5 класс - Омские олимпиады

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ Г.
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
ОМСКА
Решением Оргкомитета имя профессора Г.П. Кукина, основателя и
бессменного председателя жюри городской олимпиады, присвоено
математической олимпиаде школьников г. Омска.
второй (городской) этап  2 февраля 2007 г.
5 класс
1. У Пети, Васи и Толи есть чёрные и белые шарики, причём шариков у них
поровну. Чёрных шариков у Пети на два меньше, чем у Васи, а белых шариков у
Васи на три меньше, чем у Толи. У кого больше белых шариков и на сколько: у
Пети или у Толи?
2. В вершинах и серединах сторон квадрата расставлены целые положительные
числа. Сумма любых трёх чисел, стоящих на одной стороне, кончается на цифру
3, а сумма любых двух чисел, стоящих на одной диагонали, кончается на цифру
2. На какую цифру кончается сумма всех восьми чисел?
3. Алиса пишет на доске число (по цифре слева направо), состоящее из цифр 0, 1, 2,
так чтобы одинаковые цифры не стояли рядом. Причем каждый раз уже
выписанное число делится на количество своих цифр. Какое наибольшее число
цифр может содержать число, выписанное Алисой в итоге?
4. Бизнесмен купил на базаре одинаковое количество яблок и груш (по весу). Затем
стал продавать яблоки на 5р за килограмм дешевле, а груши – на 5р за килограмм
дороже прежней цены. У него раскупили все кроме последнего килограмма
яблок, который испортился. Верно ли, что бизнесмен остался с прибылью?
5. Можно ли разрезать прямоугольник размером 52007 на прямоугольники с
площадями 1, 2, 4, 8 так чтобы никакие прямоугольники одинаковой площади не
соприкасались ни по стороне, ни по вершине?
6. Перед Маленьким Муком три дерева, на одном из которых растут красные, на
другом желтые и на третьем зеленые яблоки, причем общее число яблок равно
2007. Мук обнаружил, что если он съест одно красное яблоко, то у него вырастут
уши, если одно желтое, то вырастет нос, и если зеленое, то усы. Чтобы вернуться
в исходное состояние ему необходимо съесть два яблока с этого же дерева. Он
съел все яблоки и стал усатым с большими ушами. Докажите, что сначала на всех
деревьях было разное число яблок.
© Оргкомитет, 2007
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ Г.
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
ОМСКА
Решением Оргкомитета имя профессора Г.П. Кукина, основателя и
бессменного председателя жюри городской олимпиады, присвоено
математической олимпиаде школьников г. Омска.
второй (городской) этап  2 февраля 2007 г.
5 класс
Выводные задачи
7. – Доктор Ватсон, вы выяснили трехзначный номер ячейки камеры хранения, в
которой
оставил
вещи
профессор
Мориарти?
– Да, мистер Холмс… это точный куб!
Причем его средняя цифра совпадает с количеством ваших скрипок!
– Но, Ватсон, слишком мало сведений!
– Могу добавить лишь, что первая цифра – иной четности, нежели вторая.
– Спасибо, Ватсон! Этого вполне достаточно.
Установите и Вы, вслед за великим сыщиком, номер ячейки.
8. Прибор умеет определять, четное или нечетное количество золотых монет
находится на его чашке. Из 6 монет 4 – золотые. Можно ли с помощью 4
измерений этим прибором найти все золотые монеты?
9. Из набора домино убрали все дубли. Оставшиеся доминошки стали по одной
выкладывать в цепь по правилам игры в домино. Может ли в итоге остаться
ровно одна доминошка, которую не удастся приставить ни к одному из концов
цепи?
10.Балда и Вакула соревновались в езде на чертях. Сперва Балда ехал по маршруту
АБВГ, а Вакула – по АВБГ (стартуя вместе), и приехали в Г одновременно. Тогда
Балда поехал по маршруту ГБА, а Вакула – по ГВА, и снова они затратили одно и
то же время на путь. Жюри решило, что Балда должен стартовать из В, а Вакула –
из Б. Кто первым прибудет в А, того и считать победителем. Верно ли, что
победит быстрейший?
© Оргкомитет, 2007