Работа и энергия

1 Механика 4 Работа и энергия


Элементарной работой силы F называют скалярное произведение силы на бесконечно малое перемещение dr материальной точки:
 
 
A  Fdr  Fdr cos( F dr )  Fdr cos  .

r
n 
 2  .
Работа на конечном участке A  lim

 Fk rk   Fdr
12
rk 0

r1
k 1


r
Если сила постоянная F  const , то A  F dr  F (r  r )  Fr .
12
2
1
12

2

r1


Скалярную величину, которая определяет работу силы в единицу времени, называют мощностью: N  A  ( F )  F cos( F  ) .
dt
Работа силы тяжести A12  mg( z1  z2 ) .
Работа силы упругости A  k (r 2  r 2 ) .
12
1
2
2
Работа силы трения

r2
t2

r1
t1
A12   Fтр.  dr   Fтр. dt   Fтр. П12
.
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки: изменение кинетической энергии материальной точки равно

r2
2
2
работе силы, действующей на материальную точку m 2  m1  E  E  Fdr  A .
k2
k1
12
r
2
2
1
Кинетическая энергия твёрдого тела при произвольном движении равна сумме кинетической энергии поступательного движения со
2
2
скоростью центра масс и кинетической энергии вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс E  mc  I .
k
2
2
Моменты инерции однородных сплошных тел:
момент инерции однородного сплошного тонкостенного цилиндра (цилиндрической поверхности) массой m и радиусом R
относительно его оси симметрии I  mR2 ;
момент инерции сплошного однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его оси симметрии I  1 mR2 ;
2
момент инерции тонкого однородного сплошного стержня массой m и длиной ℓ относительно оси проходящей через его конец
2
перпендикулярно оси стержня I  m ;
3
момент инерции тонкого однородного сплошного стержня массой m и длиной ℓ относительно оси проходящей через его центр масс
2
перпендикулярно оси стержня I  m ;
12
момента инерции однородного сплошного шара массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр I  2 mR2 .
5
Ф1.4.1-1
Обруч массой m=0,3 кг и радиусом R=0,5 м привели во вращение, сообщив ему энергию вращательного
движения 1200 Дж, и опустили на пол так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскости пола.
Если обруч начал двигаться без проскальзывания, имея кинетическую энергию поступательного
движения 200 Дж, то сила трения совершила работу, равную…
1. 800 Дж*
2. 1000 Дж
3. 1400 Дж
4. 600 Дж
Согласно теореме об изменении кинетической энергии оно определяется для абсолютно твёрдого тела работой внешних
неконсервативных сил. В рассматриваемом случае неконсервативной внешней силой является сила трения. Поэтому теорема об
изменении кинетической энергии имеет следующий вид: Атр  Ек1  Ек 0 . Кинетическая энергия тела определяется суммой
кинетических энергий поступательного и вращательного движений: Ек 0 
mc20 Ic20 Ic20


 1200 Дж (υс0 – скорость центра
2
2
2
масс в начальный момент, ωс0 – скорость вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс, в начальный
момент кинетическая энергия поступательного движения равна нулю). Ек1 
mc21 Ic21

 Ек1 ПОСТ  Ек1 ВРАЩ . Поскольку момент
2
2
инерции обруча I  mR 2 , а скорость вращательного движения обруча вокруг центра масс и скорость центра масс связаны
 с1
Ic21 mc21

 Ек1 ПОСТ  Ек1  2 Ек1 ПОСТ . После подстановки полученного соотношения в
R
2
2
теорему об изменении кинетической энергии получим: Атр  2 Ек1 ПОСТ  Ек 0  2  200 Дж  1200 Дж  800 Дж . Учитывая, что
соотношением с1 
, то Ек1 ВРАЩ 
работа силы трения всегда величина отрицательная из предложенных ответов выбираем Атр= 800 Дж. Численные значения радиуса
и массы обруча, заданные в условии, для решения не требуются. Ответ: 1
Ф1.4.1-2
Обруч массой m=0,3 кг и радиусом R=0,5 м привели во вращение, сообщив ему энергию вращательного
движения 1200 Дж, и опустили на пол так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскости пола.
Если сила трения совершила работу 800 Дж, то обруч начал движение без проскальзывания, обладая
кинетической энергией поступательного движения, равной…
1: 200 Дж*
2: 400 Дж
3: 600 Дж
4: 2000 Дж
Согласно теореме об изменении кинетической энергии оно определяется для абсолютно твёрдого тела работой внешних
неконсервативных сил. В рассматриваемом случае неконсервативной внешней силой является сила трения. Поэтому теорема об
изменении кинетической энергии имеет следующий вид: Атр  Ек1  Ек 0 . Кинетическая энергия тела определяется суммой
кинетических энергий поступательного и вращательного движений: Ек 0 
mc20 Ic20 Ic20


