Задачник по физическим основам электроники

Министерство образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОНИКИ
Сборник задач для студентов III курса ЭМФ
НОВОСИБИРСК
2008
Составители:
А.М. Погорельский,
В.В. Христофоров,
С.И. Вашуков
Рецензент:
А.В. Баранов, доц.
Ответственный за оформление и выпуск В.В. Христофоров
Работа подготовлена кафедрой
общей физики
 Новосибирский государственный
технический университет, 2008
1.
КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА
Основные формулы
1.1.

m M ат  nат
.

V
Vэл. яч.
Здесь  - плотность вещества;
m - масса вещества;
V - объём вещества;
M ат - масса атома;
nат - среднее число атомов, приходящееся на каждую
элементарную ячейку кристалла;
Vэл.яч. - объём элементарной ячейки.
Пример решения задачи
1.2.
Плотность кристалла алюминия при температуре t  20 C
  2,7  103 кг
м3
.
Кристалл
имеет
кубическую
равна
гранецентрированную
элементарную ячейку. Найдите постоянную кристаллической решетки.
Решение. Выражение для плотности вещества имеет вид

m M ат  nат
.

V
Vэл. яч.
Учтем, что для кубической гранецентрированной элементарной ячейки
nат  4 , а Vэл. яч.  a 3 . Кроме того, определив по таблице Менделеева
молярную массу алюминия M Al , выразим через неё массу атома:
M ат 
M Al
, где N A - число Авогадро.
NA
Подставляя всё в формулу для плотности, и выражая из неё постоянную
кристаллической решетки, получим
0
M Al  nат
27  10 3  4
10
3
a3

 4,1  10 м  4,1  .
NA 
6,02  10 23  2,7  10 3
1.3.
Задачи для самостоятельного решения
1.3.1. Плотность кристалла меди при температуре t  20 C равна
  8,96  103 кг
м3
. Кристалл имеет кубическую гранецентрированную
элементарную ячейку. Найдите постоянную кристаллической решетки.
1.3.2. Используя данные задачи 1.3.1. найдите расстояние между
ближайшими атомами меди.
1.3.3. Используя данные задачи 1.3.1. найдите объём одного моля
вещества.
1.3.4. Используя данные задачи 1.3.1. найдите число атомов,
расположенных наиболее близко к каждому из них (число ближайших
соседей каждого атома).
1.3.5. Плотность кристалла молибдена при температуре t  20 C равна
  10,2  103 кг
м
3
.
Постоянная
его
кубической
решетки

a  3,14  .
Определите, к какому типу относится структура кристаллической решетки
молибдена: к примитивным, к объёмоцентрированным или к
гранецентрированным.
1.3.6. Используя данные задачи 1.3.5. найдите расстояние между
ближайшими атомами кристаллической решетки.
1.3.7. Используя данные задачи 1.3.5. найдите объём одного моля
вещества.
1.3.8. Используя данные задачи 1.3.5. найдите число атомов,
расположенных наиболее близко к каждому из них (число ближайших
соседей каждого атома).
1.3.9. Используя данные задачи 1.3.5. найдите длину ребра кубического
образца молибдена массой m  1 кг .
2.
КОЛЕБАНИЯ В ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПОЧКЕ С ОДИНАКОВЫМИ
АТОМАМИ И С АТОМАМИ ДВУХ СОРТОВ
2.1.

Основные формулы
4
ka
sin , где «+» при k  0 , а «-» при k  0 .
M ат
2
М
с
, где  лин  ат , с    a .
а
 лин
ka
sin
2 , v  v cos ka .
vф  v зв
гр
зв
ka
2
2


 ф   , pф  k .
v зв 
Здесь  - циклическая частота акустических колебаний атомов;
 - коэффициент пропорциональности между квазиупругой
силой, действующей на атом цепочки со стороны соседнего атома, и
смещением атома относительно соседнего атома;

k , k - волновое число, волновой вектор;
a - равновесное расстояние между атомами цепочки;
 лин - линейная плотность цепочки атомов;
vзв - скорость звука (скорость упругих волн при малых k );
vф , v гр - фазовая и групповая скорости упругих волн;

Ф , pф - энергия и импульс фонона.
2.2.
Пример решения задачи
Имеется цепочка атомов алюминия, расположенных на равновесном
расстоянии a  0,40 нм . Считая, что скорость звука в цепочке
vЗВ  3,0  103 м , найдите максимальную частоту колебаний атомов
с
цепочки.
Решение. Воспользуемся выражением для циклической частоты упругих
колебаний атомов цепочки

