV const - zR уравнение Пуассона, где -коэффициент Пуассона. TV 1 const PV const T const P 1 совершаемую газом, также представим в аналогичном виде dA PdV RdT . Здесь мы воспользовались уравнением Менделеева-Клапейрона PV RT , дифференциальное уравнение которого при P const дает PdV RdT . Из выражения для работы следует размерность и физический смысл универсальной газовой постоянной R: R dA , dT . Универсальная газовая постоянная R численно Дж мольК равно работе, совершённой одним молем газа при изобарическом процессе при увеличении его температуры на один градус. Продолжим рассмотрение изобарического процесса. Подставляя полученные выражения для dQ, dU, dA в первое начало термодинамики, получим: C P dT CV dT RdT. Сокращая на dT, получим CV и постоянном давлении CP : C P CV R - соотношение Майера. Учитывая выражение для C i R , получим аналогичное выражение для V CP 2 - уравнения адиабаты. Политропический процесс Реализованные на практике процессы не всегда можно отнести к какому-либо рассмотренному выше процессу. В этом случае процесс можно считать политропическим. Политропическим процессом называется всякий процесс изменения состояния, при котором теплоёмкость газа С остаётся постоянной и равной С Q dT . Отсюда выразим количество теплоты через теплоёмкость газа при политропическом процессе: Q CdT . Используем первое начало термодинамики: Q CV dT PdV . Здесь CV C V и CP CP - теплоёмкости газа при постоянном объёме и давлении соответственно. С учётом выражения количества теплоты через теплоёмкость политропического процесса получим СdT CV dT PdV или C CV dT PdV (4.38). Продифференцируем уравнение состояния идеального газа и выразим дифференциал = i 2 R . Приведем также выражение для отношения 2 молярных теплоёмкостей CP CV и i 2 . Для CV i CP изобарическом процессе (P=const): V2 V2 V1 V1 A PdV P dV P(V2 V1). A P(V2 V1 ) - работа, совершаемая газом при изобарическом процессе. температуры: dT PdV VdP . Учтём, что R CP CV , R а R CP CV СP CV , получим: dP P C CP dV C CV V 0 (4.39). Обозначим C CP n - C CV показатель политропы. После интегрирования (4.39) и дальнейшего потенцирования полученного результата, придём n к уравнению политропы: PV const (4.40). Это уравнение может быть выражено и через другие пары параметров состояния, аналогично тому, как это было сделано для адиабатного процесса. 35. Круговые процессы или циклы. Идеальная тепловая машина и цикл Карно. К.П.Д. идеальной тепловой машины. К.П.Д. реальной тепловой машины. На графике (P,V) работа, совершаемая газом, численно равна площади прямоугольника, построенного под изобарой. 3. Термодинамика изотермического процесса: T=const. Приведем закон, описывающий этот процесс, и его график в - количество вещества, i – dU i RdT 2 - изменение координатах (P,V). 1 : P1V1 RT PV P V const - закон Бойля1 1 2 2 2 : P2V2 RT элементарную работу в виде: dA PdV RT dV . Тогда dA Fdl PSdl PdV , где dV=Sdl - изменение 2 = 0 - изменение внутренней энергии газа при изотермическом процессе равно нулю. Тогда dQ = dA - Первое начало термодинамики при изотермическом процессе. При изотермическом процессе вся теплота, сообщенная газу, идет на работу, совершаемую газом: Q=A. Выпишем работу, совершаемую газом при изотермическом процессе. Используя уравнение Менделеева-Клапейрона PV RT , представим V V2 V2 dV V1 V1 V A PdV RT RT ln V2 . работа, совершаемая V1 dA PdV - работа, совершаемая газом при М а затем сжимается до первоначального объёма при его нагревании на dT . Для этого введем понятие молярной теплоёмкости газа . Молярная теплоёмкость газа – это количество теплоты, сообщённой 1 молю газа, для увеличения его температуры на dT . Тогда формула для подсчёта теплоты будет иметь вид d Q Cd T - теплота, сообщённая газу для увеличения его температуры на dT. 32. 