1 растяжение, сжатие и сдвиг

ЛЕКЦИЯ 1
Литература
1 Андреев В.И. Техническая механика [Текст] : учебник / В.И. Андреев, А.Г.
Паушкин, А.Н. Леонтьев. - М. : АСВ, 2012. - 256 с.
ВВЕДЕНИЕ
Сопротивление материалов как наука
Сопротивление материалов представляет собой ветвь прикладной механики, которая изучает поведение твёрдых деформируемых тел, находящихся
под воздействием различного типа нагрузок. Предметом анализа стержней
под действием приложенных по оси нагрузок, валов, балок и колонн,
а также конструкций, представляющих ансамбль из названных элементов, является определение полной картины механического поведения этих объектов для всех значений нагрузок вплоть до разрушающих.
Теоретический анализ и результаты экспериментальных исследований
имеют одинаково большое значение в процессе изучения сопротивления материалов. Важность сочетания теоретических исследований с экспериментально
определёнными свойствами материалов будет очевидной по мере изучения
предмета.
1 РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
1.1 Напряжения и деформации
Рассмотрим растяжение призматического стержня (рис. 1.1):
m
P
P
m
L
δ
Рис. 1.1 Растяжение стержня с прямой осью
Стержень имеет постоянное поперечное сечение по длине, ось стержня прямая и стержень нагружен по концам силами P, направленными вдоль оси,
которые создают равномерное растяжение стержня. Мысленно рассекая стер-
Безмельницин В.Т. Техническая механика Часть 1. Лекция 1
2
жень (сечение m-m) плоскостью под прямым углом к оси стержня, рассмотрим
равновесие части стержня (например, правой – рис. 1.2).
На правом конце приложена растягивающая сила P, а на другом конце –
силы, представляющие действие отброшенной части стержня на оставшуюся
часть. Эти силы непрерывно распределены по поперечному сечению стержня,
аналогично непрерывно распределённому гидростатическому давлению на погруженную в воду поверхность. Интенсивность силы, т.е. сила на единицу
площади, называется напряжением и обычно обозначается греческой буквой .
σ
m
N
P
m
Рис. 1.2 Определение внутренних сил методом сечений
Предполагая, что сила равномерно распределена по площади поперечного сечения стержня, мы можем видеть, что результирующая напряжений N равна интенсивности  умноженной на площадь поперечного сечения стержня A.
Из условия равновесия тела мы можем также получить, что эта результирующая должна быть равна по величине и обратна по направлению силе P:
A  N  P
Следовательно, получим для случая равномерного распределения напряжений следующую формулу, определяющую напряжения в призматическом
стержне при растяжении:

N
A
(1.1)
Это уравнение показывает, что напряжение имеет размерность силы делённой
на площадь. Например, в технической системе МКГСА это килограмм на квадратный сантиметр – атмосфера, а в международная система СИ это ньютон на
квадратный метр – Паскаль (Па). Как мы увидим позже, удобно пользоваться
килопаскалем и мегапаскалем (103 Па и 106 Па соответственно). Для перевода
из системы СИ в международную систему и обратно следует помнить, что 10
атм.= 1МПа.
Когда стержень растягивается силой P, как показано на рисунке, результирующее напряжение – растягивающее. Если же силы P обратны по направлению, вызывая сжатие стержня, напряжения называются сжимающими. Растягивающие напряжения считаются положительными, сжимающие – отрицательными.
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Безмельницин В.Т. Техническая механика Часть 1. Лекция 1
3
Необходимыми условиями, при которых формула (1.1) имеет место, являются:
1) напряжение  равномерно распределяется по поперечному сечению
стержня;
2) осевая сила P действует по центру тяжести поперечного сечения.
Общее удлинение стержня под действием осевой силы P обозначим греческой буквой  (рис. 1.1), а удлинение единицы длины стержня, или деформация  определится тогда формулой:


,
L
(1.2)
где L - общая длина стержня. Деформация  является безразмерной величиной.
Она может быть вычислена по формуле (1.2), если она постоянна вдоль стержня. Если стержень растягивается, деформация - деформация растяжения, и
представляет удлинение стержня; если же стержень сжимается, то деформация
– деформация сжатия, обозначающая, что соседние поперечные сечения стержня сближаются.
1.2 Испытание на растяжение
Связь между напряжением и деформацией для каждого материала определяется в результате испытания на растяжение. Образец материала, обычно в
форме круглого стержня, помещается в испытательную машину и подвергается
растяжению. Сила, действующая на стержень, и удлинение стержня замеряются
в процессе возрастания нагрузки. Напряжение в стержне определяется делением силы на площадь поперечного сечения и деформация - делением удлинения
на длину стержня, подверженную растяжению. Таким образом, может быть получена полная диаграмма напряжение - деформация для материала. Типичная
форма диаграммы "напряжение – деформация" для конструкционной стали
имеет следующий вид:
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Безмельницин В.Т. Техническая механика Часть 1. Лекция 1
4
σ
E´
D
B
C
E
A
0
ε
Рис. 1.3 Диаграмма растяжения мягкой стали
Осевые деформации откладываются здесь по горизонтальной оси, а соответствующие напряжения даются ординатами кривой 0ABCDE.
От 0 до А напряжения и деформации прямо пропорциональны друг другу
и диаграмма линейна. За точкой А линейная зависимость между напряжением и
деформацией не имеет места; поэтому напряжение в точке А называется пределом пропорциональности. Для низкоуглеродистой (конструкционной) стали
этот предел обычно 13 – 15.5 Мпа, но для высокопрочных сталей он может
быть значительно выше.
С ростом нагрузки деформация растёт более быстро, чем напряжение, а с
точки В деформации растут при незначительном росте напряжений. Это явление известно как течение материала, и напряжение в точке В называется пределом текучести.
Говорят, что на участке ВС материал становится пластичным и стержень
может удлиняться пластически в 10 – 15 раз больше, чем на участке до предела
пропорциональности.
В точке С материал начинает упрочняться и оказывать дополнительное
сопротивление возрастающей нагрузке. Таким образом, при дальнейшем удлинении напряжение увеличивается и достигает своей максимальной величины,
или предела прочности, в точке D. За этой точкой дальнейшее растяжение происходит при уменьшении нагрузки, и, наконец, разрушение образца происходит
в точке Е диаграммы.
Во время удлинения стержня имеет место поперечное сжатие, в результате чего уменьшается площадь поперечного сечения стержня. Этот эффект не
существенен до точки С диаграммы, но за этой точкой уменьшение в площади
будет всё существеннее сказываться на величине вычисленных напряжений.
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Безмельницин В.Т. Техническая механика Часть 1. Лекция 1
5
Имеет место образование так называемой шейки (рис. 1.4) в самом слабом месте стержня:
P
P
Рис. 1.4.Образование шейки
Если при вычислении напряжения  использовать значение действительной площади узкой части шейки, то окажется, что действительная кривая диаграммы следует пунктирной линии СЕ и напряжения в материале, в действительности, растут вплоть до точки разрушения. Однако для целей проектирования в большинстве случаев условная диаграмма 0АВСDE, построенная на основе начальной площади поперечного сечения, предоставляет достаточно информации.
Наличие упомянутого предела текучести, за которым следует продолжительная пластическая деформация, типично для стали, которая является наиболее распространённым конструкционным материалом, используемым сегодня.
Диаграммы, аналогичные рассмотренным при растяжении, могут быть
также получены для различных материалов при сжатии и могут быть установлены такие характерные напряжения, как предел пропорциональности, предел
текучести и предел прочности. Оказывается, что для стали предел пропорциональности и предел текучести почти одинаковые как при растяжении, так и при
сжатии. Для многих хрупких материалов характерные напряжения при сжатии
намного выше, чем при растяжении.
1.3 Упругость
Только что рассмотренная диаграмма напряжение – деформация иллюстрирует поведение различных материалов при нагружении растягивающей силой. Когда образец материала разгружается, т.е. нагрузка постепенно снижается
до нуля, удлинение, которое возникло при нагружении, частично или полностью пропадёт. Это свойство материала возвращаться к своим первоначальным
размерам при разгружении называется упругостью. Если стержень полностью
восстанавливает свою первоначальную форму, говорят что он абсолютно упругий; если же он лишь частично восстанавливает свою первоначальную форму,
стержень частично упругий. В последнем случае удлинение, которое остаётся у
