Книга Прокопьева для выполнения контрольных работ

ПРЕДИСЛОВИЕ
Физика — наука о природе: о строении, свойствах и взаимодействии
составляющих ее материальных тел и полей. Главная цель этой науки —
выявить и объяснить законы природы, которыми определяются все
физические явления. Физика основывается на экспериментально
установленных фактах. Занимая центральное место среди других наук в
объяснении законов природы, физика играет первостепенное значение в
формировании научного материалистического мировоззрения.
Основными задачами курса физику в вузах являются:
1.
Создание у студентов основ достаточно широкой теоретической
подготовки в области физики, позволяющей будущим инженерам
ориентироваться в потоке научной и технической информации
и обеспечивающей им возможность использования новых физических
принципов в тех областях техники, в которых они специализируются.
2.
Формирование у студентов научного мышления и марксистсколенинского мировоззрения, в частности, правильного понимания
границ применимости различных физических понятий, законов, теорий и
умения оценивать степень достоверности результатов, полученных с
помощью экспериментальных
или
математических
методов
исследования.
3.
Усвоение основных физических явлений и законов классической и
современной физики, методов физического исследования.
4.
Выработка у студентов приемов и навыков решения конкретных задач
из
разных
областей
физики,
помогающих
студентам
в
дальнейшем решать инженерные задачи.
5.
Ознакомление студентов с современной научной аппаратурой
и выработка у студентов начальных навыков проведения экспериментальных
исследований различных физических явлений и оценки погрешностей
измерений.
Цель настоящего учебно-методического пособия — оказать помощь
студентам-заочникам
технологических
и
инженерно-экономических
специальностей высших учебных заведений в изучении курса физики,
В пособии материал курса физики распределен на шесть контрольных
работ. Перед каждым контрольным заданием даются пояснения к рабочей
программе, приводятся основные законы и формулы, примеры решения
задач. Кроме того, в пособии даны общие методические указания, рабочая
программа, примерная схема решения задач, сведения о приближенных
вычислениях, задачи для самостоятельного решения и некоторые справочные
материалы.
Сведения, связанные со спецификой изучения курса физики в данном
вузе, сообщаются студентам кафедрами физики дополнительно.
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Основной
формой
обучения
студента-заочника
является
самостоятельная работа над учебным материалом. Для облегчения этой
работы кафедры физики вузов организуют чтение лекций, практические
занятия и лабораторные работы. Поэтому процесс изучения физики состоит
из следующих этапов: 1) проработка установочных и обзорных лекций;
2) самостоятельная работа над учебниками и учебными пособиями;
3) выполнение контрольных работ; 4) прохождение лабораторного
практикума; 5) сдача зачетов и экзаменов.
При самостоятельной работе над учебным материалом необходимо:
1. Составлять конспект, в котором записывать законы и формулы,
выражающие эти законы, определения основных физических пошипи и
сущность физических явлений и методов исследования.
2. Изучать курс физики систематически, так как в противном случае
материал будет усвоен поверхностно.
3. Пользоваться каким-то одним учебником или учебным пособием
(или ограниченным числом пособий), чтобы не утрачивалась логическая
связь между отдельными вопросами, по крайней мере внутри какого-то
определенного раздела курса.
Контрольные работы позволяют закрепить теоретический материал
курса. В процессе изучения физики студент должен выполнить шесть
контрольных работ. Решение задач в контрольных работах является
проверкой степени усвоения студентом теоретического курса, а рецензии на
работу помогают ему доработать и правильно освоить различные разделы
курса физики. Перед выполнением контрольной работы студенту
необходимо внимательно ознакомиться с примерами решения задач по
данной контрольной работе, уравнениями и формулами, а также со
справочными материалами, приведенными в конце методических указаний.
Прежде чем приступить к решению той или иной задачи, студент должен
хорошо понять ее содержание и поставленные в ней вопросы.
Контрольные работы для специальностей, учебными планами
которых предусмотрено по курсу общей физики шесть контрольных работ,
распределены следующим образом:
1—физические основы механики;
2—молекулярная физика, термодинамика;
3— электростатика, постоянный ток;
4 — электромагнетизм, колебания и волны;
5 — волновая оптика, квантовая природа излучения;
6— элементы атомной и ядерной физики, элементы физики твердого тела.
В данное методическое пособие включены контрольные работы № 1—
6, для этих специальностей.
Контрольные работы для специальностей, учебными планами которых
предусмотрено по курсу общей физики пять контрольных работ,
распределены следующим образом:
1 — физические основы механики, молекулярной физики, термодинамики;
2 — электростатика, постоянный ток;
3 — электромагнетизм, колебание и волны;
4 — волновая оптика, квантовая природа излучения;
5 — элементы атомной и ядерной физики, элементы физики твердого тела.
Для этих специальностей в первую контрольную работу включены
задачи из контрольных работ № 1 и № 2. Они обозначены порядковым
номером, заключенным в скобках. Нумерация последующих контрольных
работ указана в скобках после номеров работ, приведенных в пособии, т. е.
второй контрольной работой для этих специальностей будет работа № 3,
поэтому она имеет двойную нумерацию № 3(2); третьей — 4(3); четвертой
— 5(4); пятой —6(5).
Каждая контрольная работа для студентов-заочников технологических
специальностей включает семь задач, для студентов-заочников инженерноэкономических специальностей — первые шесть задач из соответствующего
варианта. Определение варианта задания проводится по единой для всех
шести контрольных работ таблице вариантов в соответствии с последней
цифрой шифра. Если, например, последняя цифра шифра студента-технолога
7, то в каждой контрольной работе он решает задачи 7, 17, 27, 37, 47, 57 и 67.
Студент-экономист, имеющий тот же шифр, решает те же задачи, исключив
67.
Таблица вариантов
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Номер задач в каждой контрольной работе
1
11
21
31
41
51
61
2
12
22
32
42
52
62
3
13
23
33
43
53
63
4
14
24
34
44
54
64
5
15
25
35
45
55
65
6
16
26
36
46
56
66
7
17
27
37
47
57
67
8
18
28
38
48
58
68
9
19
29
39
49
59
69
10
20
30
40
50
60
70
При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:
1) на титульном листе указывать номер контрольной работы, наименование дисциплины, фамилию и инициалы студента, шифр и домашний
адрес;
2)
контрольную работу следует выполнять аккуратно, оставляя
поля для замечаний рецензента;
3) задачу своего варианта переписывать полностью, а заданные
физические величины выписать отдельно, при этом все числовые величины
должны быть переведены в одну систему единиц;
4)
для пояснения решения задачи, где это: нужно, аккуратно
сделать чертеж;
5) решения задач, и используемые формулы должны сопровождаться
пояснениями;
6) в пояснениях к задаче необходимо указывать те основные
законы и формулы, на которых базируется решение данной задачи;
7)при получении расчетной формулы, которая нужна для решения
конкретной задачи, приводить ее вывод;
8)решение задачи рекомендуется сначала сделать в общем виде, т. е.
только в буквенных обозначениях, поясняя применяемые при
написании формул буквенные обозначения;
9)вычисления следует проводить путем подстановки заданных
числовых величин в расчетную формулу. Все числовые значения величин,
необходимые для решения данной задачи, должны быть выражены в СИ (см.
справочные материалы);
10)проверить единицы полученных величин по расчетной формуле и
тем самым подтвердить правильность ее;
11) точность расчета определяется числом значащих цифр исходных
данных. Константы физических величин и другие справочные данные
выбираются из таблиц;
12)в контрольной работе следует указывать учебники и учебные
пособия, которые использовались при решении задач.
Контрольные работы, представленные без соблюдения, указанных
правил, а также работы, выполненные не по своему варианту, зачитываться
не будут.
При отсылке работы на повторное рецензирование обязательно
представлять работу с первой рецензией.
Во время экзаменационно - лабораторных сессий проводятся лабораторные работы. Цель лабораторного практикума — не только изучить те
или иные физические явления, убедиться в правильности теоретических
выводов, приобрести соответствующие навыки в обращении с физическими
приборами, но и более глубоко овладеть теоретическим материалом.
На экзаменах и зачетах в первую очередь выясняется усвоение
основных теоретических положений программы и умение творчески
применять полученные знания к решению практических задач. Физическая
сущность явлений, законов, процессов должна излагаться четко и достаточно
подробно; решать задачи необходимо без ошибок и уверенно. Любая
графическая работа должна быть выполнена аккуратно и четко. Только при
выполнении этих условий знания по курсу физики могут быть признаны
удовлетворительными.
ЛИТЕРАТУРА
Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1977 и др., т. 1-3.
Зисман Г. А.. Тодес О. М. Курс общей физики. — М.: Наука, 1972—1974, т.
1—3.
Шубин А. С. Курс общей физики. — М.: Высшая школа, 1975.
Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики.— М.:
Наука, 1978.
Чертов А. Г., Воробьев А. А. Задачник по физике/Под ред. А. Г.
Чертова. — М.: Высшая школа, 1981.
Фирганг Е. В. Руководство к решению задач по курсу общей физики.
— М.: Высшая школа, 1978.
Яворский Б, М., Детлаф А. А. Справочник по физике. — М.: Наука,
1980.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Рабочая
программа
составлена на основе программы курса
физики для инженерно-технических специальностей высших учебных
заведений, утвержденной Учебно-методическим управлением по высшему
образованию 26 июня 1981 г.
ВВЕДЕНИЕ
Предмет физики. Методы физического исследования: опыт, гипотеза,
эксперимент, теория. Роль физики в развитии техники и влияние техники на
развитие физики. Связь физики с марксистско-ленинской философией и
другими науками.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Механическое движение как простейшая форма движения материи.
Представление о свойствах пространства и времени. Преобразования
Галилея. Механический принцип - относительности. Классический закон
сложения скоростей. Постулаты специальной теории относительности.
Преобразования Лоренца. Понятие одновременности. Релятивистское
изменение длин и промежутков времени. Релятивистский закон сложения
скоростей.
Поступательное движение твердого тела. Закон инерция и инерциальные системы отсчета. Второй закон Ньютона. Центр масс
(центр инерции) механической системы в закон его движения. Закон
сохранения количества движения. Энергия как универсальная, мера
различных форм движения и взаимодействия. Работа силы и ее выражение
через криволинейный интеграл. Закон сохранения энергии. Понятие о
релятивистской динамике. Основной закон релятивистской динамики
материальной точки. Релятивистское выражение для кинетической энергии.
Взаимосвязь
массы
и
энергии.
Соотношение
между
полной энергией и импульсом частицы. Границы применимости
классической механики.
Поле как форма материи, осуществляющая силовое взаимодействие
между частицами вещества. Потенциальное поле сил. Потенциальная анергия
материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой,
действующей на материальную точку. Понятие о градиенте скалярной
функции. Напряженность, потенциал поля. Принцип суперпозиции. Закон
сохранения механической энергии и его связь с однородностью времени.
Удар абсолютно упругих и неупругих тел. Закон сохранения и превращения
энергии как проявление неуничтожимости материи и ее движения.
Элементы кинематики вращательного движения. Угловая скорость и
угловое ускорение, их связь с линейными величинами. Момент силы.
Момент количества движения тела относительно неподвижной оси
вращения. Момент инерции тела относительно оси. Уравнение динамики
вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа при вращательном
движении. Закон сохранения количества движения.
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ
И ТЕРМОДИНАМИКИ
Статистический метод исследования и его связь с учением диалектического материализма о соотношении случайности и необходимости.