0братимые и необратимые процессы. Равновесные и неравновесные процессы. Изопроцессы в газах. энергия молекулы где i — сумма числа Равновесным состоянием системы называется такое поступательных, числа вращательных и удвоенного числа состояние, при котором параметры системы имеют колебательных степеней свободы молекулы: i =iпост+iвращ+2iколеб. определённые значения, остающиеся при неизменных внешних В классической теории рассматривают молекулы с жесткой условиях постоянными сколько угодно долго. Процесс, связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней состоящий из непрерывной последовательности равновесных свободы молекулы. Так как в идеальном газе взаимная состояний, называется равновесным или квазистатическим. Из потенциальная энергия молекул равна нулю (молекулы между сказанного следует, что равновесным может быть только собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия, отнесенная бесконечно медленный процесс. При достаточно медленном к одному молю газа, будет равна сумме кинетических энергий протекании реальные процессы могут приближаться к NA молекул: равновесному процессу сколько угодно близко. Равновесный процесс может быть проведен в обратном направлении, причём система будет проходит через те же состояния, что и при прямом ходе, но в обратной последовательности. Поэтому равновесные процессы называют также обратимыми . Процесс, при котором система переходит из состояния 1 в состояние 2, а затем возвращается в состояние 1 через другие промежуточные процессы, называется круговым процессом или циклом. Графически цикл изображается замкнутой кривой. Всякая тепловая машина представляет собой систему, совершающую много кратно некий круговой процесс (цикл). Пусть в ходе цикла рабочее вещество (например, газ) сначала расширяется до объёма изменении его объема. в) Наконец, найдём формулу для подсчёта количества dQ CP R CP CV , теплоёмкость газа при постоянном давлении. Приращение внутренней энергии запишем в виде d U Cv d T . Работу, перемещаться. При нагревании давление газа P , будет оставаться постоянным, и, как видно из рисунка, работа, которую совершает газ, будет dT V которое, разделив на СV T и используя соотношения изобарического процесса. Формула для подсчёта теплоты теперь примет вид d Q C p d T. где С p - молярная Мариотта Так как T = const, то dU i RdT 0, т. е. dU С dV CV dT RT первое начало термодинамики не меняет своего вида: dQ dU dA первое начало термодинамики для внутренней энергии газа. б) Вычислим теперь работу, совершаемую газом при изменении объёма. Для этого рассмотрим газ, находящийся в цилиндре под поршнем, который может свободно объема газа. -- M внутренней энергии газа равно равна: (P1V1 P2V2 ) dU 0 , и получим: (4.2.8) Это уравнение Майера для одного моля газа. Из этого следует, что физический смысл универсальной газовой постоянной в том, что R – численно равна работе, совершаемой одним молем газа при нагревании на один градус в изобарическом процессе. 31. Первый закон термодинамики. Работа газа при изменении объема. Первое начало термодинамики: Количество теплоты, сообщённое газу, идёт на приращение внутренней энергии газа и на совершение газом работы над внешними телами. 2 dU CV dT dV dA RT , V Для этого dU и dA представим в виде V двухатомных молекул при невысоких температурах i = 5, тогда 1,4. Выпишем работу, совершаемую газом при (4.2.7) Из основного уравнения i R(T1 T2 ) - закон Гей-Люссака. Теперь работа, совершаемая газом, dA PdV 0, приращение CP молекулярно-кинетической теории . При изобарическом процессе Р = const. Следовательно, из (4.2.7) i 2 работа, совершаемая газом при адиабатическом процессе. Исходя из dU + dA = 0, выведем закон, которому удовлетворяют параметры газа при адиабатическом процессе. V постоянном объёме (4.2.6) При изобарическом процессе, кроме увеличения внутренней энергии, происходит совершение работы газом: или для конечного адиабатического процесса: уравнение соотношение между молярными теплоёмкостями газа при Внутренняя энергия идеального газа является только функцией температуры (и не зависит от V, Р и тому подобных), поэтому формула (4.2.5) справедлива для любого процесса. Для произвольной идеальной массы газа: dA dU CV dT, совершаемую газом: ln(TV ) ln const или TV co n st - уравнение постоянном объёме: С i R . v адиабатического процесса в переменных(T,V). 