стержня после снятия нагрузки, называется остаточным.
Когда производится испытание материала на растяжение, может быть
приложена некоторая (небольшая) нагрузка, а затем удалена. Если остаточных
деформаций нет, т.е. если деформация в стержне обращается в нуль, значит материал упругий до напряжения, соответствующего данной величине нагрузки.
Этот процесс нагружения и разгружения может быть повторён для последова© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Безмельницин В.Т. Техническая механика Часть 1. Лекция 1
6
тельно больших значений нагрузки. Наконец, напряжение достигнет такого, что
не вся деформация, обратится в ноль при разгрузке. Таким образом, может быть
определено напряжение, представляющее верхний предел упругой области; это
напряжение известно как предел упругости. Для стали, также как для многих
других металлов, предел упругости и предел пропорциональности почти совпадают.
1.4 Общие принципы проектирования конструкций.
Допустимое напряжение
и коэффициент безопасности.
При проектировании конструкции необходимо обеспечить, чтобы при
соблюдении условий эксплуатации конструкция выполняла адекватно функции,
для которых она спроектирована. С точки зрения способности конструкции
нести нагрузки, максимальное напряжение в конструкции обычно должно быть
ниже предела пропорциональности, так как только тогда не будет остаточных
напряжений, если нагрузка будет приложено, а затем снята.
Чтобы допустить случайные перегрузки конструкции, а также с целью
учёта возможных неточностей в конструкции и неизвестных величин при расчёте конструкции обычно предусматривается коэффициент безопасности путём
выбора допустимого (или рабочего) напряжения ниже предела пропорциональности. Например, при проектировании металлических конструкций используется допустимое напряжение при растяжении 160 МПа для стали, имеющей предел текучести 225 МПа. Таким образом, коэффициент безопасности по отношению к пределу текучести равен 225/160 = 1,4. Есть иные ситуации, при которых
допустимое напряжение устанавливается принятием подходящего коэффициента безопасности по отношению к пределу прочности. Это обычно делается для
хрупких материалов, таких как бетон, а также таких материалов, как дерево.
Вообще, при проектировании по допускаемым напряжениям одно из следующих двух соотношений может быть использовано для получения допустимого
напряжения  w :
w 
y
ny
w 
u
,
nu
(1.3)
в которых  y и  u представляют предел текучести и предел прочности соответственно, а n y и n u - соответствующие им коэффициенты безопасности.
Определение достоверных значений коэффициентов безопасности сложно, так
как оно зависит от типа используемого материала и от условий эксплуатации
конструкций. Если нагрузки – динамические (либо внезапно прикладываемые,
либо переменные по величине), что имеет место в деталях машин, самолётах,
мостах и т.д., то необходимы большие по величине значения коэффициентов
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Безмельницин В.Т. Техническая механика Часть 1. Лекция 1
7
безопасности, чем для тех же конструкций со статическими нагрузками, так как
возможно усталостное разрушение.
Условие прочности при растяжении-сжатии запишется
 max 
N max
 w
A
Откуда для площади поперечного сечения проектируемого стержня получим
A
N max
w
1.5 Линейная упругость и закон Гука
Большинство конструкционных материалов имеют начальный участок, на
котором диаграмма напряжения – деформация и упруга и линейна. Примером
может служить участок от 0 до А диаграммы для стали (рис. 1.3).
Когда материал ведёт себя упруго, а также обладает линейной зависимостью между напряжениями и деформациями, говорят, что он линейно – упругий. Это - чрезвычайно важное свойство многих твердых материалов, включая
большинство металлов, пластиков, дерево, бетон и керамику. Для стержня при
растяжении линейная зависимость между напряжениями и деформациями может быть выражена простым уравнением:
  E ,
(1.4)
в котором Е - коэффициент пропорциональности, известный как модуль упругости материала. Модуль упругости, очевидно, является тангенсом угла наклона диаграммы напряжение – деформация в линейно – упругой области и различен для разных материалов. Он имеет ту же размерность, что и напряжение.
Для большинства материалов модуль упругости при сжатии имеет то же
значение, что и при растяжении. Формула (1.4) называется законом Гука. Модуль упругости иногда называется модулем Юнга. Оба были английскими учёными, которые изучали упругое поведение стержней.
Когда стержень подвергается простому растяжению, действующее в нём
напряжение на каком-либо участке, имеющем постоянное значение результирующей напряжений N и постоянную площадь поперечного сечения А, определяется формулой   N , а деформация этого участка    , согласно (1.1) и
L
A
(1.2); тогда по закону Гука (1.4):
N