Вывод уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов для
давления. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярнокинетическое толкование термодинамической температуры. Число степеней
свободы молекул. Закон равномерного распределения энергии по степеням
свободы молекул. Закон Максвелла для распределения молекул идеального
газа по скоростям и энергиям теплового движения. Закон Больцмана для
распределения частиц во внешнем потенциальном поле. Среднее число
столкновений и средняя длина свободного пробега молекул.
Явления переноса в термодинамических неравновесных системах.
Опытные законы диффузии, теплопроводности и внутреннего трения.
Молекулярно-кинетическая теория этих явлений. Термодинамический
метод исследования. Термодинамические параметры. Равновесные
состояния и процессы, их изображения на термодинамических диаграммах.
Работа газа при изменении его Объема. Количество теплоты. Теплоемкость.
Первое начало термодинамики. Применение первого начала термодинамики
к изопроцессам и адиабатному процессу идеального газа.
Классическая молекулярно-кинетическая теория тёплоемкостей
идеальных газов и ее ограниченность. Обратимые и необратимые процессы.
Круговые процессы (цикл). Цикл Карно и его КПД для идеального газа.
Энтропия. Энтропия идеального газа. Второе начало термодинамики.
Статистическое
толкование
второго
начала
термодинамики.
Отступление от законов идеального газа. Реальные газы.
Уравнение Ван-Дер-Ваальса. Сравнение изотерм Ван-дер-Ваальса с
экспериментальными. Критическое состояние вещества. Фазовые переходы 1
и II рода. Внутренняя энергия реального газа.
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Закон сохранения электрического заряда. Электрическое поле.
Основные характеристики электростатического поля — напряженность и
потенциал поля. Напряженность как градиент потенциала. Поток вектора
напряженности. Теорема Остроградского — Гаусса и ее применение к
расчету поля. Электрическое поле в веществе. Свободные и связанные
заряды в диэлектриках. Электронная и ориентационная поляризации.
Поляризованность. Теорема Остроградского — Гаусса для электрического
поля в диэлектрике. Электрическое смещение. Диэлектрическая
проницаемость среды. Сегнетоэлектрики.
Поле внутри проводника и у его поверхности. Распределение зарядов в
проводнике. Электроемкость уединенного проводника. Конденсаторы.
Энергия заряженного уединенного проводника, конденсатора.
Энергия
электростатического поля. Объемная плотность энергии.
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Постоянный электрический ток,
его характеристики и условия
существования. Классическая электронная теория электропроводности
металлов.
Вывод
закона Ома в дифференциальной форме из
электронных представлений. Обобщенный закон Ома в интегральной
форме. Разность потенциалов,
электродвижущая сила, напряжение.
Границы применимости закона Ома. Ток в газах. Плазма. Дебаевский
радиус экранирования. Работа выхода электронов из металла.
Термоэлектронная эмиссия.
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Магнитное поле. Магнитная индукция. Закон Ампера. Магнитный
поток Контур с током в магнитном поле. Закон Био — Савара — Лапласа и
его применение к расчету магнитного поля. Вихревой характер магнитного
поля. Закон полного тока. Работа по перемещению проводника и контура с
током в магнитном поле. Действие магнитного поля на движущийся заряд.
Сила Лоренца. Принцип действия циклических ускорителей заряженных
частиц. Эффект Холла.
Явление электромагнитной индукции.
Закон электромагнитной
индукций. Закон
Ленца.
Явление самоиндукции.
Индуктивность.
Энергия системы проводников с током. Объемная плотность энергии
магнитного поля.
Магнитные моменты атомов. Намагниченность. Типы магнетиков
Элементарная теория диа- и парамагнетизма. Магнитная восприимчивость
вещества. Напряженность магнитного поля. Магнитная проницаемость
среды. Ферромагнетики. Кривая намагничивания. Магнитный гистерезис.
Точка Кюри.
Основы теории Максвелла для электромагнитного поля. Ток смещения.
Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в интегральной и
дифференциальной формах. Относительный характер электрической и
магнитной составляющих электромагнитного поля.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Гармонические колебания (механические и электромагнитные) и их
характеристики. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
Математический, физический маятники. Электрический колебательный
контур. Энергия гармонических колебаний. Сложение гармонических
колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения. Сложение
взаимно перпендикулярных колебаний. Дифференциальное уравнение
затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение.
Апериодический процесс. Дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний, (механических и электромагнитных) и его решение. Амплитуда и
фаза вынужденных колебаний. Случай резонанса.
Механизм образования механических волн в упругой среде.
Продольные и поперечные волны. Уравнение бегущей волны. Волновое
уравнение. Фазовая скорость и дисперсия волн. Энергия волны. Принцип
суперпозиции волн. Групповая скорость. Когерентность. Интерференция
воли. Образование стоячих волн. Уравнение стоячей волны и его анализ.
Дифференциальное уравнение электромагнитной волны. Основные
свойства электромагнитных волн. Энергия электромагнитных вода. Поток
энергии. Вектор Умова—Пойнтинга. Излучение диполя.
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Интерференция света. Когерентность и монохроматичность световых
волн. Время и длина когерентности. Расчет интерференционной картины от
двух когерентных волн. Оптическая длина пути. Интерференция света в
тонких пленках. Интерферометры. Дифракция света. Принцип Гюйгенса—
Френеля. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света.
Дифракция Френеля на круглом отверстии. Дифракция Фраунгофера на
одной щели и на решетке. Разрешающая способность оптических приборов.
Дифракция на пространственной решетке. Формула Вулъфа—Брэгга.
Исследование структуры кристаллов. Понятие о голографии. Поляризация
света. Естественный и поляризованный свет. Поляризация света при отражении. Закон Брюстера. Двойное лучепреломление. Закон Малюса.
Искусственная оптическая анизотропия. Дисперсия света. Области
нормальной и аномальной дисперсии. Электронная теория дисперсии света.
Излучение Вавилова—Черенкова.
КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
Тепловое излучение. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа.
Распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела.
Квантовая гипотеза и формула Планка. Закон Стефана-Больцмана. Законы
Вина. Оптическая пирометрия. Внешний фотоэффект и его законы. Фотоны.
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Многофотонный
фотоэффект. Эффект Комптона и его теория. Давление света. Опыты
Лебедева. Квантовое и волновое объяснение давления света. Диалектическое
единство корпускулярных и волновых свойств электромагнитного излучения.
ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ
И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Опытное обоснование корпускулярно-волнового дуализма свойств
вещества. Формула де Бройля. Соотношение неопределенностей как
проявление корпускулярно-волнового дуализма свойств материи. Волновая
функция и ее статистический смысл. Ограниченность механического
детерминизма. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.
Туннельный эффект. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной
яме». Квантование энергии и импульса частицы. Главное, орбитальное и
магнитное квантовые числа.
Опыт Штерна и Герлаха. Спин электрона. Спиновое квантовое число.
Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны.
Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям.
Поглощение, спонтанное и вынужденное излучение. Лазер.
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА
И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Заряд, размер и масса атомного
ядра.
Массовое и зарядовое
числа. Состав ядра по Иваненко—Гейзенбергу.
Нуклоны.
Дефект
массы и энергия связи ядра. Взаимодействие нуклонов и понятие о
свойствах природе ядерных сил.
Закономерности и происхождение альфа-, бета- и гамма-изулучений
атомных ядер. Ядерные реакции и законы сохранения. Реакция деления ядра.
Цепная реакция деления. Понятие о ядерной энергетике. Реакция синтеза
атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций. Элементарные
частицы. Их классификация и
взаимопревращаемость. Четыре типа
фундаментальных взаимодействий.
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Кристаллическая решетка. Характер теплового движения в кристаллах.
Фононы. Теплоемкость кристаллической решетки. Характеристическая
температура Дебая. Закон Дюлонга — Пти. Теория Эйнштейна. Модель
Дебая. Элементы зонной теории твердых тел. Распределение электронов
проводимости в металле по энергиям при абсолютном нуле. Энергия Ферми.
Влияние температуры на распределение электронов. Вырожденный
электронный газ. Электропроводность металлов. Сверхпроводимость.
Энергетические зоны в кристаллах. Распределение электронов по
энергетическим зонам. Валентная зона и зона проводимости. Металлы,
диэлектрики, полупроводники. Уровень Ферми. Примесная проводимость
полупроводников, р-n-переход и его вольт-амперная характеристика.
Понятия об основных проблемах современной физики.
СВЕДЕНИЯ О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
При решении физических задач числовые значения, с которыми
приходится: иметь дело, большей частью являются приближенными. Задачи
с приближенными данными нужно решать с соблюдением правил подсчета
значащих цифр. Значащими называют все цифры, кроме нуля, а также и нуль
в двух случаях: 1) когда он стоит между значащими цифрами; 2) когда он
стоит в конце числа и известно, что единицы соответствующего разряда в
данном числе нет.
Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих
правил.
1. Так как с помощью вычислений получить результат более точный,
чем исходные данные, невозможно, то достаточно производить вычисления
тс числами, содержащими не более знаков, чем в исходных данных.
2. При сложении или вычитании приближенных чисел, имеющих
различную точность, более точное должно быть округлено до точности
менее точного. Например:
9,6 + 0,176 = 9,64 + 0,2 = 9,8;
100,8 — 0,427 =100,8 — 0,4 = 100,4.
3. При умножении и делении следует в полученном результате
сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное
данное с наименьшим количеством значащих цифр. Например:
0,637  0,023 =0,0132, но не 0,0132496;
6,32:3=2, но не 2,107.
4. При возведении в квадрат или куб нужно сохранять столько
значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степей число. Например:
1,252=1,56, но не 1,5625; 1,013=1,03, но не 1,030301.
5. При извлечении квадратного и кубического корней в результате
нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет
подкоренное число. Например:
10 = 3,1, но не 3,162; 3 10 =2,1, но не 2,154.
6. При вычислении сложных выражений соблюдаются правила в
зависимости от вида производимых действий.
7. Когда число мало отличается от единицы, можно пользоваться
ниже приведенными приближенными формулами.
Если a, b, с малы по сравнению с единицей (меньше 0,05), то:
1) (1 ± а)(1 ±b)(1 ± с) =1 ± а ±b ± с;
2) 1  a = 1 ± а/2
3) (1 ±а)n = 1 ±na;
4) 1/(1 ±а)n = 1 ±nа;
5) 1/(1 ± а) = 1 ±a;
6) еa=1 + a;
7) ln(1 ±a) = ±а — a2/2.
8. Если угол  «5° и выражен в радианах, то в первом приближении
можно принять
sin  = tg  =  ; соs  = 1.
Соблюдая эти правила, студент сэкономит время на вычислении
искомых величин при решении физических задач.
ПРИМЕРНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Предложить единую схему решения задач невозможно. Однако можно
рекомендовать определенную последовательность при решении задач.
Приступая к решению задач по какому-либо разделу, необходимо
ознакомиться по учебной литературе и данному методическому пособию с
конкретными физическими понятиями и соотношениями этого раздела.
Разобрать приведенные в пособии примеры решения задач изучаемого
раздела.
При решении задач целесообразно придерживаться следующей схемы:
1) по условию задачи представьте себе физическое, явление, о
котором идет речь. Сделайте краткую запись условия, выразив исходные
данные в единицах СИ;
2)сделайте, где это необходимо, чертеж, схему или рисунок,
поясняющий описанный в задаче процесс;
3)
напишите уравнения или систему уравнений отображающих
физический процесс;
4)используя, чертежи и условие задачи, преобразуйте уравнения так,
чтобы в них входили лишь исходные, данные табличные величины
5) решив задачу в общем виде, проверьте ответ по равенству
размерностей величин, входящих в расчетную формулу;
6) произведите вычисления и, получив числовой ответ, оцените его
реальность.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Движение
точки
описывается
уравнением:
s=2t3—10t2+8.
