Изучение дифракции Фраунгофера на щели 4.2

4.2 Изучение дифракции Фраунгофера на щели
Цель
работы:
изучение дифракции
градуировка спектрографической щели.
Фраунгофера и
Дифракция Фраунгофера имеет место, когда на препятствие
падает плоская волна. При этом наблюдение распределения
интенсивности обязательно ведется там, где пересекаются
параллельные дифрагированные лучи, т.е. теоретически на
бесконечности, а практически в фокальной плоскости линзы или
на достаточно большом расстоянии от преграды. Этот вид
дифракции получил широкое практическое применение в виде
дифракционной
решетки,
используемой
в
качестве
спектрального прибора.
Дифракция Фраунгофера на одной щели
На рис. 1 изображена схема наблюдения дифракции
Фраунгофера на щели. Щель, шириною b считается
бесконечной в направлении, перпендикулярном плоскости
рисунка. Согласно
принципу
Р1
Гюйгенса каждая
точка
щели
является
А

источником волн
Р
(в данном случае
С
цилиндрических).
В
Линза
собирает
параллельные
лучи, идущие от
Рис.1
всех точек щели, в
фокальной
плоскости, где и наблюдается дифракционная
картина.
Рассмотрим
метод
расчета
интенсивности
света,
распространяющегося по разным направлениям за щелью –
метод векторных диаграмм.
240
Пусть на щель падает параллельный пучок лучей. Для
подсчета амплитуды колебаний в произвольной точке Р1
разобьем волновой фронт на зоны Френеля в виде узких полосок
одинаковой ширины Xi, параллельных краям щели. Каждая из
этих полосок может рассматриваться, как источник волн,
причем:
1) начальные фазы всех этих волн в момент испускания
одинаковы, так как при нормальном падении плоскость щели
совпадает с фронтом волны;
2) амплитуды этих элементарных волн одинаковы, так как
полоски имеют равные площади и ориентированы под
одинаковым углом по отношению к направлению на точку
наблюдения.
Эти два обстоятельства упрощает решение задач.
Пусть колебание, приходящее в точку наблюдения от i-ой

зоны, изображается вектором Ei , модуль которого равен
амплитуде соответствующей волны. Векторы, изображающие
волны, пришедшие от разных зон, повернуты относительно друг
друга на угол, равный разности фаз колебаний в этих волнах,
причем отставание по фазе соответствует повороту против
часовой стрелки. Тогда вектор амплитуды суммарного
колебания в точке Р1 равен:



E  Ei .
Графически вектор E изобразится замыкающей ломаной


линии, образованной векторами Ei . Все векторы Ei имеют
одинаковую длину и повернуты друг относительно друга на
один и тот же угол.
Пусть начальная фаза колебаний, приходящих в точку Р1
(рис. 1) от крайней левой зоны, равна нулю. Подсчитаем
начальную фазу колебаний , приходящих в точку Р1 от крайней
правой зоны. Для этого определим разность хода крайних лучей.
Из точки А опустим перпендикуляр на линию Р1 В, тогда
расстояние ВС – геометрическая разность хода  крайних
вторичных волн, распространяющихся от щели. Из рис. 1 видно,
что разность хода
241
 = b sin ,
(1)
где b – ширина щели. Разность хода и разность фаз связаны
соотношением:

2
,

(2)
где  – разность фаз колебаний, приходящих в точку Р1 от
крайних зон. Амплитуда результирующего колебания в точке Р1
изобразится
длиной

E
замыкающей

E
линии,
образованной

векторами Ei .

ломаной
При уменьшении ширины
зоны Xi число зон в щели
увеличивается и в пределе
Рис. 2
при Xi  0 ломаная линия

на рис. 2, образованная векторами Ei , превратится в дугу
окружности.
Исследуем возможные случаи
1. Пусть  = 0, т. е. свет после щели распространяется в
прежнем направлении. Результирующая амплитуда (Е0) в этом

случае будет равна алгебраической сумме Ei . Соответствующая
векторная диаграмма изображена на рис. 3. Ясно, что в этом
случае интенсивность света в направлении  = 0 будет
максимальной, обозначим ее I0. Так как интенсивность волны
пропорциональна квадрату амплитуды (т. е. I  E2), то I 0 ~ E02 .
Таким образом, при  = 0 амплитуда, а значит и интенсивность
волны будет максимальна. Этот максимум называют
центральным.
Е2
Е1
ЕN
242
Рис. 3
2. Пусть угол дифракции  такой, что разность фаз от
крайних зон равна  = 2 . Тогда разность хода волн,
пришедших от крайних точек щели,  = , то есть b sin  = .
Векторная диаграмма для этого случая
изображена на рис. 4. При этом
результирующая амплитуда Е = 0, т. е.
в данном направлении свет щелью
испускаться
не будет. При таких
значениях
угла
дифракции

наблюдается
минимум
нулевой
интенсивности. Тот же результат будет
ЕN
Е1
и тогда, когда разность фаз колебаний,
приходящих в точку наблюдения от
Рис. 4
крайних зон щели, будет кратна 2,
т. е.
 = 2 m, где m – целое число, как положительное, так и
отрицательное.
Таким образом, условие минимума интенсивности запишется
в виде
b sin   m, m  0,  1,  2,...
(3)
Максимальное значение целого числа m – порядка минимума –
определяется из неравенства: sin   m b  1 , то есть m  b  .
Отсюда видно, что при очень узкой щели, когда b  ,
минимумов вообще не будет, то есть интенсивность света будет
тогда монотонно уменьшаться с увеличением угла дифракции.
3. Пусть  таково, что разность фаз  = (2 m + 1), то есть
равна нечетному числу  (рис. 5). Для таких углов дифракции
наблюдаются максимумы интенсивности.
Положим m = 1, тогда разность фаз между волнами,
пришедшими от крайней левой и крайней правой точки щели,
равна  = 3, т. е. векторная диаграмма представляет собой
243
полторы окружности. Длина этой линии равна 3 r,
r  E 2 – радиус этой окружности.
где
С другой стороны, длина этой линии равна общей длине всех
векторов напряженности волн, испущенных всеми зонами, т. е.
E0 (рис. 3). Таким образом,

E0  3 E 2 , то есть амплитуда
E
N
первого максимума E 2 E0 3 .

