Применение производной

Тема 5
Применение производной
Теоретические вопросы
1. Геометрический, механический, экономический смысл
производной функции в точке. Уравнение касательной и
нормали к плоской кривой.
2. Применение производной в экономической теории.
3. Дифференциал. Применение дифференциала в
приближенных вычислениях.
4. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
5. Правило Лопиталя.
6. Формула Тейлора. Разложение элементарных функций по
формуле Тейлора.
Контрольные вопросы
1. В любой ли точке непрерывная функция имеет
касательную?
2. Сформулируйте достаточное условие существования
касательной к графику функции в заданной точке.
3. Может ли функция иметь касательную в данной точке,
но не быть дифференцируемой в этой точке?
4. Обладает ли дифференциал второго порядка свойством
инвариантности формы?
Задачи для практических занятий
1. Написать уравнение касательной и нормали к данной кривой в
точке с абсциссой xо= 1 :
а) y  х3  2 х 2  1 ;
б) y  х 2  2 х  5 ;
в) y  1 .
x
2. В какой точке касательная к кривой
а ) y  х 2  2 х  4 образует с осью Ох угол 45?
б) y  х 2  1 параллельна прямой 6 x  y 10  0 ?
в) y  х 2  х перпендикулярна прямой x  2 y  7  0 ?
3. Вычислить приближенно:
а) arctg 0,981; б) 7 131 ; в) sin 32.
4. Найти пределы, используя правило Лопиталя:
а)
2
lim 8x  5x  6 ;
x x 2  7 x  12
б)
lim (sin x  ln x) ;
х0
1  3x 2  1
г) lim
.
2
х0
x
 1
x2
5. Доопределить функцию f ( x)  e
в точке разрыва так,
2
x
чтобы она стала непрерывной.
e5 x  1  5 x
в) lim
;
2
х0
x
6. Проверить, является
эластичной в
точке
ли
функция
xо= 1 .
2
у  4 sin x 2
Задачи для самостоятельной работы
1. Написать уравнение касательной и нормали к кривой:
а) y  х3  3х 2  4 x  2 в точке с абсциссой xо= 1;
б) заданной неявно
точке Mо(2; 1) ;
в) заданной
х 2  4 xy  4 y 2  6 x  3 y  15  0
параметрически
х  t 3; y  t 4
в
в точке tо= 1.
2. В какой точке касательная к кривой
а ) y  х 2  4 х  5 образует с прямой 3x  2 y  7  0 угол
45?
б) 2 y  х3  5x 2  6 x  3
3x  y  5  0 ?
параллельна
прямой
в) y  х3 11х 15 перпендикулярна прямой 2 x  2 y  7  0 ?
3. Вычислить приближенно:
а) arcsin 0,591; б) 3 121 ;
в) sin 29.
4. Найти пределы, используя правило Лопиталя:
2  7x  3
ln(2 x 2  1)
2
x
а) lim
;
б) lim
;
x3 x 2  x  6
х0 3x 2
x  1  ln( x  1) 1
в) lim
;
х0
3x
г)
1  cos(  x)
2
.
lim
x (  2 x) 2
2
5. Доопределить функцию f ( x)  x  ln 2 x в точке разрыва
так, чтобы она стала непрерывной.
6. Проверить, является ли функция у  2 3e x 1
эластичной в точке xо= 1.
7. Найти угол, под которым пересекаются линии
х 2  4 xy  y 2  8x  2 y  9  0 , x  y  1 0 .
Проверочная работа № 5–0
(с решением)
1. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
f ( x)  x3  2 x в точке с абсциссой xо= 1 .
2. Вычислить приближенно
24 .
3
3. Проверить, является ли функция у  sin x  e x 1
эластичной в точке xо= 1.
4. Найти пределы, используя правило Лопиталя:
2  3x 18
ln(1  x 2 )  5x 2
x
а) lim
;
б) lim
.
2
x3 x 2  8x  15
х0
x
Решение проверочной работы № 50.
1. Для определения углового коэффициента касательной находим
производную заданной функции:
f ( x)  3x 2  2 .
Значение производной в точке с абсциссой xо= 1 даёт искомый
угловой коэффициент
k  31 2  5 .
Значение функции f ( x)  x3  2 x в точке xо= 1:
f (1)  13  2 1  3 .
Воспользовавшись уравнением
y  f ( x )  f ( x )  ( x  x ) ,
получим уравнение касательной:
y  3  5  ( x 1) или 5x  y  2  0 ,
а уравнение нормали получим, используя уравнение
1
y  f ( x )  
 ( x  x ) .
f ( x )
Таким образом, уравнение нормали имеет вид:
1
y  3    ( x 1) или x  5 y 16  0 .
5
Ответ: 5x  y  2  0 - уравнение касательной,
x  5 y 16  0 - уравнение нормали.
2. Воспользуемся приближённой формулой
f ( x  x)  f ( x )  f ( x )  x .
Учитывая, что f ( x)  x , xо= 25, x  1 , получим
1
x  x  x 
 x ,
2 x
т.е.
24  25 
Ответ:
24  4,9 .
1
 (1)  4,9 .
2 25
3. Найдём коэффициент эластичности данной функции y  f (x) по
формуле
x  f ( x )
.
E y, x ( x )  
f ( x )
Имеем
x 1)
x  cos x  e
.
E y, x ( x) 
2
3  sin x  e x 1  3 sin x  e x 1




Так как E y, x (1)  1    1, то данная функция является эластичной
в точке xо= 1.
3
Ответ: функция у  sin x  e x 1 является эластичной в
точке xо= 1.
Поскольку lim ( x 2  3x 18)  0 и lim ( x 2  8x  15)  0 ,
x3
x3
то в данном случае имеем неопределённость вида 0 .
0
Воспользуемся правилом Лопиталя:
2  3x 18
( x 2  3x 18)
2x  3
9
x
lim
 lim
 lim
 .
x3 x 2  8x 15 x  3 ( x 2  8x 15) x  3 2 x  8
2
4 а).
4 б). Здесь также имеет место неопределённость вида 0 , так как
0


и
lim x 2  0 .
lim  ln(1  x 2 )  5x 2   0
x0
x0

Применяем правило Лопиталя:
(2 x)

2 )  5x 2 
 10x

ln(
1

x
2
2


2
ln(1  x )  5x
  lim 1  x
lim
 lim 

2
2
x0
2
x
x
x0
x  3
( x )
8x 10x3
8 10x 2
 lim
 lim
4
2
2
x  0 2 x  (1  x ) x  0 2(1  x )
9
Ответ: 4 а)  ; 4 б) 4.
2