3.взаимодействие магнитного пол с электрическими зардами

3.4. Магнитный момент
3.4.1. По круговому витку радиусом R = 5 см
течёт постоянный ток силой I = 10 А. Определить
магнитный момент витка.
Решение
1. Магнитный момент контура
определяется уравнением


p m  Is ,
с
током
(1)
p m  IR 2  10  3,14  25 10 4  78,5 мА  м 2 .
(2)
3.4.2. Короткая квадратная катушка с длиной
стороны а = 0,1 м содержит N = 1000 витков
тонкого провода. Определить магнитный момент
катушки при силе тока I = 1 А.
Решение
1. Магнитный момент N витков будет равен
сумме
магнитных
моментов
всех
витков,
составляющих данную измерительную катушку
p m  NIs  NIa 2  10 3 1 10 2  10 А  м 2 .
(1)
3.4.3. Магнитный момент витка с током равен pm = 0,2 Дж/Тл.
Определить силу тока в витке, если его радиус равен R = 5 см.
Решение
1. Запишем уравнение магнитного момента кругового витка с током
и определим из него величину силы тока
p
0,2
(1)
p m  IR 2 ,  I  m 2 
 25,5 A .
R
3,14  25 10 4
3.4.4. Напряжённость магнитного поля кругового витка с током
составляет Н = 200 А/м. Магнитный момент витка равен pm = 1 Ам2.
Определить силу тока в витке и его радиус.
Решение
1. Напряжённость кругового витка с током и его магнитный момент
определяются следующими уравнениями
201
I
. p m  IR 2
(1)
2R
2. Выразим из уравнения напряжённости магнитного поля силу тока
и подставим её в уравнение магнитного момента, что позволит найти
его радиус
H
pm
1
3
 9,27 cм .
2H
6,28  200
3. Так как, из уравнения напряжённости I  2HR , то
I  2  200 9,27  37 A .
I  2HR , p m  2HR 3 , R  3
(2)
(3)
3.4.5. На оси кольца с током I на
расстоянии r = 1 м от его центра
напряжённость
магнитного
поля
составляет В = 10 нТл. Считая радиус
кольца много меньшим заданного
расстояния R << r, определить
величину магнитного момента рm.
Решение
1. Воспользовавшись уравнением (6) задачи 3.1.10, запишем
уравнение магнитной индукции применительно к данной ситуации r >>
R

 R 2I
 R 2I
2R 2 I
B 0
 0
 0 3 ,
(1)
4 2 r 2  R 2 3 22 r 2 3
2r
и выразим силу тока
2Br 3
.
(2)
0R 2
2. Подставим значение силы тока в уравнение магнитного момента
2Br 3
2Br 3 10 10 1
2
p m  Is 

R


 50 мА  м 2 .
(3)
0R 2
0
2 10 7
I
3.4.6. Электрон в невозбуждённом атоме водорода движется по
круговой орбите радиусом R = 50 пм. Найти величину магнитного
момента pm эквивалентного кругового тока и механический момент сил
Mz(F), относительно оси вращения электрона при помещении атома в
магнитное поле индукцией В = 0,1 Тл. Вектор магнитной индукции
параллелен плоскости орбиты вращающегося электрона.
202
Решение
1. Силу эквивалентного тока определим,
уравнением (4), полученном в задаче 3.2.1
dq e
e2
  e 
dt T
4
i
воспользовавшись
1

3 r 3 0 m e
,
(1)
2,56 10 38
1

 1мА
4
31 1,25 10 31  9 10 12 10 30
где е  1,610  19 Кл  заряд электрона, me  110  30 кг, 0  910  12 Ф/м
 электрическая постоянная.
2. Магнитный момент такого эквивалентного тока определится как
p m  is  iR 2  1 10 3  3,14  2,5 10 21  7,85 10 21 A  м 2 .
(2)
3. Механический момент относительно оси вращения z,
действующий на атом водорода, помещённый в магнитное поле с
индукцией В, равен
 
(2)
M z F  p m B sin p m ; B ,
Поскольку вектор магнитного момента перпендикулярен плоскости
 
 
орбиты, то p m ; B   2,  sin p m ; B  1 , другими словами




M z F  p m B  7,85 10


21
 0,1  7,85 10 22 H  м .
(3)
3.4.7. Электрон в атоме водорода движется по круговой орбите
известного радиуса. Найти отношение магнитного момента pm к
моменту импульса L орбитального движения электрона.
Решение
1. Орбитальную скорость электрона определим из условия его
нахождения на стационарной круговой орбите
k
me v2
e2
k
,

, v  e
2
R
R
meR
(1)
где k = 1/(40)  91012 м/Ф  постоянная величина, R  радиус орбиты,
е, me  заряд и масса электрона.
2. Сила эквивалентного тока при круговом движении электрона
i
dq
ev
e2
 en 

dt
2R 2R
3. Магнитный момент кругового тока
203
k
.
me R
(2)
evR 2 evR

.
2R
2
4. Момент импульса электрона при его орбитальном движении
L  m e vR .
5. Отношение магнитного момента к моменту импульса
pm
evR
e
1,6 10 19
Кл



 8 10 10
.
30
L 2m e vR 2m e
2 10
кг
p m  is 
(3)
(4)
(5)
3.4.8. Тонкий стержень длиной l = 0,2 м несёт распределённый
заряд Q = 240 нКл. Стержень вращается с постоянной угловой
скоростью  = 10 рад/с вокруг оси перпендикулярной стержню и
проходящей через его середину. Определить магнитный момент рm,
возникающий при вращении заряженного стержня и отношение
магнитного момента к его моменту количества движения L, если
масса стержня составляет m = 12 г.
Решение
1. Распределённый заряд стержня
можно
представить
в
виде
сосредоточенного заряда, создающего
эквивалентный q = Q/3, сила тока в
этом случае определится как
q
Q
i   qn 
.
(1)
T
3  2
2. Магнитный момент эквивалентного кругового тока
Q  2 Q 2 240 10  0,04
p m  is 


