Закон Кулона. Электростатическое поле системы точечных

1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля.
Принцип суперпозиции
(примеры решения задач)
Закон Кулона. Электростатическое поле системы точечных зарядов
Пример 1.1
В однородном электрическом поле напряженностью E0 закреплен точечный
отрицательный заряд q . В точке A, положение которой определяется расстоянием r и
углом  (см. рис.), модуль вектора напряженности результирующего электрического
поля E  E0 . Определите угол  .
Решениe.
Напряженность результирующего поля согласно принципу суперпозиции равна
 

E  E0  E q ,
где E q  k q / r 2  напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q в точке А (рис.)

E0
A

Eq


E

E0
q
.
По теореме косинусов
E 2  E02  Eq2  2E0 Eq cos  .
Учитывая, что по условию задачи E  E0 , получим для искомого угла  :
kq
kq
cos  
,
  arccos
..
2
2 E0 r
2 E0 r 2
Пример 1.2
Два одинаковых небольших металлических шарика с зарядами q1 и q2 , находящихся
на расстоянии l = 0,2 м друг от друга притягиваются с силой F1  4 10 3 H. После того
как шарики привели в соприкосновение и опять развели на то же расстояние l, они
стали отталкиваться с силой F2  2.25 10 3 Н. Найдите q1 и q2 .
Решение.
Так как в начале шарики притягивались, то их заряды противоположны по знаку и
по закону Кулона
F1   k
q1q2
l2
.
(1)
После того, как шарики были приведены в соприкосновение, заряды
перераспределяются, и на каждом из шариков заряд, согласно закону сохранения заряда,
становится равным (q1  q 2 ) / 2 . Поэтому они стали взаимодействовать с силой
F2  k
q1  q2 2 .
4l 2
(2)
Уравнения (1) и (2), дают систему уравнений для неизвестных q1 и q2
4
q1q2  
F1 l 2
,
k
F2
,
k
q1  q2  2l
решив которую, находим искомые заряды
l
k
q2 

l
k
q1 


F2  F2  F1  0,267 10  6 Кл,

F2  F2  F1   0,067  10  6 Кл.
Заметим,
что
в
соответствии
с
симметрией
6
такие значения зарядов: q1  0.267 10 Кл, q2  0.067 10 6 Кл.
задачи
возможны
и
Пример 1.3
В вершинах квадрата, со стороной а, помещены четыре заряда  q (см. рис.).
Найдите напряженность электрического поля на перпендикуляре, восстановленном
из центра квадрата, как функцию его длины x.
Решение.
Из принципа суперпозиции полей, результирующее поле, создаваемое зарядами, равно:

E1
x
+q
+q
2
1
q
3
4
a
x
a
q
1
q
3

E13

E
4
2a
2 +q

E24
q

E3
q
1
+q

E13
q
3
4 


E =  Ei , где Ei  Ei 
q
.
40 ( x  a 2 / 2)
i 1
Задача сводится к суммированию четырех равных по величине, но разных по

направлению векторов Ei . Найдем векторную сумму полей положительного и
отрицательного зарядов 1 и 3. Из подобия треугольников на рисунке получим:
2aq
E13
E1
 2
, т.е. E13 
.
2
2
1/ 2
40 ( x  a 2 / 2) 3 / 2
2a ( x  a / 2)
2
5
Аналогично, складывая поля 2-го и 4-го зарядов найдем E24  E13 . Для сложения


векторов E13 и E24 учтем их равенство по величине и взаимную перпендикулярность. По
теореме Пифагора, получим
aq
2 1/ 2
E ( x)  ( E132  E24
) 
.
2
20 ( x  a 2 / 2) 3 / 2
Пример 1.4
На рисунке изображена одна из линий напряженности электрического поля двух
неподвижных точечных зарядов q1 и q 2 . Известно, что q1  1 нКл. Определите q 2 .
Y
b
a1
q1
a2
q2 X
0
Решение.
Введем систему координат, выбрав ее, как показано на рисунке, т.е. ось x проходит через
заряды, а ось y проходит через «вершину» линии поля. Так как вектор поля направлен по
касательной к линии поля, то в точке «вершины» Еy = 0. По принципу суперпозиции для
поля в этой точке имеем:
E1 y  E2 y  0 , где
q1b
,
40 (a12  b 2 )3 / 2
q2 b
E2 y  E2 cos(   2 ) 
.
40 (a22  b 2 ) 3 / 2
После подстановки и преобразований, найдем, взяв значения геометрических параметров
из рисунка в условии задачи a1 =2, a2 = 8, b = 4:
E1 y  E1 cos 1 
 a22  b 2 