 1200 Дж (υс0 – скорость центра
2
2
2
масс в начальный момент, ωс0 – скорость вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс, в начальный
момент кинетическая энергия поступательного движения равна нулю). Ек1 
mc21 Ic21

 Ек1 ПОСТ  Ек1 ВРАЩ . Поскольку момент
2
2
инерции обруча I  mR 2 , а скорость вращательного движения обруча вокруг центра масс и скорость центра масс связаны
 с1
Ic21 mc21

 Ек1 ПОСТ  Ек1  2 Ек1 ПОСТ . После подстановки полученного соотношения в
R
2
2
А  Ек 0
теорему об изменении кинетической энергии получим: Атр  2 Ек1 ПОСТ  Ек 0  Ек1 ПОСТ  тр
. Учитывая, что работа силы
2
 800  1200
трения всегда величина отрицательная Атр= – 800 Дж, получаем Ек1 ПОСТ 
Дж  200 Дж . Численные значения
2
соотношением с1 
, то Ек1 ВРАЩ 
радиуса и массы обруча, заданные в условии, для решения не требуются. Ответ: 1
Ф1.4.1-3
Обруч массой m=0,3 кг и радиусом R=0,5 м привели во вращение и опустили на пол так, что его ось
вращения оказалась параллельной плоскости пола. Если обруч начал двигаться без проскальзывания,
имея кинетическую энергию поступательного движения 200 Дж, а силы трения совершили работу 800 Дж,
то энергия вращательного движения в исходном состоянии была равна…
1: 1200 Дж*
2: 1000 Дж
3: 600 Дж
4: 400 Дж
Согласно теореме об изменении кинетической энергии оно определяется для абсолютно твёрдого тела работой внешних
неконсервативных сил. В рассматриваемом случае неконсервативной внешней силой является сила трения. Поэтому теорема об
изменении кинетической энергии имеет следующий вид: Атр  Ек1  Ек 0 . Кинетическая энергия тела определяется суммой
кинетических энергий поступательного и вращательного движений: Ек 0 
начальный момент,
mc20 Ic20 Ic20
(υс0 – скорость центра масс в


2
2
2
ωс0 – скорость вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс, в начальный момент
кинетическая энергия поступательного движения равна нулю). Ек1 
mc21 Ic21

 Ек1 ПОСТ  Ек1 ВРАЩ . Поскольку момент инерции
2
2
обруча I  mR 2 , а скорость вращательного движения обруча вокруг центра масс и скорость центра масс связаны соотношением
 с1
Ic21 mc21

 Ек1 ПОСТ  Ек1  2 Ек1 ПОСТ . После подстановки полученного соотношения в теорему об
R
2
2
изменении кинетической энергии получим: Ек 0  2 Ек1 ПОСТ  Атр . Учитывая, что работа силы трения всегда величина
с1 
, то Ек1 ВРАЩ 
отрицательная Атр= – 800 Дж, получаем Ек 0  2  200 Дж   800 Дж   1200 Дж . Численные значения радиуса и массы обруча,
заданные в условии, для решения не требуются. Ответ: 1
Ф1.4.1-4
Обруч массой m=0,3 кг и радиусом R=0,5 м привели во вращение, сообщив ему энергию вращательного
движения 1200 Дж, и опустили на пол так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскости пола.
Если сила трения совершила работу 800 Дж, то обруч начал движение без проскальзывания, обладая
кинетической энергией вращательного движения, равной…
1: 200 Дж*
2: 1000 Дж
3: 600 Дж
4: 400 Дж
Согласно теореме об изменении кинетической энергии оно определяется для абсолютно твёрдого тела работой внешних
неконсервативных сил. В рассматриваемом случае неконсервативной внешней силой является сила трения. Поэтому теорема об
изменении кинетической энергии имеет следующий вид: Атр  Ек1  Ек 0 . Кинетическая энергия тела определяется суммой
кинетических энергий поступательного и вращательного движений: Ек 0 
mc20 Ic20 Ic20


 1200 Дж (υс0 – скорость центра
2
2
2
масс в начальный момент, ωс0 – скорость вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс, в начальный
момент кинетическая энергия поступательного движения равна нулю). Ек1 
mc21 Ic21