2 Воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона 2. Термодинамика изобарического процесса: P=const. PV=RT, можно перейти к переменным (P,V) и (T,P). Соотношение Майера Сначала рассмотрим закон, описывающий этот процесс и его T P Например, из PV RT . Подставляя это в R (4.2.4) теплоты, сообщенной газу массы В классической статистической физике выводится закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы — в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень «обладает» вдвое большей энергией потому, что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), но и потенциальная, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Таким образом, средняя теплоёмкость газа при постоянном объёме, то мы получаем полезную формулу для подсчёта приращения внутренней энергии газа: d U Cv d T - изменение внутренней энергии газа. при адиабатическом процессе. Такой вид первого начала термодинамики позволяет легко вычислить работу, T U степени свободы поступательного движения. При этом энергию вращательного движения можно не учитывать (r—>0, J= mr20, Tвр 2 =J /20). В классической механике молекула двухатомного газа в первом приближении рассматривается как совокупность двух материальных точек, жестко связанных недеформируемой связью (рис. 77,б). Эта система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси (оси, проходящей через оба атома) лишено смысла. Таким образом, двухатомный газ обладает пятью степенями свободы (i=5). Трехатомная (рис. 77,0) и многоатомная нелинейные молекулы имеют шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому для реальных молекул необходимо учитывать также степени свободы колебательного движения. Независимо от общего числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения <0)в (43.8): для изохорического процесса. Поскольку количество теплоты, сообщенное газу, равно d Q Cv d T , где С v - молярная график в координатах (P,V). число степеней свободы молекул газа. Тогда изменение или процессами. В случае обратимого процесса при возвращении в исходное состояние ни в самой системе, ни в окружающих телах не остаётся никаких изменений. Если такие изменения появляются, то такой процесс называется необратимым процессом. Все реальные процессы необратимы 1. Термодинамика изохорического процесса: V=const Рассмотрим закон, описывающий этот процесс и его график в координатах (P,V). Этот закон является частным случаем уравнения состояния идеального газа: PV = RT. градус: (4.2.1)м Размерность теплоемкости: [C] = Дж/К. Однако, теплоёмкость – величина неопределённая, поэтому 1 : P1V RT1 P1 T1 . - закон пользуются понятиями удельной и молярной теплоёмкости. 2 : P2V RT2 Удельная теплоёмкость (Суд) есть количество теплоты, P2 T2 необходимое для нагревания единицы массы вещества на 1 Шарля. Так как V const , то dV 0 и dA PdV 0 , т.е градус [Cуд] = Дж/К. Для газов удобно пользоваться молярной теплоемкостью Cμ- А 0 - работа совершаемая газом при изохорическом процессе количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа равна нулю. Тогда d Q d U - первое начало термодинамики Определим физические величины, входящие в этот закон. а) Внутренняя энергия идеального газа равна const , (2.9) через параметры начального и конечного состояния 30. Теплоемкость, закон Джоуля, уравнение Роберта Майера. Теплоёмкость тела характеризуется количеством теплоты, необходимой для нагревания этого тела на один В общем случае так как U может зависеть не только от температуры. Но в случае идеального газа справедлива формула (4.2.4). изохорический процесс, то есть процесс, протекающий без изменения объёма (V = const). Используя уравнение (2.6) или (2.7), получим уравнение изохоры, выраженное через температуру и давление газа: v — количество вещества. множитель уменьшается быстрее, чем растет множитель v2, то функция f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при vв и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно vв.Относительное число Рис. 4.2 молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до Следовательно, проводимое тепло затрачивается и на v+dv, находится как площадь более светлой полоски на рис. 65. нагревание и на совершение работы. Отсюда ясно, что Площадь, ограниченная кривой распределения 3 kT 2 вещества масса, Из (44.1) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т).