Вневписанная окружность теугольника

Фестиваль методических идей
Вневписанная окружность
треугольника
Урок проведен в 9А классе школы №20.
Дата: 10 февраля 2005 года
Учитель: Александрова Г.Ю.,
МОУ “Средняя общеобразовательная
школа №12”
г. Новочебоксарск, 2005г.
Тема урока: Вневписанная окружность треугольника.
Цели урока: ввести определение вневписанной окружности треугольника,
рассмотреть свойства вневписанных окружностей треугольника, решить задачи
на применение нового понятия, продемонстрировать программу построения вневписанных окружностей для произвольного треугольника.
Оборудование: компьютер, мультимедийная установка, слайды в режиме
PowerPoint, доска, мел.
Ход урока.
1) Этот урок посвящается одному из интереснейших понятий геометрии, которое обычно остаётся в стороне от выбранного нами пути построения геометрической теории.
Во-первых, речь на уроке пойдёт о треугольнике. За этой, казалось бы, простейшей геометрической фигурой, скрывается богатый мир.
В своём учебнике геометрии Игорь Фёдорович Шарыгин написал: “каждый
треугольник определяет семейство окружностей, помогающих глубже и полнее
понять “устройство” треугольника”.
На уроках геометрии вы уже изучили такие понятия как вписанная и описанная окружности, окружность Эйлера. А сегодня на уроке вы узнаете, что у любого
треугольника есть ещё вневписанные окружности.
Запишите тему урока.
Дадим определение: Вневписанной окружностью треугольника называется
окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.
Пусть дан треугольник АВС. Продолжим его стороны за точки В и С. Требуется построить окружность так, чтобы она касалась стороны ВС и продолжений
ВК1 и СК2 двух других сторон треугольника. Где находится центр этой окружности? Проведём биссектрисы внешних углов В и С. Они пересекутся в точке Ка.
Эта точка равноудалена от сторон угла К1ВС, как лежащая на его биссектрисе, и
равноудалена от сторон угла ВСК2 по той же причине. Значит точка Ка равноудалена от ВС, ВК1, СК2. Поэтому существует окружность с центром в точке Ка, касающаяся стороны ВС и продолжений двух других.
Расстояния от Ка до ВС, ВК1 и СК2 — это радиусы построенной окружности.
Заметим, что через Ка проходит и биссектриса угла А треугольника АВС.
Аналогично можно построить окружности, касающиеся двух других сторон.
Всего у треугольника имеется три вневписанных окружности. Кстати, центры
двух других вневписанных окружностей можно получить, продолжив построенные биссектрисы за точки В и С и построив биссектрису внешнего угла А.
2) Выясним, как связаны радиусы вневписанных окружностей с другими
элементами треугольника.
На доске:
S ABC  S ABK a  S ACKa  S BCKa 
1
1
1
1
1 
1
1
S
1
1

ñra  bra  ara  ra  c  b  a   ra  a  b  c  a   ra  p  a   ra 
2
2
2
2
2 
2
2
pa
2
2

Аналогично rb  S ; rc  S .
p b
pc

Вернёмся к чертежу на экране.
Центры вневписанных окружностей образуют треугольник, в который оказывается вписан треугольник АВС. И этот треугольник обладает интересными
свойствами:
 Отрезки КаА, КвВ, КсС являются его высотами,
 а так как эти отрезки содержат биссектрисы треугольника АВС, то точка их пересечения К является центром вписанной в треугольник АВС
окружности.
Докажите, что КаА – высота треугольника КаКвКс.
3) А теперь, используя выведенные нами формулы для радиусов вневписанных окружностей, докажем следующее утверждение:
1 1 1 1
   .
ra
rb
rc
r
4) Задача. Найдите радиус вневписанной окружности треугольника, если радиусы двух других вневписанных окружностей равны 2002 и 4004, а радиус вписанной окружности равен 1001.
5) Выведем формулу Герона для вычисления площади треугольника.
СК2 + ВК1 = ВС = а
АК1 + АК2 =АВ + ВК3 + АС + СК3 = АВ + АС
+ ВС = 2р,
но АК1 = АК2 (как отрезки касательных)
АК2 = р
СК2 = АК2 – АС = р – в,
СМ + ВТ = ВС = а
АМ + АТ = АС – МС + АВ – ТМ = АС + АВ – (МС + ВТ)=в + с – а = 2р – 2а,
но АМ = АТ = р – а,
МС = АС – АМ = в – р + а = а + в + с – р – с = р – с .
180 0  C
С
 90 0 
2
2  CK K  KMC  CK 2  K 2 K a , т.е.
2 a
KM
MC
С
2  90 0 
2
r
pb
 a  rra   p  a  p  c .
r
pc
1 
S  pr , S  ra  p  a , S 2  rra p p  a , S 2  p p  a  p  b  p  c , S  p p  a  p  b  p  c .
6) Домашнее задание (слайд 8).
7) В завершении урока посмотрите программу, которая демонстрирует построение вневписанных окружностей для произвольного треугольника. Программа написана на языке Turbo
Pascal. Треугольник строится по координатам точек, выбранных случайным образом.