Решение заданий №21 – 26 10 2 №21. Упростите выражение 10 2 24 . Решение. Применив в числителе данного выражения свойство квадратного корня a b a b , получим: 10 2 10 2 . 24 Внимательно посмотрев на подкоренное выражение, получившееся в числителе, не трудно заметить, что это выражение – не что иное, как разность квадратов. Поэтому, применив соответствующую формулу, имеем: 10 2 22 . 24 И вновь необходимо вспомнить (если вы забыли =)))) свойства квадратного корня, но уже другие: а 2 Итак, идём дальше: 10 2 24 Ответ: 22 а и 10 4 24 a b a . b 6 24 6 1 1 . 24 4 2 1 . 2 2 № 22. Один из корней уравнения 3х 5 х 2т 0 равен -1. Найдите второй корень. Решение. Что связывает корни квадратного уравнения?.... Конечно, теорема Виета. Однако, она применима для уравнения приведенного вида. Но что нам стоит привести данное уравнение к нужному виду, разделив его обе части на 3? Итак, получим: 5 2т х2 х 0. 3 3 Теперь воспользуемся теоремой Виета. Для нахождения второго корня нам достаточно написать сумму корней, потому что известен второй коэффициент (в нашем случае свободный член неизвестен – он содержит параметр). А если бы был известен свободный член, то мы расписали произведение корней. 5 х1 х2 . 3 По условию задачи х1 1 . Получаем: 5 2 1 х2 х2 . 3 3 2 Ответ: . 3 № 23. Найдите наименьшее значение выражения и значения х и у, при которых оно достигается 6 х 5 у 7 2 х 3 у 1 . Решение. Внимательно посмотрев на данное выражение, замечаем, что модуль не может быть отрицательным, а значит, что и сумма двух неотрицательных слагаемых не может быть отрицательной. Поэтому наименьшие значения, которые могут принимать модули – это ноль! 6х 5 у 7 0 6х 5 у 7 0 2х 3 у 1 0 2х 3 у 1 0 Эти равенства должны выполняться одновременно. Поэтому запишем их в виде системы двух уравнений: 6 х 5 у 7 0 2х 3у 1 0 Умножив обе части второго уравнения на 3, получим: 6 х 5 у 7 0 6 х 9 у 3 0 Вычитая из второго уравнения системы первое, имеем: 4у 4 0 у 1 Подставляя найденное значение переменной у во второе уравнение системы, находим значение переменной х: 2х 3 1 1 0 х 2 Итак, исходное выражение принимает наименьшее значение при х 2 и у 1. Ответ: наименьшее значение данного выражения – 0. Оно достигается при х 2 и у 1 . № 24. Найдите величину угла АОЕ, если ОЕ – биссектриса угла АОС, OD – биссектриса угла СОВ. Решение. o Начнём решать данную задачу от известного угла, т.е. BOD 25 . o OD – биссектриса COB COB 2 BOD , COB 50 AOC и COB - смежные углы. По свойству смежных углов AOС СОВ 180о АОС 180о СОВ, АОС 180о 50о 130о 1 1 о о ОЕ – биссектриса AOС АОЕ АОС , АОЕ 130 65 2 2 о Ответ: АОЕ 65 № 25. В параллелограмме ABCD точка М – середина стороны АВ. Известно, что MC = MD. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник. Решение. Сделаем чертеж к задаче. Рассмотрим МВС и МAD : 1) МА=МВ (по условию); 2) МС=MD (по условию); 3) ВС=AD (противоположные стороны параллелограмма) Следовательно, МВС = МAD МВС MAD Т.к. ВС||AD как противоположные стороны параллелограмма, то МВС MAD 180о как односторонние углы. о Значит, МВС MAD 90 А т.к. противоположные углы в параллелограмме равны, то все углы в нашем параллелограмме прямые. Следовательно, наш параллелограмм – это прямоугольник. Что и требовалось доказать. № 26. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. Решение. Выполним чертеж. Т.к. О – это центр вписанной в треугольник АВС окружности, то BD – это высота и медиана. А значит, AD=DC=5. Для дальнейшего решения необходимо вспомнить свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности: отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны (см. рисунок ниже) Исходя из этого факта, делаем вывод, что DC=EC=FC=5. Обозначим сторону ВС за х. BDC подобен BFO1 по двум углам (В – общий, BDC=BFO1=90o) Из подобия этих треугольников следует: BD DC BF O1 F Из BDC по теореме Пифагора BD ВС 2 DC 2 x 2 25 . BF BC CF x 5 Таким образом, подставляя данные в пропорцию, получим: x 2 25 5 x5 7,5 Решим это уравнение. Воспользуемся свойством пропорции, записав 7,5 как 15 . 2 15 2 x 25 5х 5 2 3 2 x 25 х 5 2 Возведя обе части уравнения в квадрат и умножив на 4, получим: 9 х 2 25 4 х 5 2 Далее можно раскрывать скобки, приводить подобные и решать получившееся квадратное уравнение традиционным способом. Всё это Вы можете проделать самостоятельно. Я предлагаю, на мой взгляд, более красивый способ решения данного уравнения: Заметим, что в левой части уравнения имеется разность квадратов. Воспользуемся этой формулой и всё перенесём в левую часть уравнения, получим: 9х 5х 5 4х 5 0 2 Вынесем за скобку выражение х 5 : х 59х 5 4х 5 0 х 55 х 65 0 Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, т.е. х 5 0 или 5х 65 0 Получили два корня уравнения: х1 5 и х2 13 . Первый корень не удовлетворяет условию задачи. Поэтому, вспоминая, что х – это длина стороны ВС, имеем, что ВС=13. Напомню, что мы ищем радиус ОЕ окружности, вписанной в АВС . Для нахождения этого радиуса воспользуемся формулой: r 2S , где r – радиус вписанной в треугольник окружности, S – площадь P треугольника, Р – периметр треугольника. В нашем случае: S 1 BD AC 2 Нетрудно сосчитать по теореме Пифагора, что BD=12. Таким образом, имеем: 1 2 12 10 120 10 ОЕ 2 13 13 10 36 3 10 Ответ: 3