График функции (44.1) приведен на рис. 65. Так как при возрастании v выражение для средней кинетической энергии поступательного движения молекул: - средняя кинетическая m где М — молярная . - основное уравнение молекулярно- P 2 n 3 Внутренняя энергия для произвольной массы т газа газом при изотермическом процессе A Q RT ln V2 . Учитывая то, что при изотермическом V1 процессе P1V1 P2V2 , работу можно вычислить также по формуле: A RT ln P1 ; P2 На графике (P,V) работа, совершаемая газом, численно равна площади под кривой, описывающий изотермический процесс. 33. 34. Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона, адиабата. Политропный процесс, уравнение политропы. Термодинамика адиабатического процесса: dQ=0 Несмотря на то, что мы поочерёдно рассмотрели процессы с V=const, P=const, T=const, список характерных газовых процессов этим не исчерпывается. Обратим внимание, что при изохорическом процессе dA=0, при изотермическом процессе dU=0, и поэтому естественно рассмотреть процесс в котором dQ=0, т.е. адиабатический процесс. Адиабатический процесс это процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой. Поскольку dQ = 0, то первое начало термодинамики примет вид: dU dA 0 - первое начало термодинамики V1 V2 , (рис. 1). Чтобы работа за цикл была больше нуля, давление, (а, следовательно, и температура) в процессе расширения должно быть больше, чем при сжатии. Для этого рабочему веществу нужно в ходе расширения сообщать теплоту, а в ходе сжатия отнимать от него теплоту. Совершив цикл, рабочее вещество возвращается в исходное состояние. Поэтому изменение внутренней энергии за цикл равно нулю. Количество теплоты, сообщаемой рабочему телу за цикл, равно Q1 Q2 , где Q1 – теплота, получаемая рабочим телом при расширении, а Q2 – теплота, отдаваемая при сжатии. Работа A , совершаемая за цикл, равна площади цикла. Таким образом, первое начало термодинамики, написанное для цикла, имеет вид Q1 Q2 A (1). Как следует из этого выражения, не вся получаемая извне теплота Q1 используется для получения полезной работы. Коэффициентом полезного действия (сокращённо КПД) тепловой машины называется отношение совершаемой за цикл работы A к полученной за цикл теплоте Q1 A . Q1 Приняв во внимание соотношение (1), выражение для КПД можно записать в виде Q1 Q2 . Q1 Второе начало термодинамики: Невозможно построить периодически действующую тепловую машину, которая бы всю подводимую к ней теплоту 1 превращала в работу, т.е. всегда . Цикл Карно и его КПД Французский инженер Сади Карно предложил идеальный цикл, который даёт максимальное КПД т.е. . Этот цикл 9.15 Энтропия Из теоремы Клаузиуса следует, что приведенная теплота подобно энергии (потенциальной, внутренней) является функцией состояния (не зависит от пути перехода и зависит только от состояния системы). Независимость интеграла от пути перехода max означает, что этот интеграл выражает собой изменение состоит из двух изотерм и двух адиабат и носит название цикла некоторой функции состояния системы, она называется энтропия и обозначается буквой S. Изменение энтропии системы, очевидно, равно . Мы говорим только об изменении энтропии (подобно изменению потенциальной энергии , для которой не важно где начало отсчета). Из уравнения что выше вытекает основное количественное выражение второго начала термодинамики Энтропия – это такая функция состояния, дифференциал S Карно. которой определяется отношением: dS dQ 1 2 - изотермическое расширение при T1 , энтропия 2 3 - адиабатическое расширение, d Q 0 , подсчёта изменения энтропии в случае изопроцессов для идеального газа: а) Изохорический процесс: V const dQ CV dT , 3 4 - изотермическое сжатие при T 2 , dS 4 1 - изотермическое сжатие, d Q 0 . Вычислим КПД цикла Карно для идеального газа. При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа остаётся постоянной. Поэтому количество полученной газом теплоты равно работе Q1 A12 , совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2 (рис. 2). Эта работа равна Q A m RT ln V2 где m – масса идеального газа 1 12 1 M V1 в тепловой машине. Количество отдаваемой холодильнику теплоты равно работе A34 , затраченной на сжатие газа Q2 при переходе его из состояния 3 в состояние 4. Эта работа равна Q A 2 34 m V RT2 ln 3 . Для того чтобы цикл был M V4 замкнутым, состояние 1 и 4 должны лежать на одной и той же 1 адиабате. Отсюда вытекает условие T1V1 S . В СИ T измеряется в Дж/К. Приведём формулы для 1 T2V4 S S2 S1 CV ln T T T2 . T1 б) Изобарический процесс: P const dS dQ C p dT , T T T T R ln V2 . V1 г) Адиабатический процесс: dQ 0 dS dQ , T dS 0 , S const . . Аналогично для состояний 2 и 3 должно вытекать условие T1V2 1 T2V3 1 . Разделив одно соотношение на другое, приходим к условию замкнутости цикла V2 V3 . Теперь V1 подставляя a )(V b) RT const , (4). если V2 V4 RT a (5). V b V 2 При высоких температурах последний член в (5) можно опустить, и тогда изотерма будет гиперболой, асимптотами которой являются изобара Р = 0 и изохора V = b . Для исследования изотерм при любых значениях Т умножим уравнение (4) на V2. После раскрытия скобок уравнение изотермы примет вид PV 3 ( RT Pb )V 2 aV ab 0 (6) Это уравнение третьей степени по V , в которое давление Р входит в качестве параметра. Поскольку его коэффициенты вещественны, уравнение имеет либо один вещественный корень, либо три корня. Каждому корню на плоскости (V,P) соответствует точка, в которой изобара Р = const пересекает изотерму. В первом случае, когда корень один и точка пересечения будет одна. Так будет, как мы видели, при любых давлениях, если температура достаточно высока. Изотерма имеет вид монотонно опускающейся кривой MN. Q1 и Q2 в выражение для КПД, получим Q1 Q2 представить в виде (P виде P dQ , в) Изотермический процесс: T const dS Q 40. Уравнение Ван - дер - Ваальса. График уравнения Ван - дер - Ваальса. Наиболее содержательные результаты получаются из уравнения Ван-дер-Ваальса путем анализа его изотерм. Для одного моля газа ( = 1) уравнение изотермы можно считать температуру Т постоянной. Перепишем уравнение (4) в T . S S2 S1 C p ln 2 T1 S S2 S1 расстояние r0 соответствует равновесному расстоянию между молекулами, на котором бы они находились в отсутствие теплового движения. При r<r0 преобладают силы отталкивания (F>0), при r>r0 — силы притяжения (F<0). На расстояниях r>109 м межмолекулярные силы взаимодействия практически отсутствуют (F0). Элементарная работа A силы F при увеличении расстояния между молекулами на dr совершается за счет уменьшения взаимной потенциальной энергии молекул, т. е. A=Fdr=-dП. (60.1) Из анализа качественной зависимости потенциальной энергии взаимодействия молекул от расстояния между ними (рис. 88, б) следует, что если молекулы находятся друг от друга на расстоянии, на котором межмолекулярные силы взаимодействия не действуют (г), то П=0. При постепенном сближении молекул между ними появляются силы притяжения (F<0), которые совершают положительную работу (A=Fdr>0). Тогда, согласно (60.1), потенциальная энергия взаимодействия уменьшается, достигая минимума при r=r0. При r<r0 с уменьшением r силы отталкивания (F>0) резко возрастают и совершаемая против них работа отрицательна (A=Fdr<0). Потенциальная энергия начинает тоже резко возрастать и становится положительной. Из данной потенциальной кривой следует, что система из двух взаимодействующих молекул в состоянии устойчивого равновесия (r=r0) обладает минимальной потенциальной энергией. Q1 T1 T2 (2). В результате получим формулу T1 для КПД цикла Карно: T1 T2 , где T1 нагревателя, T1 - температура - температура холодильника. КПД цикла 1 - адиабатический процесс, 2 - изохорический процесс, T2 3 - изобарический процесс, Карно является максимальным КПД из всех возможных циклов, осуществляемых в данных температурных интервалах 4 - изотермический процесс. T1 и T2 . Вернёмся к соотношению (2), которое имеет место в 38. Энтропия и вероятность. Статистический характер случае обратимого цикла Карно. В общем случае при второго закона термодинамики. Третье начало возможности необратимого цикла Карно это соотношение термодинамики. Q Q T T примет вид: 1 2 7.Энтропия. Вероятность. 