Скорости и ускорения поступательного движения

Лекция № 18. Электромагнитная индукция
1. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея.
2. Самоиндукция. Индуктивность.
3. Взаимная индукция.
4. Энергия магнитного поля.
1
Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея
Явление электромагнитной индукции заключается в том, что во всяком
проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность,
ограниченную этим контуром, возникает электрический ток, получивший название
индукционного. Открыто в опытах М. Фарадеем в 1831 году (рис. 18.1).
При изменении магнитного потока в контуре
возникает электродвижущая сила индукции i.
Величина ЭДС i не зависит от способа, которым
осуществляется изменение магнитного потока , и
определяется лишь скоростью изменения , т. е.
dФ / dt. При изменении знака dФ/ dt направление i
также меняется. Ленц установил правило,
определяющее направление индукционного тока:
индукционный ток всегда направлен так, чтобы
противодействовать причине, его вызывающей.
Выясним связь между
магнитным потоком Ф и ЭДС
индукции. Поместим контур в
однородное магнитное поле и
начнем перемещать
подвижную перемычку
вправо со скоростью 
(рисунок 18.2). Электроны
будут также двигаться со
скоростью  , на каждый
электрон действует сила
Лоренца вдоль проводника
(18.1)
F  = eB
(сила направлена вдоль проводника).
Действие этой силы эквивалентно действию электрической силы, обусловленной
полем напряженности
E = B.
Это поле неэлектростатического (кулоновского) происхождения. Его
циркуляция по конуру даёт ЭДС индукции.
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
1
* 
dS
B
,
i =  E dl  E l  Bl  B ldt
dt
dt
*
(18.2)
где dS = ldt – приращение площади контура за время dt (заштрихованная площадь);
BdS = d – приращение потока магнитной индукции через контур.
Окончательно получим закон Фарадея для электромагнитной индукции:
(18.3)
i =  dФ .
dt
Знак " – " выражает правило Ленца и означает, что направления i и dФ / dt связаны
правилом левого винта. Единицей потока магнитной индукции служит (Вб) «вебер»,
который представляет собой магнитный поток через поверхность в 1м 2 , пересекаемую
нормально к ней линиями магнитного поля с В=1 Тл. При скорости изменения потока
1Вб/с, в контуре индуцируется ЭДС = 1В.
Пусть контур, в котором индуцируется ЭДС, состоит не из одного витка, а из N
одинаковых витков, т. е. представляет собой соленоид. Поскольку витки соленоида
соединены последовательно, результирующая ЭДС будет равна сумме ЭДС,
индуцируемых в каждом из витков в отдельности.
i =   dФ   d Ф,
dt
dt
где    Ф – называют потокосцеплением или полным магнитным потоком. Если
поток, пронизывающий каждый из витков, одинаков, то   NФ .
Следовательно, ЭДС, индуцируемая в сложном контуре, равна:
(18.4)
i =  d .
dt
Так для соленоида
(18.5)
iсолен =  d   N dФ .
dt
dt
В плоской прямоугольной рамке, которая вращается в однородном магнитном
поле с угловой скоростью  так, что ось
вращения лежит в плоскости рамки площадью

S и перпендикулярна к вектору В магнитной индукции внешнего поля, ЭДС
электромагнитной индукции равна
 i  BS sin t
(18.6)
Свойства индуцированного электрического поля:
1) Индуцированное электрическое поле не является кулоновским полем. Оно
создаётся не зарядами, распределёнными в пространстве, а переменным магнитным
полем.
2) Индуцированное электрическое поле, подобно магнитному полю, является
вихревым и непотенциальным полем. Работа, совершаемая в этом поле при
перемещении единичного положительного заряда по замкнутой цепи не равна нулю и
численно равна ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре, находящимся в
переменном магнитном поле.
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
2
2
Самоиндукция. Индуктивность.
Электрический ток I, текущий в любом контуре,
создает пронизывающий этот контур полный магнитный
поток  и, следовательно, при изменении тока в
контуре будет индуцироваться ЭДС (рис. 18.3). Это
явление называется самоиндукцией.
В соответствии с законом Био – Савара – Лапласа
магнитная индукция B пропорциональна силе тока,
вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток в контуре I
и создаваемый им полный магнитный поток через
контур  друг другу пропорциональны
 = LI.
(18.7)
Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.
Индуктивность контура численно равна магнитному потоку через площадь контура
при силе тока в нем, равном единице. Размерность индуктивности 1Гн =1Вб/1А.
Индуктивность контура зависит от геометрической формы контура, его размеров и
относительной магнитной проницаемости  той среды, в которой он находится.
Индуктивность соленоида, например, равна:
(18.8)
N2
L  0
S,
l
где N – число витков, l – длина соленоида, S – площадь, ограниченная одним витком,
0 – магнитная постоянная.
При изменении силы тока в контуре возникает ЭДС самоиндукции
(18.9)
dL 
 I .
s =  ddt   d dtLI    L dI
dt 
 dt
Если L = const, то
(18.10)
s =  L dI
.
dt
В присутствии ферромагнетиков L = f(I), тогда dL / dt  dL dI   dI dt  и
(18.11)
 dI
s =   L  I dL
 .
dt  dt