4
ka
sin .
M ат
2
Учтем, что максимум этой функции достигается при sin
того, с помощью выражений
v зв 
ka
 1. Кроме
2
М
с
,  лин  ат , с    a
а
 лин
получаем
 м акс 
4v зв2
2v зв 2  3,0  103
4
1 


 1,5  1013 рад .
2
9
с
M ат
a
a
0,40  10
2.3.
Задачи для самостоятельного решения
2.3.1. Имеется цепочка атомов меди, расположенных на равновесном
расстоянии a  0,36 нм . Число атомов в цепочке рано N  10 4 . Считая, что
скорость звука в цепочке vЗВ  3  103 м , найдите максимальную частоту
с
колебаний атомов цепочки.
2.3.2. Используя данные задачи 2.3.1., найдите максимальную и
минимальную величину фазовой и групповой скорости упругих волн,
распространяющихся по цепочке атомов.
2.3.3. Используя данные задачи 2.3.1., найдите максимальную энергию
фононов и их максимальный импульс.
2.3.4. Используя данные задачи 2.3.1., найдите плотность разрешенных
состояний фононов в k-пространстве.
2.3.5. Используя данные задачи 2.3.1., найдите фазовую и групповую
скорости волн, длина волны которых а) в 10 раз больше минимальной; б) в 2
раза больше минимальной длины волны.
2.3.6. Цепочка состоит из чередующихся атомов двух сортов натрия
( Na ) и хлора ( Cl ), расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга,

равном a  2,82  . Докажите, что зависимость циклической частоты
колебаний атомов от волнового числа (k ) имеет две ветви – акустическую
и оптическую.
2.3.7. Используя данные задачи 2.3.6. определите максимальную частоту
акустических и оптических колебаний, приняв скорость звука равной
vЗВ  4  10 3 м .
с
2.3.8. Используя данные задачи 2.3.6. определите минимальную
частоту оптических колебаний атомов цепочки.
2.3.9. Используя данные задачи 2.3.6. определите диапазоны
разрешенных и запрещенных энергий колебаний атомов цепочки.
3.
ТЕПЛОЁМКОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
3.1. Основные формулы
 D
.
k
D  k D v  v  3 6n2 .
1
ni 
.
 i 
exp 
 1
 kT 
D 
3
T 
12
сV D   4 R  .
5
 D 
cV Д  П  3R .


2
1
.
  