1 2 (3). Преобразуем (3) следующим Q1 T1 Более глубокий смысл энтропии вскрывается в статистической физике: энтропия связывается с Q Q Q T термодинамической вероятностью состояния системы. Q T 2 1 2 2 2 2 , образом: , или В 1 Q1 1 Q1 T1 T1 T2 T1 результате получим Q1 Q2 0 . Для обратимого цикла T1 T2 Карно: Q1 Q2 0 , для необратимого цикла Карно: T1 Q1 T1 dQ T dQ Q2 T2 T2 0 . Для произвольного обратимого цикла: 0 , для произвольного необратимого цикла: 0 . При более низких температурах и надлежащих значениях давления Р уравнение (6) имеет три корня V1 , V2, V3 . В таких случаях изобара P = const пересекает изотерму в трех точках L, C, G (рис. 1). Изотерма содержит волнообразный участок LBCAG. Она сначала монотонно опускается вниз (участок DB), затем на участке BA монотонно поднимается вверх, а за точкой A снова монотонно опускается. При некоторой промежуточной температуре три корня V1, V2 , V3 становятся равными. Такая Термодинамическая вероятность состояния системы − это температура и соответствующая ей изотерма называются число способов, которыми может быть реализовано данное критическими. Критическая изотерма FKH всюду монотонно состояние системы, или число микросостояний, опускается вниз, за исключением одной точки K, являющейся осуществляющих данное макросостояние. точкой перегиба изотермы. В ней касательная к изотерме Согласно Больцману, энтропия системы и горизонтальна. Точка K называется критической точкой. термодинамическая вероятность связаны между собой Соответствующие ей давление Pk , объем Vk и температура Tk следующим образом: называются также критическими. Говорят, что вещество , где − постоянная Больцмана, S − энтропия. находится в критическом состоянии, если его объем и Энтропия определяется логарифмом числа микросостояний, с давление (а следовательно, и температура) равны критическим. Для нахождения критических параметров Pk, Vk, Tk учтем, что помощью которых может быть реализовано данное в критической точке уравнение (6) переходит в уравнение макросостояние. 3 В случае необратимых процессов в замкнутой системе PV ( RTk Pk b)V 2 aV ab 0 (7). k энтропия возрастает, т. е. процессы в замкнутой системе идут в направлении увеличения числа микросостояний, иными Поскольку в этом случае все три корня совпадают и равны Vk , словами, от менее вероятных состояний к более вероятным, до уравнение должно приводиться к виду Pk (V Vk )3 0 (8). тех пор, пока вероятность состояния не станет максимальной. В случае обратимых процессов энтропия и термовероятность замкнутой системы остаются постоянными. Энтропия системы, находящейся в равновесном состоянии, максимальна. 36. Содержание второго закона термодинамики. Эти утверждения имеют место для систем, состоящих из Второе начало термодинамики: очень большого числа частиц, но могут нарушаться в системах Невозможно построить периодически действующую с малым числом частиц. Для малых систем может наблюдаться тепловую машину, которая бы всю подводимую к ней теплоту флуктуации, т. е. энтропия и термодинамическая вероятность состояний замкнутой системы на определенном отрезке превращала в работу, т.е. всегда 1 . времени могут убывать или оставаться постоянными. Энтропия и второе начало термодинамики С понижением температуры во всякой системе Понятие энтропии имеет статистическое толкование. наблюдается тенденция к упорядоченности. Если бы тело Состояние макроскопического тела (т.е. тела, образованного можно было охладить до температуры, равной абсолютному огромным количеством молекул) может быть задано с нулю, когда тепловые движения молекул не мешали бы помощью объёма, давления, температуры, внутренней энергии установлению порядка, то в системе установился бы идеальный и других макроскопических величин. Охарактеризованное порядок, которому соответствовала бы минимальная энтропия. таким способом состояние называется макросостоянием. Если при абсолютном нуле температуры над системой Состояние макроскопического тела, охарактеризованное совершить работу, то энтропия системы не изменится. Это настолько подробно, что оказываются заданными состояния доказано и отражено в теореме