 E
A
L
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Безмельницин В.Т. Техническая механика Часть 1. Лекция 1
8
и мы получим следующую формулу для удлинения стержня:

NL
.
EA
(1.5)
1.6 Коэффициент Пуассона
Если стержень подвергается растяжению, осевое удлинение сопровождается поперечным сжатием, ширина стержня становится меньше, в то время как
его длина увеличивается. Отношение деформации в поперечном направлении к
деформации в продольном направлении постоянно в пределах упругой области
и известно как коэффициент Пуассона ; таким образом:
поперечная деформация
(1.6)

продольная деформация
Эксперименты с металлами показывают, что значения  для них находятся в
интервале от 0.25 до 0.35.
1.7 Касательные напряжения и деформация сдвига
Как пример конструкции, в которой возникают касательные напряжения
рассмотрим соединение, приведённое на рис. 1.5:
B
m
n
A
P
C
p
q
m
p
n
q
a
b
Рис. 1.5 Пример чистого сдвига
m
p
Q n
q
Q
c
Соединение состоит из проушины А, серьги С и болта В, который проходит через проушину и серьгу. Под действием нагрузки Р проушина и серьга давят на болт по опорной поверхности и в болте возникают контактные напряжения, называемые опорными напряжениями, как показано на рис. 1.5 б. Как следует из этого рисунка, имеется тенденция перерезать болт по сечениям mn и pq.
Если рассмотреть равновесие части болта mnpq, то становится ясно, что по
плоскостям сечений должны действовать сдвигающие силы Q (в этом примере
каждая сдвигающая сила Q равна Р/2). Сдвигающие силы – равнодействующие
касательных напряжений, распределённых по площади поперечного сечения
болта. Точное распределение этих касательных напряжений определить не про© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Безмельницин В.Т. Техническая механика Часть 1. Лекция 1
9
сто, хотя мы можем получить среднюю величину делением равнодействующей
силы Q на площадь А по которой она действует:
 сред. 
Q
A
(1.7)
При проектировании болтов, шпилек, заклёпок, шпонок и других частей,
подверженных чистому сдвигу, широко используется уравнение (1.7) и размеры
определяются исходя из среднего допустимого напряжения сдвига  w . Допустимое напряжение сдвига обычно составляет обычно (0.5 – 0.6)  w , где  w допустимое напряжение растяжения для того же материала. Как мы позже увидим, сдвигающие напряжения возникают косвенным образом и когда стержни
подвергаются растяжению и изгибу.
Ранее мы имели дело с растягивающими и сжимающими напряжениями,
действующими по нормали к поверхности, на которой они действуют и которые по этой причине часто называют нормальными напряжениями. Касательное напряжения, напротив, всегда действуют по касательной к поверхности и
поэтому называются касательными напряжениями. В обоих примерах напряжения представляют интенсивность силы, т.е. силу на единицу площади и следовательно, мы видим, что существенным различием между нормальным и касательным напряжениями является различие в направлении.
Для того, чтобы проанализировать деформации, обусловленные касательными напряжениями, рассмотрим небольшой кубический элемент и предположим, что он нагружен касательным напряжением τ, распределённым по
верхней поверхности (рис. 1.6).
τ b
a
τ
a
τ
γ
γ
τ
b
τ
τ
τ
c
d
c
τ
d
Рис. 1.6 Элемент в состоянии чистого сдвига
Если нет нормальных напряжений, действующих на элемент, то равные и
противоположно направленные касательные напряжения должны также действовать на нижнюю грань с тем, чтобы элемент был в равновесии в горизонтальном направлении. Далее, касательные напряжения на верхней и нижней
гранях элемента создают момент, который должен быть уравновешен моментом сдвигающих сил, действующих на вертикальных сторонах элемента. Эти
вертикальные касательные напряжения должны быть также равны τ, если элемент находится в состоянии равновесия. Таким образом, мы видим вообще
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Безмельницин В.Т. Техническая механика Часть 1. Лекция 1
10
что:
1) касательные напряжения действуют на элемент всегда равными и противоположно направленными парами;
2) касательные напряжения всегда существуют по взаимно перпендикулярным площадкам.
Итак, касательные напряжения на перпендикулярных площадках в любой
точке всегда равны по величине и направлены либо к общему ребру, либо от
него. Это утверждение называется законом парности касательных напряжений.
Элемент, подверженный действию только касательных напряжений, как показано на рисунке, находится, как говорят, в состоянии чистого сдвига.
Покажем деформации элемента при чистом сдвиге. Так как нет нормальных напряжений, действующих на элемент, то длина сторон ab, cd, ac и
bd не изменится. Вместо этого, касательные напряжения вызовут деформацию
прямоугольника abcd в ромб, как показано на рис. 1.6 пунктирными линиями.
Угол в точке с, который был равен π/2 перед деформацией, теперь уменьшился
и стал равен π/2 – γ, где γ – малый угол, показанный на рисунке. В то же время,
угол в точке а увеличился и стал равным π/2 + γ. Угол γ является мерой искажения элемента вследствие сдвига и называется деформацией сдвига. Из рис. 1.6
мы видим, что деформация сдвига γ равна величине горизонтального перемещения верхнего края по отношению к нижней стороне, делённому на высоту
элемента.
При испытании материала на чистый сдвиг и измерении деформации
сдвига как функции касательного напряжения, мы можем получить экспериментально диаграмму касательного напряжения – сдвига для материала. Такая
диаграмма очень похожа по форме на диаграмму растяжения для того же материала, и из неё мы можем определить предел пропорциональности, предел текучести и предел прочности для сдвига. Эксперименты показывают, что для
пластичных металлов, включая конструкционные, предел текучести по сдвигу
 y составляет от 0.5 до 0.6 величины  y .
Если материал имеет упругую линейную область, то диаграмма касательных напряжений – деформаций будет представлена прямой линией, и касательные напряжения и деформации сдвига прямо пропорциональны друг другу. Таким образом, мы имеем следующее уравнение для закона Гука при сдвиге:
  G ,
(1.8)
в котором G - модуль сдвига материала (или модуль упругости второго рода).
Простейший способ осуществления чистого сдвига – путём кручения полой
трубы кругового сечения как будет позже показано в лекциях по кручению, и из
такого испытания на кручение получают обычно величину G. Также необходимо отметить, что модули упругости на растяжение и сдвиг (E и G) связаны
между собой, а именно:
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Безмельницин В.Т. Техническая механика Часть 1. Лекция 1
G
E
2  (1  )
11
(1.9)
Условие прочности при сдвиге запишется
 max 
Q max
 w
A
Откуда для площади поперечного сечения получим
A
Q max
w
2 Кручение стержней круглого поперечного сечения
Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения, скручиваемый крутящими моментами Т, действующими по торцевым сечением стержня (рис.
2.1 а):
γ
r
l
φ
a
b
dρ
Т n
Т c
dφ
n
τ
τ
d
n΄
b
z
dz
τ
ρ
а
б
в
Рис. 2.1 Стержень круглого поперечного сечения при чистом кручении
Нагруженный таким образом стержень находится в состоянии чистого
кручения и называется валом. Можно показать, что в силу симметрии поперечные сечения круглого стержня поворачиваются как твердые тела вокруг продольной оси стержня, причём радиусы остаются прямыми и поперечные сечения остаются круглыми. Если общий угол закручивания φ мал (рис. 2.7 а), то
как длина вала, так и радиус не меняются.
Можно показать, что в поперечном сечении при этом возникают касательные напряжения, определяемые формулой