 Ек1 ПОСТ  Ек1 ВРАЩ . Поскольку момент
2
2
инерции обруча I  mR 2 , а скорость вращательного движения обруча вокруг центра масс и скорость центра масс связаны
 с1
Ic21 mc21

 Ек1 ПОСТ  Ек1  2 Ек1 ВРАЩ . После подстановки полученного соотношения в
R
2
2
А  Ек 0
теорему об изменении кинетической энергии получим: Атр  2 Ек1 ВРАЩ  Ек 0  Ек1 ВРАЩ  тр
. Учитывая, что работа силы
2
 800  1200
трения всегда величина отрицательная Атр= – 800 Дж, получаем Ек1 ВРАЩ 
Дж  200 Дж . Численные значения
2
соотношением с1 
, то Ек1 ВРАЩ 
радиуса и массы обруча, заданные в условии, для решения не требуются. Ответ: 1
Ф1.4.2-1
Соотношение работ силы тяжести при движении тела из точки В в точку С по разным траекториям
имеет вид …
1: A1=A2=A3=0
2: A1>A2>A3
3: A1<A2<A3
4: A1=A2=A3≠0*
5: A1=A3>A2
Ф1.4.2-2
На рисунке изображены зависимости ускорений трех прямолинейно движущихся материальных точек
одинаковой массы от координаты х.
Для работ A1,
1: A1>A2>A3*
2: A1<A2<A3
3: A1>A2<A3
4: A1<A2>A3
A2, A3, cил, действующих на точки, справедливо следующее соотношение:
Ф1.4.3-1
Зависимость перемещения тела массой 4 кг от времени представлена на рисунке.
1: 50 Дж *
2: 15 Дж
3: 20 Дж
4: 25 Дж
5: 40 Дж
Кинетическая энергия тела в момент времени t = 3 с равна …
Ф1.4.4-1
Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом длинном стержне на расстоянии r1 друг от
друга. Стержень может вращаться без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси,
проходящей посередине между шариками. Стержень раскрутили из состояния покоя до угловой скорости
ω, при этом была совершена работа A1.Шарики раздвинули симметрично на расстояние r2=2r1 и
раскрутили до той же угловой скорости.
1: A2=A1*
2: A2=A1/4
3: A2=2A1
4: A2=A1/3
При этом была совершена работа …
Ф1.4.4-2
Два маленьких массивных шарика закреплены на концах невесомого стержня длины d. Стержень может
вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня.
Стержень раскрутили до угловой скорости ω1. Под действием трения стержень остановился, при этом
выделилось тепло Q1.
Если стержень раскручен до угловой скорости ω2=3ω1, то при остановке стержня выделилось тепло …
1. Q2=3Q1
2. Q2=Q1/3
3. Q2=9Q1*
4. Q2=Q1/9
Ф1.4.5-1
Два тела одинаковой массы движутся с одинаковыми скоростями. Первое катится, второе скользит. При
ударе о стенку тела останавливаются. Больше тепла выделится при ударе тела …
1: первого*
2: второго
3: одинаково
Ф1.4.6-1
С ледяной горки с небольшим шероховатым участком АС из точки А без начальной скорости скатывается
тело. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от
координаты x изображена на графике U(x). При движении тела сила трения совершила работу Атр=20
Дж.
1: 60 Дж*
2: 80 Дж
3: 100 Дж
4: 120 Дж
После абсолютно неупругого удара тела со стеной в точке В выделилось …
Ф1.4.6-2
Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной
горке из тоски А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость
потенциальной энергии шайбы от координаты x изображена на графике U(x).
1: в 2 раза больше, чем в точке В*
2: в 3 раза больше, чем в точке В
3: в 3 раза меньше, чем в точке В
4: в 2 раза меньше, чем в точке В
Кинетическая энергия шайбы в тоске С
Ф1.4.6-3
Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной
горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость
потенциальной энергии шайбы от координаты x изображена на графике U(x).
1: в 2 раз больше, чем в точке В*
2: в 2 раза меньше, чем в точке В
3: в 3 раза меньше, чем в точке В
4: в 3 раз больше, чем в точке В
Скорость шайбы в точке С
Ф1.4.6-4
Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной
горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость
потенциальной энергии шайбы от координаты x изображена на графике U(x).
1: в 2 раза меньше, чем в точке В*
3
2
2: в
раз больше, чем в точке В
3
3: в 2 раза больше, чем в точке В
4: в 2 раз меньше, чем в точке В
Скорость шайбы в точке С