 4 нА  м 2 .
(2)
6 4
24
24
3. Для определения отношения магнитного момента к моменту
импульса воспользуемся уравнением (5) предыдущей задачи
pm
Q
2,4 10 7
мКл
.
(3)


 10
L 2m
0,24
кг
3.4.9. Тонкое кольцо радиусом R = 10 см несёт заряд Q = 10 нКл.
Кольцо вращается равномерно с частотой n = 10 с 1 относительно
оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр.
Определить магнитный момент, создаваемый круговым током pm и
отношение магнитного момента к моменту импульса кольца pm/L, если
его масса равна m = 10 г
204
Решение
1. Если выделить вспомогательную
площадку
,
расположив
её
перпендикулярно сечению кольца, то
можно видеть, что через это сечение в
единицу времени будет протекать заряд Q.
Эквивалентная сила тока, вызванная вращением заряженного кольца,
определится как
dQ Q
i
  Qn ,
(1)
dt
T
2. Магнитный момент вращающегося заряженного кольца в этом
случае будет равен
p m  is  Qn R 2  10 8 10  3,14  0,01  3,14 нКл  м 2 .
(2)
3. Момент импульса кольца относительно оси вращения Оz
(3)
L  mvR  2nmR2 .
4. Отношение магнитного момента кольца к моменту импульса
pm
nR 2 Q
Q
10 8
Кл



 5 10 7
.
(4)
2
2
L
2nmR
2m 2 10
кг
3.4.10. Кольцо, геометрические параметры которого и заряд
соответствуют предыдущей задаче, вращается с частотой n = 10 c  1
вокруг оси, проходящей через один из его диаметров. Определить
магнитный момент заряженного вращающегося кольца pm и
отношение магнитного момента к моменту количества движения
pm/L.
Решение
1. В данном случае, в виду симметрии кольца
относительно оси вращения, распределённый заряд
кольца Q можно представить в виде двух
сосредоточенных зарядов q = Q/2, расположенных в
диаметрально
противоположных
точках.
Сила
эквивалентного тока в этом случае запишется
следующим образом
Q
i n.
(1)
2
2. Магнитный момент вращающегося таким образом заряженного
кольца определится уравнением
Qn R 2 10 8 10  3,14  0,01
p m  is 

 1,57 нА  м 2 .
(2)
2
2
205
3. Отношение pm/L
p m Qn R 2
Q
нКл


 500
.
(3)
L
2mR 2 2m
кг
3.4.11. Диск радиусом R = 10 см несёт равномерно распределённый
по поверхности заряд Q = 0,2 мкКл. Диск равномерно вращается с
частотой n = 20 с  1 относительно оси, проходящей через центр диска
и перпендикулярной его плоскости. Определить магнитный момент pm
кругового тока, создаваемого диском и отношение магнитного
момента к моменту импульса диска pm/L, если масса диска равна m =
0,1 кг.
Решение
1. На одной поверхности диска
распределён заряд q = Q/2, поэтому
эквивалентный
ток,
создаваемый
вращающимся диском определится как
Qn
i
.
(1)
2
2. Магнитный момент эквивалентного тока, создаваемого
вращающимся диском, несущим заряд, определится в этом случае как
QnR 2 2 10 7  20  3,14  0,01
p m  is 

 62,8 нА  м 2 .
(2)
2
2
3. Момент импульса вращающегося диска равен произведению
момента инерции диска на его угловую скорость
mR 2
L  J 
2n  mnR 2 .
(3)
2
4. Отношение магнитного момента диска к его моменту импульса
равно
2p m
QnR 2
Q 2 10 7
мкКл
.
(4)



2
2
L
2mnR
m
0,1
кг
206
3.4.12. Тонкостенная металлическая
сфера радиусом R = 0,1 м с равномерно
распределённым по поверхности зарядом
Q = 3 мкКл. Сфера вращается
равномерно вокруг с угловой скоростью 
=
10
рад/с
относительно
оси,
проходящей через центр сферы. Найти
магнитный момент pm кругового тока,
создаваемый
вращением
сферы
и
отношение магнитного момента к
моменту импульса, если масса сферы m =
0,1 кг.
Решение
1. Магнитный момент эквивалентного тока вращающейся
заряженной сферической оболочки
2 
1
1
pm  Q
R 2  QR 2   3 10 6 10  0,01  1нКл  м 2 .
(1)
3 2
3
3
2. Отношение магнитного момента к моменту импульса
pm
QR 2  3
Q
нКл


 1,5
.
(2)
L 3  2  mR 2 2m
кг
3.14.13. Сплошной шар радиусом R = 10 см несёт заряд Q = 200 нКл,
равномерно распределённый по объёму. Шар вращается относительно
оси, проходящей через центр шара, с угловой скоростью  = 10 рад/с.
Определить магнитный момент эквивалентного кругового тока,
создаваемого вращающимся заряженным шаром и сферы и отношение
магнитного момента к моменту импульса, если масса сферы m = 100
кг.
Решение
1. Эквивалентный заряд, создающий круговой
ток определится как
2
q Q.
(1)
5
2. Эквивалентный электрический ток,
возникающий при вращении заряженного шара
2  Q
i  qn  Q

.
(2)
5 2 5
207
3. Магнитный момент, создаваемый равномерно заряженной
вращающейся сферой
Q
1
1
p m  is 
R 2  QR 2  2 10 7  10  0,01  4 нКл  м 2 .
(3)
5
5
5
4. Момент импульса сплошного шара определяется его моментом
инерции J и угловой скоростью 
2
L  J  mR 2  .
(4)
5
5. Отношение магнитного момента заряженного вращающегося
шара к его моменту импульса
p m QR 2 Q 2 10 7
нКл



2
.
(5)
2
L
mR
m
100
кг
3.5. Контур в магнитном поле
3.5.1. Круговой контур радиусом R = 5 см, по
которому течёт ток силой I = 4 A, находится в
магнитном поле напряжённостью Н = 2 кА/м.
Плоскость витка составляет угол  = 600 с
направлением вектора напряжённости. Определить
механический момент, действующий на контур.
Решение
1. Определим величину магнитной индукции поля
B   0 H  4 10 7  2 10 3  2,5 10 3 Тл .
(1)
2. Механический момент, действующий на круговой виток с током

 
(2)
Mz F  p m B sin p m ; B  IsBsin 300  IR 2 B sin 300 ,

(3)
Mz F  4  3,14  2,5 103  25 104  0,5  4 105 Н  м .




