1.Цели и задачи дисциплины 1.1.Цель, задачи дисциплины, ее место в подготовке бакалавра, специалиста (с учетом требований ФГОС) Дисциплина «Функциональный анализ» входит в число базовых дисциплин математического и естественнонаучного цикла ФГОС ВПО по специальности «Прикладная математика и информатика» Цели: дать удобный инструмент для абстрактных интерпретаций, а также язык формально логических построений и межнаучного общения; научить умению использовать средства функционального анализа при использовании модельных задач экономики. Задачи: Научить студентов языку функционального анализа, без которого невозможно обойтись в занятиях математикой; быть поставщиком понятий и результатов, необходимых в других математических и специальных курсах. 1.2.Требования к уровню усвоения дисциплины Обучающийся должен знать основные понятия функционального анализа: теории метрических, линейных, нормированных, банаховых, гильбертовых пространств, теории функционалов и операторов; технику применения собственных значений и собственных векторов и использование спектра оператора; теорию вполне непрерывных и самосопряженных операторов. Обучающийся должен уметь выполнять операции над векторами линейных, нормированных, банаховых, и гильбертовых пространств, над линейными операторами; использовать разложения Фурье; вычислять собственные значения и находить собственные векторы линейных операторов. Обучающийся должен владеть методами функционального анализа при математическом моделировании различных задач экономики. У обучающегося должны быть сформированы следующие общекультурные компетенции (ОК) и профессиональные компетенции (ПК) : ПК-1 – обладать способностью демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой; ПК-2 – способностью приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии; ПК-11 – способностью приобретать и использовать организационно-управленческие навыки в профессиональной и социальной деятельности 1.3.Связь с другими дисциплинами Учебного плана Перечень действующих и предшествующих дисциплин Математический анализ Дифференциальные уравнения Перечень последующих дисциплин, видов работ Векторный анализ и теория поля Комплексный анализ 2.Содержание дисциплины, способы и методы учебной деятельности преподавателя Методы обучения – система последовательных, взаимосвязанных действий, обеспечивающих усвоение содержания образования, развитие способностей студентов, овладение ими средствами самообразования и самообучения; обеспечивают цель обучения, способ усвоения и характер взаимодействия преподавателя и студента; направлены на приобретение знаний, формирование умений, навыков, их закрепление и контроль. Монологический (изложение теоретического материала в форме монолога) М Показательный (изложение материала с приемами показа) П Диалогический (изложение материала в форме беседы с вопросами и ответами) Д Эвристический (частично поисковый) (под руководством преподавателя студенты рассуждают, Э решают возникающие вопросы, анализируют, обобщают, делают выводы и решают поставленную задачу) Проблемное изложение (преподаватель ставит проблему и раскрывает доказательно пути ее ПБ решения) Исследовательский (студенты самостоятельно добывают знания в процессе разрешения проблемы, сравнивая различные варианты ее решения) Программированный (организация аудиторной и самостоятельной работы студентов осуществляется в индивидуальном темпе и под контролем специальных технических средств) Другой метод, используемый преподавателем (формируется самостоятельно), при этом в п.п. 2.1.-2.4. дается его наименование, необходимые пояснения И ПГ Приведенные в таблице сокращения обозначения педагогических методов используются составителем Рабочей программы для заполнения п.