exp    1
 kT 
2
3 V
dN ()  2 3 d .
2 v
E 
Здесь  D - температура Дебая;
D
- циклическая частота Дебая (максимальная частота
колебаний атомов цепочки);
k - постоянная Больцмана;
k D - волновое число Дебая;
v - скорость звука в кристалле;
n - концентрация атомов в кристалле;
ni - среднее число фононов с частотой i при температуре T
(распределение Планка).
cV D - молярная теплоёмкость кристаллической решетки при
постоянном объёме V при температуре T   D по теории Дебая (закон T 3 );
cV Д  П - молярная теплоёмкость кристаллической решетки при
постоянном объёме по теории Дюлонга-Пти;
R - универсальная газовая постоянная;
E - средняя энергия квантового гармонического осциллятора с
учетом энергии нулевых колебаний;
dN () - число квантовых состояний фонона в диапазоне частот
от  до   d с учётом трёх возможных направлений поляризации.
3.2.
Пример решения задачи
Определите температуру Дебая для кристалла с примитивной
кубической элементарной ячейкой из одинаковых атомов. Концентрация
атомов n  1024 cм3 . Скорости распространения продольных и поперечных
волн в кристалле принять одинаковыми и равными v  1,3 км .
Решение. Выражение для температуры Дебая имеет вид
D 
Учтем, что
с
 D
.
k
D  k D v  v  3 6n2 .
 3
1,054  10 34  1,3  103 3
2
Тогда  D  v  6n 
6  1  1030  2  387 К .
 23
k
1,38  10
3.3. Задачи для самостоятельного решения
3.3.1. Определите температуру Дебая для кристалла с примитивной
кубической элементарной ячейкой из одинаковых атомов. Концентрация
атомов n  1030 м 3 . Скорости распространения продольных и поперечных
волн в кристалле принять одинаковыми и равными v  2,6  10 3 м .
с
3.3.2. Оцените скорость распространения акустических колебаний в
алюминии, дебаевская температура которого  D  396 К . Плотность
кристалла алюминия при температуре t  20 C равна   2,7  103 кг
м3
.
3.3.3. Оцените максимальное значение энергии и импульса фонона в
меди, дебаевская температура которой  D  330 К . Плотность кристалла меди
при температуре t  20 C равна   8,96  103 кг
.
м3
3.3.4. Зависит ли среднее число фононов ni определенной частоты
i , возбужденных при температуре T в некотором образце кристалла, от
числа атомов N этого образца?
nm
3.3.5. Какое количество фононов
максимальной частоты
возбуждается в среднем в кристалле при температуре T  400 К , если
дебаевская температура кристалла  D  200 К ?
3.3.6. Найдите максимальную частоту max колебаний атомов в
кристалле железа, если при температуре T  20 К его удельная теплоемкость
мДж
с  2,7
. Дебаевская температура кристалла  D  470 К .
гК
3.3.7. При нагревании кристалла меди массой m  25г от температуры
T1  10К до температуры T2  20К ему было сообщено количество тепла
Q  0,8 Дж . Найдите температуру Дебая  D меди, считая, что выполняется
неравенство  D  T1 ,T2 .
3.3.8. Определите теплоту Q , необходимую для нагревания кристалла
NaCl массой m  20г от температуры T1  2К до температуры T2  4К .
Дебаевская температура кристалла  D  320 К .
3.3.9. Дебаевская температура кристалла свинца   95 К . Найдите при
температуре T  5 К отношение теплоемкости свинца к теплоемкости,
даваемой законом Дюлонга и Пти.
3.3.10. Аргон при атмосферном давлении затвердевает при температуре
T  84 К . Температура Дебая для аргона  D  92 К . Экспериментально
установлено, что при T1  4К молярная теплоемкость аргона равна
Дж
. Определите молярную теплоемкость аргона при
моль  К
температуре T2  2К .
с1  0,174
3.3.11. Одинаковые массы свинца и кремния охлаждаются от
температуры T1  20К до T2  4,2К . Оцените отношение масс жидкого
гелия, необходимые для охлаждения свинца и кремния, если известны их
дебаевские температуры  D Pb  95 К и  D Si  645 К .
3.3.12. Вычислите среднее значение энергии нулевых колебаний,
приходящееся на один осциллятор кристалла в модели Дебая, если
дебаевская температура кристалла равна  D .
3.3.13. Вычислите среднее значение энергии нулевых колебаний одного
грамма меди, дебаевская температура которой  D  330 К .
3.3.14. Оцените энергию нулевых колебаний одного моля алюминия,
постоянная кристаллической решетки которого равна a  0,4нм , а скорость
распространения
акустических
колебаний
v4
км
.
с
Учесть,
что
элементарная ячейка алюминия кубическая гранецентрированная.
4.
ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛАХ
4.1.
Основные формулы
3
V  2mE  2
NE  2  2  .
3   
1
P
.
 E  EF 
exp 
 1
kT


Здесь N E - число различных квантовых состояний электрона в
диапазоне энергий от 0 до E ;
V - объём кристалла;
m - масса электрона.
P - вероятность заполнения электроном состояния с энергией E
при температуре кристалла T и значении энергии Ферми электронного газа
E F (распределение Ферми-Дирака).
4.2.
Пример решения задачи
Определите долю свободных электронов в металле при температуре
T  0 К , энергия Е которых заключена в диапазоне от
1
Emax до
2
3
Emax .
4
Решение. Число электронов, энергия которых лежит в диапазоне от
E1 
1
3
Emax до E2  Emax , равно
2
4
3
3
V  2mE2  2 V  2mE1  2
N E  2  2   2  2  .
3   
3   
Общее число свободных электронов в металле
3
V  2mE max  2
NE  2 
 .
3   2 
Следовательно, доля свободных электронов, энергия
заключена в диапазоне от
1
Emax до
2
3
Emax , равна
4
3
N E  3  2  1 
    