3.5.2. Круговой контур радиусом R = 0,1 м закреплён так, что
может вращаться вокруг оси, совпадающей с одним из его диаметров,
совпадающим с магнитным меридианом поля Земли. Горизонтальная
составляющая магнитной индукции нашей планеты равна В х = 20
мкТл. По контуру пустили ток силой I = 10 А. Какой момент сил Mz(F)
должен быть приложен к контуру, чтобы сохранялась его
первоначальная ориентация?
208
Решение
1. При пропускании по контуру тока возникнет
собственное магнитное поле и появится магнитный
момент pm
p m  Is  IR 2 ,
(1)
наличие которого обусловит его взаимодействие в
внешним магнитным полем, в данном случае,
горизонтальной составляющей магнитного поля
Земли. Такое взаимодействие количественно можно
охарактеризовать механическим моментом сил




 
Mz F  p m Bx sin p m ; Bx  p m Bx sin 900 ,

Mz F  IR 2 Bx sin 900  10  3,14  0,01 2 105 1  6,28 мкКл м .

(2)
3.5.3. Измерительная часть гальванометра представляющая собой
квадратную рамку с размерами а = 4 см и b = 1,5 см, на которую
намотано N = 200 витков провода. Рамка помещена в магнитное поле с
индукцией В = 0,1 Тл, так что плоскость рамки параллельна вектору
индукции внешнего поля. Определить механический момент Mz(F),
приложенный к рамке и величину магнитного момента рамки при
пропускании по проводнику тока силой I = 1 мА.
Решение
1. Определим величину магнитного
момента рамки при пропускании заданного
тока
p m  NIs  NIab ,
. (1)
p m  200 10 3 6 10 4  1,2 10 4 A  м 2
2. Найдём величину механического
момента
сил,
возникающего
при
взаимодействии собственного магнитного
поля рамки с внешним полем

 
(1)
Mz F  p m B sin p m ; B ,
поскольку вектор магнитного момента контура совпадает с
направлением нормали к плоскости, в которой располагается контур, то
угол между векторами pm и B равен 900, другими словами

(2)
Mz F  p m B  1,2 104  0,1  12 мкН м .



209

3.5.4. Короткая катушка площадью поперечного сечения s = 150
см2, содержит N = 200 витков провода, по которому пропускается ток
силой I = 4 A. Катушка помещена в магнитное поле напряжённостью
Н = 8 кА/м. Определить магнитный момент катушки р m и момент сил,
действующий на катушку со стороны внешнего поля, если ось катушки
составляет с линиями индукции угол  = 600.
Решение
1. Магнитный момент катушки
p m  NIs  200  4 150 10 4  12 A  м 2 .
2. Механический момент сил, действующий на рамку

M z F  p m B sin   p m  0 H sin 600 ,

Mz F  12 12,56 107  8 103  0,87  0,1Н  м .


(1)
(2)
(3)
3.5.5. Рамка гальванометра, содержащая N = 200 витков тонкого
провода, подвешена на упругой нити. Поперечное сечение рамки равно s
= 1 см2. Нормаль к плоскости кольца перпендикулярна линиям
магнитной индукции внешнего поля с В = 5 мТл. При пропускании через
гальванометр постоянного тока силой I = 2 мкА рамка повернулась на
угол  = 300. Определить постоянную кручения нити С (коэффициент
упругости).
Решение
1. Найдём величину магнитного момента рамки при пропускании по
ней тока
p m  NIs  200  2 10 6 10 4  4 10 8 A  м 2 .
(1)
2. Определим величину механического момента под действием,
которого рамка повернётся на заданный угол 

(2)
Mz F  p m B sin900    4 108  5 103 sin 600  173,2 пН  м .
3. Крутящий момент, действующий на нить пропорционален углу
закручивания  и упругой постоянной С


M z F 173,2 10 -12
пН  м
.
(3)
M z F  C,  C 

 333

0,52
рад



3.5.6. По рамке квадратной формы из тонкой проволоки массой m =
210  3 кг пропускают постоянный ток, силой I = 6 А. Рамка подвешена
за середину одной из сторон на неупругой нити. Определить период
210
малых колебаний рамки Т в магнитном поле с индукцией В = 2 мкТл,
считая затухание не существенным.
Решение
1. Малые колебания рамки с током в
магнитном поле будут возникать вследствие
преобразования потенциальной энергии поля в
кинетическую энергию крутильных колебаний,
т.е. вращательного движения. Считая систему
консервативной, закон сохранения энергии можно
записать так
(1)
  K  const
где  max  p m B  максимальное значение
потенциальной энергии, кинетическая энергия
вращательного движения в данном случае
определится величиной момента инерции рамки и периодом её
1
1 2
колебаний: K  J2  J
, где J  момент инерции колеблющегося
2
2 T
вокруг оси вращения тела, Т  период колебаний.
2. Перепишем уравнение закона сохранения энергии с учётом
полученных значений потенциальной и кинетической энергии
1 1
 2 
 ma 2   .
2 12
 T 
3. Найдём период малых крутильных колебаний рамки
2
Ia 2 B 
T  2
ma 2
m
2 10 3