п. 2.1., 2.2. и 2.3. в столбце «Методы». 10 1 Пятый семестр Очная форма обучения Лекции Модуль 1 «Метрические пространства» 2 - Тема «Метрические пространства». Реализуемые компетенции в том числе в интерактивной форме, час. Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание Методы 110 1-2 Кол. час Неделя 2.1.Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские) М, П ПК-1 М, П ПК-2 М, П ПК-11 М, П ПК-1 М, П ПК-2 М,П ПК-11 М, П, Д М,П,Д ПК-1 Э,И ПК-11 Основные определения. Аксиомы метрического пространства. Неравенства Коши-Буняковского, Гёльдера, Минковского. 3-4 2 - Тема «Сходимость в метрических пространствах». Открытые и замкнутые шары. Точки прикосновения. Замыкание множеств. Предельные точки. Сходимость. Открытые множества. Теоремы об открытых и замкнутых множествах. 5-6 2 - Тема «Сепарабельность и полнота метрических пространств». Определение сепарабельности. Наследуемость сепарабельности. Определение полноты. Критерий полноты. Теорема о пополнении метрического пространства. 7-8 2 1 Тема «Метод сжатых отражений». Непрерывные операторы в метрических пространствах. Неподвижные точки. Операторы сжатия. Теорема Банаха. 9 2 - Тема «Компактные множества в метрических пространствах». – сети. Критерий компактности n Хаудорфа. Компактность в R . Определение компактности. 1013 1011 2 1 Модуль 2 «Нормированные пространства» 2 - Тема «Нормированные пространства». 1213 2 1418 14 6 3 Модуль 3 «Гильбертовы пространства» М,Д,П ПК-1 2 - Тема «Гильбертовы пространства». М,Д ПК-2 Э,И ПК-11 М,Д ПК-1 Э,И ПК-2 М,Д ПК-11 ПК-2 Основные определения и простейшие свойства нормированных пространств. Конечномерные пространства. Базисы. Сходимость. 1 Тема «Подпространства нормированных пространств». Компактность. Полнота. Сепарабельность. Основные определения и понятия. Теорема Рисса. Критерий компактности. Скалярное произведение. Норма. Ортогональность. 15 2 1 Тема «Гильбертовы пространства». Теорема Пифагора. Ортогональные разложения. 16 2 1 Тема «Разложение Фурье». Разложение Фурье. Неравенство Бесселя. 17 2 - Тема «Разложение Фурье». Равенство Парсеваля. Замкнутость и полнота. 18 2 1 Тема «Линейные операторы». Аддитивные, однородные и линейные операторы. Непрерывность. Ограниченность. Норма. Распространение линейных операторов. Точечная сходимость. Теорема Банаха-Штейнгауза. Пятый семестр Очная форма обучения Практические занятия 1-9 18 3 Модуль 1 «Метрические пространства» Д,И,Э ПК-1 1 2 - Тема «Основные функциональные метрические пространства». Д, И ПК-2 Э,И ПК-11 И, Д ПК-1 Э, Д ПК-2 Метрические пространства R, R n , R , Ca, b, L p , l p , m, s . Определения и проверка аксиом. 2 Тема «Основные функциональные метрические пространства». Метрические пространства L p , l p , m, s . Определения и проверка 2 аксиом. 3 2 - Тема «Сходимость в основных метрических пространствах». Сходимость в 4 2 - R, R n , R , Ca, b, L p , l p , m, s . Тема «Сепарабельность и полнота основных метрических пространств». Сепарабельность и полнота R, R n , R , C a, b. 5 2 1 Тема «Сепарабельность и полнота основных метрических пространств» Сепарабельность и полнота L p , l p , m, s . Д,И ПК-11 6 2 1 Тема «Операторы сжатия». Д,И ПК-1 Д,И ПК-2 Д,И ПК-11 Использование теоремы Банаха для решения систем линейных уравнений. 7 2 - Тема «Компактность». Примеры компактных множеств в основных функциональных пространствах. 8 2 1 Тема «Компактные множества в метрических пространствах» Понятие -сети. Разбор критерия компактности Хаудорфа. 