Найти скорость и ускорение точек в момент t=4 с. Построить график
скорости и ускорения.
2. Уравнение вращения твердого тела: φ=3t2+t. Определить
число оборотов твердого тела, угловую скорость и ускорение через
10 с после начала вращения.
3. Материальная точка, находящаяся в покое, начала двигаться по
окружности с постоянным тангенциальным ускорением 0,6м/с 2.
Определить нормальное и полное ускорения точки в конце пятой
секунды после начала движения. Сколько оборотов сделает точка за
это время, если радиус окружности 5 см?
4. Диск, вращаясь вокруг оси, проходящей через его середину,
делает
180 об/мин. Определить линейную скорость вращения то
чек на внешней окружности диска и его радиус, если известно, что
точки, лежащие ближе к оси вращения на 8 см, имеют
скорость
8м/с.
5. Снаряд массой 20 кг, летевший горизонтально, попадает в
платформу с песком массой 10 кг и застревает в песке. С какой скоростью
летел снаряд, если платформа начинает двигаться со скоростью 1 м/с?
27
6. Частица массой 6,5  10 кг упруго соударяется с частицей
массой 1,1  10
кг, находящейся в покое. После удара первая частица
движется в направлении, противоположном первоначальному. Во сколько
раз изменилась энергия первой частицы?
7.
Катящийся цилиндр массой 2 кг остановлен силой 9,81 Н
на пути в 0,5 м. Вычислить скорость цилиндра до торможения.
8.
Маховик и легкий шкив насажены на горизонтальную ось. К
шкиву с помощью нити привязан груз, который, опускаясь равноускоренно,
прошел путь 2 м за 4 с. Момент инерции маховика 0,05 кг *м2.
Определить массу груза, если радиус шкива 6 см, а массой его можно
пренебречь.
9. Во сколько раз кинетическая энергия, которую необходимо
сообщить телу для удаления его за пределы земного тяготения,
больше кинетической энергии, необходимой для того, чтобы это
тело вывести на круговую орбиту искусственного спутника Земли,
вращающегося на высоте 3000 км над её поверхностью.
10. Определить период обращения
искусственного
спутника
Земли, если известно, что он вращается по круговой орбите радиусом
7800 км.
11. В точках А и В, расположенных на расстояниях 3 и 2,4 м от точки
С, находятся два источника синусоидальных
колебаний. Амплитуды
колебаний равны
соответственно 16 и 12 см, начальные фазы 30 и 90°,
частота колебаний одинакова. Найти амплитуду результирующего колебания
23
в точке С.
12.В
баллоне емкостью 30 л находится сжатый воздух при
температуре 17 °С. После того как часть
воздуха
израсходовали,
давление понизилось на 2 МПа. Какое количество
воздуха
было
израсходовано, если температура его оставалась постоянной?
13.Сколько молекул азота находится, в сосуде емкостью 1 л,
если средняя квадратичная скорость
движения
молекул
азота
500 м/с, а давление на стенки сосуда 1 кПа?
14. Сколько столкновений происходит между молекулами воздуха за 1
с в 1 см3 при температуре 7°С, если плотность воздуха 0,05 кг/м3.
15. Вычислить коэффициент диффузии воздуха при давлении
105 Па и температуре 17 °С.
16. Определить молярную массу газа, если его удельные теплоемкости
равны:
cv=
650
Дж/( кг  К ),
ср=910
Дж/( кг  К ).
Чему
равны молярные теплоемкости cv и ср этого газа?
17. Определить полную энергию молекул кислорода, находящихся
при температуре 47 °С, если его масса 64 кг. Какова энергия
молекул кислорода, приходящаяся на вращательное движение?
18. Азот массой 2 кг при температуре 47°С и давлении 105 Па сжимают
до давления 106 Па. Определить работу, затраченную на сжатие, если газ
сжимают: 1) изотермически, 2) адиабатно.
19. При изобарном расширении 1 кг воздуха его объем увеличился на
100 л. Найти температуру и работу при расширении, если начальное
давление 105 Па, а начальная температура 15 °С.
20. Определить изменение, энтропии при изотермическом раширении
1 г водорода, если объем газа увеличился в три раза.
21. При изобарном расширении 2 г гелия объем изменился в
10 раз. Каково изменение энтропии?
.
22. Тепловая машина работает по циклу Карно. Температура
нагревателя 127°С, холодильника 15°С. На сколько надо изменить
температуру нагревателя (при неизменной температуре холодильника),
чтобы увеличить КПД машины в два раза?
23. Азот массой 14 кг занимает объем 0,5 м3 при температуре О°С.
Пользуясь уравнением, Ван-дер-Ваальса, найти, на сколько надо изменить
температуру
газа,
чтобы
давление
увеличилось
вдвое.
24. В сообщающихся капиллярных трубках с диаметрами 1 и 1,5 мм
разность уровней ртути 5 мм. Определить поверхностное натяжение ртути.
25. Во сколько раз сила электрического взаимодействия двух
электронов
больше
их
гравитационного
взаимодействия?
26. Два проводящих шарика массой по 0,004 кг каждый подвешены в
воздухе на непроводящих нитях длиной 205 см к одному
крючку. Шарикам сообщили равные одноименные заряды, вследствие чего
шарики разошлись на расстояние 90 см. Определить заряд
шарика.
27. Электрон движется вокруг ядра водорода по круговой орбите
радиусом 5,29  10 см. Определить скорость электрона на этой орбите.
28. Определить потенциал поля, образованного диполем, в точках
плоскости, перпендикулярной его оси и проходящей через середину отрезка,
соединяющего заряды диполя.
29. В центре куба помещен заряд 10,6 нКл. Определить число
силовых линий, проходящих грань куба.
30. Обкладки плоского конденсатора помещены в керосин. Какую,
работу надо совершить, чтобы раздвинуть обкладки конденсатора на
расстояние от 2 до 11 км, если они заряжены до напряжения 600 В и
отключены от источника? Площадь каждой обкладки 628 см2.
31. В центре квадрата расположен положительный заряд
0,25 мкКл. Какой заряд надо поместить в каждой вершине квадрата,
чтобы система зарядов находилась в равновесии? Что можно сказать о знаке
зарядов?
32. Между плоскими горизонтальными пластинками, заряженными
19
равномерно, помещена пылинка массой 10-12 кг с зарядом 4,8  10 Кл.
9
Какова плотность зарядов на пластинах,
если
пылинка находится в
равновесии?
33. Площадь каждой обкладки плоского воздушного конденсатора
314 см3, расстояние между ними 2 мм. Напряженность поля между
обкладками 60 кВ/м. Какую работу нужно затратить, чтобы вдвинуть между
обкладками конденсатора стеклянную пластину, если она полностью
заполняет конденсатор и конденсатор после зарядки отключен от источника
напряжения?
34. Расстояние между обкладками плоского конденсатора равно 8 мм,
площадь обкладок 62,8 см2. Какую работу нужно затратить, чтобы вдвинуть
между обкладками конденсатора стеклянную пластинку той же площади и
толщиной 6 мм, если конденсатор присоединен к источнику напряжения
600 В?
35. По двум параллельным проводникам текут токи силой 8 и 12 А.
Расстояние между проводниками 20 см. Найти геометрическое место точек, в
которых магнитная индукция поля токов равна нулю. Направления токов
выбрать самостоятельно.
36. По изолированному проводнику, имеющему форму кольца
радиусом 25 см, течет ток силой 15 А. Два прямых бесконечно длинных
проводника — один в плоскости кольцевого
проводника,
другой перпендикулярно ей — касаются кольцевого проводника в точках,
лежащих на противоположных концах диаметра. Силы токов в проводниках
10 и 20 А. Определить напряженность в центре кольцевого проводника при
произвольно выбранном направлении, токов. Решение пояснить рисунком.
37. Два проводника в виде полуколец лежат в одной плоскости и
имеют общий центр. Определить напряженность в центре полуколец при
следующих данных: радиус первого полукольца 10 см; второго — 20 см, токи
текут
в
одном
направлении
и
соответственно
равны 1 и 4 А. Поле от подводящих проводников не учитывать.
38. В средней части длинного соленоида
находится
отрезок:
проводника с током силой 4 А и длиной 2 см, который расположен
перпендикулярно оси соленоида. На этот отрезок проводника действует сила
1,0  10 5 Н. Определить силу тока в обмотке соленоида при условии, что на
1 см длины соленоида приходится 10 витков и сердечник отсутствует,
39. Квадратная рамка площадью 20 см2, состоящая из тысячи витков,
расположена в однородном поле перпендикулярно полю с индукцией 10-3
Тл. В течение 0,02 с рамку удалили за пределы поля. Какая ЭДС наводится в
рамке?
40. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией 4 Тл
движется прямолинейный проводник длиной 1 м со скоростью 25 м/с
перпендикулярно магнитному полю.
Вектор магнитной индукции
перпендикулярен проводнику и вектору скорости. Концы проводника
соединены гибким проходом вне поля. Общее сопротивление цепи 5 Ом.
Определить мощность, необходимую для движения проводника.
41.Напряженность магнитного поля замкнутого кольцеобразного
соленоида
равна 5600 А/м. Средний диаметр кольца 20 см,
площадь сечения магнитопровода 5 см2. Магнитная проницаемость
сердечника 800 Гн/м. Найти энергию магнитного поля соленоида.
42.Однородное электрическое поле напряженностью 20 кВ/м
и однородное
магнитное напряженностью
3200 А/м
взаимно
перпендикулярны. В этих полях прямолинейно движется электрон.
Определить скорость электрона.
43. Индуктивность колебательного контура 5 мкГн. Он настроен на
длину волны 100 м. Определить электроемкость контура.
44. Колебательный контур состоит из катушки, имеющей
10
3
витков на 1 см и объем 30 см , и плоского конденсатора, расстояние между
обкладками
которого
0,5
см.
Площадь обкладок
по
2
15 см . Диэлектриком служит воздух. На какую длину волны будет
резонировать этот контур?
45. Какова наименьшая толщина мыльной пленки, если при наблюдении под углом 30° к поверхности мыльной пленки в отраженном свете
она окрашивается в фиолетовый цвет? Длина волны падающего света
λ = 0,4мкм.
46. На дифракционную решетку, имеющую 500
штрихов
на
1 мм, падает свет с длиной волны 600 нм. Определить наибольший
порядок спектра, который можно получить данной решеткой.
47. Угол между спектрами вторых порядков равен 36°. Определить
длину
волны
света,
падающего
на
дифракционную
решетку
с=4 мкм.
48. Найти угол полной поляризации при отражении от черного
зеркала. Показатель преломления его n =1,327.
49. Под каким углом к горизонту должно находиться Солнце,
чтобы
поляризация солнечного света, отраженного от поверхности
воды, была максимальной?
50. Определить показатель преломления стекла, если при отражении
света от этого стекла отраженный свет будет полностью поляризован при
угле преломления 30°.
51. Во сколько раз уменьшится интенсивность естественного
света при прохождении его через два николя, плоскости поляризации
которых составляют 60°?
52. Красная граница фотоэффекта для
некоторого
металла
0,66 мкм. Металл освещается светом, длина волны которого 0,4
мкм. Определить максимальную скорость электронов, выбиваемых
светом из металла.