2


6
,
28
 1c .
6IBa 2
6IB
6  6  2 10 3
(2)
(3)
2.5.7. Проволочное кольцо массой m = 3 г подвешено на неупругой
нити в однородном магнитном поле. По кольцу течёт постоянный ток
силой I = 2 А. Период малых крутильных колебаний кольца вокруг
вертикальной оси составляет Т = 1,2 с. Определить величину
магнитной индукции.
Решение
1. Закон сохранения механической энергии
применительно
к
колеблющемуся
кольцу
представляется как процесс преобразования
потенциальной
энергии
взаимодействия
211
магнитных полей в кинетическую энергию вращательного движения
 
1 2
K  ,
J  p m B cos p m ; B ,
(1)
2
где К  кинетическая энергия вращательного движения, J  момент
инерции кольца относительно оси вращения,   циклическая частота
крутильных колебаний.
2. Потенциальная энергия будет максимальной, как это видно из
уравнения (1), при совпадении по направлению векторов магнитного
момента кольца и вектора индукции магнитного поля

1
mR 2 2  IR 2 B,
2
B

1  2 
2
m   IB, m 2  IB ,
2  T 
T
2
(2)
2m 6,28  3 10 3

 6,5 мТл .
IT 2
2 1,44
(3)
3.6. Магнитный диполь
3.6.1. По бесконечно длинному проводнику пропускают постоянный
ток силой I = 100 A. На расстоянии r = 0,1 м в плоскости проводника
расположен магнитный диполь, вектор магнитного момента которого
pm = 1 мАм2 перпендикулярен проводнику. Найти силу F, действующую
на магнитный диполь.
Решение
1. Магнитный диполь, помещённый в однородное
поле, под действием механического момента сил
будет менять свою ориентацию. Запишем уравнение
механического момента и выразим действующую
силу F




 
(1)
Mz F  p m  B , Mz F  p m B sin p m ; B ,


M F
.
(2)
M z F  Fr ,  F  z
r
2. Определим величину магнитной индукции поля В, создаваемого
бесконечным проводником с током в точке расположения магнитного
диполя
 I
B 0 .
(3)
2 r
 


212




3. Подставим в уравнение (2) величину В и значение механического
момента, с учётом того что вектор pm перпендикулярен вектору
магнитной индукции
 p I 4 10 7 10 3 100
F  0 m2 
 2 мкН .
(4)
2r
2 10 2
3.6.2. Определить неоднородность магнитного поля B x  , в
котором максимальная сила, действующая на точечный диполь равна
Fmax = 1 мН. Магнитный момент диполя составляет pm = 2 мАм2.
Решение
1. Сила, действующая на диполь в магнитном поле, определяется
уравнением
 
B
F  pm
cos p m ; B .
(1)
x
2. Поскольку, по условию задачи задано максимальное значение
 
силы Fmax, то cos p m ; B  1 , другими словами




B Fmax 110 3
Тл


 0,5
.
3
x
pm
2 10
м
(2)
3.6.3. Круговой контур радиусом R = 0,2 м расположен в плоскости
меридиана. В центре контура расположена магнитная стрелка,
которая при пропускании по витку тока отклонилась на угол  = 90 от
плоскости магнитного меридиана. Определить силу тока I,
протекающего по контуру. Величину горизонтальной составляющей
индукции магнитного поля Земли принять равной Вх = 20 мкТл.
Решение
1. В отсутствии собственного магнитного
поля контура стрелка компаса реагирует
только на магнитное поле Земли, на её
горизонтальную составляющую Вх. При
пропускании по контуру постоянного
электрического тока, возникает собственное
магнитное поле контура с индукцией
I
B 0 .
(1)
2R
2. На магнитную стрелку, таким образом,
будут действовать два поля, под действием
213
которых она займёт положение, соответствующее условию равновесия
полей. Математически это можно выразить из соотношения модулей
векторов индукции, угол между линиями действия которых составляет
 = 90
I
2RB x
B
2  0,2  2 10 5
tg 
 0 , I 
tg 
 0,16  1 A .
(2)
B x 2RB x
0
12,56 10 7
3.6.4. Определить число витков катушки N тангенс 
гальванометра, при котором сила тока, текущего по обмотке,
численно равна тангенсу угла отклонения магнитной стрелки,
помещённой в центре обмотки. Радиус катушки равен R = 0,25 м. Ось
катушки перпендикулярна плоскости магнитного меридиана Земли.
Решение
1. Магнитная индукция поля, создаваемого круглой катушкой
тангенс  гальванометра определится как
I
BN 0 .
(1)
2R
2. Условие равновесного положения стрелки компаса запишем по
аналогии с уравнением (2) предыдущей задачи
N 0 I
B
tg 

,
(2)
B x 2RB x
где Вх = 20 мкТл  горизонтальная составляющая магнитного поля
Земли. По условию задачи tg численно равен силе тока в катушке,
поэтому уравнение (2) можно переписать следующим образом
N 0
2RB x 2  0,25  2 10 5
1
, N 

8.
(3)
2RB x
0
12,26 10 7
3.6.5. Длинный прямолинейный соленоид содержит n = 5 витков на
каждый сантиметр длины. Соленоид расположен перпендикулярно
плоскости магнитного меридиана Земли (Вх = 20 мкТл). Внутри
соленоида, в его центре находится магнитная стрелка,
ориентированная первоначально по магнитному полю планеты. При
пропускании по обмотке соленоида постоянного электрического тока
стрелка отклоняется на угол  = 600. Найти силу тока.
214
Решение
1. Определим величину магнитной
индукции
поля,
создаваемого
соленоидом
(1)
B   0 In .
2. При возникновении в соленоиде
магнитного поля стрелка компаса
изменит свою ориентацию, повернувшись относительно оси вращения
на угол , новое положение стрелки будет характеризоваться
равновесием между магнитными полями Земли и соленоида. Это
условие равновесия можно охарактеризовать уравнением (2)
предыдущей задачи
B tg 2 10 5 1,732
B  0 nI
tg 

