МИФ-2, №4, 2000 год Математика, 8 класс Кармакова Тамара Сергеевна Преобразование рациональных и иррациональных выражений Тождественные преобразования выражений – это одна из содержательных линий школьного курса математики. Тождественные преобразования широко используются при решении уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Кроме того тождественные преобразования выражений способствуют развитию сообразительности, гибкости и рациональности мышления. Предлагаемые материалы предназначены для учащихся 8 класса и включают в себя теоретические основы тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений, типы задач на преобразование таких выражений и текст контрольной работы. 1. Теоретические основы тождественных преобразований Выражениями в алгебре называют записи, состоящие из чисел и букв, соединенных знаками действий. 3x ; a 2 b 2 c ; x 2 9 ; x n – алгебраические выражения. 4x 1 В зависимости от операций различают рациональные и иррациональные выражения. Алгебраические выражения называют рациональными, если относительно входящих в него букв а, b, с, … не выполняется никаких других операций, кроме операций сложения, умножения, вычитания, деления и возведения в целую степень. Алгебраические выражения, содержащие операции извлечения корня из переменной или возведения переменной в рациональную степень, не являющуюся целым числом, называются иррациональными относительно этой переменной. Тождественным преобразованием данного выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве. В основе тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений лежат следующие теоретические факты. 1. Свойства степеней с целым показателем: an a a a , nN; а1=а; n - множителей 1 , nN, а0; an a n a m a n m , а0; a n a n : a m a n-m , a n m m anm , а0=1, а0; а0; a a m , а0, b0; b b m ab a m b m , а0, b0. 2. Формулы сокращенного умножения: m а0; a 2 b 2 a b a b ; a b 2 a 2 2ab b 2 ; a b3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 ; a 3 b 3 a ba 2 ab b 2 ; где а, b, с – любые действительные числа; ax 2 bx c ax x1 x x 2 , где а0, х1 и х2 – корни уравнения ax 2 bx c 0 . 3. Основное свойство дроби и действия над дробями: a c a a:c , где b0, с0; bc b b:c a b ab a b ad bc ; ; c c c c d cd a c ac a c ad ; . : b d bd b d bc 4. Определение арифметического корня и его свойства: k a na n n a n ak ; ab n a n b ; n , b0; b nb n k a nk a; 2n 2 n 1 a 2n a ; a 2n1 a , где а, b – неотрицательные числа, nN, n2, mN, m2. 1. Типы упражнений на преобразование выражений Существуют различные типы упражнений на тождественные преобразования выражений. Первый тип: явно указано то преобразование, которое необходимо выполнить. Например. 1. Представьте в виде многочлена a ba b 1 a ba b 1 . Решение: a b a b 1 a b a b 1 a b a b 1 a b a b 1 a 2 b 2 a b a 2 b 2 a b 2a. При выполнении указанного преобразования использовали правила умножения и вычитания многочленов, формулу сокращенного умножения и приведение подобных слагаемых. 2. Разложите на множители: c 8 c 4 2c 2 1 . Решение: 2 c 8 c 4 2c 2 1 c 8 c 4 2c 2 1 c 8 c 2 1 c 4 c 2 1 c 4 c 2 1 . При выполнении преобразования использовали правило вынесения общего множителя за скобку и 2 формулы сокращенного умножения. 3. Сократите дробь: x n 2 4 x n 1 4 x n . x 3 6 x 2 12 x 8 Решение: 2 x n x 2 4x 4 x n 2 4 x n 1 4 x n x n x 2 x 3 6 x 2 12 x 8 x 3 8 6 x 2 12 x x 2 x 2 2 x 4 6 x x 2 x x 2 x x 2 x . 2 2 x 2 x 4 x 4 x 2x 2 x 2 n 2 n 2 n При выполнении преобразования использовали вынесение общего множителя за скобку, переместительный и сократительный законы, 2 формулы сокращенного умножения, действия над степенями. 4. Вынесите множитель из-под знака корня, если а0, b0, с0: 8a 2 b 7 c 9 . 8a 2 b 7 c 9 4 2 a 2 b 6 b c 8 c 4 2 a 2 b 6 b c 8 c Решение: 2 a b3 c 4 2 b c 2ab 3 c 4 2bc 2 2ab 3 c 4 bc . Использовали правила действий над корнями и определение модуля числа. 