Что нужно знать по планиметрии

ЧТО НУЖНО ЗНАТЬ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
1. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
2. Неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других
сторон.
3. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть
среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
4. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и
проекцией этого катета на гипотенузу.
5. Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника.
6. Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис
треугольника.
7. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда
суммы противолежащих сторон равны.
8. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма
противоположных углов равна 180.
9. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.
10. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
11. Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих
углов. (Обобщенная теорема: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего
угла равно диаметру описанной окружности.)
12. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других
сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
13. Свойство биссектрисы треугольника: она делит сторону на отрезки, пропорциональные
двум другим сторонам.
14. Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении
два к одному, считая от вершины.
15. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
16. В правильном треугольнике:
a 3
2
1
a2 3
h
, R  h, r  h, a  R 3 , a  2r 3 , R  2r , S 
.
2
3
3
4
d
17. В квадрате: d  a 2 , a  2r , R  , S  a 2 .
2
a2 3
18. В правильном шестиугольнике: R  a, S  6 
.
4
c
c
abc
ab
, S
19. В прямоугольном треугольнике: R  , mc  , r 
.
2
2
2
2
abc
2S
, r
20. В любом треугольнике: R 
.
4S
P
21. Формулы для вычисления площади треугольника:
1
1
S  aha , S  ab sin  , S  p( p  a )( p  b)( p  c) (формула Герона) .
2
2
22. Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон.
23. Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле
1
S  d1d 2 sin  .
2
1
24. Формулы для вычисления площади параллелограмма: S  aha , S  ab sin  , S  d1d 2 sin  .
2
1
ab
 h, S  d1d 2 sin  .
25. Формулы для вычисления площади трапеции: S 
2
2
180
(
n

2
)
26. Сумма углов выпуклого n-угольника равна
.
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ,
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В ОКРУЖНОСТИ
27. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
28. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
29. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.
30. Угол, образованный хордой и касательной, проходящей через конец хорды, измеряется
половиной дуги, заключенной внутри него.
31. Угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг, заключенных
между его сторонами и их продолжениями (рис.1).
32. Угол с вершиной вне окружности измеряется полуразностью двух дуг, заключенных
между его сторонами (рис.2).
33. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
34. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
35. Если касательная параллельна хорде, то точка касания делит дугу, стягиваемую хордой,
пополам.
36. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.
37. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно
произведению отрезков другой хорды.
38. Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной (рис.3).
39. Произведения секущих, проведенных из одной точки, на их внешние части равны.
B 
1
 AC   DM 
2
K 
1
 AD  CB 
2
BC 2  AC  DC