53. Фотон с энергией 0,500 МэВ рассеялся на свободном электроне под
углом 60°. Найти энергию рассеянного фотона, кинетическую энергию
и
импульс
отдачи.
Считать,
что
кинетической
энергией электрона до соударения можно пренебречь.
54. Определить массу и импульс фотона, энергия которого равна
10 кэВ.
55. Энергия электрона возбужденного атома водорода 0,85 эВ.
Вычислить длину волны де Бройля для электрона.
56. Определить частоту света, излучаемого двукратно ионизированным атомом лития при переходе электрона на уровень с главным
квантовым числом 2, если радиус орбиты электрона изменился в 9 раз.
57. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра 147 N .
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. 16 м/с; 28 м/с2. 2. 6 с-1; 49. 3. 180 м/с2; 180,01 м/с2; 24. 4. 4,5 м/с; 0,23 м. 5.
501 м/с. 6. В 0,79 раза. 7. 1,81 м/с. 8. 0,36 кг. 9. В 2,93 раза. 10. 1,9 ч. 11. 14,4
4
20
8
см. 12. 720 г. 13. 2,58  10 . 14. 2,05  10 с-1. 15. 1,4  10
м2/с. 16.
32  10 3 кг/моль; 20,8 Дж/(моль-К); 29,1 Дж/(моль-К). 17. 12,5 кДж; 5 кДж. 18.
382 кДж; 390 кДж. 19. 50 °С; 10,13 кДж. 20. 4,57 Дж/К 21. 19 Дж. 22. На 250
К. 23. На 260 К. 24. 0,5 Н/м. 25. В 4,2-1040 раз. 26. 90 мкКл. 27. 2,19-106 м/с.
7
28. 0. 29. 200. 30. 0,45 мДж. 31. 0,26 нКл. 32. 1,8  10 Кл/м2. 33. —0,86 мкДж.
34. 2,25 мкДж. 35. 0,08 м; 0,4 м. 36. 64 А/м; 41 А/м. 37. 30 А/м. 38. 0,1 А. 39.
0,1 В. 40. 2 кВт. 41. 4,9 Дж. 42. 5000 км/с. 43. 560 пФ. 44. 18,84 м. 45. 81 нм.
5
46. 3. 47. 602 нм. 48. 53°. 49. 37°. 50. 1,73. 51. В 8 раз. 52. 6,05  10 м/с. 53.
0,235  10 21 кг  м / с .
1,78  10 32 кг;
0,335
МэВ;
0,165
МэВ;
54.
5,34  10 24 кг  м / с . 55. 1,3 нм. 56. 6,58  1015 Гц. 57. 0,112 а. е. м.; 104,6 МэВ.
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ
I.ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
ПОЯСНЕНИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ
Изучать основы классической механики надо исходя из представлений
современной физики, в которой основные понятия классической механики не
утратили своего значения, а лишь получили дальнейшее развитие, обобщение
и критическую оценку с точки зрения их применения. Следует помнить, что
механика — это наука о простейших формах, движения материальных тел и
происходящих при этом взаимодействиях между телами. Движение всегда
существует в пространстве и во времени. Диалектический материализм учит,
что пространство и время являются основными формами существования
материи. Предметом классической механики является движение
макроскопических материальных тел, совершаемое со скоростями, малыми
по сравнению со скоростью света в вакууме. Движение частиц со скоростями
порядка скорости света рассматривается в теории относительности, а
движение микрочастиц изучается в квантовой механике.
Контрольная работа № 1 построена таким образом, что она дает
возможность проверить знания студентов по ключевым вопросам
классической механики и элементам специальной теории относительности.
Решая задачи по кинематике, в которых необходимо использовать
математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления,
студент должен научиться определять мгновенные скорость и ускорение по
заданной зависимости координаты от времени и решать обратные задачи.
Задачи на динамику материальной точки и поступательного движения
твердого тела охватывают такие вопросы, как закон движения центра масс
механической системы, закон сохранения количества движения, работа силы
и ее выражение через криволинейный интеграл, связь кинетической энергии
механической системы с работой сил, приложенных к этой системе, закон
сохранения механической энергии. Тщательного изучения и понимания
требуют вопросы о поле как форме материи, осуществляющей
взаимодействие между частицами вещества или телами, о потенциальной
энергии материальной точки во внешнем поле и потенциальной энергии механической системы. Эти вопросы рассматриваются в задачах на примере
гравитационного поля.
В задачах на кинематику и динамику вращательного движения
твердого тела главное внимание уделялось изучению соотношений между
линейными и угловыми характеристиками, понятий момента силы, момента
инерции тела, законов сохранения количества движения, моментаколичества движения и механической энергии.
В контрольную работу включены задачи по элементам специальной
теории относительности, которые охватывают следующие вопросы;
относительность одновременности, длин и промежутков времени,
релятивистский закон сложения скоростей, зависимость релятивистской
массы от скорости, соотношение между релятивистской массой и полной
энергией. Решая эти задачи, студент должен усвоить, что законы
классической механики имеют границу применимости и что они получаются
как следствие теории относительности с → ∞.
Задачи в контрольной работе расположены приблизительно в том
порядке, в каком соответствующие вопросы рассматриваются в рабочей
программе.
Основные законы и формулы
Скорость мгновенная
Ускорение:
мгновенное
тангенциальное
нормальное
полное
Скорость угловая
То
же,
для
равномерного
вращательного
движения
равнопеременного
вращательного
движения
Ускорение угловое
Уравнения
Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими
движение точки по окружности
Второй
закон
Ньютона
для
поступательного
движения
Сила, действующая на тело массы m (m=const)
Количество движения материальной точки массы т, движущейся со
скоростью v
Сила, действующая на тело, движущееся по окружности радиуса r
Закон сохранения количества движения для изолированной системы
Сила трения (скольжения)
Скорости шаров массами m1 и m2 после абсолютно упругого центрального
удара
Скорость шаров массами m1 и m2 после абсолютного неупругого удара
Работа переменной силы на пути s
Мощность
Сила упругости
Сила гравитационного взаимодействия
Потенциальная энергия:
упругодеформированного
тела
(работа
упругой
силы)
гравитационного взаимодействия тела, находящегося в однородном поле
тяжести
Кинетическая энергия тела
Закон сохранения механической энергии
Напряженность гравитационного поля Земли
Потенциал гравитационного ноля Земли
Момент инерции материальной точки
Моменты инерции некоторых тел массой т:
полого и сплошного цилиндров (или
вращения,
совпадающей
диска) радиуса R относительно оси
с
осью
цилиндра
шара радиуса R относительно оси вращения, проходящей через центр масс
шара
тонкого стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню и
проходит через центр масс стержня
то же, но ось вращения проходит через один из концов стержня
тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера)
Момент силы относительно оси вращения
Основное
уравнение
динамики
вращательного
движения
То же, при J=const
Закон сохранения момента количества движения для изолированной системы
Кинетическая энергия вращающегося тела
Работа при вращательном движении
Энергия покоя частицы
Теорема сложения скоростей в теории относительности
Зависимость массы частицы от скорости V, сравнимой со скоростью света
Полная энергия частицы, движущейся со скоростью V, сравнимой со
скоростью света
Кинетическая энергия релятивистской частицы
Зависимость длины тела и времени от скорости в релятивистской механике
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Движение тела массой 1 кг задано уравнением s=6t3+3t+2. Найти
зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу,
действующую на тело в конце второй секунды.
Решение. Мгновенную скорость находим как производную от пути по
времени:
v = ds/dt; v = 18t3+3.
Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по
времени или второй производной от пути по времени:
a = dv/dt=d2 s/dt2 ; a = 36t.
Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F=mа,
где a согласно условию задачи — ускорение в конце второй секунды. Тогда
F = m*36t; F= 1 кг*36*2 м/с2 = 72 Н.
Ответ: v = 18t2+3; а = 36t; F = 72 Н.
2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью 0,8 с.
Какой покажется наблюдателю его длина?
Дано: l0=1 м, v = 0,8 с.
Найти l.
Решение. Зависимость длины тела от скорости в релятивистской
механике выражается формулой
, где l0— длина
покоящегося стержня; v — скорость его движения; с— скорость
света в вакууме. Подставляя в формулу (1) числовые значения,
имеем
Ответ: l = 0,6 м.
3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями: 1) v=0,5 с и
u=0,75 с; 2) v = с и u=0,75 с. Найти их относительную скорость в первом и
втором случаях.
Дано: 1) v=0,5 с, u=0,75 с; 2) v = с, u=0,75 с.
Найти: u’1, u’2 .
Решение. Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности
где v, и — скорости соответственно первой и второй частиц; u' — их
относительная скорость; с— скорость света в вакууме. Для первого и второго
случаев находим:
Это значит: во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость
процесса
не может превзойти скорость света;
во-вторых, скорость
распространения света в вакууме абсолютна.
Ответ: u’1 =0,91 с; u’2=с.
4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два
свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг (рис. 1). Шары соприкасаются между
собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на
угол а=60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после
столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить
энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.
Дано: m1 = 0,5 кг,m2=1 кг, а=60°; l=0,8 м.
Найти: h1, ∆Eд .
Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут
двигаться с общей скоростью v. Закон сохранения количества движения при
этом ударе имеет вид m1v1 + m2v2= (m1 + m2)v . (1)
Здесь v1 и v2 — скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара
равна нулю (v2 = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон
сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол α (см. рис. 1)
ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в
кинетическую: m1gh = m1v12/2.
Из рисунка видно, что h1 = l (1- cos α)=2l sin2(α /2), поэтому
(2)
Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:
V=m1v1/( m1+m2)=2 m1
gl sin (α/2)/(m1+m2). (3)
Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в
потенциальную: ( m1+m2)v2/2= ( m1+m2)gh, (4) где h — высота поднятия
шаров после столкновения. Из формулы (4) находим h=v2/(2g), или с учетом
(3)
2
2m1 l sin 2 (/2)
h=
(m1  m 2 ) 2
h = 2(0,5 кг)2*0,8 м*0,25/(0,5 кг + 1 кг)2 = 0,044 м.
При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их
деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических
энергий до и после удара: ∆Eд=1/2m1v12-1/2(m1+m2)v2. Используя уравнения
(2) и (3), получаем

m1  2
 sin  / 2  ;
 Д = 2 glm1 1 
m

m

1
2 
2
∆Eд = 2*9,81 м/с *0,8 м*0,5 кг(1—0 5 кг/1,5кг)*0,25 = 1,3 Дж.
Ответ: h=0,044 м, ∆Eд =1,3 Дж.
5. Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию,
лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг.
Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на
деформацию изделия. Систему молот—изделие—наковальня считать
замкнутой.
Дано: m1 = 70 кг, h=5 м, m2=1330 кг.
Найти Ед.
Решение. По условию задачи система молот—изделие—наковальня
считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения
энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия,
равна разности значений механической энергии системы до и после удара.
Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия
тел, т. е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара
пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем
Ед= 1 /2m1 v2 - 1 /2 (m1+m2) v'2,
(1)
Где v — скорость молота в конце падения с высоты h; v' — общая скорость
всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с
высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по
формуле v= 2 gh (2)
Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем,
применив закон сохранения количества движения
(3)
Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет
вид m1v=(m1+m2)v', откуда v' = m1v/(m1 + m2). (4) Подставив в формулу (1)
выражения (2) и (4), получим
m2
Ед = m1 gh
;
m1  m2
Ед = 70 кг*98 м/с2*5 м * (1330 кг/(1330 кг + 70 кг))= 325,85 Дж.