, I  x

 5,5 A .
(2)
Bx
Bx
0n
12,56 10 7  5
3.7. Заряд, движущийся в магнитном поле
3.7.1. Найти величину силы Лоренца, приложенную к электрону,
влетевшему в магнитное поле со скоростью v = 4106 м/с в однородное
магнитное поле под углом  = 300 к линии индукции. Магнитная
индукция составляет B = 0,2 Тл.
Решение
1. Сила Лоренца, возникающая в магнитном поле при перемещении
там заряда, определяется уравнением

 
(1)
FL  q v  B , FL  evBsin  ,
 19
где е  1,610
Кл  заряд электрона.
FL  1,6 10 19  4 10 6  0,2  sin 30 0  6,4 10 14 H  640 пН .
(2)


3.7.2. Вычислить радиус дуги окружности R, которую опишет
протон в магнитном поле с индукцией В = 15 мТл, если скорость
протона перпендикулярна вектору индукции и равна v = 2 Мм/с.
Решение
215
1. Нахождение электрона на криволинейной траектории
характеризуется следующим уравнением равновесия сил
mpv2
e vB sin  
,
(1)
R
где e  1,6 1019 кЛ  заряд протона, mp  1,6710  27 кг  масса протона,
 = 900  sin = 1.
2. Выразим из уравнения (1) радиус кривизны
m p v 1,67 10 272 10 6
R

 1,37 м .
B e 15 10 3 1,6 10 19
(2)
3.7.3. Дважды ионизированный атом гелия, именуемый в
простонародии   частицей, движется в магнитном поле
напряжённостью Н = 100 кА/м по окружности радиусом R = 0,1 м.
Определить скорость частицы.
Решение
1. Заряд   частицы по модулю равен заряду двух электронов
q   2 e  3,2 1019 Кл,
(1)
масса   частицы, состоящей из двух протонов и двух нейтронов равна
(2)
m  2mp  mn   21,67 1027  1,67 1027   6,7 1027 кг .
2. Движение заряженной частицы по криволинейной траектории
даже с постоянной по модулю скоростью обусловлено возникновением
нормального ускорения |an| = v2/R. Приравняем силу инерции,
действующую на   частицу к силе Лоренца
m v 2
 q  v 0 H sin  ,
(3)
R
поскольку движение происходит по круговой траектории, то  
частица влетает перпендикулярно вектору индукции магнитного поля, а
это значит, что sin = 1. Таким образом,
q BR 3,2 10 19 12,56 10 7 10 5  0,1
м
v 

 6 10 5 .
(4)
m
6,7 10 27
с
3.7.4. Ион, несущий один элементарный заряд, движется в
однородном магнитном поле с индукцией В = 0,015 Тл по круговой
траектории радиусом R = 0,1 м. Определить импульс иона р.
Решение
216
1. Перепишем уравнение (3) предыдущей задачи применительно к
рассматриваемому в настоящей задаче случаю
mi v
p
 e B,
 e B,
R
R
.
(1)
кг  м
p  e BR  1,6 10 1 9  0,015  0,1  2,4 10 2 2
с
3.7.5. Некая частица, несущая заряд, эквивалентный одному
электрону, влетает в магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл.
Определить момент импульса L, которым обладает частица при
движении по дуге окружности радиусом R = 0,2 см.
Решение
1. Запишем уравнение, определяющее нахождение частицы на
криволинейной траектории
mv 2
 e vB .
(1)
R
2. Момент импульса относительно мгновенной оси вращения
численно равен произведению импульса частицы на радиус кривизны
траектории
(2)
L z  pR  mvR ,
чтобы в уравнении (1) образовать момент импульса, необходимо обе
части этого уравнения умножить на R2
кг  м 2
mvR  e BR 2 , L  e R 2  1,6 10 19  4 10 6  0,5  3,2 10 25
. (3)
с
3.7.6. Электрон движется в магнитном поле с индукцией В = 0,02
Тл по круговой траектории радиусом R = 0,01 м. Определить
кинетическую энергию электрона, выразив её в джоулях и электронвольтах.
Решение
1. Запишем условие движения электрона по круговой траектории
mv 2
 e vB ,
(1)
R
и определим его линейную скорость
e BR 1,6 10 19  0,02  0,01
м
(2)
v

 3,2 10 7 .
30
me
110
с
2. Кинетическая энергия электрона
217
m e v 2 10 30 10 15

 5 10 16 Дж .
2
2
3. Выразим значение энергии в электрон-вольтах
5 10 16
K
 3 кэВ .
1,6 10 19

(3)
(4)
3.7.7. Частица, несущая на себе
электрический заряд, влетает в среду,
пронизанную линиями индукции однородного
магнитного
поля.
В
результате
взаимодействия с атомами вещества,
частица
теряет
половину
своей
первоначальной энергии. Во сколько раз
будет
отличаться
радиус
кривизны
траектории  в начале и конце пути?
Решение
1. Запишем силовое условие нахождения движущейся заряженной
частицы на криволинейной траектории при её вхождении в область
пространства, занятого магнитным полем перпендикулярно линиям
магнитной индукции
mv 2
(1)
 qvB ,

