Лекция №12 Тема: ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ ПРОВОДИМОСТИ МЕТАЛЛОВ План: 1.Экспериментальное доказательство электронной природы тока в металлах. Эффект Холла и его применение. 2. Классическая теория электронного газа в твердом теле. 3. Закон Видемана – Франца. 4. Трудности классической теории. 1.Экспериментальное доказательство электронной природы тока в металлах. Эффект Холла и его применение. Согласно классической теории проводимости металлы представляют собой кристаллическую решетку, в которой движутся свободные электроны. Эта теория была создана Друде и детально разработана Лоренцем. Ее основные положения подтверждены целым рядом опытов. Первый из них опыт Рикке (1901 г.), в котором электрический ток пропускался через три, тщательно взвешенных и последовательно соединенных цилиндра Cu Al Cu , в течение года. Несмотря на то, что через цилиндры протекал огромный заряд 4 106 Кл , обнаружить следы переноса вещества не удалось. Это явилось доказательством того, что ионы металлов в переносе заряда не участвуют. В опыте Мандельштамма и Папалески (1913 г.) катушку из большого числа витков приводили в быстрые крутильные колебания и при этом в телефоне, на который была замкнута катушка, прослушивался шум, обусловленный движением электронов. В опыте Стюарта и Толмена (1916 г.) катушку приводили во вращение м (при этом линейная скорость проводника достигала 300 ) и затем резко с тормозили. Возникающий при этом импульс тока регистрировался баллистическим гальванометром. По величине импульса тока можно было определить удельный заряд частиц B переносивших заряд. Стюарт и Толмен I показали, что у всех металлов удельный d заряд частиц одинаков и совпадает со значением удельного заряда электрона, а знак заряда отрицательный. Рис. 12.1. Эффект Холла. Эффект Холла – возникновение в проводнике (или полупроводнике) с током плотностью j , расположенном в магнитном поле с индукцией B , перпендикулярной вектору плотности тока, поперечной разности потенциалов (рис.12.1) R IB , d 12.1 1 - постоянная Холла, зависящая от рода вещества, d – толщина en образца. По измеренному значению постоянной Холла R можно: - определить концентрацию носителей при известном заряде; - определить знак заряда, так как знак эффекта совпадает со знаком носителей заряда. Эффект Холла наиболее эффективный метод изучения энергии носителей заряда в металлах и полупроводниках и используется при создании датчиков Холла. где R 2. Классическая теория электронного газа в твердом теле. Существование свободных электронов в металлах можно следующим образом: при образовании кристаллической решетки валентные электроны, наиболее слабо связанные с атомом, отрываются от него и становятся свободными. Свободные электроны образуют электронный газ, обладающий всеми свойствами идеального газа. Применяя выводы молекулярно-кинетической теории к электронному газу, можно найти среднюю скорость теплового движения электронов: 8kT м u u 105 . m с Тепловое движение, являясь хаотическим, не может привести к возникновению тока. Из формулы плотности тока j e n v можно определить среднюю м скорость упорядоченного движения электронов v 103 и таким образом с можно утверждать, что v u . Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле с напряженностью E . В этом случае на электрон будет действовать сила eE F e E и он будет двигаться с ускорением a . К концу свободного m eE пробега электрон приобретает скорость vm , где - время свободного m пробега. Согласно теории Друде, электрон при столкновении с ионом отдает ему всю энергию и останавливается, поэтому начальная скорость электрона равна нулю, т.е. v0 0 . Так как электрон движется равноускоренно, то v v0 e E средняя скорость электрона v m . Учитывая, что время 2 2m , где - длина свободного пробега u электрона, получим, что скорость упорядоченного движения электронов в eE металле v . 2m u Учитывая, полученное значение скорости для плотности тока в металле получим выражение n e2 E . 12.2 j 2m u Если ввести обозначение n e2 , 12.3 2mu то будем иметь закон Ома в дифференциальной форме 12.4 j E. К концу разгона электрон будет обладать кинетической энергией mv2m e2 E 2 2 T 2 2m u Эту энергию электрон при столкновении с ионом будет передавать ему и поэтому, проводник с током будет нагреваться. В единицу времени электрон 1 u будет испытывать число столкновений z . Так как концентрация электронов равна n, то в единице объема в единицу времени, будет nu происходить число столкновений Z z n , и в единице объема будет выделяться энергия n e2 E 2 . 12.5 w ZT 2m u Учитывая обозначение 12.3, получим закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме w E 2 . свободного пробега электрона 3. Закон Видемана – Франца. Металлы обладают не только высокой электропроводностью, но и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями заряда и энергии в металлах являются одни и те же частицы - электроны, которые, перемещаясь в проводнике, переносят не только заряд, но и энергию. В 1853 году Видеман и Франц на опыте установили закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности к удельной проводимости для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и линейно растет с ростом температуры 12.6 T . Найдем значение для идеального электронного газа. Из молекулярнокинетической теории следует, что коэффициент теплопроводности определяется по формуле 1 12.7 n m u cV , 3 где 3 k 12.8 cV 2 m удельная теплоемкость электронного газа при постоянном объеме. Подставляя 12.8, в выражение 12.7 получим: 1 12.9 n u k . 2 Тогда для отношения с учетом 12.3 получим выражение: 3 k2 2 T. e Если обозначить 3k 2 2 , e то получим закон Видемана – Франца 12.6. Полученное значение хорошо согласуется с экспериментальными данными. 4. Трудности классической теории. Несмотря на очевидные успехи в объяснении ряда законов классическая электронная теория проводимости металлов столкнулась с рядом существенных затруднений: - прежде всего, классическая теория не могла объяснить появления свободных электронов в металлах; ne2 - мы пришли к выводу о том, что , но средняя скорость 2mu теплового движения электронов u T и, следовательно, зависимость удельной проводимости от температуры должна иметь 1 1 вид , но опыт говорит о том, что ; T T - если учесть наличие электронного газа, то теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков, чего на самом деле нет; - Совпадение опытного и теоретического значения в законе Видемана – Франца оказалось случайным. Когда Лоренц учел распределение электронов по скоростям, то он получил значение резко отличающееся от опытного значения. Указанные затруднения классической теории были разрешены в квантовой теории.