E
Следующий максимум будет
тогда, когда  = 5 , т. е.
амплитуда
этого
максимума
равна E  2 E0 5 .

E1
Для произвольного максимума
 = (2 m + 1) , тогда амплитуда
Рис. 5
определяется из соотношения
E 
2 E0
,
(2m  1)
(4)
где m = 1, 2, 3, ...
Так как интенсивность пропорциональна квадрату
амплитуды, то отношение интенсивностей максимумов
дифракции:
I0 : I1 : I2 : ... = 1 : 4 9 2 : 4 25 2 : … …
Следует отметить, что условие минимума (3) получается и
при более строгом рассмотрении. Условие максимумов


дифракции в sin    m 
1
 и выражения для амплитуды
2
волны в максимуме (4) являются приближенными. Однако в
данной лабораторной работе практически применяется только
условие минимума (3).
Таким образом, угловое распределение интенсивности
выглядит следующим образом (рис. 6). Центральный максимум
по интенсивности намного превосходит все остальные
244
максимумы, и в нем сосредотачивается основная доля светового
потока, прошедшего через щель.
245
I
sin 
–2b/
–b/
0
b/
2b/
Рис. 6
Описание работы
В этой работе свет изображается потоком квантов света –
фотонов. Наличие у света корпускулярных свойств не
противоречит его волновой природе. В случае явлений
интерференции или дифракции фотон не дробится на части, а
представляет собой единое образование – частицу. Но
вероятность отклонения этой частицы на тот или иной угол
неодинакова: большая часть фотонов летит в направлении
центрального максимума, вероятность их попадания в какойнибудь боковой максимум существенно меньше, а в
направлении дифракционных минимумов фотоны вообще не
летят. Оказывается, что фотон в этом отношении вовсе не
является исключением среди множества различных частиц: все
микрочастицы обладают такими же свойствами. Это
предположение было впервые высказано французским физиком
Луи де Бройлем. Оно подтвердилось в опытах, в которых
«обычные» частицы – электроны, атомы и даже молекулы –
испытывают явление дифракции подобно свету.
В данной лабораторной работе виртуальные частицы
дифрагируют на щели под разными углами, и строится
гистограмма распределения фотонов по углам, причем высота
соответствующей ступеньки гистограммы пропорциональна
числу фотонов, рассеявшихся на щели под данным углом.
Ширину щели можно менять, при этом будет наблюдаться
разные дифракционные картины. По положению минимумов
246
дифракции можно определить отношение ширины щели к длине
волны света. Кадр из работы приведен на рис. 7.
247
Рис. 7
248
Ход работы
В данной лабораторной работе на экране компьютера моделируется дифракция Фраунгофера на
щели. В ходе эксперимента исследуются дифракционные картины, и по ним вычисляется ширина
щели.
Рекомендуется следующий порядок работы.
1. Ввести отношение ширины щели к длине волны.
Отношение ширины щели к длине волны можно задать введением числа в предназначенное для
этого окно. Рекомендуется установить это отношение равным двум.
2. Получить гистограмму распределения фотонов по углам.
Для этого запустите установку, нажав кнопку «Пуск». В ходе эксперимента в соответствующем
окне строится гистограмма распределения вылетевших фотонов по углам. Для того чтобы
подробно ознакомиться с результатами опыта, следует нажать левую кнопку мыши на этом окне,
при этом гистограмма увеличится. Продолжайте опыт до тех пор, пока пик центрального
максимума не достигнет верхней границы отведенного для гистограммы окна. Затем нажмите
кнопку «Стоп». Обратите внимание на дифракционную картину, изображенную в нижней части
экрана.
3. Определить положение дифракционных минимумов.
Воспользуйтесь увеличенной гистограммой для того, чтобы найти углы, определяющие
направление на все наблюдаемые дифракционные минимумы.
4. Вычислить отношение ширины щели к длине волны.
По полученным данным по формуле (3) вычислите отношение ширины щели к длине волны
для минимумов всех наблюдаемых порядков, найдите среднее значение этой величины и сравните
результат с установленным в окне значением.
5. Проделать опыты при других значениях отношения ширины щели к длине волны.
Выполните описанные выше эксперименты для 3–4 значений этого отношения в интервале от 2
до 5.
6. Выполнить опыт при отношении ширины щели к длине волны равным или меньшим 1.
Убедитесь, что в этом случае дифракционные минимумы отсутствуют.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается принцип Гюйгенса–Френеля?
2. Что такое дифракция Фраунгофера?
3. В чем заключается метод векторных диаграмм?
4. Как выглядит векторная диаграмма для минимума?
5. Как выглядит векторная диаграмма для максимума?
6. Условия минимума?
7. Условия максимума?
8. Как зависит интенсивность в максимуме от его порядка?
9. Как согласуется явление дифракции с представлением о свете как потоке частиц – фотонов?
Продумайте вид таблицы для этой работы.
249