где   радиус кривизны траектории, m  масса частицы, q  заряд
частицы, v  скорость частицы, В  индукция магнитного поля.
2. При перемещении в среде, занятой неизменным магнитным полем
(B = const) в уравнении (1) будут изменяться две величины: скорость v и
кривизна траектории . С другой стороны по условию задачи известно,
что кинетическая энергия уменьшается в два раза. При постоянстве
массы частицы, это означает, что для скорости частицы можно записать
следующие соотношения
mv 12
mv 22
K1
v
K1 
, K2 
,
 2,  1  2 .
(2)
2
2
K2
v2
3. Решим уравнение (1) относительно скорости
qB
v
.
(3)
m
4. Запишем уравнение (2) для начального и конечного положения
частицы на криволинейной траектории
218
qB 1 
, 
m

v1
qB 2 

.
m 
2
5. Поделим уравнения системы (4) почленно
1
 2  1,41 .
2
v1 
(4)
(5)
3.7.8. Заряженная частица, летящая в
однородном магнитном поле по дуге
окружности с радиусом кривизны 1 = 2 см,
попадает в свинцовую мишень в виде
пластины. При выходе из пластины,
вследствие потери энергии радиус кривизны
траектории уменьшился до величины 2 = 1
см. Найти относительное изменение
энергии частицы.
Решение
1. При попадании частицы в свинец (Pb), при прочих равных
условиях будет, вследствие взаимодействия с ионами и электронами
свинца, уменьшаться её скорость. Перепишем систему уравнений (4)
применительно к рассматриваемому случаю
qB 1 
2
v1 
,
v12   1 
m 
(1)
  2    ,
qB 2 
v2  2 
v2 
.
m 
отношение кинетических энергий частицы в начальном и конечном
положениях будет равно отношению квадратов радиусов кривизны.
2. Определим далее относительное изменение кинетической энергии
K  K2
K
k 1
 1 2 ,
(2)
K1
K1

k  1   2
 1
2

  1  0,5 2  0,75 .

219
(3)
3.7.9.
Протон,
будучи
разогнан
ускоряющей разностью потенциалов U =
600 B попал в однородное магнитное поле с
величиной магнитной индукции В = 0,3 Тл и
начал двигаться по круговой траектории.
Вычислить радиус окружности R по
которой движется протон.
Решение
1. Протон обладает положительным элементарным зарядом q = |e|
=1,610  19 Кл и массой m = 1,6710  27 кг. Проходя ускоряющую
разность потенциалов, протон приобретает скорость
2e U
mv 2
.
(1)
 qU,  v 
2
m
2. Запишем далее условия нахождения протона на круговой
траектории радиуса R
mv 2
 e vB,
R
R
m
R
2e U
m
 e B,
1 2Um
 R,
B
e
1 2  600 1,67 10 27
 12 мм .
0,3
1,6 10 19
(2)
(3)
3.7.10. Заряженная частица со скоростью v = 2106 м/с влетает в
однородное магнитное поле с индукцией B = 0,52 Тл. Определить, что
это за частица, если известно, что она описала в магнитном поле
окружность радиусом R = 4 см.
Решение
1. Запишем условие движения заряженной частицы в магнитном
поле по круговой траектории
mv 2
mv
 qvB,
 qB .
(1)
R
R
2. Для частицы фиксированной величиной является удельный заряд,
т.е. отношение заряда частицы к её массе. Определим это отношение
для заданных условий
q
v
2 10 6
Кл
.
(2)


 9,6 10 7
m RB 0,04  0,52
кг
3. Очевидно, что частицей является протон, обладающий зарядом |e|
 1,610  19 Кл и массой mp  1,6710  27 кг, потому что
220
e
mp

1,6 10 -19
Кл
.
 9,58 10 7
-27
1,67 10
кг
(3)
3.7.11. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность
потенциалов U = 2000 В, движется в однородном магнитном поле с
индукцией В = 15,1 мТл перпендикулярно линиям индукции. Найти
удельный заряд частицы, если радиус окружности, которую она
описала в поле, равен R = 1 см.
Решение
1. Запишем уравнение скорости, с которой частица влетает в
магнитное поле, с учётом её разгона в электрическом поле
mv 2
2qU
.
(1)
 qU,  v 
2
m
2. Условие нахождения частицы на круговой орбите позволяет
определить удельный заряд частицы и её линейную скорость
mv
q
v
 qB,  
,
R
m RB
q
1

m RB
q
2U ,
m
q
2U
q
2U
4000
кЛ
,

,   2 2  4
 1,75 10 11
m
RB
m R B
10  228 10 6
кг
(2)
(3)
v  4000 1,75 10 11  2,65 10 7 м / с
3.7.12. Частица, несущая электрический заряд, перемещается в
однородном магнитном поле по круговой траектории радиуса R = 1 мм
обладая при этом кинетической энергией К = 1 кэВ. Определить силу F,
действующую на частицу со стороны поля.
Решение
1. Запишем уравнение кинетической энергии частицы и силовое
условие её движения по круговой траектории
mv 2
K
,
(1)
2
mv 2
 FL .
(2)
R
2. Сравнивая уравнения (1) и (2), можно видеть, что из уравнения (1)
можно выразить комбинацию величин mv2 и подставить в уравнение (2)
2K 2 10 3 1,6 10 19
mv 2  2K,  FL 

 3,2 10 13 Н .
(3)
R
10 3
221
3.7.13. Электрон движется в однородном магнитном поле с
индукцией В = 0,1 Тл перпендикулярно линиям индукции по траектории
с радиусом кривизны  = 0,5 см. Определить силу Лоренца,
действующую на частицу
Решение
1. Запишем условие нахождения электрона на криволинейной
траектории и выразим из него скорость
mv 2
eB
.
(1)
 evB,  v 

m
2. Подставим значение скорости в уравнение силы Лоренца
eB
e 2 B 2
FL  qvB  e
B
,
(2)
m
m
где m  110  30 кг  масса электрона, е  1,610  19 Кл  заряд электрона.
3. Подставим величины, заданные по условию задачи и табличные
данные в уравнение (2)
5 10 3  2,56 10 38  0,01
FL 
 1,3 пН .
(3)
10 30
3.7.14. Протон с кинетической энергией К = 1 МэВ влетел в
однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции (В = 1
Тл). Какое расстояние должен пройти электрон в области, занятой
магнитным полем, чтобы изменить направление своего движения на
противоположное?
Решение
1.Влетая в магнитное поле в точке А, перпендикулярно вектору
магнитной индукции В, электрон начнёт под действием силы Лоренца
двигаться по криволинейной траектории и описав полуокружность, в
точке С будет иметь скорость противоположную по направлению
начальной скорости. Задача, таким образом, сводится к определению
радиуса кривизны траектории .
2. Запишем условие нахождение протона на круговой орбите
mp v2
 e vB ,
(2)