T
,
I
(2.1)
где ρ – расстояние до центра сечения, I - геометрическая характеристика
поперечного сечения определяемая формулой
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Безмельницин В.Т. Техническая механика Часть 1. Лекция 1
I    2dA -
12
(2.2)
A
и называемая полярным моментом инерции сечения.
Максимальное касательное напряжение получим при   r (рис. 2.1 в) в
формуле (2.1)
T
 max  max r
I
Величина
I
r
 W
называется полярным моментом сопротивления.
Для круглого сечения
2
1

d 4
I     2d  2  4  r 4 
.
4
2
32
01
r1
r
r
2
d 3
W 
16
Итак, максимальное касательное напряжение
 max 
Tmax
W
(2.3)
Угол закручивания одного сечения вала длиной L относительно второго
определяется формулой:

TL
.
G  I
(2.4)
Обратим внимание на то, что формула (2.4) для угла закручивания при
кручении (перемещение при кручении) имеет точно такую же структуру, как и
формула для определения перемещения сечения при растяжении – сжатии:
© Учебный
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
Безмельницин В.Т. Техническая механика Часть 1. Лекция 1

NL
.
EA
Условие прочности при кручении запишется, согласно (2.3),
 max 
Tmax
 w ,
W
откуда
d 3
W 
 w ,
16
т.е. диаметр проектируемого вала определяется по формуле
d3
© Учебный
16Tmax
.
  w
центр «Эрудит», www.childrensafety.jimdo.com , © Maria Bezmelnitsina Collé
13
(1.5)