q2   q1  2
2 
 a1  b 
3/ 2
 8q1  8 нКл.
Электростатическое поле заряженных тел (непрерывное распределение зарядов)
Пример 1.5
На единицу длины тонкого однородно заряженного стержня АВ, имеющего форму дуги
окружности радиуса R с центром в точке О, приходится заряд  . Найдите модуль
напряженности электрического поля в точке О, если угол АОВ равен  .
Решение.
Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с точкой О, а ось у
была симметрично расположена относительно концов дуги АВ (рис.).
Разобьем стержень на элементарные участки длины dl с зарядом dq   dl ,
который можно рассматривать как точечный.
6
dl
B
d
A


0
dE y 
R

dE
x

E
y
Найдем напряженность поля, создаваемого зарядом этого элементарного участка
стержня в точке 0:

dE 


1 dq R
1  dl R
,

40 R 2 R 40 R 2 R

где R - радиус вектор, направленный от элемента dl к точке, напряженность которой
вычисляется. Напряженность результирующего поля найдем, воспользовавшись
принципом суперпозиции. В силу симметрии результирующее поле будет направлено
вдоль оси у (рис.). Запишем выражение для проекции dE y :
dEy 
 dl
sin  .
40 R 2
Приведем правую часть последнего уравнения к одной переменной интегрирования – углу
 (учитывая, что dl  R d )
dEy 
 sin 
d .
40 R
  
Проинтегрировав левую часть полученного уравнения от 0 до E, а правую от    до
2 2
  
   , найдем модуль напряженности электрического поля, создаваемого в точке О
2 2
дугой АВ:
E


sin .
20 R
2
Рассмотрим специальные случаи использования формулы для расчета поля,
создаваемого частью дуги окружности в ее центре E 


sin :
20 R
2
а) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого 1/4 части дуги окружности
радиуса R в ее центре:



2


E
sin 
.
20 R
4 40 R
2
б) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким полукольцом
радиуса R в его центре:


E



.
sin 
20 R
2 20 R
в) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким кольцом радиуса R
в его центре:
7
  2

E

sin   0 .
20 R
г) Модуль напряженности электрического поля в центре тонкого кольца радиуса R, если
половины этого кольца заряжены разноименными зарядами с линейными плотностями
заряда  и   .
Напряженность электрического поля, создаваемого каждой из половинок равна:

,
E 
20 R

.
E 
20 R
Согласно принципу суперпозиции найдем результирующее
поле в центре
 

E  E  E .

Из рисунка видно, что направления векторов E и

E совпадают, поэтому результирующее поле в центре
такого кольца равно
E

.
0 R


E

E

E

Пример 1.6
Найти модуль и направление напряженности поля в центре кольца радиуса а, по
которому однородно распределен заряд q>0, а в кольце сделана прорезь шириной b
<< a.
Решение.
Рассмотрим кольцо без прорези. Тогда в силу симметрии в центре кольца поле равно

нулю. С другой стороны это поле является суперпозицией поля кольца с прорезью Ea и

поле заряда в прорези Eb (рис.):


Ea  Eb  0 , откуда


E a   Eb .
 