6 5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби 3 6 24 48 108 . Решение: 6 3 6 24 48 108 2 33 2 2 1 2 31 2 1 2 3 2 3 1 2 8 16 36 2 1 2 2 2 4 6 2 1 2 2 1 2 22 . 3 1 3 3 Второй тип упражнений – это упражнения, в которых явно указано то главное преобразование, которое необходимо выполнить. В таких упражнениях требование обычно сформулировано в одном из видов: упростить выражение, вычислить. При выполнении таких упражнений необходимо прежде всего выявить, какие и в каком порядке необходимо выполнить преобразования, чтобы выражение приняло более компактный вид, чем данное, или получился числовой результат. Например 6. Упростите выражение: x 2y y A 3 3 3 2 x x y xy 2 x y x2 y2 2y2 : 3 3 . 2 x x 2 y xy 2 y 3 x xy x 2y x2 y2 y 2y2 : Решение: A 3 3 3 2 2 2 2 2 2 x y x x y xy x x y x x y y x y x 2 x 2 xy xy y xx y 2y xy y 2 x x 2 y 2 2 x y x 2 y 2 xx y x 2 xy y 2 x 2 y 2 x x y x 2 xy y 2 x y2 2 2 2 2 2 2y x y 2y x y 2y x y 2y 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x 2 y 2 x y 2 2 2 2 2 2 2 x y 1 . 2 2 x y x y x y Использовали правила действий над алгебраическими дробями и формулы сокращенного умножения. 2 2 7. Упростить выражение: a a b b 2 b ab a b . ab a b ab Решение: A 2 A a b a ab b 2 b ab a ab b 2 ab 2b ab a b 1 ab ab ab a b a b a b , если а0, b0, аb. Использовали формулы сокращенного умножения, правила сложения дробей и умножения иррациональных выражений, тождество b 2 b , определение модуля числа, понятие области допустимых значений переменных в выражении. 8. Вычислить A 28 10 3 28 10 3 . Решение: A 28 10 3 28 10 3 25 10 3 3 25 10 3 3 5 3 2 5 3 2 5 3 5 3 5 3 5 3 10 . Использовали операцию выделения полного квадрата, тождество определение модуля числа. a2 a и Третий тип упражнений на тождественные преобразования – это упражнения, в которых требуется доказать справедливость данного равенства. При выполнении таких заданий можно либо левую часть преобразовывать к правой, либо правую к левой, либо одновременно преобразовывать левую и правую части, либо с помощью преобразований установить, что разность левой и правой частей равна нулю. При этом упражнения третьего типа могут быть двух видов: условные тождества (заданы условия, которым должны удовлетворять переменные в выражении) и безусловные (обычные). Например. 9. Докажите, что a 3 b 3 c 3 3abc , если a b c 0 . Доказательство: 3 Так как a b c 0 , то a b c и a b c 3 или a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 c 3 или a 3 b 3 c 3 3aba b или a 3 b 3 c 3 3ab c , т.е. a 3 b 3 c 3 3abc . Использовали условие и формулу суммы кубов. Надо иметь в виду, что условия, связывающие переменные, могут быть заданы и в упражнениях первых двух типов. Например. 1 1 2 10. Найдите a 3 3 , если a . a 3 a Решение: 3 3 1 8 1 2 1 8 , то a или a 3 3a 3 или a 3 a 27 a a 27 1 2 8 1 8 1 1 8 a 3 3 3 a или a 3 3 3 или a 3 3 2 . a 27 3 27 27 a a a Использовали условие, формулу куба разности двух выражений. Так как a Контрольное задание Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы. Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ). Отметьте номер правильного ответа: М10.8.1. Результат упрощения выражения 1) y x; 4) 2) 3) x y; x y; 5) x y x y x y xy x y xy x xy ; x y. 31 10 6 М10.8.2. Значение выражения равно 20 4 6 1) 4; 2) 2 ; 3) 0,25; 4) 10 5 6 ; 5) 6. Докажите справедливость равенства: 9 b2 c2 М10.8.3. 1 b 3c 3 b c3 b 3 cc b 1 a 1 2 b 1 2 a b2 a b , если М10.8.4. 2 3 a b 3 a b a b 2 Избавьтесь от иррациональности в знаменателе 1 М10.8.5. ; 4 54 2 1 М10.8.6. . 2 3 3 Вычислите значение выражения: a 2 3b 2 ab 2 ; М10.8.7. , если 2 2 ab 3 2a 5ab 3b 3 2 1 М10.8.8. 2b 3 3b 2 2 3 , если b 3 ; b b b М10.8.9. 3 1 4 2 3 . Упростите выражения: 1 1 1 М10.8.10. ; a 3a b 3 b3 a b a b 3 x x a2 x x x a 2 М10.8.11. ; : x a 2 x x a 2 x x a 2 1 1 2 x y М10.8.12. ; : x1 4 y 1 4 x1 4 y 1 4 x y М10.8.13. 2 6 20 2 5 24 11 2 30 . a b. имеет вид