9 2 - Контрольная работа по модулю 1. Э,И ПК-1 1013 1011 6 1 Модуль 2 «Нормированные пространства» Э,И ПК-2 2 1 Тема «Основные нормированные пространства» Д, И, Э ПК-11 12 2 Д,И,Э ПК-1 Контрольная работа по модулю 2. Э,И ПК-2 Модуль 3 «Гильбертовы пространства» Д,И,Э ПК-11 Основные определения и простейшие свойства нормированных пространств. Рассмотрение наиболее общеупотребительных нормированных пространств. Подпространства в основных нормированных пространствах. Тема «Банаховы функциональные пространства» Рассмотрение наиболее общеупотребительных банаховых пространств. Подпространства в банаховых пространствах. 13 1418 12 2 14 2 - Тема «Гильбертовы пространства. Линейные операторы» Э,И ПК-1 Э,И ПК-2 Д,Э ПК-11 Д,И ПК-1 Д,И,Э ПК-2 Рассмотрение конкретных примеров гильбертовых пространств. Примеры линейных операторов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. Примеры пространств линейных операторов. 15 2 1 Тема «Линейные функционалы». Пространства линейных функционалов для конкретных пространств. Приложение теоремы Хана-Банаха. 16 2 1 Тема «Сопряженные и самосопряженные операторы. Вполне непрерывные операторы». Рассмотрение конкретных примеров сопряженных и самосопряженных операторов. Интегральные самосопряженные оператора. Вполне непрерывность интегральных операторов. 17 2 - Тема «Спектр самосопряженного вполне непрерывного оператора». Контрольная работа по модулю 3. Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание Реализуемые компетенции - в том числе в интерактивной форме, час. 2 Кол. час Неделя 18 Методы Изучение конкретных видов операторов вышеуказанного типа. М,Д,П ПК-1 М,Д ПК-2 М,Д ПК-11 М,П ПК-1 2429 2425 6 2 Шестой семестр Очная форма обучения Лекции Модуль 1 «Линейные операторы» 2 1 Тема «Пространства линейных операторов». 2627 2 2829 2 3036 3031 6 1 Модуль 2 «Самосопряженные операторы» Э,И ПК-2 2 - Тема «Сопряженные и самосопряженные операторы». М,Д ПК-11 3233 2 М,П,Д ПК-1 3436 2 М,Д ПК-2 Равномерная сходимость. Произведение операторов. Обратные операторы. Критерии существования. - Тема «Линейные функционалы». Общая форма линейных функционалов в гильбертовом пространстве. Пространство линейных функционалов. Слабая сходимость. Критерий слабой сходимости. 1 Тема «Теорема Хана-Банаха». Выпуклые множества и выпуклые функции. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха. Основные понятия и определения. Свойства сопряженных и самосопряженных операторов. - Тема «Спектр самосопряженного оператора». Собственные числа и собственные элементы самосопряженного оператора. Спектр. Теоремы о спектре. 1 Тема «Вполне непрерывные операторы». Определение, основные понятия и свойства. Критерий вполне непрерывности. 3641 3637 6 2 Модуль 3 «Спектр оператора» Э,И ПК-11 2 1 Тема «Спектр самосопряженного вполне непрерывного оператора». М,П ПК-1 3839 2 М,Д ПК-2 Э,И ПК-11 Спектр. Теорема о диагонализации. - Тема «Интегральные уравнения». Решение уравнения вида 4041 2 1 A x y . Тема «Интегральные уравнения» Приложение к теории интегральных уравнений. Шестой семестр Очная форма обучения Практические занятия 2429 24 12 2 Модуль 1 «Линейные операторы» Э,И ПК-1 2 1 Тема «Пространства линейных операторов». М,Д ПК-2 Э,И ПК-11 М,Д ПК-1 Э,И ПК-2 М,П ПК-11 Э,И ПК-1 Равномерная сходимость. Произведение операторов. 25 2 - Тема «Пространства линейных операторов». Обратные операторы. Критерии существования. 26 2 - Тема «Линейные функционалы». Общая форма линейных функционалов в гильбертовом пространстве. 27 2 - Тема «Линейные функционалы». Пространство линейных функционалов. Слабая сходимость. Критерий слабой сходимости. 28 2 - Тема «Теорема Хана-Банаха». Выпуклые множества и выпуклые функции. Функционал Минковского. 29 2 1 Тема «Теорема Хана-Банаха». Теорема Хана-Банаха. 3035 30 12 1 Модуль 2 «Самосопряженные операторы» Э,И ПК-2 2 - Тема «Сопряженные и самосопряженные операторы». М,Д ПК-11 Э,И ПК-1 М,П,Д ПК-2 Э,И ПК-11 М,Д ПК-1 Э,И ПК-2 Основные понятия и определения. 