Eb Ea
b
a

Поле Eb , в силу малости прорези, описывается
qb=qb/(2πa-b)  qb/2πa, имеет величину Eb 
qb
8  0 a 3
2
полем точечного заряда величиной
и направлено от прорези. Поэтому
Ea  Eb и направлено от центра кольца к прорези.
Пример 1.7
Тонкое проволочное кольцо радиуса R  100 мм имеет однородно распределенный
заряд q  50 мк Кл. Каково будет приращение силы, растягивающей проволоку,
если в центре кольца поместить точечный заряд q0  7 мк Кл?
Решение.
8
Выберем на кольце элементарную дугу  l с зарядом q . По закону Кулона сила
взаимодействия зарядов q 0 и q равна F 
плотность заряда).
q0 q
40 R
, где q  l 
2
q
l (  - линейная
2R
F
T
T
l

R
q0
T

T
F
В равновесии величина силы F равна
растягивающих проволоку T .
Из подобия треугольников (см. рисунок) имеем:
равнодействующей
приращения
сил,
F l
 ;
T R
где l  R .
Выражая T ,получим:
T 
q q
F  R
 20 2 .
l
8  0 R
Пример 1.8
Кольцо радиуса R из тонкой проволоки имеет однородно распределенный заряд q .
Найдите модуль напряженности электрического поля на оси кольца как функцию
расстояния y до его центра. Исследуйте E y при y  R .
Решение.
Разобьем заряд кольца на бесконечно малые элементы с зарядами dq , которые
можно рассматривать как точечные. На оси кольца выберем произвольную точку с

координатой y . Заряд dq создаст в этой точке напряженность поля dE , направление
которого показано на рисунке, а его величина равна:
dE 

dq
40 R 2  y 2
.
Напряженность результирующего поля найдем, воспользовавшись принципом
суперпозиции. В силу симметрии результирующее поле будет направлено вдоль оси y
(см. рисунок). Поэтому E y   dE y , где:
dE y 
dq
40 ( R 2  y 2 )
cos .
9
Y

dE
dE y

O
dq
Учитывая, что cos  
y
R  y2
2
y
R
, получим:
dEy 
ydq
4 R
0
2
y

2 3/ 2
.
Суммируя вклады всех элементов кольца, найдем для проекции результирующего поля:
Ey 

yq
4 0 R 2  y 2

3/ 2
.
Рассмотрим напряженность поля на больших расстояниях y  R .
qy
,
Ey 
3
40 y
т.е. на больших расстояниях система ведет себя как точечный заряд.
График E y ( y ) представлен на рисунке.
|
Ey

R
2

R
2
y
Точки, в которых напряженность поля принимает максимальные значения, имеют
координаты y   R / 2 .
Пример 1.9
Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины 2b заряжен однородно
зарядом q  0 . Найдите модуль напряженности электрического поля как функцию
расстояния r от цента стержня до точки прямой, совпадающей с осью стержня
r  b  . Исследуйте полученное выражение при r  b .
Решение.
Выделим на стержне элементарный заряд dq , находящийся на участке стержня dx , на
расстоянии x от начала 0 координатной оси X . В произвольной точке на оси стержня с

qdx
координатой r заряд dq 
создает напряженность поля dE величиной:
2b
10

dE
r
dq
b
x
0
dE 
b
qdx
40 2br  x 2
X
.
Применяя принцип суперпозиции для нахождения напряженности поля, создаваемого
стержнем в искомой точке, получим:
E
q
40 2b
b
q
dx
b
1
 1
q
1 
q
 r  x 2  40 2b  (r  x)  b  40 2b  r  b  r  b   40 r 2  b 2 .
b
График напряженности поля, создаваемого заряженным стержнем на его оси представлен
на рисунке.
E (r )
b
0
r
q
При r  b напряженность поля E ~
, т.е. на больших расстояниях поле стержня
4 0 r 2
ведет себя как поле точечного заряда q, помещенного в центр стержня.
Пример 1.10
Тонкий прямой стержень заряжен с линейной плотностью    0 x / l 2 , где l длина
стержня, x расстояние от конца стержня,  0 положительная постоянная. Найдите
модуль напряженности электрического поля при x  0 .
Решение.
Разобьем заряженный стержень на бесконечно малые элементы dx с зарядами
dq  dx.