и выразим из него радиус кривизны 
mp v
,
(3)

eB
222
где |e|  1,610  19 Кл  заряд протона, mp = 1,6710  27 кг  масса
протона, v  скорость протона
3. Скорость электрона найдём по величине
заданной кинетической энергии
mp v2
2K
K
, v 
.
2
mp
(4)
4. Подставим значение скорости из уравнения
(4) в уравнение (3)

mp
2K

e B mp
2Km p
eB
.
(5)
5. Длина полуокружности l определится как
  2
  2Km 3,14 2 1,6 10 13 1,67 10 27


 4,54 м .
2
eB
1,6 10 19 1
(6)
3.7.15. Электрон движется по круговой траектории в однородном
магнитном поле напряжённостью Н = 104 А/м. Определить период
вращения электрона.
Решение
1. Период вращения электрона Т связан с его линейной скоростью и
радиусом окружности, по которой он путешествует
2R
v
.
(1)
T
2. Подставим значение скорости в условия нахождения электрона на
круговой орбите и разрешим полученное соотношение относительно
искомой величины
mv
m 2
2m
2 10 30
 eB,
 eB,  T 

 3 нс . (2)
19
R
T
e 0 H 1,6 10  4 10 7 10 4
3.7.16. Определить частоту вращения n электрона по круговой
орбите в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл.
Решение
1. Воспользуемся уравнением (2) предыдущей задачи, переписав его
для частоты вращения n
223
T
2m
1
eB 1,6 10 19  0,2
, n  

 5,110 9 c 1 .
30
eB
T 2m
6,28 10
(2)
3.7.17. Два иона, имеющие одинаковый заряд и различные массы
проходят одинаковую ускоряющую разность потенциалов, перед тем
как попасть в однородное магнитное поле. При движении в
пространстве, занятом полем ионы описывают окружности
радиусами R1 = 5 см и R2 = 2,5 см. Найти отношение их масс m1/m2.
Решение
1. Определим скорости, приобретаемые ионами при прохождении
ими ускоряющей разности потенциалов
m1 v l2
m 2 v 22
 qU,
 qU ,
(1)
2
2
2qU
2qU
.
(2)
v1 
, v2 
m1
m2
2. Запишем далее условия движения электрона по круговой орбите
m1 v1
m2v2
(3)
 qB,
 qB .
R1
R2
3. Поскольку левые части уравнений (3) одинаковые, то их можно
объединить. С учётом значения скоростей из уравнений (2), перепишем
уравнение (3) следующим образом
m1
R1
2qU m 2

m1
R2
2qU
,
m2
1
1
2qUm1 
R1
R2
2qUm1 2qUm 2

, m 2 R 12  m1R 22 ,
R 12
R 22
m1 R 12
25
 2 
 4.
m 2 R 2 6.25
2qUm1 ,
(4)
(5)
(6)
3.7.18. Электрон из состояния покоя, прошёл разность потенциалов
U = 250 B и попал в однородное магнитное поле под углом  = 600 к
линиям индукции (В = 0,51 Тл). Определить шаг винтовой линии h, по
которой движется электрон в области пространства, занятого полем.
224
Решение
1. Определим величину скорости v0,
приобретенную
электроном
при
прохождении им ускоряющей разности
потенциалов U
mv 2
 eU ,
(1)
2
2eU
.
(2)
v0 
m
2. Запишем уравнения проекций
скорости на выбранные оси координат,
одна из которых, Оx совпадает с направлением вектора магнитной
индукции В, а вторая Oy  перпендикулярна этому вектору



v x  i v 0 cos , v y  j v 0 sin  .
(3)
3. Как это было принято в кинематике, сложное движение электрона
целесообразно разложить на два более простых: на поступательное
движение со скоростью vx = v0cos и вращательное движение с
линейной скоростью vy = v0sin.
4. Условие вращательного движения электрона определится в этом
случае равенством
mv 02 sin 
mv 0 sin 
 ev 0 sin B,
 eB .
(4)
R
R
5. Шаг спирали h, по которой движется электрон, определим из
условия поступательного перемещения в течение периода
2eU
(5)
 cos T .
m
6. Перепишем уравнение (4) таким образом, чтобы в него вошёл
период Т
v sin  2 v 0 sin 
2R
 0
,

, T 
.
(6)
R
T
R
v 0 sin 
7. С другой стороны, из уравнения (4) можно выразить радиус R
mv 0 sin 
mv 0 sin  2m
2
R
, T 


.
(7)
Be
v 0 sin 
Be
Be
8. Подставим далее значение периода обращения электрона Т из
уравнения (7) в уравнение (5)
h  v x T  v 0 cos T 
225
2m
Be
2eU
2 2mU
 cos  
 cos ,
m
B
e
6,28
h
0,51
2 10 30  250
 0,5  3,44 10 4 м.
1,6 10 19
h
(8)
3.7.19. Электрон движется в однородном магнитном поле с
индукцией В = 910  3 Тл по винтовой линии радиусом R = 1 см и шагом
h = 7,8 см. Определить период обращения электрона и его скорость.
Решение
1. Поскольку по условию задачи заданы радиус круговой орбиты и
шаг винтовой линии, то электрон влетает в магнитное поле под
некоторым углом по отношению к направлению вектора магнитной
индукции.
2. Определим угол, под которым влетает электрон в магнитное поле
из следующих соображений
2Rv x 2Rv 0 cos 
2R
h  v x T, T 
, h