Ответ: Ед = 325,85 Дж.
6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно.
Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением
s = 2t2+4t+1. Определить работу силы за 10 с с начала ее действия и
зависимость кинетической энергии от времени.
Дано: m=1 кг, s = 2t2 +4t+1.
Найти: A, T = f(t).
Решение. Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный
интеграл А=
(1). Сила, действующая на тело, по второму закону
Ньютона равна F=mа или F=m(d2s/dt2) (2). Мгновенное значение ускорения
определяется первой производной от скорости по времени или второй
производной от пути по времени.
В соответствии с этим находим
v=ds/dt= 4t+4; (3) a=d2s/dt2=4 м/с2. (4)
Тогда F = m (d2s/dt2) =4m.
(5)
Из выражения (3) определим ds:
ds=(4t+4)dt. (6) Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим
А=
.
По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 с начала ее
действия:
А=
= 1 (8*100 + 16*10) Дж = 960
Дж.
Кинетическая энергия определяется по формуле T=mv2/2.
Подставляя (3) в (7), имеем
T = m (4t + 4)2/2 = m (16t2 + 32t + 16)/2 = m (8t2 + 16t + 8) .
Ответ: A= 960 Дж, T = m (8t2+16t+8).
(7)
7. Протон движется со скоростью 0,7 с (с — скорость света). Найти
количество движения и кинетическую энергию протона:
Дано: v=0,7 с.
Найти: р,Т.
Решение. Количество движения протона определяется по формуле p = mv.
(1) Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то необходимо
учесть зависимость массы от скорости, воспользовавшись релятивистским
выражением для массы:
(2)
где m — масса движущегося протона; m0=1,67-10-27 кг —масса покоя
протона; v—скорость движения протона; еc=3-108 м/с — скорость света в
вакууме; v/с = β — скорость протона, выраженная в долях скорости света.
Подставляя уравнение (2) в (1) и учитывая, что v =βс, получаем
p = m0cβ
;
-27
p = 1,67.10 кг*3*108 м/с*0,7/ 1  0,7 2 = 4,91-10-19 кг*м/с.
В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е0 этой
частицы: T = E-Eo (3) , где Е=m0c2/ 1   2 ; Eo= m0c2 .
Вычислим энергию покоя протона
Е0= 1,67*10-27 кг*(3*108 м/с)2 = 1,5*10-10 Дж.
Тогда [см. (3)]
T = m0c2(1/ 1   2 - 1);
Т =1,5*10-10 Дж (l/ 1  0,7 2 - 1) = 0,6*10-10 Дж.
Ответ: p=4,91*10-19 кг*м/с, Т= 0,6*10-10 Дж.
8. Какую скорость нужно сообщить ракете, чтобы она, стартовав с Земли, не
вернулась на Землю? Сопротивление атмосферы не учитывать.
Дано: R3 =6,37- 106 м; g=9,8 м/с2; R→∞.
Найти vo.
Решение. С удалением ракеты от Земли будет увеличиваться ее потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая. По закону сохранения
энергии,
mvo2/2 - mv2/2= m(GM/R3 – GM/R)
(1)
где m— масса ракеты; М — масса Земли; G — гравитационная постоянная; v0
и v — скорости ракеты относительно Земли в начальный и рассматриваемый
моменты; R3 и R — расстояния от центра Земли до ракеты в начальный и
рассматриваемый моменты; GM/R— Потенциал гравитационного поля Земли
на расстоянии R от ее центра.
После преобразования уравнения (1) имеем vo2 - v2= 2GM(1/R3 —1/R).
Ракета не вернется на Землю, если ее скорость v будет в бесконечности равна
нулю, т. е. v=0 при R→∞. В этом случае vo2=2GM/R3 . (2)
Из закона всемирного тяготения следует, что на поверхности Земли
GmM/R32 =mg, откуда GM=gR32
(3) , где g — ускорение свободного
падения на поверхности Земли. Подставляя формулу (2) и (3), находим
v02 = 2gR3 , или v0 = 2 gRз
Считая, что ракета приобретает нужную скорость v0 уже вблизи
поверхности Земли, находим
Такая скорость необходима для преодоления гравитационного поля Земли.
Она называется второй космической или параболической скоростью.
Ответ: v0=11,2 км/с.
9. Тело брошено вверх с высоты 12 м под углом 30° к горизонту с начальной
скоростью 12 м/с. Определить продолжительность полета тела до точек А и
В (рис. 2), максимальную высоту, на которую поднимается тело, и дальность
полета тела. Сопротивление воздуха не учитывать.
Дано: Н =12 м, φ=30°, v0=12 м/с.
Найти: tа , tb , ymax, xmах.
Решение. В обозначенной на рис. 2 системе координат проекции начальной
скорости будут vox = vo cos φ, (1)
voy = vo sin φ
(2)
Координаты тела с течением времени изменяются в соответствии с
уравнением для равнопеременного движения:
y = H + vot sin φ – gt2/2;
x = vot cos φ .
(3)
(4)
Время подъема тела найдем из условия, что в наивысшей точке
подъема тела его скорость vy=vo sin φ - gt=0 . (2`)
Тогда tпод = vo sin φ/g (5).
Время спуска тела от точки С до точки А равно времени подъема,
поэтому продолжительность полета тела от точки О1 до точки А равна
tА =2tпод=2v0 sin φ/g.
(6)
Максимальную высоту подъема найдем из уравнения (3), подставив в
него время подъема из уравнения (5):
ymax=Н +vo2sin2 φ/(2g).
(7)
Время полета тела до точки В найдем из уравнения (3), приравняв
координату у нулю (y = 0):
tB = v0sin φ/g + v0 sin  / g   2 H / g
(8)
Дальность полета найдем из уравнения (4), подставив в него время
движения из уравнения (8):
xmax= votBcos φ .
(9)
Тогда [ см. (6)-(9) ]
2
Ответ: tA = 1,22 с, tB = 2,29 с, ymax = 13,84 м, хmaх=23,8 м.
10. По условию задачи 9 найти в момент приземления тела следующие
величины: скорость и угол падения тела, тангенциальное и нормальное
ускорения тела, радиус кривизны траектории.
Дано: H=12 м, φ=30°, v0=12 м/с.
Найти: vb, β, aτ, an, R.
Решение. Результирующая, или мгновенная, скорость в точке В (рис. 2, 3)
. Проекцию скорости vy в точке В найдем из уравнения
(2') задачи (9), подставив в него время движения tB [см. (8)]:
vb =
(12 2  2  9,81  12) м 2 / с 2 =19,5 м/с.
Из рис. 3 определим угол Р, образуемый вектором скорости vb с осью Ох:
Построим в точке В «треугольник ускорений». Вектор тангенциального
ускорения aτ направлен вдоль вектора мгновенной скорости в данной точке,
т. е. по касательной к траектории; вектор нормального ускорения an
перпендикулярен вектору мгновенной скорости vB. Из рис. 3 видно, что
Радиус кривизны траектории в точке приземления определяем из
уравнения an=vB2 /R. Имеем
R = vB2 / an ;
R = 19,52 м2/с2/5,25 м/с2 = 72,5 м.
Ответ: vв=19,5 м/с, β=57°40', аτ=8,3 м/с2, an = 5,25 м/с2, R=72,5 м.
11. Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой
скоростью 10 с-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси,
проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в
процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось
вращения пройдет через конец стержня.
Дано: m=300 г=0,3 кг, l=50 см = 0,5м, ω1= 10с-1.
Найти: ω2 .
Решение. Используем закон сохранения момента количества движения
Ji ωi = const (1) , где Ji — момент инерции стержня относительно оси
вращения.
Для изолированной системы тел векторная сумма моментов количества
движения остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что
распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется,
момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем
J0 ω1 = J2 ω2 (2)
Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей
через центр масс и перпендикулярной стержню, равен J0=ml2/12. (3) По
теореме Штейнера, J = Jo+md2 , где J — момент инерции тела относительно
произвольной оси вращения; J0 — момент инерции относительно
параллельной оси, проходящей через центр масс; d — расстояние от центра
масс до выбранной оси вращения.
Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и
перпендикулярной стержню: J2=Jo + md2; J2=ml2/12+m(l/2)2=ml2/3. (4)
Подставим формулы (3) и (4) в (2): ml2ω1/12= ml2ω2/3, откуда
ω2 = ω1/4, ω2= 10с-1/4 ==2,5с-1.
Ответ: ω2=2,5 с-1.
12. Маховик массой 4 кг свободно вращается с частотой 720 мин -1 вокруг
горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно
считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с
под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти
тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной
остановки.
Дано: ω = 0, m = 4 кг, n = 720 мин-1 = 12 с-1; ∆t= 30 с, R = 0,4 м.
Найти: М, N.
Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на
тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного
движения: J∆ ω = M∆t (1), где J — момент инерции маховика относительно
оси, проходящей через центр масс; ∆ ω — изменение угловой скорости за
промежуток времени ∆t.
По условию задачи, ∆ω = - ω0, где ω0 — начальная угловая скорость,
так как конечная угловая скорость ω = 0. Выразим начальную угловую
скорость через частоту вращения маховика, тогда ω0=2πn и ∆ω=2πn. Момент
инерции маховика J=mR2, где m — масса маховика; R — его радиус. Тогда
формула (1) примет вид mR22πn = M∆t, откуда
Угол поворота, т. е. угловой путь φ, за время вращения маховика до
остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного
вращения: φ = ω0t—ε∆t2/2, (2) где ε - угловое ускорение. По условию
задачи, ω = ω0— ε ∆t, ω =0, ε ∆t = ω 0. Тогда выражение (2) может быть
записано так:
φ = ω0∆t— ω0∆t/2= ω0∆t/2 .
Так как φ = 2πn, ω 0 = 2πn, то число полных оборотов
N= n∆t/2; N =12 c-1*30 с/2 = 180.
Ответ: М=1,61 Н*м, N=180.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
1(1). Под действием какой силы при прямолинейном движении тела
изменение его координаты со временем происходит по закону x=10t—20t2?
Масса тела 5 кг.
2(2). Найти закон движения тела массой m под действием постоянной
силы F, если в момент t=0 тело покоилось в начале координат (x=0).
3(3). Найти закон движения тела массой m под действием постоянной
силы F, если в момент t=0 начальная координата x=0 и v = v0.
4(4). Найти закон движения тела массой m под действием постоянной
силы F, если в момент t=0 имеем x=х0 и v = v0.
5(5). Тело массой 2 кг движется с ускорением, изменяющимся по
закону
а = 5t-10. Определить силу, действующую на тело через 5 с после
начала действия, и скорость в конце пятой секунды.
6(6). По условию предыдущей задачи определить силу, действующую
на тело через 10 с после начала действия, и путь, пройденный телом за это
время.
7(7). Под действием постоянной силы 10 Н тело движется прямолинейно и зависимость пройденного пути от времени имеет вид
s=10-5t+2t2. Найти массу тела.
8(8). Зависимость пройденного телом пути от времени имеет вид
s = 2t-3t2+4t3. Найти зависимость скорости от времени и силу, действующую
на тело в конце второй секунды. Масса тела 1 кг.
9(9). По условию предыдущей задачи найти зависимость ускорения от
времени. Определить, в какой момент времени сила, действующая на тело,
равна нулю.