31 2 - Тема «Сопряженные и самосопряженные операторы». Свойства сопряженных и самосопряженных операторов. 32 2 - Тема «Спектр самосопряженного оператора». Собственные числа и собственные элементы самосопряженного оператора. 33 2 1 Тема «Спектр самосопряженного оператора». Спектр. Теоремы о спектре. 34 2 - Тема «Вполне непрерывные операторы». Определение, основные понятия и свойства. 35 2 - Тема «Вполне непрерывные операторы». Критерий вполне непрерывности. 3641 36 12 3 Модуль 3 «Спектр оператора» Э,И ПК-11 2 - Тема «Спектр самосопряженного вполне непрерывного оператора. Интегральные уравнения». М,П ПК-1 М,Д ПК-2 М,П ПК-11 М,Д ПК-1 М,Д ПК-2 М,П ПК-11 Спектр. Теорема о диагонализации. Решение уравнения вида A x y . Приложение к теории интегральных уравнений. 37 2 1 Тема «Норма оператора. Слабо сходящаяся последовательность функционалов» Норма оператора. Точечно сходящаяся последовательность операторов. Обратимый линейный оператор. Слабо сходящаяся последовательность функционалов. Слабо компактное множество. 38 2 Тема «Сопряженный оператор» - Сопряженный оператор. Самосопряженный линейный оператор. 39 2 1 Тема «Инвариантное пространство. Слабо сходящаяся последовательность функционалов» Инвариантное пространство. Собственное число линейного оператора. Слабо сходящаяся последовательность функционалов. Слабо компактное множество. 40 2 1 Тема «Спектр самосопряженного вполне непрерывного оператора. Инвариантное пространство». Спектр. Теорема о диагонализации. Инвариантное пространство. Собственное число линейного оператора 41 2 - Тема «Компактный оператор. Слабо сходящаяся последовательность» Кол. час Неделя 2.2.Самостоятельная работа студента Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к практическим и лабораторным занятиям; тематика рефератной работы; курсовые работы и проекты, контрольные, рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и др. Реализуе мые компете нции Компактный оператор. Компактное множество. Слабо сходящаяся последовательность. Пятый семестр 1-2 1 Изучение основных типов метрических пространств. ПК-1 3-4 1 Обоснование выполнимости аксиоматики метрического пространства для конкретных пространств. ПК-2 5-6 2 Изучение сходимости в основных метрических пространствах. ПК-11 7-8 2 Применение принципа сжатых отображений для нахождения решений уравнений. ПК-1 9-10 2 Применение понятия компактности. Подготовка к практическому занятию. ПК-2 11-13 2 Индивидуальное задание по теме «Метрические пространства». ПК-11 14-15 1 Изучение конкретных типов нормированных пространств. ПК-1 16-18 2 Разложение пространств в прямую сумму подпространств. Подготовка к практическому занятию. ПК-2 1-18 13 Усвоение текущего учебного материала. ПК-11 1-18 - Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. ПК-2 Шестой семестр 24-25 Изучение конкретных типов линейных операторов. ПК-1 26-27 1 Ограниченные операторы. ПК-2 28-29 1 Функционалы. Сопряженные пространства. ПК-11 30-31 1 Сопряженные и самосопряженные операторы. ПК-1 32-33 1 Подготовка к практическому занятию. ПК-2 34-35 2 Индивидуальное задание по теме «Самосопряженные операторы». ПК-11 36-37 2 Спектр. Подготовка к практическому занятию. ПК-1 38-39 2 Компактные операторы. Подготовка к практическому занятию. ПК-2 40-41 2 Подготовка к контрольной работе. ПК-11 24-41 12 Усвоение текущего учебного материала. ПК-1 24-41 - Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. ПК-2 2.3.Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые в образовательном процессе Основаны на использовании современных достижений науки и информационных технологий. Направлены на повышение качества подготовки путем развития у студентов творческих способностей и самостоятельности (методы проблемного обучения, исследовательские методы, тренинговые формы, рейтинговые системы обучения и контроля знаний и др.). Нацелены на активизацию творческого потенциала и самостоятельности студентов и могут реализовываться на базе инновационных структур (научных лабораторий, центов, предприятий и организаций и др.). № Наименование основных форм Краткое описание и примеры, Часы использования в модулях темах, место проведения Разбор конкретных ситуаций Тема «Метод сжатых отражений» 1 семестр в модуле 1 на лекции; Темы «Пространства линейных операторов», «Теорема Хана-Банаха» на практическом занятии в модуле 1 1 семестр; Тема « Подпространства нормированных пространств» в модуле 2 1 семестр на лекции; тема «Спектр самосопряженного оператора» на практическом занятии модуля2 1 семестра; тема «Основные нормированные пространства» в модуле 2 1 семестр на практическом занятии; тема «Разложение Фурье» в модуле 3 1 семестр на лекции; тема «Линейные операторы» в модуле 3 1 семестр на лекции; тема «Гильбертовы пространства. Линейные операторы» в модуле 3 1 семестр на практическом занятии; тема «Линейные функционалы» в модуле 3 1 семестр на практическом занятии; тема «Сопряженные и самосопряженные операторы. Вполне непрерывные операторы» в модуле 3 1 семестр на практическом занятии; Ориентация содержания на лучшие отечественные аналоги образовательных программ Содержание дисциплины ориентируется на образовательную программу Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, кафедра математической кибернетики 22 3.Средства обучения 3.1.Информационно-методические № Перечень основной и дополнительной литературы, методических разработок; с указанием наличия в библиотеке, на кафедре Основная литература: 1. Натансон И.П. Теория функций вещественного переменного. – Наука, 1974, стр. 54. 10 2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – Наука, 1968, стр. 65. 12 3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. – М.: Высшая школа, 1982, стр. 44. 25 4. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. – М.: Наука, 1958, стр. 47. 5 5. Треногин В.А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980, стр. 77. 7 Перечень основной и дополнительной литературы, методических разработок; № с указанием наличия в библиотеке, на кафедре Дополнительная литература: 16 1. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977, стр. 79. 27 2. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. – М.: Наука, 1980, стр. 84. 3 3. Вайнберг М.М. Функциональный анализ – М.: Просвещение, 1979, стр. 69. 11 4. Лапенко Ю.П. Введение в функциональный анализ. Ростов-на-Дону, РГЭУ, 2002, стр.93. 17 3.2.Материально-технические № ауд. Основное оборудование, стенды, макеты, компьютерная техника, наглядные пособия и другие дидактические материалы, обеспечивающие проведение лабораторных и практических занятий, научно-исследовательской работы студентов с указанием наличия 315 Учебное пособие по функциональному анализу. Основное назначение (опытное, обучающее, контролирующее) и краткая характеристика использования при изучении явлений и процессов, выполнении расчетов. Обучающее 4.Текущий контроль успеваемости и промежуточная аттестация № Тесты (демонстрационный вариант), темы курсовых работ/проектов, вопросы и задания для текущего контроля, для подготовки к зачету, экзамену 4.1. Текущий контроль успеваемости 4.1.1. Тестовые задания Образцы тестовых заданий по модулю 1 1-го семестра 1. Указать является ли метрическое пространство l p сепарабельным: а) является б) не является 2. Указать является ли множество бесконечно дифференцируемых на отрезке метрическим пространством в метрике а) является Ca, b : a, b функций полным б) не является 3. Найти среди отображений A : R R линейное: 2 а) Ax 3x1 2 x2 1, x2 3 в) Ax 4x1 x2 2,2x1 x2 2 б) г) Ax 2x1 3x2 ,1,5x1 3x2 Ax 2x1 x2 , x1 x2 2 . Образцы тестовых заданий по модулю 21-го семестра 1 Указать является ли множество всех многочленов замкнутым подпространством банахова пространства C a, b : а) является б) не является 2 Указать норму линейного функционала f : l2 R f x n 1 а) 1 б) 1 3 в) 1 2 3. Найти среди отображений A : l2 l2 компактный оператор а) Ax x1 ,0, x3 ,0, x5 ,0,... б) Ax 0, x2 ,0, x4 ,0, x6 ,... в) Ax x1 , x2 , x3 , x4 ,0,0,... xn : 2n 4.1.2. Типы задач Типы задач по модулю 1 1-го семестра 1. 