681452506Дата печати 29.04.2016 8:59:00 ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ Изучение математики на базовом уровне в старшей школе направлено на достижение следующих целей, общих для всего процесса математического образования: – воспитание средствами, характерными для математической деятельности, стремления к получению новых знаний и их применению, способностей к систематической работе, творческой активности и самостоятельности, интеллектуальной честности и дисциплины, критичности и самокритичности; уважения к значимости научных знаний. – развитие интеллектуальных качеств личности, таких как точность и ясность мысли, логическое мышление и алгоритмическая культура, способность к построению формальных моделей и интерпретации результатов моделирования, интуиция и сообразительность, пространственное воображение; – освоение математических знаний как неотъемлемой части человеческой культуры, ознакомление с ведущими математическими идеями и результатами, историей их развития, влиянием на жизнь современного общества; – овладение умениями, необходимыми для актуализации математических знаний, их применения в повседневной жизни, изучения смежных дисциплин, успешного продолжения образования. Специфика целевых установок изучения математики на базовом уровне в старшей школе состоит в том, что при выборе ценностных ориентиров приоритет отдается развитию средствами математики качеств личности, имеющих практическую и общекультурную направленность. Обязательный минимум содержания основных образовательных программ Содержание математического образования в старшей школе на базовом уровне развивает и обогащает запас математических понятий, результатов, идей и методов, заложенный в основной школе. Реализация указанных целей достигается в результате освоения следующего содержания образования. АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 1 681452506Дата печати 29.04.2016 8:59:00 Действительные числа: натуральные, целые, рациональные числа. Иррациональные числа. Изображение действительных чисел точками числовой прямой. Знак и модуль действительного числа, целая и дробная часть числа. Арифметические операции над действительными числами, извлечение корня натуральной степени из действительного числа. Приближение чисел конечными десятичными дробями. Точность вычислений. Корень натуральной степени из числа. Степень с рациональным показателем. Свойства степеней с рациональными показателями. Понятие о степени с действительным показателем. Логарифм числа по данному основанию. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный логарифм. Число е. Натуральные логарифмы. Градусная и радианная мера произвольного угла. Изображение действительных чисел на единичной окружности. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же числа. Формулы приведения. Формулы сложения, формулы двойного угла. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа. Преобразования рациональных, иррациональных, степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических выражений. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ. Общее понятие числовой функции, ее область определения и график. Способы задания функций. Композиция функций. Дробно-линейная функция и ее график. Примеры графиков дробно-рациональных функций. Степенная функция с целым показателем и ее график. Показательная функция и ее график. Логарифмическая функция и ее график. Тригонометрические функции числового аргумента и их графики. Монотонность функции, промежутки возрастания и убывания. Наибольшее и наименьшее значения, множество значений функции, ограниченность функции. Точки (локального) максимума и минимума. Четность и нечетность, периодичность функции. Связь между свойствами функции и ее графика. Преобразования графиков функций: сдвиги и растяжения (сжатия) вдоль координатных осей, симметрия относительно осей. Понятие о производной функции. Физический смысл производной функции, как скорости изменения этой функции. Понятие о касательной к графику функции. Геометрический смысл производной, как тангенса угла наклона касательной. Уравнение касательной. Формулы производных степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций. Производная суммы, произведения, частного и композиции данной функции с линейной. Вторая производная, ее физический смысл. Применение производных к исследованию функций и построению графиков. Использование свойств функций при решении текстовых, физических и геометрических задач. Решение задач на наибольшее и наименьшее значения. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Уравнения и неравенства с одной неизвестной (с одной переменной). Уравнения и неравенства с несколькими неизвестными (переменными). Системы и совокупности уравнений и неравенств. Решение рациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств, иррациональных и тригонометрических уравнений. Решение систем уравнений и неравенств. Понятие о равносильных уравнениях и равносильных неравенствах. Использование равносильных преобразований. Переход к следствию с последующей проверкой. Перебор возможностей, отбор корней. Замена переменной. Уравнения и неравенства с параметрами. Использование при решении уравнений и неравенств свойств функций и графиков функций. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений 2 681452506Дата печати 29.04.2016 8:59:00 уравнений и неравенств, их систем и совокупностей. Графическое решение систем линейных неравенств с двумя переменными. Составление уравнений и неравенств по текстовому описанию. Задачи на движение и работу. Задачи на проценты, доли, смеси. Учет ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений, в том числе – целочисленность, положительность, пределы изменения. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Табличное и графическое представление информации. Гистограммы выборок больших объемов. Понятие о нормальном распределении. Числовые характеристики рядов данных. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы для числа сочетаний. Понятие о треугольнике Паскаля. Классический способ нахождения вероятности случайных событий. Геометрические вероятности, диаграммы Эйлера. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Вероятность и статистическая частота наступления события. Понятие о статистической устойчивости. СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ. Построение рациональных чисел. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Введение иррациональных чисел. Введение комплексных чисел; возникновение логарифмов, логарифмическая линейка. Тригонометрия, как инструмент для решения астрономических и геодезических задач; тригонометрические функции числового аргумента как способ описания периодических процессов. Знаменитые задачи древности и исследование их разрешимости: квадратура круга, трисекция угла, удвоение куба, построение правильного многоугольника. Разрешимость алгебраических уравнений в радикалах. Диофантовы уравнения. Развитие понятия функции. Понятие о пределе функции и о непрерывности функции. Классические задачи естествознания, сводящиеся к исследованию функций: нахождение площадей плоских фигур, работа по перемещению тела, дифференциальные уравнения. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Способы задания прямых и плоскостей. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости. Признаки и свойства. Ортогональная проекция. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей. Признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла.. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур. 3 681452506Дата печати 29.04.2016 8:59:00 МНОГОГРАННИКИ Вершины, ребра, грани многогранника. Поверхность многогранника. Многогранные углы. Выпуклые и невыпуклые многогранники. Призма, ее элементы: основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб. Пирамида, ее элементы: основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Сечения пирамиды, параллельные ее основанию. Правильная пирамида. Треугольная пирамида (сфера, вписанная в пирамиду; сфера, описанная около пирамиды). Усеченная пирамида, усеченный конус. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в правильных призмах и пирамидах. Сечения многогранников. Построение сечений. Общее представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). КРУГЛЫЕ ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ Цилиндр, конус и их элементы: основания, образующая, высота, боковая поверхность. Развертка боковой поверхности. Шар, сфера. Сечения сферы (шара) плоскостями. Касательная плоскость к сфере. Касание круглых тел с плоскостями и между собой. Вписанные и описанные многогранники. Понятие о телах вращения и о их поверхностях вращения. Ось вращения. ОБЪЕМЫ ТЕЛ И ПЛОЩАДИ ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Понятие об объеме тела. Равновеликость тел. Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхности цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы. КООРДИНАТЫ. ВЕКТОРЫ Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Компланарность векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ Сведение к планиметрическим задачам: метод сечений; метод проектирования. Развертка. Координатный и векторный методы. Задачи на вычисление, на доказательство, на геометрические места точек. Задачи на максимум и минимум. Требования к уровню подготовки выпускников средней школы Базовый уровень В результате изучения математики в старшей школе на базовом уровне предполагается, что выпускник будет знать: – правила действий над числовыми и буквенными выражениями; 4 681452506Дата печати 29.04.2016 8:59:00 – – основные приемы решения уравнений и неравенств; определения основных элементарных функций, способы задания функций и схему их исследования; – геометрический и физический смысл производной функции, связь свойств функции и ее производной; – простейшие способы представления информации, комбинаторные способы вычисления вероятности случайных событий; – простейшие способы использования формул длин, площадей и объемов для нахождения геометрических вероятностей:основные свойства важнейших геометрических фигур на плоскости и в пространстве, сведения об их взаимном расположении; – основные формулы длин, площадей и объемов геометрических фигур; – иметь представление о роли геометрии и ее прикладном значении; – понимать дедуктивный характер курса геометрии, иметь представление об аксиоматическом методе; уметь: – выполнять устный счет с целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями; – использовать простейшие вычислительные устройства для вычисления значений числовых выражений, – выполнять действия над числами в стандартной записи, – пользоваться формулами сокращенного умножения, производить другие тождественные преобразования многочленов и рациональных выражений, необходимые для их упрощения и доказательства тождеств, – решать задачи на пропорции, проценты, – сравнивать числовые выражения, наносить числа на числовую ось, – пользоваться свойствами числовых неравенств, – вычислять средние значения рядов данных измерения, – подсчитывать число вариантов (исходов, событий), пользуясь правилом умножения и треугольником Паскаля; – проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени (в том числе с рациональными показателями), логарифмы, тригонометрические выражения; – использовать числа для задания точек на прямой, плоскости и пространстве (координатный метод на прямой, плоскости и пространства) и векторных величин (действия над векторами в координатах); – исследовать и строить графики простейших элементарных функций и тех, которые получаются из них параллельным переносом, симметрией относительно начала и координатных осей, растяжением; – решать линейные и квадратные уравнения, рациональные, показательные (логарифмические) и тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным; – использовать графики при решении уравнений и неравенств; – решать рациональные и сводящиеся к ним неравенства методом интервалов; – изображать на координатной плоскости решение простейших уравнений, неравенств и их систем с двумя неизвестными; – составлять и решать уравнения, связывающие неизвестные величины в прикладных и текстовых задачах; – дифференцировать функции степени с натуральным показателем, основные показательные, логарифмические и тригонометрические функции, использовать связь между свойствами функции и её производной для исследования функций; – применять свойства функций для проведения приближенных вычислений (линейные приближения с помощью производной без оценок точности вычислений), решения 5 681452506Дата печати 29.04.2016 8:59:00 задач прикладного содержания на нахождение наибольших и наименьших значений;вычислять вероятности событий, конечное число исходов которых доступно перебору или вычислению с помощью правила умножения, треугольника Паскаля и других простых комбинаторных приемов; – – – – – различать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении, используя определения и признаки;уметь строить изображения (параллельные проекции) основных многогранников (параллелепипед, призма, пирамида) и круглых тел (цилиндр, конус); восстанавливать трехмерные образы по плоским изображениям; уметь выполнять чертеж, соответствующий данной задаче; уметь строить сечения многогранников, изображать сечения круглых тел; решать стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов) с необходимыми теоретическими обоснованиями; уметь решать стереометрические задачи на доказательство геометрических фактов; соотносить геометрические формы с реальными объектами окружающего мира; – – – применять полученные знания и умения для решения практических задач, связанных с повседневной жизнью. на основе следующих способов математической деятельности: – проведение доказательных рассуждений, логическое обоснование выводов; – планирование и осуществление алгоритмической деятельности; выполнение расчетов практического характера; использование математических формул и самостоятельное их составление на основе обобщения частных случаев и эксперимента; – решение текстовых задач: составление по тексту задачи ее математической модели. – построение и исследование математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин; проверка и оценка результатов своей работы, соотнесение их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом; – исследовательская деятельность, проведение экспериментов, выдвижение гипотез и их проверка; – самостоятельная работа с источниками информации, анализ, обобщение и систематизация полученной информации, интегрирование ее в личный опыт, использование учебников и научно-популярной литературы; 6