Нернста [2]: всех образующих тело молекул, называется микросостоянием. при абсолютном нуле температуры любые изменения Всякое макросостояние может быть осуществлено различными состояния происходят без изменения энтропии. способами, каждому из которых соответствует некоторое При Т=0 энтропия минимальна S=0. Иногда теорему Нернста микросостояние тела. Число различных микросостояний, возводят в ранг третьего начала термодинамики. соответствующих данному макросостоянию, называется Часто третье начало термодинамики формулируют так: абсолютный нуль температуры недостижим. статистическим весом или термодинамической Действительно, если бы существовало тело с Т=0 К вероятностью макросостояния. В статистической физике (следовательно, S=0), то можно было бы построить вечный существует теорема, которая утверждает о равновероятности двигатель второго рода, что противоречит второму началу всех микросостояний данной системы. В качестве термодинамики. характеристики вероятности состояния можно было бы T Возводя в куб и сравнивая коэффициенты уравнений (7) и (8), получим три уравнения 3 2 PV k k ab, 3PV k k a, 3PV k k RTk Pk b . Решая их, найдем выражения для параметров критического состояния вещества: Vk 3b, Pk a 8a (9). , Tk 27b2 27Rb К тем же результатам можно прийти, заметив, что критическая точка К является точкой перегиба изотермы, касательная в которой горизонтальна, а поэтому в точке К P должны соблюдаться соотношения 0, V T 2 P V 2 0 . T Решая эти уравнения совместно с уравнением изотермы (4) придем к формулам (9). Не все состояния вещества, совместимые с уравнением Вандер-Ваальса, могут быть реализованы в действительности. Для этого необходимо еще, чтобы они были термодинамически устойчивы. Одно из необходимых условий термодинамической устойчивости физически однородного вещества состоит в P выполнении неравенства 0 . Физически оно V T означает, что при изотермическом увеличении давления объем тела должен уменьшаться. Иными словами, при возрастании V все изотермы должны монотонно опускаться. Между тем, ниже критической температуры на изотермах Ван-дер-Ваальса 39. Реальные газы. Межмолекулярные силы. выбрать статистический вес , однако такая характеристика имеются поднимающиеся участки типа BCA (рис. 1). Точки, При давлении 500 МПа (1 атм=101,3 кПа) объем молекул лежащие на таких участках, соответствуют неустойчивым не обладала бы свойствами аддитивности. Поэтому в качестве составит уже половину всего объема газа. Таким образом, при состояниям вещества, которые практически реализованы быть характеристики состояния принимается величина S, высоких давлениях и низких температурах указанная модель не могут. При переходе к практическим изотермам эти участки пропорциональная логарифму статистического веса . идеального газа непригодна. должны быть выброшены. Таким образом, реальная изотерма распадается на две ветви - постоянная Больцмана. Такую S k ln (4). где EGA и BLD , отделенные друг от друга. Естественно величину называют энтропией. Определённая таким образом предположить, что этим двум ветвям соответствуют различные энтропия обладает следующими свойствами: агрегатные состояния вещества. Ветвь EA характеризуется 1.Энтропия изолированной системы при протекании относительно большими значениями объема или малыми необратимого процесса возрастает. Действительно, значениями плотности, она соответствует газообразному изолированная, т.е. предоставленная самой себе, система состоянию вещества. Напротив, ветвь BD характеризуется переходит из менее вероятных в более вероятные состояния, относительно малыми объемами, а следовательно, большими что сопровождается ростом величины (4). плотностями, она соответствует жидкому состоянию 2.Энтропия системы, находящейся в равновесном состоянии, вещества. Мы распространяем, следовательно, уравнение Ванмаксимальна. дер-Ваальса и на область жидкого состояния. Таким путем Эти утверждения и составляют содержание второго начала удается получить удовлетворительное качественное описание термодинамики: Энтропия изолированной системы может явления перехода газа в жидкость и обратно. только возрастать, (либо по достижении максимального Возьмем достаточно разреженный газ при температуре ниже критической. Исходное состояние его на диаграмме PV значения оставаться неизменной), т.