1. Если E X , а f - функция, заданная на Х, то сужением f на E называется функция g , определенная на множестве E и такая, что g равенствами: f 0, 0 g 0, 0 0 , g p f p при p E . Зададим в R 2 функции f и f x, y xy 2 / x 2 y 4 , при x, y 0, 0 . Доказать, что и что f прямую в f ограничена на разрывна в точке R 2 , что g g x, y xy 2 / x 2 y 6 не ограничена в любой окрестности точки 0, 0 ; тем не менее сужения каждой из функций f и g 0, 0 на любую R 2 непрерывны! 2. Пусть f – непрерывное отображение метрического пространства Х в метрическое пространство У. Пусть Е – замкнутое подмножество пространства У. Доказать, что множество 3. Пусть f f 1 E замкнуто в Х. – непрерывная вещественная функция на метрическом пространстве Х. Пусть Z f (нуль-множество функции f Доказать, что множество ) есть множество всех p X в которых f p 0 . Z f замкнуто. Типы задач по модулю 2 1-го семестра 1. Если Е – непустое подмножество метрического пространства Х, то определим расстояние от точки x X до множества Е равенством E x inf d x, y . yE а) Доказать, что E x 0 тогда и только тогда, когда х принадлежит замыканию множества Е. б) Доказать, что E – равномерно непрерывная функция на Х. 2. Пусть К и F – непересекающиеся подмножества метрического пространства Х, причем К компактно, F замкнуто. Доказать, что существует число 0 , такое, что d p, q , если pK , qF . Показать, что это утверждение может оказаться неверным, если ни одно из двух непересекающихся замкнутых множеств не компактно. 3. Пусть А и В – непустые непересекающиеся замкнутые множества в метрическом пространстве Х. Положим f p Показать, что сегменте f A p A p B p p X . – непрерывная функция на Х, множество значений которой содержится в 0,1; что f p 0 в точках множества А и только в них; что f p 1 в точках множества В и только в них. Типы задач по модулю 3 1-го семестра 1. Назовем отображение пространства Х в пространство У открытым, если каково бы ни было открытое множество V f V открыто в У, в Х. Доказать, что каждое непрерывное открытое отображение R1 монотонно. 2. Пусть f и g – непрерывные отображения метрического пространства Х в метрическое пространство У, и пусть Е – всюду плотное подмножество из Х. f E плотно в f X . Доказать, что если f p g p при всех p E , то f p g p при всех p X . Доказать, что 3. Показать, что определение равномерное непрерывности можно следующим образом сформулировать, используя понятие диаметра множества: для каждого 0 существует такое, что diam f E для любого E X , для которого diamE . 0, Типы задач по модулю 1 2-го семестра 1. Пусть Е – плотное подмножество метрического пространства Х, и пусть непрерывная вещественная функция, заданная на Е. Доказать, что f – равномерно f имеет непрерывное продолжение с Е на Х. 2. Доказать сепарабельность пространства 3. Доказать полноту Rn . Rn . Типы задач по модулю 2 2-го семестра 1. Найти пополнение множества всех алгебраических чисел. 2. Найти пополнение всех аналитических функций на отрезке 3. Является ли множество всех многочленов степени не выше a, b ? C 0,1. n замкнутым подпространством Типы задач по модулю 3 2-го семестра 1. Найти норму линейного функционала g : l2 R g x n1 2. Является ли оператор A :l 2 l 2 компактным: 1 1 1 Ax x1 , x2 , x3 , ..., xn ,... . 