10(10). Тело массой 2 кг движется прямолинейно со скоростью,
зависимость которой от времени выражается уравнением v = 2,5t2 + 10t.
Определить путь, пройденный телом за 5 с, и силу, действующего на тело в
конце пятой секунды.
11(11). Прямоугольный брусок размером 3,3X3,3X6,9 см движется
параллельно большому ребру. При какой скорости движения он будет
казаться кубом?
12(12). Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его
продольные размеры уменьшились в два раза?
13(13). При какой относительной скорости движения релятивистское
сокращение длины движущегося тела составит 50 %?
14(14). π-мезон нестабильная частица. Собственное время жизни его
2,6*10-8 с. Какое расстояние пролетит π-мезон до распада, если он движется
со скоростью 0,99 с?
15(15). По условию предыдущей задачи определить, на сколько
расстояние, пролетаемое π-мезоном, при релятивистском замедлении
времени больше, чем если бы такого замедления не было.
16(16). Найти собственное время жизни нестабильной частицы
μ-мезона, движущегося со скоростью 0,99 с, если расстояние, пролетаемое
им до распада, равно примерно 10 км.
17(17). Собственное время жизни π-мезона 2,6-10-8 с. Чему равно время
жизни π-мезона для наблюдателя, относительно которого эта частица
движется со скоростью 0,95 с?
18(18). Электрон, скорость которого 0,97 с, движется навстречу
протону, имеющему скорость 0,5 с. Определить скорость их относительного
движения.
19(19). Радиоактивное ядро вылетевшее из ускорителя со скоростью
0,4 с, выбросило в направлении своего движения β-частицу со скоростью
0,75 с относительно ускорителя. Найти скорость частицы относительно ядра.
20(20). Скорость света в стоячей воде u = с/n, где с — скорости света в
вакууме; n — показатель преломления воды. Найти скорость света в воде,
движущейся равномерно относительно источника света со скоростью v.
21. Вывести формулу, по которой вычисляется кинетическая энергия
тела массой m, движущегося под действием постоянной силы F, если t= 0,
v0=0.
22. Скорости двух центрально соударяющихся шаров до их
взаимодействия равны 0,1 и 0,05 м/с, их массы соответственно равны 4 и 3 кг.
Определить их скорости после удара при упругом coударении.
23. В каком случае двигатель автомобиля совершит большую работу
(во сколько раз): для разгона с места до скорости 36 км/ч или при увеличении
скорости от 36 до 72 км/ч. Силу сопротивления и время движения в обоих
случаях считать одинаковыми.
24. Шар массой 4 кг движется со скоростью 2 м/с и сталкивается с
покоящимся шаром массой 1 кг. Вычислить работу, совершенную вследствие
деформации шаров при прямом центральном ударе. Шары считать
неупругими.
25. Тепловоз массой 40 т, двигаясь со скоростью 1 м/с, ударяется в два
неподвижных пружинных буфера вагона. Найти наибольшее сжатие буферов
вагона, если коэффициент упругости пружины 5*106 Н/м, и
продолжительность удара.
26. Для того чтобы растянуть пружину на длину х, требуется
приложить силу F=kx. Какая работа совершается при растяжении пружины
на длину х1? Потенциальная энергия деформированной пружины П=Ах 12.
Найти силу, действующую на пружину.
27. На тело действует сила F=kx2. На сколько увеличится
потенциальная энергия тела при его перемещении из точки х=0 в1 точку
x=х1?
28. Стальная цепочка длиной 1 м, лежащая на столе, начинает
скользить, если 0,15 м этой цепочки спущены со стола. Масса цепочки 3 кг,
коэффициент трения между столом и цепочкой 0,1. Какая работа против сил
трения совершается при соскальзывании всей цепочки?
29. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется
прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени
выражается уравнением s = t2+2t +2. Определить работу силы за 5 с после
начала ее действия.
30. По условию предыдущей задачи найти зависимость кинетической
энергии от времени и пути.
31. Масса движущегося протона 2,25*10-27 кг. Найти скорость и
кинетическую энергию протона.
32.Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов в 100 MB. Во
сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Чему равна
скорость электрона?
33.Определить скорость протона, если его релятивистская масса в три
раза больше массы покоя. Вычислить кинетическую и полную энергию.
34. Вычислить скорость, полную и кинетическую энергию протона в
тот момент, когда его масса равна массе α-частицы.
35. Найти импульс, полную и кинетическую энергию электрона,
движущегося со скоростью, равной 0,7 с.
36. Протон и α-частица проходят одинаковую ускоряющую разность
потенциалов, после чего масса протона составила половину массы
α-частицы. Определить разность потенциалов.
37. Определить соотношение между полной энергией E, энергией покоя
Е0 и импульсом р релятивистской частицы.
38. Вывести соотношение между полной энергией, массой покоя и
импульсом релятивистской частицы.
39. С какой скоростью движется электрон, если его кинетическая
энергия 1,78 МэВ? Определить импульс электрона.
40. Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя.
Какова скорость этой частицы?
41. На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой
напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна
нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны и расстояние
от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.
42. С какой скоростью упадет на поверхность Луны метеорит, скорость
которого вдали от Луны мала? Атмосфера на Луне отсутствует.
43. Какую работу необходимо совершить, чтобы вывести тело массой
250 кг на орбиту искусственной планеты солнечной системы?
44.Определить работу, которую совершают силы гравитационного поля
Земли, если тело массой 2 кг упадет на поверхность Земли с высоты, равной
радиусу Земли.
45. По условию предыдущей задачи определить работу, совершаемую
силами гравитационного поля Земли, если тело падает поверхность Земли из
бесконечности.
46.Ракета была запущена с Земли с начальной скоростью 10 км/с.
Определить скорость ракеты на орбите, предположив, что орбита круговая и
ее радиус равен двум радиусам Земли. Сопротивление воздуха не учитывать.
47. Вычислить первую и вторую космические скорости тела,
запущенного с Земли.
48. Вычислить первую и вторую космические скорости тела,
запущенного с Луны.
49. На какой высоте над поверхностью Земли напряженность
гравитационного поля — 0,5 Н/кг? Определить потенциал поля тяготения на
этой высоте.
50. Как изменятся напряженность и потенциал гравитационного поля
Земли на высоте, равной радиусу Земли? Принять ускорение свободного
падения вблизи поверхности Земли равным 9,8 м/с2.
51. Материальная точка массой 1 г движется по окружности радиуса
2 м согласно уравнению s = 8t—0,2t3. Найти скорость, тангенциальное,
нормальное и полное ускорения в момент времени 3 с
52. Тело вращается равноускоренно с начальной угловой скоростью
-1
5 с и угловым ускорением 1 с-2. Сколько оборотов сделает тело за 10 с?
53. Материальная точка движется по окружности радиусом 0,5 м. Ее
тангенциальное ускорение 10 м/с2. Чему равны нормальное и полное
ускорения в конце третьей секунды после начала движения. Найти угол
между векторами полного и нормального ускорений в этот момент.
54. Колесо автомобиля, вращающегося с частотой 1200 мин при
торможении стало вращаться равнозамедленно и остановилось через 20 с.
Найти угловое ускорение и число оборотов с момент начала торможения до
остановки.
55. Сплошной шар массой 1 кг и радиусам 5 см вращается вокруг оси,
проходящей через его центр. Закон вращения шара выражается уравнением
φ=4 + 2t-t2. В точке, наиболее удаленной от оси вращения, на шар действует
сила, касательная к поверхности. Определить эту силу и тормозящий момент.
56. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус
кривизны 50 м. Закон движения автомобиля выражается уравнением
s=10+10t—0,5t2. Найти скорость автомобиля, его тангенциальное,
нормальное и полное ускорения в конце пятой секунды.
57. От самолета, летящего горизонтально со скоростью 500 м/с,
оторвался предмет. Чему равны нормальное и тангенциальное ускорения
предмета через 50 с после начала падения? Сопротивление воздуха не
учитывать.
58. Тело брошено со скоростью 15 м/с под углом 30° к горизонту.
Определить наибольшую высоту подъема, дальность полета, радиус
кривизны траектории в наивысшей точке.
59. По условию предыдущей задачи определить скорость тела, а также
его нормальное и тангенциальное ускорения через 2 с после начала
движения.
60. Артериальная точка движется по окружности, диаметр которой
40 м. Зависимость пути, пройденного точкой, от времени выражается
уравнением s = t3+4t2—t+8. Определить пройденный путь, угловую скорость
и угловое ускорение точки через 3 с от начала ее движения.
61(21). Два горизонтально вращающихся один над другим диска
расположены так, что плоскости их параллельны, а центры лежат на одной
вертикали. Угловая скорость и момент инерции первого диска равны ω1 и J1
и а второго соответственно ω2 и J2. Первый диск падает на второй, и система
вращается как единое целое. Определить угловую скорость вращающейся
системы и изменение кинетической энергии дисков после падения первого на
второй.
62(22). Сплошной цилиндр массой 10 кг катится без скольжения с
постоянной скоростью 10 м/с. Определить кинетическую энергию цилиндра
и время до его остановки, если на него действует сила трения 50 Н.
63(23). Сплошной шар скатывается по наклонной плоскости, длина
которой 10 м и угол наклона 30°. Определить скорость шара в конце
наклонной плоскости. Трение шара о плоскость не учитывать.
64(24). Полый цилиндр массой 2 кг катится по горизонтальной
поверхности со скоростью 20 м/с. Определить силу, которую необходимо
приложить к цилиндру, чтобы остановить его на пути 1,6 м.
65(25). Маховик, имеющий форму диска массой 30 кг и радиусом 10
см, был раскручен до частоты 300 мин-1. Под действием силы трения диск
остановился через 20 с. Найти момент сил трения, считая его постоянным.
66(26). Какой скоростью должен обладать шар, катящийся без
скольжения, чтобы подняться по наклонной плоскости, составляющей с
горизонтом угол 30°, на высоту 2 м, если сила трения равна 0,2 силы
давления шара на плоскость? Чему равно время подъема?
67(27). По условию предыдущей задачи определить, с какой скоростью
и в течение какого времени шар скатится обратно.
68(28). Сначала диск, а потом обруч скатываются с наклонной
плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Чему равны их ускорения?
Силой трения пренебречь.
69(29). Шар и сплошной цилиндр имеют одинаковую массу 5 кг
каждый и катятся с одинаковой скоростью 10 м/с. Найти кинетические
энергии этих тел.
70(30). Стержень массой 2 кг и длиной 1 м может вращаться вокруг
оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню. В конец
стержня попадает пуля массой 10 г, летящая перпендикулярно оси и стержню
со скоростью 500 м/с. Определить угловую скорость, с которой начнет
вращаться стержень, если пуля застрянет в нем.
II. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ
ПОЯСНЕНИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ
Приступая к изучению раздела «Основы молекулярной физики и
термодинамики», студенты должны уяснить, что существуют два
качественно различных и взаимодополняющих метода исследования
физических свойств макроскопических систем — статистический
(молекулярно-кинетический)
и
термодинамический.
Молекулярнокинетический метод исследования лежит в основе молекулярной физики,
термодинамический — в основе термодинамики. Молекулярно-кинетическая
теория является важнейшей теорией, которая позволяет с единой точки
зрения рассмотреть самые различные явления во всех состояниях вещества,
вскрыть физическую сущность этих явлений и теоретическим путем вывести
многочисленные закономерности, открытые экспериментально и имеющие
большое практическое значение.
