Механизм процесса распыления жидкости

Ультразвук в медицине. Модуль 3.
МЕХАНИЗМ ПРОЦЕССА РАСПЫЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ.
Комплексная цель. Изучить основные механизмы процесса
распыления жидкости. Уяснить основные параметры материалов,
взаимодействующих в данном процессе. Их влияние на его скорость.
Ознакомиться с тенденциями применения в медицине.
Методика выполнения деятельности. В настоящем модуле путем
изучения изложенного материала студенты знакомятся с теоретическими
основами процесса распыления, могут на практических занятиях
ознакомиться с устройствами, реализующими различные методы
распыления. Определить достоинства и недостатки методов, основанных на
электрическом управлении процессом.
Содержание модуля.
1.1 Уравнения равновесия жидкости, условия на границе
раздела и частное решение.
Уравнения равновесия границы раздела жидкой и газообразной фазы
вывел еще лорд Рэлей в классическом труде [1].
Для несжимаемой и невязкой жидкости должны выполняться
следующие уравнения. Для скалярного потенциала скорости φ в объеме
жидкости выполняется уравнение Лапласа
.
(1.1)
Векторный потенциал A в отсутствии вязкости равен нулю.
Превышение над гидростатическим давлением δp в объеме жидкости
определяется из соотношения
(1.2)
для движения с малой амплитудой,
где
- избыточное давление,
ρ- плотность среды,
Ультразвук в медицине. Модуль 3.
R- массовая сила,
φ- потенциал скорости.
Если с вертикалью сопоставить ось z, то R=gz где g- ускорение
свободного падения (g=9,81 м/с). Ряд важных свойств образования
капиллярных волн можно получить из анализа (1.1) и (1.2). Следуя [1] для
волны, распространяющейся вдоль оси x (плоскость xy совпадает с
плоскостью раздела) решение (1.1) имеет вид
, (1.3.)
если сосуд с жидкостью имеет дно, то на нем должна исчезать
вертикальная составляющая скорости, то есть решение (1.3) принимает вид:
(1.4)
для периодического движения с круговой частотой ω можно получить
выражение для φ
.
(1.5)
Выражения (1.3) – (1.5) показывают, что скорость падает с глубиной
по экспоненциальному закону. На «глубокой» воде влияние дна на форму
колебаний незначительно. Иная картина будет проявляться на «мелкой»
воде, или в тонком слое. Форма колебаний в последнем случае будет
существенно зависеть от толщины слоя.
Соотношение гравитационной составляющей и капиллярной в
колебаниях поверхности жидкости наглядно видно из выражений для
скорости поверхностной волны.
Капиллярная сила на поверхности жидкости имеет вид
,
где h – высота гребня волны, а вторая производная определяет кривизну
поверхности, для плоской поверхности имеем
. Плоская волна
Ультразвук в медицине. Модуль 3.
распространяется вдоль оси x и не зависит от переменной y. В этом случае на
поверхности выполняется условие
(1.6)
с учетом того, что
.
Подстановка в (1.6) решения (1.5) дает соотношение (дисперсионное)
между скоростью распространения капиллярной волны v и волновым
вектором k такое, что
.
При z=0 получаем
(1.7)
Качественная картина становится ясной для частного случая
глубокого сосуда, когда гиперболический тангенс в последнем выражении
равен 1, тогда
.
(1.8)
Это дисперсионное соотношение было выведено Кельвином. Для
больших λ – волны имеют преимущественно гравитационный характер, что
мы наблюдаем при ряби на морской поверхности. Их скорость
При малых λ влияние капиллярной составляющей становится
преобладающим и скорость волны
Ультразвук в медицине. Модуль 3.
Если ввести в рассмотрение период колебаний T такой, что
, то
соотношение между длиной волны и периодом колебаний будет
или в терминах круговой частоты
(1.9)
Экспериментальные исследования ряда авторов [1,2,3]
показывают, что размер (диаметр) капель аэрозоля связан с длиной
капиллярной волны соотношением d=0,34λ, где d- среднее, медианное
значение диаметра капель, длина волны λ соответствует величине,
определяемой по формуле Кельвина.
В рамках целей курса обучения нужно понять, что применение
ультразвука приводит к контролируемым условиям возбуждения
капиллярных волн. Второе обстоятельство, которое дает определенные
преимущества альтернативным методам, особенно пневматическим,
заключается в том, что частота колебаний в свистках определяется скоростью
истекания газа из сопла. При перепаде давления около 1 бар (~1 кг/см2)
возможно реализовать сверхзвуковую скорость потока и высокую частоту
колебаний воздуха до 1 МГц. Для малых доз, указанное давление создается
давлением руки на поршень ручного ингалятора.
Важным выводом является также то обстоятельство, что существует
два механизма влияния на длину волны. Это гравитационная составляющая и
капиллярная, зависящая от свойств жидкости.
Ультразвук в медицине. Модуль 3.
1 .2
Не ус то йчи вос ть во лно вого д виже ния , эффе кт
Фар аде я.
Дисперсионное соотношение (1.9) показывает, что решение (1.3) существует
при всех частотах вынужденных колебаний ω с длиной волны, определяемой
(1.9). Скорость капиллярно-гравитационной волны определяется свойствами
границы раздела (1.7 – 1.8). Для любой длины волны скорость v не может