3 n 2 4.2. Промежуточная аттестация 4.2.1 Вопросы к экзамену n 1xn 2n Пятый семестр 1. 2. Метрические пространства. Основные определения. Аксиомы метрического пространства. Неравенства Коши-Буняковского, Гёльдера, Минковского. 3. Метрические пространства 4. 5. Сходимость в метрических пространствах. Открытые и замкнутые шары. Точки прикосновения. Замыкание множеств. Предельные точки. Сходимость. Открытые множества. Теоремы об открытых и замкнутых множествах. 6. Сходимость в 7. 8. Сепарабельность и полнота метрических пространств. Определение сепарабельности. Наследуемость сепарабельности. Определение полноты. Критерий полноты. Теорема о пополнении метрического пространства. 9. Сепарабельность и полнота 10. 11. 12. 13. Метод сжатых отражений. Непрерывные операторы в метрических пространствах. Неподвижные точки. Операторы сжатия. Теорема Банаха. Использование теоремы Банаха для решения систем линейных уравнений. Компактные множества в метрических пространствах. Определение компактности. R, R n , R , Ca, b, L p , l p , m, s . Определения и проверка аксиом. R, R n , R , Ca, b, L p , l p , m, s . R, R n , R , Ca, b, L p , l p , m, s . – сети. n 14. Критерий компактности Хаудорфа. Компактность в R . 15. Примеры компактных множеств в основных функциональных пространствах. 16. Нормированные пространства. Основные определения и простейшие свойства нормированных пространств. 17. Конечномерные пространства. Базисы. Сходимость. Компактность. Полнота. Сепарабельность. 18. Подпространства нормированных пространств. Основные определения и понятия. Теорема Рисса. Критерий компактности. Шестой семестр Подпространства в основных нормированных и банаховых функциональных пространствах. Гильбертовы пространства. Скалярное произведение. Норма. Ортогональность. Теорема Пифагора. Ортогональные разложения. 3. Разложение Фурье. Разложение Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Замкнутость и полнота. 4. Линейные операторы. Аддитивные, однородные и линейные операторы. Непрерывность. Ограниченность. Норма. 5. Распространение линейных операторов. Точечная сходимость. Теорема Банаха-Штейнгауза. 6. Пространства линейных операторов. Равномерная сходимость. Произведение операторов. Обратные операторы. Критерии существования. 7. Линейные функционалы. Общая форма линейных функционалов в гильбертовом пространстве. 8. Пространство линейных функционалов. Слабая сходимость. Критерий слабой сходимости. 9. Пространства линейных функционалов для конкретных пространств. 10. Теорема Хана-Банаха. Выпуклые множества и выпуклые функции. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха. 11. Приложение теоремы Хана-Банаха. 12. Сопряженные и самосопряженные операторы. Основные понятия и определения. Свойства сопряженных и самосопряженных операторов. 13. Спектр самосопряженного оператора. Собственные числа и собственные элементы самосопряженного оператора. Спектр. Теоремы о спектре. 14. Интегральные самосопряженные операторы. 15. Компактные операторы. Определение, основные понятия и свойства. Критерий вполне компактности. 16. Компактность интегральных операторов. 17. Спектр самосопряженного компактного оператора. Спектр. Теорема о диагонализации. 18. Интегральные уравнения. Решение уравнения вида A x y . Приложение к теории интегральных уравнений. 4.2.2. Образцы экзаменационных билетов Пятый семестр 1. 2. 1. 2. 3. Принцип сжатых отображений. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Задача. Шестой семестр 1. 2. 3. Теорема об обратном операторе. Спектр операторов. Задача. 5. Дополнения и изменения в рабочей программе на учебный год _____/______ Следующие записи относятся к п.п. Автор Зав. кафедрой Принято УМУ ___________________________________ Дата _____________