dq
dE
x
0
l
X

Каждый заряд dq создает в точке x  0 напряженность поля dE :
dE 

dq
40 x
2

dx
40 x
2

 0 dx
40 l 2
.
Все вектора dE сонаправлены. Поэтому для нахождения напряженности поля E ,
создаваемого всем заряженным стержнем в точке O , применим принцип суперпозиции,

суммируя величины элементарных векторов: dE
E
l
0
40 l
2
0
 dx  40 l .
0
Пример 1.11
Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса R и очень
длинной однородно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один
11
из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд q  0 . На единицу
длины нити приходится заряд   0 . Найдите силу, с которой кольцо действует на
нить.
Решение.
Разобьем нить на элементарные участки длины dl с зарядом dq   dl , каждый из
которых можно рассматривать как точечный. На каждый точечный заряд dq кольцо
действует с силой dF
dF  dqE кол ,
где Eкол - напряженность электрического поля, создаваемого заряженным кольцом на оси
на расстоянии l от центра. Согласно результату примера 1.7
Eкол 
lq

40 R 2  l 2

3/ 2
.
Подставим в выражение для dF величину поля Eкол и, проинтегрировав левую часть
полученного уравнения от 0 до F , а правую от 0 до  , найдем силу взаимодействия
кольца и нити:
q
F
40

 R
ldl
2
0
 l2
q 
2ldl
.


2
80 0 R  l 2 3 / 2

3/ 2

dF
dq  dl
l
O R


Учитывая, что 2ldl  d R 2  l 2 , приведем последнее выражение к виду удобному для
интегрирования и найдем искомую величину
F
q 2

80 R 2  l 2

1/ 2

q

.
0 40 R
Пример 1.12
Полубесконечный круглый цилиндр радиуса R заряжен однородно по поверхности
так, что на единицу его длины приходится заряд   0 .
Найдите напряженность электрического поля в центре основания цилиндра.
Решение.
Представим, что цилиндр состоит из набора круглых тонких колец ширины
dy каждое. Точка O находится на оси этих колец.
Воспользуемся формулой
для напряженности поля на оси равномерно
заряженного кольца (пример1.7):
dE 
1

ydq

4 0 R 2  y 2 3 / 2
где dq  dy – заряд одного кольца. Тогда
12
dE 
ydy

40 R 2  y 2


3/ 2
.
Y
R
dy
y
O

dE

Все напряженности dE в точке O , создаваемые кольцами направлены одинаково (против
оси y ). По принципу суперпозиции, имеем:

E (0) 
40

E (0) 
80

 R
0
2 ydy
2
 y2

3/ 2


80




R

 R
0
2
 y2
2
ydy
2

 y2

3/ 2
,


   .

40 R
0
Y
Пример 1.13

Круглая тонкая пластинка радиуса R однородно
A dE
заряжена с поверхностной плотностью   0 .
y
Найдите модуль напряженности электрического
поля на оси пластинки, как функцию расстояния
R
O
y от ее центра. Рассмотрите предельные случаи
r
y  0 и y  R .
Решение.
Представим круглую пластинку в виде набора узких концентрических колец
радиуса r и ширины dr (см. рис.).
dr
Y
A

dE
y
R
O
r
dr
Заряд одного такого элементарного кольца dq k равен:
dq k   dS   2rdr ,
где dS  2rdr площадь этого кольца.
Используя формулу для напряженности поля на оси кольца из примера 1.7.,
запишем напряженность поля в произвольной точке A с координатой y :
13
dE y 


ydq k
40 r  y
2


2 3/ 2
y 2rdr

40 r 2  y 2

3/ 2
.
Векторы dE направлены одинаково для всех колец пластинки (по оси y , так как заряд
пластинки положительный). Применив принцип суперпозиции для напряженности,
найдем E ( y ) :
E y ( y) 
 y
E y ( y)  
4 0
r
y
R
2rdr
 r 2  y 2 3 / 2 ,
0
R
2
2
 y
4 0
2

0
 y
2 0
R
2
y
2


 y
2 0 y 2
.
Построим график зависимости E y :

2 0
Ey
0
Y


2 0
Рассмотрим предельные случаи:

1) при y  0, E 
- что соответствует полю бесконечной равномерно заряженной
2 0
плоскости;
2) при y  R , учитывая что 1   n  1  n , поле пластинки можно привести к виду:
E ( y) 
  
R2
1  1 
2 0  
2y2
2

q
  R 
,
 4 y 2 4 y 2

0
0
то есть на больших расстояниях поле круглой пластинки соответствует полю точечного
заряда, помещенного в ее центр.
Пример 1.14

Найти
напряженность
E
электрического
поля,
созданного
отрезком
тонкой,
однородно
заряженной с линейной плотностью 
нити
в
точке
наблюдения
c
координатами x  0 , y (см. рис.). Углы
с осью x, под которыми видна точка
наблюдения из концов отрезка  1 ,  2 и
расстояние y - известны.
Решение.
E
y
1
λ
2 x
0
kdx
Вклад в напряженность поля от элемента отрезка dx равен dE  2 . Поля от
r

разных элементов отрезка dE отличаются как величиной, так и направлением. Поэтому
для нахождения результирующего поля проинтегрируем проекции элементарных полей
14
dEx  dE cos  и dE y  dE sin  . Для удобства интегрирования выразим переменные
величины r и x через угол  по соотношениям (см.рис.) r 
dx 
y
и x   y  ctg ,
sin 
yd
kd
. При этом dE 
и для проекций Ex и Ey получим:
2
sin 
y

2
2
k cos d k
k sin d k
Ex  

(sin  2  sin 1 ) , E y  

(cos 1  cos  2 )
y
y
y
y
1
1
dE y

dE
dE x
r
1 d
y

x
dq
 2x
0
Полученные формулы включают в себя все результаты расчета полей однородно
заряженных отрезков. Приведем наиболее часто используемые:
Поле на перпендикуляре, проведенном из середины отрезка:
1   ,2    
2k cos 
Ex  0 , E y 
y
Ey
y



Поле бесконечного отрезка:
1  0 ,  2   Ex  0 , E y 
2k
y
Ey
y

15
Поле полубесконечного отрезка в точках плоскости перпендикулярной отрезку и
проходящей через его торец:
1  0 ,  2    E x  E y  2k / y  E  2 2  k / y
E
Ey
Ex
y

Пример 1.15
Однородно заряженная нить, на единицу длины
которой приходится положительный заряд  , имеет два
2
полубесконечных прямолинейных и закругленный
1
3
0
участки.
Найдите
модуль
напряженности
электрического поля в точке 0 для конфигурации,
2
показанной на рисунке.
Решение. Нить, показанная на рисунке, имеет три участка 1
два прямолинейных полубесконечных (на рисунке участки 1 и
3) и один закругленный (на рисунке участок 2). Для решения
задачи
воспользуемся
принципом
суперпозиции
полей, создаваемых каждым из трех участков нити в точке 0.
Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с точкой 0, а оси x
и у совпадали с полубесконечными участками 1 и 3 (рис.).
y
E1 y
x
E3 x
E
E1 x
E2 y
Напряженность поля полубесконечной нити в точке 0 , лежащей на перпендикуляре
к оси нити (участок 1) будет иметь составляющие вдоль осей x и у, которые согласно
результату примера 1.13, проекции которых равны
E1 x  E1 y 

,
40 R
а направления показаны на рисунке.
Согласно результату примеру 1.4, напряженность поля полукольца (участок 2) в
точке 0 будет направлена вдоль оси у и равна
16
E2 y 

(рис.).
20 R
Согласно результату задачи 1.13, результирующая напряженность поля
полубесконечной нити в точке 0, лежащей на оси нити (участок 3) будет направлена вдоль
оси x и равна
E3 x 

(рис.).
40 R
Сложив попарно проекции векторов, направленные вдоль осей x и у:



0,
40 R 40 R



,
Ey 


40 R 20 R
20 R
Ex 
Найдем величину напряженности в точке 0:
E  E x2  E y2 

,
20 R
то есть модуль вектора напряженности электрического поля в точке 0 равен E 

,а
20 R
направление вектора противоположно направлению оси у .
17