е. dS 0 . изображается точкой E (рис. 1). Будем сжимать газ квазистатически, поддерживая температуру T постоянной. 37. Неравенство Клаузиуса. Энтропия. Изменение Тогда точка, изображающая состояние газа, будет энтропии при обратимых и необратимых процессах. перемещаться по изотерме вверх. Можно было думать, что она Изменение энтропии в процессах идеального газа. достигает крайнего положения A , где изотерма обрывается. В 9.14 Теорема Клаузиуса действительности, однако, начиная с некоторой точки G , Рассмотрим обратимый процесс по пути 1а2 и 2б1. Т.к. давление в системе перестает повышаться, и она распадается на процессе 1а2б1 обратимый, то для него справедливо равенство две физически однородные части, или фазы: газообразную и жидкую. Процесс изотермического сжатия такой двухфазной системы изображается участком GL горизонтальной прямой. При этом во время сжатия плотности жидкости и газа остаются неизменными и равными их значениям в точках L и G соответственно. По мере сжатия количество вещества в газообразной фазе непрерывно уменьшается, а в жидкой фазе увеличивается, пока не будет достигнута точка L, в которой все вещество перейдет в жидкое состояние. При Клаузиуса Разобьем Эндрюс систематически исследовал ход изотерм углекислоты рассмотрении реальных газов — газов, свойства которых зависят от взаимодействия молекул, (СО2) при различных температурах и на основе этих исследований ввел понятие критической температуры. надо учитывать силы межмолекулярного взаимодействия. этот интеграл на два: по пути 1а2 и 2б1 Углекислота им была выбрана сознательно, так как она -9 Они проявляются на расстояниях 10 м и быстро убывают Поменяем пределы интегрирования второго интеграла 0 при увеличении расстояния между молекулами. Такие силы на- обладает критической температурой (31 С), лишь незначительно превышающей комнатную, и сравнительно зываются короткодействующими. (72,9 атм). Оказалось, что В XX в., по мере развития представлений о строении атома и невысоким критическим давлением 0 или Таким образом, сумма при температуре выше 31 С изотермы углекислоты монотонно квантовой механики, было выяснено, что между молекулами приведенных теплот при переходе из одного состояния в вещества одновременно действуют силы притяжения и силы опускаются вниз, т.е. имеют гиперболический вид. Ниже этой другое не зависит от формы (пути) перехода в случае температуры на изотермах углекислоты появляются отталкивания. На рис. 88, а приведена качественная зависиобратимых процессов. Последнее утверждение носит название мость сил межмолекулярного взаимодействия от расстояния r горизонтальные участки, на которых изотермическое сжатие теоремы Клаузиуса. газа приводит к его конденсации, но не к увеличению давления. между молекулами, где Fo и Fп — соответственно силы отталЕсли же 2б1 я-ся необратимым неравновесным способом то Таким путем было установлено, что сжатием газ можно кивания и притяжения, a F — их результирующая. Силы ΔS≥0 (интеграл 1а2 больше) неравенство клаузиуса. превратить в жидкость только тогда, когда его отталкивания считаются положительными, а силы взаимного Изменение энтропии замкнутой системы может либо равняться притяжения — отрицательными. На расстоянии r = r температура ниже критической. 0 улю или возрастать для необратимого процесса. При специальных условиях могут быть реализованы результирующая сила F=0, т. е. силы притяжения и отталсостояния, изображаемые участками изотермы GA и BL. Эти кивания уравновешивают друг друга. Таким образом, k состояния называются метастабильными. Участок GA изображает так называемый пересыщенный пар, участок BL перегретую жидкость. Обе фазы обладают ограниченной устойчивостью. Каждая из них может существовать до тех пор, пока она не граничит с другой более устойчивой фазой. Например, пересыщенный пар переходит в насыщенный, если в него ввести капли жидкости. Перегретая жидкость закипает, если в нее попадают пузырьки воздуха или пара.