быть меньше v0, такого, что
(1.10)
минимальной скорости соответствует длина волны λ0
(1.11)
и период колебаний
(1.12)
Присутствие в формулах (1.10)-(1.12) ускорения свободного падения g
как параметра указывает на то, что изменение этой величины, или создание
условии понижения силы гравитации существенно меняет граничные
скорости, длины и период капиллярных волн. Такой процесс может
происходить в свободно падающей струе направленной вдоль горизонта, где
разделение на капли определяется также поверхностными капиллярными
волнами. Исследования, описанные в [1], показывают, что движение жидкой
струи является неустойчивым к малым вихревым возмущениям. Этот эффект
используется при создании аэрозоля при распыления жидкой струи, или за
Ультразвук в медицине. Модуль 3.
счет воздействия потока воздуха (газа) вдоль границы раздела. В соплах
вихревые возмущения создаются у выходного отверстия.
При исследованиях влияния ветра на волны Кельвин [6] отмечал
неустойчивый характер движения слоев относительно друг друга вдоль
границы раздела. Если принять в рассмотрение свойства (по поверхностному
натяжению) по обе стороны от границы раздела (газ-жидкость, жидкостьжидкость), то возможно установить критерии, определяющие нарушения
условия стационарности движения. В результате появляются волны с
растущей амплитудой, переходящие в нелинейную область и
сопровождающиеся распылением жидкости или образованием эмульсии.
Процесс возмущения границы раздела можно связывать с действием
сторонних сил или теплового движения частиц жидкости, но в любом случае
полагается, что возмущение содержит координату и время в форме
множителей
Условие для скорости капиллярно-гравитационных волн (1.7 – 1.8) в
более общем случае приобретает вид
(1.13)
где – относится к «верхней» жидкости, l – глубина (толщина) слоя
каждого жидкого слоя. Равенство (1.13) следует рассматривать как уравнение
относительно
. Если корни этого квадратного уравнения
действительные, то волны распространяются по поверхности, если корни
мнимые (два комплексно сопряженные), то одна волна быстро затухает.
Другая волна неограниченно возрастает на линейном размере порядка длины
волны по экспоненциальному закону
или в 23,1 раза, приводя к
изменению формы границы раздела.
Из общих соображений следует ожидать, что возможны условия,
накладываемые на длины капиллярных волн и частоты колебаний, при
Ультразвук в медицине. Модуль 3.
которых граница раздела оказывается устойчивой к внешним возмущениям,
и они не будут вызывать процесса генерации аэрозоля. К подобным
возмущениям следует отнести и ввод акустических или ультразвуковых
колебаний в жидкость или в газ – воздух.
В настоящее время эти условия достаточно хорошо изучены, и их
необходимо учитывать при разработке ингаляторов медицинского
назначения.
Критерий устойчивости принимает для двух слоев невязкой,
несжимаемых жидкостей следующий вид
.
Анализ последнего выражения показывает, что наличие сил тяжести и
поверхностного натяжения стремятся вызвать устойчивое состояние, но поразному в разных диапазонах длин волн. При больших длинах волн сила
тяжести обеспечивает безусловную устойчивость. При бесконечно большом
k, когда длина капиллярной волны мала, сила тяжести выпадает из
рассмотрения. Малые силы поверхностного натяжения приводят к
неустойчивости. При конечных σ устойчивость увеличивается для
бесконечно коротких капиллярных волн. Для волн конечной длины возможна
неустойчивость. Если принять в рассмотрение минимальную скорость (1.10),
то условие устойчивости
Если
не превосходит определенного значения, то стационарное
движение устойчиво для всех возмущений, в противном случае будут
существовать длины волн, для которых возмущения возрастают
экспоненциально.
Ультразвук в медицине. Модуль 3.
Эффект Фарадея представляет прекрасную иллюстрацию оценки
области нестационарных волн
.
Речь идет о поведении слоя жидкости на поверхности колеблющейся
пластинки. В данном случае полагается, что вся поверхность пластинки
колеблется вверх-вниз с фиксированной частотой ω0 и амплитудой
.
Положим, что на поверхности жидкости образуется суперпозиция двух
плоских стоячих капиллярно-гравитационных волн, такая, что ее профиль
представим в форме
После ряда преобразований и подстановки в уравнение Лапласа для
потенциала получим для временного множителя q(t) уравнение в виде
где
- безразмерная амплитуда колебаний пластины,
-декремент затухания связан с вязкими свойствами
жидкости через коэффициент вязкости ,
.
Последнее уравнение представляет собой уравнение возбуждения
параметрических колебаний системы с трением. Для него характерно
неустойчивое движение при параметрическом возбуждении при условиях:
Ультразвук в медицине. Модуль 3.
нижняя граница неустойчивости достигается при
или при
.
Свойства капиллярных волн на поверхности вязкой жидкости и
условия достижения неустойчивости описываются (в более точной
постановке) уравнением Навье - Стокса для несжимаемой жидкости
относительно поля скоростей:

 


1
 ()   p  vu  g
t


где p(r , t ) –давление внутри жидкости,
 
u ( r , t ) -скорость
частиц жидкости, g-ускорение объемности, v-
кинематическая вязкость.
Поверхность жидкости (плоская), возмущенная капиллярными
волнами имеет форму

F (r , t )  Z   ( x, t ) =0,
удовлетворяющую граничным условиям:
кинематическому
F F 

  F  0
t
t
и динамическому условию, для касательной и нормальной компонент
тензора напряжений
 



 (n )  n ()  0
 
( P(r , t )  P0 )  2vn (n) (r , t )  P  0
где P0 – постоянное внешнее давление,
P - давление поверхностного натяжения на свободной поверхности
жидкости.
Ультразвук в медицине. Модуль 3.
P  
 2
x 2
Полагается, что возмущения, распространяются по поверхности
жидкости в форме плоской волны вида
 ( x, t )  A exp( ix  it )
(1.14)
Поле скоростей представляется в виде суммы двух компонент

потенциальной (со скалярным потенциалом  (r , t ) ) и вихревой, описываемой
функцией тока.
Кинематическая вязкость  может быть записана в комплексном виде,
что дает возможность учесть появление на высоких частотах (или при малых
временах взаимодействия) у жидкости упругих свойств:
   0 (1  i ) 1
где  0 - кинематическая вязкость при нулевой частоте
 -круговая частота
 -коэффициент релаксации вязкости.
Решение описанной задачи имеет вид:
u x ( x, z, t )  (iB exp( z )  lC (lz ) exp( ix  it ))
(1.15)
u z ( x, z, t )  (B exp( z)  iC exp( lz ) exp( ix  it ))
l 2   2  i 1
B и C-константы, l- характерный параметр линейного масштаба
изменения вихревой компоненты поля скоростей.
Изложенный материал иллюстрирует то обстоятельство, что условие
возбуждения капиллярных волн значительным образом зависит от свойств
жидкости, ее вязкости и коэффициента поверхностного натяжения. С другой
стороны чисто теоретическое рассмотрение упирается в достаточную
Ультразвук в медицине. Модуль 3.
сложность решаемой задачи на уровне методов гидродинамики. При
решении ряда прикладных проблем теоретические методы имеет смысл
заменять правильно поставленным экспериментом.
Проектное задание.
Сформулировать условия возникновения неустойчивых капиллярных
волн в невязкой среде.
Тест рубежного контроля №1.
Тест содержит 4 задания, на выполнение которых отводится 5 минутю
Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и
отметьте его любым значком в бланке ответов.
1.С какими внешними и внутренними параметрами среды связаны
поверхностные капиллярно-гравитационные волны?
1
Силой тяжести и силой
3
поверхностного натяжения.
Силой молекулярного
взаимодействия и силой
электрического поля
2
Силой поверхностного
4
Силой вязкого трения и силой
натяжения и силой вязкого
граничной силой реакции дна
трения
сосуда
2. С каким событием связано возникновение брызг жидкости на поверхности
жидкости?
1.
Перекручиванием струи.
3.
Появлением неустойчивости
поверхности.
2.
Сдвигом поверхности.
4.
Повышением устойчивости
поверхности.
3. В чем смысл эффекта Фарадея?
1.
В появлении заряда на
поверхности жидкости.
3.
В появлении капиллярных волн
на поверхности вибрирующей
пластины
Ультразвук в медицине. Модуль 3.
В затухании колебаний
2.
4.
пластины с жидкостью.
В индуцировании
электрического тока в пластине
4. Каким параметром определяется размер капель отрываемый с поверхности
жидкости?
Со скоростью капиллярной
1.
3.
С длиной капиллярной волны
4.
С длиной волны ультразвука
волны.
С частотой колебаний частиц
2.
жидкости у поверхности.
Литература.
1. Дж. В. Стретт (Лорд Рэлей). Теория звука, т.1,2/ ГИТТЛ, М,1955.
2. Физика и техника мощного ультразвука./ Физические основы
ультразвуковой технологии, под ред. проф. Розенберга Л. Д. ,т. 3, М, Наука,
1970
3.
R. Rajan, A. B. Pandit. Correlations to predict droplet size in
ultrasonic atomization, Ultrasonics, 39 (2001), p. 235-255
4. Физика и техника мощного ультразвука./ Источники мощного
ультразвука, под ред. проф. Розенберга Л. Д. ,т.1, М, Наука, 1967
Ультразвук в медицине. Модуль 3.