При изучении молекулярно-кинетической теории следует уяснить, что
свойства огромной совокупности молекул отличны от свойств каждой
отдельной молекулы и свойства макроскопической системы и конечном
счете определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения
и средними значениями кинематических характеристик частиц, т. е. их
скоростей, энергий и т. д.
В отличие от молекулярно-кинетической теории термодинамика не
изучает конкретно молекулярные взаимодействия, происходящие с
отдельными атомами или молекулами, а рассматривает взаимопревращения и
связь различных видов энергии, теплоты и работы. Термодинамика
базируется на двух опытных законах (началах), которые позволяют
описывать физические явления, связанные с превращением энергии
макроскопическим путем.
При изучении основ термодинамики студент должен четко усвоить
такие понятия, как термодинамическая система, термодинамические
параметры (параметры состояния), равновесное состояние, I уравнение
состояния, термодинамический процесс, внутренняя энергия, энтропия и т. д.
Контрольная работа № 2 построена таким образом, что она дает возможность
проверить знания студентов по основным вопросам данного раздела.
В задачах на тему «Основы молекулярно-кинетической теории»
внимание уделено таким вопросам программы, как уравнение КлапейронаМенделеева, уравнение молекулярно-кинетической теории, средние
кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул,
средняя длина свободного пробега и среднее число соударений, явления
переноса.
Задачи по теме «Основы термодинамики» охватывают такие важные
соотношения и понятия, как первое начало термодинамики, внутренняя
энергия, работа при различных изопроцессах и адиабатном процессе.
Включены также задачи, которые позволяют изучить и понять такие
вопросы, как второе начало термодинамики и энтропия идеального газа,
являющаяся в отличие от количества теплоты функцией состояния. В работе
представлены задачи на определение КПД
цикла Карно, изменение
энтропии, на уравнение Ван-дер-Ваальса, которое объясняет отличие свойств
реальных газов от идеальных.
Основные законы и формулы:
Количество вещества
Уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния идеального газа)
Закон Дальтона
Концентрация молекул
Уравнение
молекулярно-кинетической
теории
газов
Средняя кинетическая энергия молекулы
Внутренняя энергия идеального газа
Скорости молекул:
средняя квадратичная
средняя арифметическая
Средняя длина свободного пробега молекулы
Среднее число соударений молекулы за 1 с
Распределение
Больцмана)
молекул
в
потенциальном
поле
сил
Барометрическая формула
Критические параметры
pкр =
a
8a
; Ткр =
; Vкр=3b
2
27b
27bR
b
d 3

Собственный объем молекулы V=
4N A
6
(распределение
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. В сосуде объемом 2 м3 находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода
температуре 27°С. Определить давление и молярную массу смеси газов.
Дано: V=2 м3, m1 = 4 кг, М1=4*10-3 кг/моль, m2=2 кг, М2=2*10-9 кг/моль,
Т=300 К.
Найти: Р, М.
Решение. Воспользуемся, уравнением Клапейрона—Менделеева, применив
его к гелию и водороду:
p1V =m1RT/M1 (1) , p2V =m2RT/M2 (2)
где p1 - парциальное давление гелия; m1 — масса гелия; M1 — его
молярная масса; V — объем сосуда; Т — температура газа;
R = 8,31 Дж/(моль*К)—молярная газовая постоянная; р2—парциальное
водорода; m2—масса водорода; М2— его молярная масса. Под парциальным
давлением p1 и p2 понимается то давление, которое производил бы газ, если
бы он только один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси
равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси: р=р1+р2.
Из уравнений (1) и (2) выразим р1 и р2 и подставим в уравнение (3):
Найдем молярную массу смеси газов по формуле M=(m1+m2)/( v1+v2) (5) где
v1 и v2 — число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов
найдем по формулам:. v1=m1/M1
(6) , v2=m2/M2
(7). Подставляя (6) и
(7) в (5), найдем:
Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем:
Ответ: р=2493 кПа, M=3*10-3 кг/моль.
2. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при
температуре 400 К?
Дано: m = 2 кг, T=400 К, M=2*10-3 кг/моль.
Найти: <εпост>, <εвр>.
Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода —
двухатомная, связь между атомами считаем жесткой, тогда число степеней
свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы
приходится энергия <εi>=kT/2, где k— постоянная Больцмана; Т —
термодинамическая
температура.
Поступательному
движению
приписывается три (i=3), а вращательному две (i=2) степени свободы. Тогда
энергия одной молекулы
<εпост> = 3/2кТ, <εвр> = 2/2 kТ.
Число молекул, содержащихся в массе газа, N=vNA =(m/M)NA где v —число
молей; NА — постоянная Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия
поступательного движения молекул водорода будет
<εпост> =(m/M)NA *3/2 kT = 3/2 (m/M)RT,
(1)
где R=kNА —молярная газовая постоянная.
Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул
водорода
<εвр> = (m/M) RT.
(2)
Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем
Ответ: <εпост> = 4986 кДж, <εвр>=2324 кДж.
3. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число
соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода,
находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27° С и давлении 100
кПа.
Дано: V = 2л=2*10-3 м3, M=32*10-3 кг/моль, Т=300 К, p = 100 кПа=105 Па,
в=2,9*10-10 м.
Найти: <λ>,Z .
Решение. Средняя длина свободного пробега
молекул кислорода
2
вычисляется по формуле < λ > = l / 2d n , (1) где d— эффективный
диаметр молекулы кислорода; n — число молекул в единице объема, которое
можно определить из уравнения p=nkT, откуда n=p/(kT),
(2)
где k —
постоянная Больцмана. Подставляя (2) в (1), имеем
< λ > = kT/( 2d 2 p )
(3)
Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за 1 с
равно
Z = ½<Z> N
(4)
где N - число молекул кислорода в сосуде объемом 2*10-3 м3;
<Z> - среднее число соударений одной молекулы за 1 с. Число молекул в
сосуде N=nV. (5). Среднее число соударений молекулы за 1 с равно <Z>
= <v>/< λ >, (6) где <v> — средняя арифметическая скорость молекулы
<v>= 8RT / M . (7)
Подставляя в (4) выражения (5), (6) и (7), находим
Подставляя числовые значения, получим
Ответ: Z=9*1028 c-1, < λ > = 3,56*10-8м.
4. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота,
находящегося при температуре Т=300 К и давлении 105 Па.
Дано: po=1,25 кг/м3, M=28*10-3 кг/моль, Т=300 К, р=105 Па, d=3,1*10-10 м.
Найти: D, η.
Решение . Коэффициент диффузии определяется по формуле
D=1/3 <v> <λ> ,
где
<v> - средняя
арифметическая скорость молекул, равная
<v>= 8RT / M . (2) <λ> — средняя длина свободного пробега молекул.
Для нахождения <λ> воспользуемся формулой, взятой из решения примера
3: < λ >=kT/( 2d 2 p ). (3) Подставляя (2) и (3) в выражение (1), имеем
(4)
Коэффициент внутреннего трения
η = 1/3<v>< λ >р,
(5)
где ρ — плотность газа при температуре 300 К и давлении 105 Па, Для
нахождения ρ воспользуемся уравнением состояния идеального газа.
Запишем его для двух состояний азота — при нормальных условиях (Tо = 273
К, р=1,01*105 Па) и условиях задачи:
p0V0 = (m/M)RT0, pV = (mlM) RT . (6)
Учитывая, что ρo=m/V0, ρ = m/V, имеем ρ=ρорТо/(роТ),
(7)
Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через
коэффициент диффузии [см. (1) и (5)]:
η = Dp = Dρ0pT0/(p0T). (8)
Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим
Ответ: D=4,7-10-5 м2/с, η= 5,23-10-3 кг/(м-с). .
5. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340
К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение
внутренней энергии и работу расширения газа.
Дано: m=160 г=16*10-2 кг,Т1=320 К, Т2=340 К.
Найти: Q, ∆U, А.
Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при
постоянном давлении,
Q = mcp (Т2 – T1) = (m/M) Ср (Т2 – T1) .
(1)
Здесь ср и Ср=Мср — удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном
давлении; М=32*10-3 кг/моль — молярная масса кислорода. Для всех
двухатомных газов
Ср = 7/2R; Ср = 3,5*8,31 Дж/(моль*К) = 29 Дж/(моль*К).
Изменение внутренней энергии газа находим по формуле
∆U =(m/М)Сv/(T2-T1), где Cv—молярная теплоемкость газа при постоянном
объеме. Для всех двухатомных газов
Cv = 5/2 R; Сv = 2,5*8,31 Дж/(моль*К) = 20,8 Дж/(моль*К).
Работа расширения газа при изобарном процессе A = р∆V, где ∆V=V 2-V1—
изменение объема газа, которое можно найти из уравнения КлапейронаМенделеева. При изобарном процессе
pV1 = (m/M)RT1, (3)
pV2 = (m/M)RT2. (4)
Почленным вычитанием выражения (4) из (3) находим
p(V2-V1) = (m/M)R(T2-T1),
следовательно,
A = (m/M)R(T2-T1)
(5)
Подставляя числовые значения в формулы (1), (2) и (5), получаем:
Ответ: Q=2900 Дж, ∆U = 2080 Дж, A=840 Дж.
6. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л.
На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение
производилось: а) изобарно; б) адиабатно.
Дано: V1= 10-3 м3, V2=2*10-3 м3, p=0,8*105 Па, М=40*10-3 кг/моль, i = 3.
Найти ∆U.
Решение. Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону
количество теплоты Q, переданное системе, расходуется на увеличение
внутренней энергий ∆U и на внешнюю механическую работу A:Q=∆U+A.
(1)
Величину ∆U можно определить, зная массу газа m, удельную
теплоемкость при постоянном объеме Cv и изменение температуры ∆T:
∆U =mcv∆T.
(2) Однако удобнее изменение внутренней энергии ∆U
определять через молярную теплоемкость Cv , которая может быть выражена
через число степеней свободы: Cv= Cv/M=1/2 R/M . (3) Подставляя
величину Cv из формулы (3) в (2), получаем
∆U = (m/M)*(i/2)* R∆T.
(4)
Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при
котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа согласно
первому закону термодинамики часть количества теплоты идет на изменение
внутренней энергии ∆U , которая выражается формулой (4). Найти ∆U для
аргона по формуле (4) нельзя, так как масса газа и температура в условии
задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование формулы (4).
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для начального и конечного
состояний газа:
pV1=(m/M)RT1 и pV2 = (m/M) RT2,
или
p(V2-V1)=(m/M)R(T2-T1)
Подставив (5) в формулу (4), получим
∆U= (i/2)p(V2-V1) .
Это уравнение является расчетным для определения ∆U при изобарном
расширении.
При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не
происходит, поэтому Q=0. Уравнение (1) запишется в виде ∆U+A=0.
(7)
Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть
произведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус
перед ∆U):
А=— ∆U.
(8)
Формула работы для адиабатного процесса имеет вид
где γ— показатель степени адиабаты, равный отношению теплоемкостей: γ =
Cp/Сv=(i+2)/i. Для аргона — одноатомного газа (i=3) имеем γ = 1,67.
Находим изменение внутренней энергии при адиабатном процессе для
аргона, учитывая формулы (8) и (9):
Для определения работы расширения аргона формулу (10) следует
преобразовать, учитывая при этом параметры, данные в условии задачи.