NE  4 
 2
4.3.
Е которых
3
2
 0,3 .
Задачи для самостоятельного решения
4.3.1. Выразите среднюю кинетическую энергию E свободных
электронов в металле через их максимальную кинетическую энергию Emax
при температуре T  0 К .
4.3.2. Выразите среднюю скорость v свободных электронов в металле
через их максимальную скорость vmax при температуре T  0 К .
4.3.3. Определите долю свободных электронов в металле при
температуре T  0 К , энергия Е которых заключена в диапазоне от
1
Emax
2
до Emax .
4.3.4. Найдите относительное число свободных электронов в металле
при температуре T  0 К , энергия которых Е отличается от энергии Ферми
Е F не более чем на   2% .
4.3.5. Определите энергию Ферми Е F свободных электронов при
температуре T  0 К , если их концентрация n  2,5  1028 м3 .
4.3.6. Каково значение энергии Ферми Е F у электронов проводимости
двухвалентной меди при температуре T  0 К . Плотность меди принять
равной   8,96  103
кг
.
м3
4.3.7. Найдите число свободных электронов, приходящихся на один
атом натрия при температуре T  0 К , если значение энергии Ферми
ЕF  3,07эВ . Плотность натрия принять равной   0,97  103
кг
.
м3
4.3.8. Оцените минимальную дебройлевскую длину волны свободных
электронов в металле при температуре T  0 К , полагая, что металл
содержит по два свободных электрона на атом, а его кристаллическая
0
решетка является примитивной кубической с периодом a  4  .
4.3.9. Найдите зависимость ширины интервала E между соседними
уровнями энергии свободных электронов в металле от энергии E . Что
произойдёт с интервалом E при увеличении объёма металла V в 3 раза?
4.3.10. Вычислите интервал E между соседними уровнями энергии
свободных электронов в металле при температуре T  0 К вблизи уровня
Ферми, если концентрация свободных электронов n  2  10 28 м 3 и объём
металла V  106 м3 .
4.3.11. Определите число электронных состояний G в единице объёма
металла, энергия которых лежит в интервале от E1  0,3эВ до E2  0,4эВ .
4.3.12. Чему равна вероятность того, что в состоянии с энергией, равной
энергии Ферми ЕF (0) , будет находиться свободный электрон?
4.3.13. Какова вероятность того, что при комнатной температуре
(kT  0,025эВ) электрон в металле займёт состояние, лежащее на
E1  0,1эВ выше и на E2  0,1эВ ниже уровня энергии Ферми
ЕF  5,0эВ ?
4.3.14. Вычислите теплоёмкость электронов проводимости единицы
объёма меди при температуре T  10 К считая, что концентрация электронов
равна числу атомов единицы объёма и энергия Ферми ЕF  7,0эВ .
4.3.15. Найдите для серебра, дебаевская температура которого
 Д  210 К и энергия Ферми ЕF  5,5эВ , отношение теплоёмкости
электронного газа к теплоёмкости кристаллической решетки при температуре
T  300 К .
5.
ЭЛЕКТРОНЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
5.1. Основные формулы
3
 E  1 1 
n2  T2  2
   exp  g    .
n1  T1 
 2k  T1 T2 
mp
EC  EV 3
EF 
 kT ln  .
2
4
mn
Здесь n1 , n2 - концентрация электронов в зоне проводимости при
температурах полупроводника T1 ,T2 соответственно;
E g - ширина запрещенной зоны полупроводника;
EV , EC - энергия электрона, находящегося на потолке валентной
зоны и на дне зоны проводимости соответственно;
E F - энергия, соответствующая уровню Ферми;
mp , mn - эффективные массы дырки и электрона соответственно.
5.2. Пример решения задачи
Определите значение энергии уровня Ферми собственного
полупроводника при температуре T  300 K , если ширина запрещенной
зоны для него E g  0,7 эВ , а отношение эффективных масс дырок и
электронов равно 20.
Решение. Энергия уровня Ферми для собственного полупроводника
равна
mp
EC  EV 3
EF 
 kT ln 
2
4
mn
Первое слагаемое этого выражения равно полуширине запрещенной
зоны

