Преобразование выражений, содержащих - ter

Тема: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Лекция.
- Вспомним основные понятия, связанные с квадратным корнем.
Теорема 1. Если
, то
Теорема 2. Если
, то
.
.
Теорема 3. При любом значении х верно равенство
.
.
Теорема 4.
, при
.
- Рассмотрим простейшие примеры на применение свойств квадратного
корня.
Пример 1. Найти значение выражения
.
Для нахождения значения выражения, воспользуемся теоремой о корне из
произведения:
Пример 2. Вычислить значение выражения
.
- При вычислении значения выражения необходимо: во-первых, определить,
можно ли применить теорему о корне из произведения, то есть можно ли
извлечь корень из каждого множителя, если нет, то, во-вторых, следует
подкоренное выражение представить в виде произведения множителей,
каждый из которых является квадратом целого числа и применить теорему о
корне из произведения.
Пример 3. Найти значение выражения
- По теореме о корне из дроби имеем
Пример 4. Найти значение выражения
.
Применим тождество
Получим:
.
=4.
Пример 5. Найти значение выражения
Применим тождество
Получим:
Пример 6. Упростить выражение
Представим степень
в виде
и воспользуемся тождеством
, получим:
Так как
при любом m, то
Также можно воспользоваться равенством
.
. Итак,
.
.
.
Говоря простым языком, если под корнем степень с четным
показателем, то при извлечении квадратного корня из этой степени,
получаем степень с показателем в 2 раза меньшим.
Пример 7. Вычислить
Решение.
1 способ: Возведем в квадрат каждое число, из полученного уменьшаемого
вычтем вычитаемое.
2 способ: Воспользуемся формулой сокращенного умножения
Пример 8. Вычислить
микрокалькулятор.
, не используя таблицу квадратов чисел и
Решение.
Разложим подкоренное число на простые множители:
Значит,
.
Получаем,
что
Вынесение множителя за знак корня
Для того чтобы вынести множитель из под знака корня, необходимо,
выражение, стоящее под знаком корня, разложить на множители так,
чтобы корень извлекался хотя бы из одного множителя.
Пример 9.
а)
;
b)
;
c)
Внесение множителя под знак корня
Для того чтобы внести множитель под знак квадратичного корня,
надо возвести в квадрат этот множитель и внести его под корень.
Пример 10. а)
;
b)
;
c)
Пример
.
11.
Расположите
числа
в
порядке
возрастания
:
- Чтобы расположить числа в порядке возрастания, сначала в каждом из
чисел внесем множитель под знак корня:
- Расположим в порядке возрастания полученные числа, т.е. больше то
число,
у
которого
подкоренное
выражение
больше:
Следовательно
Пример 12. Упростить выражение
.
Решение.
Воспользуемся тождеством
.
Раскроем знак модуля, т.е. воспользуемся тем, что
. Значит,
. Но тогда
.
Пример 13. Упростить выражение
.
Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби, применим формулы
сокращенного умножения:
Пример 14. Упростить выражение
.
Решение:
Воспользуемся свойством умножения корней, т.е. подкоренные выражения
внесем под один корень, далее воспользуемся формулой разности квадратов:
.