 2Rctg ,
(1)
vy
vy
v 0 sin 
где Т  период вращения электрона, R  радиус орбиты вращательной
составляющей движения, vx, vy  проекции скорости электрона v0 на оси
координат, одна их которых, Ох совпадает с направлением вектора
магнитной индукции,   угол между вектором скорости электрона и
вектором магнитной индукции
 h 
0
  arcctg
(2)
  40 .
2

R


3. Определим скорость, с которой электрон влетел в магнитное поле
из условия его вращения по круговой орбите
mv 0 sin 
eBR
1,6 10 19  9 10 3 10 2
Мм
. (3)
 eB,  v 0 

 22,5
30
R
m sin 
10  0,64
с
4. Период вращения электрона определится из чисто
кинематических соображений
v sin 
2 v 0 sin 
 0
,

,
R
T
R
(4)
2R
6,28  0,01
T


4
,
3
нс
.
v 0 sin  22,5 10 6  0,64
226
3.7.20. Электрон движется по круговой траектории в однородном
магнитном поле со скоростью v = 0,9 c (c = 3108 м/с  скорость света
в вакууме). Магнитная индукция поля В = 0,01 Тл. Определить радиус
окружности с учётом увеличения массы электрона со скоростью.
Решение
1. Масса электрона при заданной скорости, в соответствии с
уравнениями специальной теории относительности будет отличаться от
его массы покоя m0  110  30 кг
m0
10 30
m

 2,27 10 30 кг .
(1)
2
1

0
,
81
v
1  
c
2. Запишем далее условие нахождения электрона на круговой орбите
с учётом релятивистского увеличения массы
mv 2
 evB ,
(2)
R
где е  1,610  19 Кл  заряд электрона, R  радиус окружности, по
которой движется электрон.
3. Решим уравнение (2) относительно радиуса R
mv
mv 2,27 10 30  2,7 10 8
(3)
 eB,  R 

 0,38 см .
R
eB
1,6 10 19  0,01
4. Без учёта релятивистского увеличения массы электрона радиус
его круговой орбиты составит
m v 10 30  2,7 10 8
(4)
R0  0 
 0,17 м .
eB 1,6 10 19  0,01
3.8. Совместное действие электрических и магнитных полей
на заряженные частицы
3.8.1. Электрическое поле возбуждено перпендикулярно магнитному
полю, причём, напряжённость электрического поля Е = 10 5 В/м, а
индукция магнитного поля  В = 0,1 Тл. Перпендикулярно полям, не
отклоняясь от прямолинейной траектории, движется заряженная
частица. Определить скорость частицы.
227
Решение
1. Описанное движение частицы, несущей
положительный заряд q возможно при
равенстве модулей сил Кулона и Лоренца и их
противоположном направлении, когда
qvB  qE ,
(1)
откуда
E 10 5
м
v 
 110 6 .
B 0,1
с
(2)
3.8.2. Заряженная частица, двигаясь перпендикулярно скрещенным
под прямым углом электрическому (Е = 4 105 В/м) и магнитному (В =
0,25 Тл) не испытывая отклонения при определённом значении
скорости v. Определить значение скорости и возможные отклонения
v от этой величины, если указанные параметры полей могут
обеспечиваться с точностью, не превышающей 0,2%.
Решение
1. Величину скорости, при которой будет обеспечено движение
частицы без отклонения от прямолинейной траектории, определим,
воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи
E 4 10 5
м
(1)
v 
 1,6 10 6 .
B 0,25
с
2. Определим далее, заданные по условию задачи, величины
отклонений напряжённости электрического поля и индукции
магнитного поля
E  E  0,02  8 10 3 В / м,
(2)
B  B  0,02  5 10 -3 Tл .
(3)
3. Диапазон скоростей v при которых будет обеспечиваться
сохранение первоначального направления движения частицы
3
5 10 3 
м
 E B 
6  8  10
  6,4 10 4 .
v   v


(4)
  1,6 10 
5
B 
0,25 
с
 E
 4 10
3.8.3. Протон, будучи ускоренным разностью потенциалов U = 800
B, из состояния покоя, попадает в скрещенные под прямым углом поля.
Магнитное поле имеет индукцию В = 50 мТл. При какой
напряжённости электрического поля Е протон будет через
пространство, занятое полями двигаться прямолинейно?
228
Решение
1. Определим скорость протона при его разгоне, полагая массу
протона mp  1,6710  27 кг, заряд  qp = |e|  1,610  19 Кл
mp v2
2
 e U,  v 
2eU
mp
.
(1)
2. Как показано в двух предыдущих задачах, движение частицы
будет прямолинейным в том случае когда
 
(2)
FK  FL  0, e E  e vB,
откуда следует, что
E  vB  B
2eU
mp
 5 10 2
2 1,6 10 19  800
В
 2 10 4 .
1,67 10 27
м
(3)
3.8.4. Циклотрон предназначен для разгона протонов до энергий
порядка W  5 МэВ. Каков должен быть радиус дуантов R при
индукции магнитного поля В = 1Тл?
Решение
1. Определим значение скорости протона (mp  1,6710  27 кг, |e| 
1,610  19 Кл) в циклотроне
mp v2
2W
2  5 10 6 1,6 10 19
м
(1)
W
, v 

 3 10 7 .
27
2
mp
1,67 10
с
2. Запишем условия вращения протона по круговой орбите
mp v2
m p v 1,67 10 27  3 10 7
 e vB,  R 

 19 м .
R
eB
1,6 10 19 1
229
(2)