В случае, когда L = const, изменение силы тока со скоростью 1А/с в проводнике
с L = 1Гн приводит к возникновению s = 1B.
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
3
Взаимная индукция
3
Возьмем два контура 1 и 2,
расположенные близко друг от друга
(рисунок 18.4). Если в контуре 1 течет
ток силой I1 , он создает через контур 2
пропорциональный
I1
полный
магнитный поток 2 = L21I1. При
изменении тока I1 в контуре 2
индуцируется ЭДС
i2 =  L21 dIdt1 .
(18.12)
Аналогично, при протекании в контуре 2 тока силы I2, возникает сцепленный с
контуром 1, поток 1 = L12I2 . При изменении тока I2 в контуре 1 индуцируется ЭДС
(18.13)
i1 =  L12 dIdt2 .
Контуры 1 и 2 называются связанными, а явление возникновения ЭДС в одном
из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией.
Коэффициенты L12 и L21 называются взаимной индуктивностью контуров. В
отсутствие ферромагнетиков эти коэффициенты равны друг другу L12 = L21.
Найдем взаимную индуктивность двух катушек,
намотанных на общий тороидальный железный сердечник.
Линии магнитной индукции сосредоточиваются внутри
сердечника (рис. 18.5), поэтому можно считать, что возбуждаемое любой из катушек магнитное поле будет иметь всюду в
сердечнике одинаковую напряженность. Если первая обмотка
имеет N1 витков и по ней течет ток силы I1, то согласно теореме
о циркуляции
NI
Hl = N1l1  H  1 1 ;
l
где l – длина сердечника.
Магнитный поток через поперечное сечение сердечника
NI
Ф = BS = 0HS =  0  1 1 S .
l
Умножив получившееся выражение на N2, получим
полный поток, сцепленный со второй обмоткой:
S
2  ФN 2   0 N1 N 2 I1.
l
Сопоставим последнее выражение с формулой 2 = L21I1. Получим
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
4
(18.14)
S
 0 N1 N 2 .
l
Вычисление потока 1 , сцепленного с первой обмоткой в том случае, когда по
второй обмотке течет ток силы I2, приводит к выражению
(18.15)
S
L12   0 N1 N 2 .
l
Но в данном случае нельзя утверждать, что L21 = L12, так как множитель ,
входящий в выражение для этих коэффициентов, зависит от напряженности поля H в
сердечнике. Если N1  N2, один и тот же ток, пропускаемый один раз по первой, а
другой раз по второй обмотке, создаст в сердечнике поле различной напряженности H.
Соответственно значения  в обоих случаях будут различными, так что при I1 = I2
числовые значения L21 и L12 не совпадают.
L21 
4
Энергия и плотность энергии магнитного поля
Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 18.6. При замкнутом ключе в соленоиде
установится ток I, который обусловит магнитное поле,
сцепленное с витками соленоида. Если разомкнуть ключ,
то через сопротивление R будет некоторое время течь
постепенно убывающий ток, поддерживаемый
возникающей в соленоиде ЭДС самоиндукции. Работа,
совершаемая этим током за время dt, равна:
dA 

S
Idt  
d
Idt   Id.
dt
(18.16)
Если индуктивность соленоида не зависит от I (L=const), то d=LdI и
выражение (18.16) примет вид:
dA   LIdI.
Проинтегрировав это выражение по I в пределах от первоначального значения I
до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого
происходит исчезновение магнитного поля
0
(18.17)
LI 2
A    LIdI 
.
2
I
Работа (18.17) идет на приращение внутренней энергии сопротивления R
соленоида и соединительных проводов (т. е. на их нагревание). Совершение этой
работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое существовало
первоначально в окружающем соленоид пространстве.
Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах
не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии,
за счет которой и совершается работа. Мы приходим к выводу, что проводник
индуктивностью L, по которому течет ток силы I, обладает энергией
(18.18)
LI 2
W
,
2
которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле.
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
5
Кроме того, выражение (18.17) можно трактовать как работу, которую
необходимо совершить против ЭДС самоиндукции s = – L(dI/dt)
нарастания тока от 0 до I и которая идет на создание магнитного поля

I
в процессе
I
LI 2
.
A'    S Idt   LIdI 
2
0
0
Работа, совершаемая при установлении тока за счет источника ЭДС, идет
целиком на создание магнитного поля, сцепленного с витками соленоида. Это
последнее выражение для работы не учитывает той работы, которую источник ЭДС
затрачивает в процессе установления тока на нагревание проводников.
Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само
поле.
Для "бесконечного" соленоида
I  H n;
L   0 n 2V ;
.
Подставим L и I в выражение для энергии, в результате получим:
 0 H 2
W
V .
2
Плотность энергии магнитного поля
W  0 H 2 HB
B2
w



.
V
2
2
2 0 
(18.19)
Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля,
заключенную в любом объеме V . Для этого нужно вычислить интеграл
W   wdV  
V
V
 0 H 2
2
 dV .
Можно показать, что в случае связанных контуров (при отсутствии
ферромагнетиков) энергия поля определяется формулой
(18.20)
L I2 L I2 L I I
L I I
W  1 1  2 2  12 1 2  21 2 1 .
2
2
2
2
Для энергии N связанных друг с другом контуров получается аналогичное выражение:
(18.21)
1 N
W   Lik I i I k ,
2 i ,k 1
где Lik = Lki – взаимная индуктивность i - го и k - го контуров, а Lii = Li –
индуктивность i - го контура.
Никитин П.В. Садово – парковое и ландшафтное строительство
6