1
E g . Тогда
2
mp
1
3
E F  E g  kT ln  
2
4
mn
1
3
0,7  1,6  10 19  1,38  10 23  300  ln 20  6,53  10 20 Дж  0,408эВ
2
4
5.3.
Задачи для самостоятельного решения
5.3.1. Во сколько раз изменится концентрация электронов в зоне
проводимости беспримесного полупроводника, ширина запрещенной зоны
которого равна Е g  0,3эВ , при повышении температуры от T1  300К до
T2  310К ? Отношение эффективных масс дырок и электронов считать
равным 10.
5.3.2. Найдите минимальную энергию образования пары электрондырка в беспримесном полупроводнике, для которого концентрация
электронов в зоне проводимости возрастает в   5 раз при увеличении
температуры от T1  300К до T2  400К .
5.3.3. Определите значение энергии Ферми E F для InSb при
температуре T  300 К , если ширина запрещенной зоны для него
Е g  0,2 эВ , а отношение эффективных масс дырок и электронов равно 20.
6.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ, ИХ СВЯЗЬ С
ШИРИНОЙ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ И ЭНЕРГИЕЙ АКТИВАЦИИ
ПРИМЕСИ
6.1. Основные формулы
 E 
 соб   0 exp   g  .
 2kT 
 E 
 прим  0 exp  а 
 2kT 
Здесь  соб ,  прим - удельные электропроводности полупроводника в
области собственной и примесной проводимости при температуре T ;
Eа - энергия активации примесных атомов полупроводника.
6.2. Пример решения задачи
Определите, во сколько раз возрастает электропроводность кристалла
кремния при его нагревании от температуры T1  273K до T2  283K , если
ширина запрещенной зоны кремния равна E g  1,1эВ .
Решение. Электропроводность собственного полупроводника равна
 E 
 соб   0 exp  g  .
 2kT 
Тогда отношение электропроводностей для температур T2 и T1
 E  1 1 
2
 exp  g    
1
 2k  T1 T2 
 1,1  1,6  10 19  1
1 
 exp 


  2,3
 23
 2  1,38  10  273 283 
6.3.
Задачи для самостоятельного решения
6.3.1. При нагревании кристалла кремния от температуры T1  273К
до T2  283К удельная электропроводность возрастает в   2,28 раза.
Определите ширину запрещенной зоны кремния.
6.3.2. Сопротивление R1 кристалла PbS при температуре T1  293К
равно 10 4 Ом . Определите его сопротивление R2 при температуре
T2  343К , если ширина запрещенной зоны Е g  0,6 эВ .
6.3.3. На рисунке изображена экспериментальная зависимость
электропроводности  кремния от обратной температуры T 1 . Определите
по данной зависимости ширину запрещенной зоны E g кремния.
 Ом *м
-1
4
-1
10
103
2
10
101
0,5
1,0
1,5
6.3.4. На рисунке показан график зависимости логарифма
электропроводности ln  от обратной температуры T 1 для некоторого
полупроводника n -типа. Найдите с помощью данного графика ширину
запрещенной зоны E g полупроводника и энергию активации донорных
уровней Ed .
7.
ПОДВИЖНОСТЬ, ДРЕЙФОВАЯ СКОРОСТЬ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
7.1. Основные формулы

 I
j  E .
S
  en n  ep p .


vдр  E .
Здесь

j - вектор плотности электрического тока;
I - сила тока;
S - площадь поперечного сечения проводника;
 - удельная электропроводность;
E - напряженность электрического поля;
n, p - концентрации электронов и дырок соответственно;
 n ,  p - подвижности электронов и дырок;
vдр - дрейфовая скорость носителей заряда.
7.2. Пример решения задачи
По проводнику, изготовленному из трехвалентного алюминия, с
площадью поперечного сечения S  0,2см2 идет ток I  1A . Оцените
среднюю дрейфовую скорость электронов в проводнике, если плотность
металла равна   2,7  103
кг
.
м3
Решение. Выражение для плотности электрического тока имеет вид:

 I
j  E .
S
Считая, что в алюминии носителями заряда являются только электроны,
для электропроводности запишем
  en n .


Учитывая, что vдр  E , получаем
I

 en vдр ,
S
где n - концентрация свободных электронов в металле.
По заданной плотности алюминия найдем концентрацию его атомов:

 NA
m M ат  N M Al  nат
.


 nат 
V
V
NA
M Al
Здесь M Al - молярная масса алюминия;
N A - число Авогадро.
Учитывая валентность алюминия, для концентрации свободных
электронов получим
n  3nат .
В результате получим выражение для дрейфовой скорости в виде:

vдр 
I  M Al
.
S  e 3  NA
Подставляя численные значения, находим

vдр 
1  27  10 3
 1,7  10 6 м .
4
19
3
23
с
0,2  10  1,6  10  3  2,7  10  6,02  10
7.3.
Задачи для самостоятельного решения
7.3.1. По медному проводнику с площадью поперечного сечения
S  0,2см2 идет ток I  1А . Какова средняя дрейфовая скорость vдр
электронов в проводнике?
7.3.2. Отношение электропроводности серебра и меди при комнатной
температуре   1,0625 . Вычислите отношение подвижностей
 Ag
 Cu
для этих
металлов, считая, что на каждый атом приходится по одному свободному
электрону.
7.3.3. Вычислите дрейфовую скорость электронов vn и дырок v p в
германии Ge при комнатной температуре, если напряженность
электрического
 n  0,38 м
2
Вс
E  1000 В
поля
,
подвижность
м
2
и подвижность дырок  p  0,18 м
8.
Вс
электронов
.
ЭФФЕКТ ХОЛЛА
8.1. Основные формулы
A
.
en
n 2n  p 2p
RH 1 
RH 2  A
en n  p p 
2
.
Здесь RH 1 - постоянная Холла для кристаллов, в которых носителями
заряда являются только электроны;
A - постоянная, значение которой определяется видом рассеяния
свободных носителей заряда;
RH 2 - постоянная Холла для кристаллов, в которых носителями
заряда являются как электроны, так и дырки.
8.2. Пример решения задачи
Вычислите постоянную Холла для трехвалентного алюминия. Молярная
масса алюминия M  27 г
моль
, а плотность   2,7 г
см3
.
Решение. Поскольку в алюминии носителями заряда являются только
электроны, постоянная Холла
RH 1 
A
.
en
Концентрация электронов в этом выражении равна
n  3nат .
Здесь концентрацию атомов можно найти с помощью формулы
 NA
.
M Al
Подставляя, получим (считаем A  1 ):
A  M Al
1  27  10 3
5 м 3
RH 1 


3
,
5

10
.
Кл
e  3    N A 1,6  10 19  3  2,7  103  6,02  10 23
nат 
8.3.
Задачи для самостоятельного решения
8.3.1. Вычислите
постоянную
Молярная масса меди 64 г
моль
Холла
для
, а плотность 8,96 г
одновалентной
м3
меди.
.
8.3.2. При
комнатной
температуре
удельное
сопротивление
4
полупроводника p- типа   9  10 Ом  м . Определите постоянную Холла
для данного полупроводника, если подвижность дырок  p  0,04 м
2
Вс
.
8.3.3. Удельная электропроводность арсенида индия при комнатной
температуре   400Ом 1 м 1 , а постоянная Холла RH  100 м
3
Кл
. Считая,
что проводимость обеспечивается зарядами одного знака, определите их
концентрацию и подвижность.
8.3.4. В
образце
германия
с
подвижностью
электронов
 n  0,38 м
Вс
и подвижность дырок  p  0,16 м
9.
КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ
2
2
Вс
эффект Холла не
наблюдается. Определите для данного образца отношение тока электронов к
току дырок.
8.3.5. При наблюдении эффекта Холла в магнитном поле с индукцией
B  0,5Тл поперечная напряженность электрического поля в беспримесном
германии оказалась в   10 раз меньше продольной напряженности
электрического поля. Найдите разность подвижностей электронов и дырок в
данном полупроводнике.
9.1. Основные формулы
 конт 
EF 2  EF1
.
e
nn 0 p n 0  p p 0 n p 0  ni2 .
Здесь конт - внутренняя контактная разность потенциалов,
возникающая при контакте кристаллов с различными уровнями энергии
Ферми E F ;
nn0 , pn0 - концентрация электронов и дырок в донорном
полупроводнике;
p p 0 , n p 0 - концентрация дырок и электронов в акцепторном
полупроводнике;
концентрация
носителей
заряда
собственного
ni
полупроводника.
9.2. Пример решения задачи
Имеются два металла с концентрациями свободных электронов
n1  1022 см3 и n2  1023 см3 . Определите внутреннюю контактную разность
потенциалов конт , возникающую в результате приведении этих металлов в
соприкосновение при температуре T  0 К . Какой из металлов будет иметь
более высокий потенциал?
Решение. Воспользуемся формулой
 конт 
Здесь энергии Ферми равны
Подставляя, получим
2
2
32 n1  3 ,
EF 1 0 
2m
2
2
32 n2  3 .
EF 2 0 
2m
конт
Вычисляем
конт 
EF 2  EF1
.
e


2
2
32  3 n223  n12 3 .

2m  e
1.054 10 
34 2
3  1 10 
2
2
3
29
2
3

 1  10 28  3  6,2 В
2
2  9,1  10 31  1,6  10 19
Поскольку EF 2 0  EF 1 0, то более высокий потенциал будет иметь
второй металл.
9.3.
Задачи для самостоятельного решения
9.3.1. Имеются два металла с концентрациями свободных электронов
n1  10 28 м 3 и n2  1029 м 3 . Определите внутреннюю контактную разность
потенциалов конт , возникающую при приведении этих металлов в
соприкосновение при температуре T  0 К . Какой из металлов будет иметь
более высокий потенциал?
9.3.2. Металлы литий и цинк приводятся в соприкосновение при
T  0 К . Определите возникающую внутреннюю контактную разность
потенциалов конт . Какой из металлов будет иметь более высокий
потенциал?
9.3.3. Резкий p-n-переход на основе кремния имеет в дырочной области
удельное сопротивление  p  0,013Ом  см , а в электронной области
n  44,5Ом  см . Чему равна контактная разность потенциалов такого p-nперехода при температуре T  300 К ? Подвижности электронов и дырок в
кремнии равны  n  1400 см
2
2
, а концентрация
Вс
10
собственных носителей заряда составляет ni  1,6  10 см3 .
9.3.4. Индий
Вс
,  p  480 см
вплавляется
в
кристалл
германия,
содержащий
атомов
мышьяка. После охлаждения образца сплав содержит
см 3
атомов
1017
индия. Вычислите контактную разность потенциалов на p-nсм 3
1015
переходе, образованном указанным выше способом, если образец находится
при температуре T  300 К . Можно считать, что все примеси ионизованы.
Квадрат концентрации собственных носителей заряда в германии при данной
температуре равен ni2  5,8  1026 см 6 .
10. ПРЯМОЕ И ОБРАТНОЕ СМЕЩЕНИЕ p-n-ПЕРЕХОДА
10.1. Основные формулы
  eV  
I  I 0 exp 
  1 .
kT
 
 
K
C
.
V  конт
Здесь I - сила тока, протекающего через p-n-переход при температуре
T и напряжении V ;
I 0 - сила тока насыщения;
C - электрическая ёмкость p-n-перехода;
K - постоянный коэффициент.
10.2. Пример решения задачи
При температуре T1  273К прямое напряжение, приложенное к p-nпереходу, V  1В . Во сколько раз изменится сила тока через переход при
возрастании температуры до T2  300К .
Решение. Сила тока через p-n-переход равна
  eV
I  I 0 exp
  kT
Следовательно,
 
  1 .
 
 eV 
 1,6  10 19  1 
  1 exp 
exp 
 1
 23
kT
1
,
38

10

273
I2
 2




 45,6
19
I1
 eV 
 1,6  10  1 
  1 exp 
 1
exp 
 23
1
,
38

10

300
kT


 1
10.3. Задачи для самостоятельного решения
10.3.1. При температуре T1  300К прямое напряжение, приложенное к
p-n-переходу, V  2 В . Во сколько раз возрастёт сила тока через переход,
если понизить температуру до T2  273К ?
10.3.2. При температуре T  300 К сопротивление p-n-перехода,
находящегося под прямым напряжением V  1В , равно R1  10Ом .
Определите сопротивление R2 перехода при обратном напряжении.
10.3.3. Обнаружено, что если к резкому p-n-переходу приложить
переменное напряжение с амплитудой 0,5 В , то максимальная электрическая
ёмкость перехода равна 2пФ . Определите контактную разность потенциалов
и минимальное значение ёмкости перехода, если ёмкость при нулевом
смещении равна 1пФ .
Список литературы
1. Задачи по квантовой механике, термодинамике, статистике и
твердому телу: методическое пособие / С.И.Вашуков, А.М.Погорельский. –
Новосибирск: Изд-во НГТУ,1995. – 42с.
2. Линч П., Николайдес А. Задачи по физической электронике. М.: Издво «Мир»,1975. – 264с.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Плотность некоторых элементов при температуре 20 С
Элемент
Плотность
г см3
Алюминий
Барий
Ванадий
Вольфрам
Железо(  )
Золото
Калий
Кальций
Лантан
Литий
Медь
Молибден
Натрий
Никель
Ниобий
Палладий
Платина
Рубидий
Свинец
Серебро
Стронций
Тантал
Хром
Цезий
Церий
Цирконий
2,70
3,5
6,0
19,3
7,87
19,32
0,86
1,55
6,15
0,53
8,96
10,2
0,97
8,90
8,57
12,0
21,45
1,53
11,34
10,49
2,6
16,6
7,19
1,9
6,9
6,5
ОТВЕТЫ
Кристаллическая решетка

1.3.1. a  0,36нм. 1.3.2. d  2,56  . 1.3.3. Vмоля  7,14см3 . 1.3.4. nсос  12.

1.3.5. ОЦК. 1.3.6. d  2,72  . 1.3.7. Vмоля  9,32см3 . 1.3.8. nсос  8.
1.3.9. L  4,6см .
Колебания в одномерной цепочке с одинаковыми атомами и с атомами двух
сортов
м
,
v ГР мин  0 ,
с
м
кг  м
v м акс  3  103 . 2.3.3.  макс  1,8  10 21 Дж , p м акс  9,2  10 25
.
с
с
м
м
м
2.3.4.   5,7  10 7
. 2.3.5. vФ1  2,99  10 3 , v ГР1  2,96  103 ,
с
с
рад
м
м
рад
vФ 2  2,7  103 ,
v ГР 2  2,1  10 3 .
акуст  1,8  1013
2.3.7.
,
с
с
с
рад
рад
опт ич  2,9  1013
опт. м ин.  2,25  1013
.
2.3.8.
.
2.4.9.
с
с
 разр.  (0  1,9)  1021 Дж; (2,31  3,06)  1021 Дж.
2.3.1.
  1,67  1013
рад
.
с
2.3.2.
vФ м ин  1,9  103
 зопр.  (1,9  2,31)  1021 Дж .
Теплоёмкость кристаллов
м
. 3.3.3.  макс  4,5  10 21 Дж ;
с
кг  м
рад
p м акс  1,8  10 24
. 3.3.5. n  1,54 . 3.3.6.  м акс  6,1  1013
. 3.3.7.
с
с
с Деб
 Д  329 К . 3.3.8. Q  1,23  10 3 Дж . 3.3.9.
 0,01 . 3.3.10.
с Д П
mдляPb
Дж
9
с  2  10 2
. 3.3.11.
 42 . 3.3.12. U   Д k . 3.3.13.
моль  К
8
mдляSi
  48,2 Дж . 3.3.14. U 0 м оля  4,3  103 Дж .
3.3.1.
 Д  774 К . 3.3.2. v  3,4  10 3
Электроны в металлах
N
3
N
3
E F . 4.3.2. v  vmax . 4.3.3.
 0,65 . 4.3.4.
 0,03 .
5
N
5
N
nэл
4.3.5.
 0,96 . 4.3.8.
EF  3,1эВ . 4.3.6.
EF  11,1эВ 4.3.7.
nат
 мин  6,4  10 10 м . 4.3.9. уменьшится в 3 раза. 4.3.10. E  1,8  1022 эВ .
4.3.11. G  4  1026 м 3 . 4.3.12. P  1 . 4.3.13. P1  0,02 ; P2  0,98 . 4.3.14.
2
с
Дж
с  1,5  10 2 3
. 4.3.15. эл. газа  4,7  10 3 .
м К
с реш.
4.3.1. E 
Электроны в полупроводниках
5.3.1.
n2
 1,27 . 5.3.2. Eg  0,31эВ . 5.3.3. EF  0,16эВ .
n1
Электрические свойства полупроводников, их связь с шириной запрещенной
зоны и энергией активации примеси
6.3.1. Eg  1,1эВ . 6.3.2. R  1,77Ом . 6.3.3. Eg  1эВ . 6.3.4 Eg  1эВ ,
Ed  0,06эВ .
Подвижность, дрейфовая скорость носителей заряда
7.3.1.
vдр  3,7  10 6 м .
с
7.3.2.
 Ag
 Cu
 1,53 .
vn  380 м ,
с
7.3.3.
v p  180 м .
с
Эффект Холла
8.1.1.
RH  7,4  1011 м
Кл
.
8.1.2.
м2
.
 n  4  10
Вс
n  6,25  10 м ,
16
3
3
4
RH  3,6  105 м
8.1.4.
3
Кл
In
 0,42 .
Ip
.
8.1.3.
8.1.5.
м2
.
 n   p  0,2
Вс
9.3.1. конт
конт  0,31В .
Контактная разность потенциалов
 6,2В . 9.3.2. конт  4,4В . 9.3.3. конт  0,69В . 9.3.4.
Прямое и обратное смещение p-n-перехода
I2
 2,1  103 . 10.3.2. R2  6,1  1017 Ом . 10.3.3. конт  0,67В ,
I1
Смин  0,76пФ .
10.3.1.