Применив уравнение
Клапейрона—Менделеева для данного случая
p1V1 = (m/M)RT1 , получим выражение для подсчета изменения внутренней
энергии:
Подставляя числовые значения в (6) и (11), получим
при изобарном расширении
∆U=3\2*0,8*105Па*10-3 м3= 121 Дж
б) при адиабатном расширении
Ответ: a) ∆U=121 Дж ; б) ∆U=-44,6 Дж.
7. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура
холодильника 400 К. Определить КПД тепловой машины, работающей по
циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно
передает ей 1675 Дж теплоты. Дано: Т=500 К, Т0=400 К, Q=1675 Дж.
Найти: η, N.
Решение: КПД машины определяется по формуле:
η = (T-T0)/T (1) или η=A/Q (2)
Из выражений (2) и (1) находим
A= η Q=(T-T0)/T .
Произведем вычисления:
Η = (500К-400К)/500К = 0,2 ;
A=0,2*1675 Дж = 335 Дж .
Этаработа совершается за 1 с, следовательно, полная мощь машины 335 Вт.
Ответ: η=0.2, N=335Вт.
8. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же
массы и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия
при этом увеличивается.
Решение: пусть температура горячей воды T1, холодной Т2, а температура
смеси θ. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового
баланса
mc (T2- θ)= mc (θ- T2), или Т1- θ= θ-Т2,
откуда θ=(Т1+Т2)/2 .
(1)
Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды,
Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды,
Изменение энтропии системы равно
или с учетом соотношения (1) имеем
так как (Т1+Т2)2>4T1T2, то ∆S>0.
9. Вычислить эффективный диаметр молекул азота, если его критическая
температура 126 К, критическое давление 3,4 МПа.
Дано: Ткр = 126 К, ркр = 3,4 *106 Па.
Найти d.
Решение. Азот, согласно условию задачи, должен подчиняться уравнению
Ван-дер-Ваальса:
Постоянную b в уравнении Ван-дер-Ваальса с достаточной степенью
точности считают равной учетверенному собственному объему 1 моля газа.
В 1 моле газа находится 6,02*1023 молекул (NA = 6,02*1023 моль-1),
следовательно, объем одной молекулы равен
Откуда
Постоянная b = Tкp R /(8pкр), тогда
Ответ: d=3,1*10-10 м.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
1. В баллоне емкостью 0,5 м3 находится 4 кг водорода и 6,5 кг азота.
Определить давление смеси, если температура окружающей среды 18°С.
2. В баллоне емкостью 30 л находится сжатый воздух при 17 °С. После
того как часть воздуха выпустили, давление понизилось на 2*105 Па.
Определить массу выпущенного воздуха. Процесс считать изотермическим.
3. В сосуде, имеющем форму шара, радиус которого 0,2 м, находится
80 г азота. До какой температуры можно нагреть сосуд, если его стенки
выдерживают давление 7*105 Па?
4. При какой температуре находится газ, если при нагревании его на
20° при постоянном давлении объем увеличился в два раза? Для каких газов
это возможно?
5. В баллоне под давлением 1 МПа находится газовая смесь из
кислорода и азота. Считая, что масса азота составляет 80 % от массы смеси,
определить парциальное давление отдельных газов.
6. Определить молекулярную формулу аммиака, если при давлении
103 740 Па и температуре 20 °С его плотность равна 0,736 кг/м3. Учесть, что
элементы, из которых образуется аммиак, — это азот и водород.
7. До какой температуры нужно нагреть запаянный шар, содержащий
35 г воды, чтобы шар разорвался, если известно, что стенки шара
выдерживают давление 2*107 Па, Объем шара 1 л.
8. В пустой сосуд, объем которого 5 дм3, впустили 3дм3 азота под
давлением 250 кПа и 4 дм3 водорода под давлением 50 кПа. Каково давление
образовавшейся смеси?
9. Какой объем при нормальных условиях занимает смесь 4 кг
кислорода и 2 кг азота?
10. При температуре 27 °С и давлении 12*105 Па плотность смеси
водорода и азота 10 г/дм3. Определить молярную массу смеси.
11(31). Определить среднюю кинетическую энергию вращательного
движения одной молекулы двухатомного газа, если суммарная кинетическая
энергия молекул одного киломоля этого газа 6,02 МДж.
12(32). Сколько молекул водорода находится в сосуде емкостью 2 л,
если средняя квадратичная скорость движения молекул 500 м/с, а давление
на стенки сосуда 103 Па?
13(33). Найти среднюю кинетическую энергию вращательного
движения всех молекул, содержащихся в 0,25 г водорода при температуре
13 °С.
14(34). Давление идеального газа 2 мПа, концентрация молекул
10
2*10 см-3. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного
движения одной молекулы и температуру газа.
15(35). Определить среднее значение полной кинетической энергии
одной молекулы неона, кислорода и водяного пара при температуре 600 К.
16(36). Средняя кинетическая энергия поступательного движения
молекул газа равна 5-10-21 Дж. Концентрация молекул 3*1019 см-3.
Определить давление газа.
17(37). В сосуде емкостью 200 см3 находится газ при температуре 47°С.
Из-за утечки газа из колбы просочилось 1021 молекул. Haсколько снизилось
давление газа в сосуде?
18(38). Сколько молекул газа находится в сосуде емкостью 1,5 л при
нормальных условиях?
19(39). Определить концентрацию молекул идеального газа при
температуре 450 К и давлении 1,5 МПа.
20(40). Определить температуру идеального газа, если средняя
кинетическая энергия поступательного движения его молекул 3,2*10 -19 Дж.
21. В сосуде емкостью 10 л находится 2 г кислорода. Определить
среднюю длину свободного пробега молекул.
22. Определить среднюю длину свободного пробега молекул азота,
если плотность разреженного газа 0,9-10-6 кг/м3.
23. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул
кислорода равна 1,25 м, если температура газа 50 °С?
24. Вычислить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха
при давлении 1*105 Па и температуре 10 °С.
25. По условию предыдущей задачи вычислить коэффициент диффузии
воздуха.
26. Во сколько раз коэффициент диффузии молекул водорода больше
коэффициента диффузии молекул азота? Температура и давление газов
одинаковые.
27. Сколько соударений в секунду в среднем испытывают молекулы
азота, находящиеся при нормальных условиях?
28. Определить коэффициент внутреннего трения углекислого газа при
температуре 300 К.
29. Сосуд емкостью 10 л содержит водород массой 4 г. Определить
среднее число соударений молекул в секунду.
30. Коэффициент внутреннего трения кислорода при нормальных
условиях 1,91*10-4 кг/(м*с). Какова средняя длина свободного пробега
молекул кислорода при этих условиях?
31(41). При нагревании 1 кмоля азота было передано 1000 Дж теплоты.
Определить работу расширения при постоянном давлении.
32(42). Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить
углекислому газу массой 220 г, чтобы нагреть его на 20 К: а) при постоянном
объеме; б) при постоянном давлении.
33(43). Какое количество теплоты нужно сообщить 1 кмолю кислорода,
чтобы он совершил работу в 1000 Дж: а) при изотермическом процессе; б)
при изобарном?
34(44). Азот массой 2 кг, находящийся при температуре 288 К,
сжимают: а) изотермически; б) адиабатно, увеличивая давление 10 раз.
Определить работу, затраченную на сжатие газа, в обоих случаях.
35(45). При каком процессе выгоднее производить расширение
углекислого газа: адиабатном или изотермическом, если объем увеличивается в 2 раза? Начальная температура в обоих случаях одинаковая.
36(46). Найти работу и изменение внутренней энергии при адиабатном
расширении 1 кг воздуха, если его объем увеличился в 10 раз. Начальная
температура 15 °С.
37(47). Определить количество теплоты, сообщенное 20 г азота, если он
был нагрет от 27 до 177 °С. Какую работу при этом совершит газ и как
изменится его внутренняя энергия?
38(48). Во сколько раз увеличится объем 1 моля водорода при
изотермическом расширении при температуре 27 °С, если при этом была
затрачена теплота, равная 4 кДж.
39(49). Водород, занимающий объем 5 л и находящийся под давлением
105 Па, адиабатно сжат до объема 1 л. Найти работу сжатия и изменение
внутренней энергии водорода.
40(50). Газ, занимающий объем 20 л под давлением 1 МПа, был
изобарно нагрет от 323 до 473 К. Найти работу расширения газа.
41. Тепловая машина работает по циклу Карно, КПД которого 0,2.
Каков будет КПД этой машины, если она будет совершать тот же цикл в
обратном направлении?
42. Холодильная машина работает по обратному циклу Карно, КПД
которого 300 %. Каков будет КПД тепловой машины, работающей по
прямому циклу Карно?
43. Определить работу идеальной тепловой машины за один цикл, если
она в течение цикла получает от нагревателя количество теплоты 2095 Дж.
Температура нагревателя 500 К, холодильника 300 К.
44. Температура нагревателя тепловой машины, работающей по циклу
Карно, 480 К, температура холодильника 390 К. Какова должна быть
температура нагревателя при неизменной температуре холодильника, чтобы
КПД машины увеличился в 2 раза?
45. За счет 1 кДж теплоты, получаемого от нагревателя, машина,
работающая по циклу Карно, совершает работу 0,5 кДж. Температура
нагревателя 500 К. Определить температуру холодильника.
46. При прямом цикле Карно тепловая машина совершает работу 200
Дж. Температура нагревателя 375 К, холодильника 300 К. Определить
количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя.
47. Определить, на сколько процентов изменится КПД прямого цикла
Карно, если температура нагревателя 894 К, а температура холодильника
уменьшилась от 494 до 394 К.
48. Совершая прямой цикл Карно, газ отдал холодильнику 0,25
теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру холодильника,
если температура нагревателя 500 К.
49. Какая часть теплоты, полученной от нагревателя, отдается
холодильнику при прямом цикле Карно, если температура нагревав теля 500
К, температура холодильника 125 К?
50. Найти КПД цикла, состоящего из двух изобар и двух адиабат, если
температуры характерных точек равны Т1 = 370 К, T2= 600 К, Т3 = 500 К,
Т4=350 К. Решение пояснить диаграммой p-V.
51(51). Определить изменение энтропии 4 кг свинца при охлаждении
его от 327 до 0° С.
52(52). Найти изменение энтропии при нагревании 1 кг воды от 0 до
100 °С и последующем превращении ее в пар при той же температуре.
53(53). Как изменится энтропия при изотермическом расширение 0,1 кг
кислорода, если при этом объем его изменится от 2,5 до 10 л?
54(54). Определить изменение энтропии при изобарном нагревании 0,1
кг азота от 17 до 100°С.
55(55). Лед массой 100 г, находящийся при температуре —30 °С,
превращается в пар. Определить изменение энтропии при этом.
56(56). Железо массой 1 кг при температуре 100 °С находится в
тепловом контакте с таким же куском железа при 0°С. Чему будет равно
изменение энтропии при достижении равновесной температуры 50 оС?
Считать, что молярная теплоемкость железа равна 25,14 Дж/К.
57(57). Водород массой 10 г изобарно расширяется, при этом объем его
увеличивается в 2 раза. Определить изменение энтропии водорода при этом
процессе.
58(58). Определить изменение энтропии, происходящее при смешивании 5 кг воды, находящейся при температуре 280 К и 8 кг воды,
находящейся при температуре 350 К.
59(59). Объем гелия, масса которого 2 кг, увеличился в 5 раз: а)
изотермически, б) адиабатно. Каково изменение энтропии в этих случаях?
60(60). Определить изменение энтропии 1 моля идеального газа при
изохорном, изобарном и изотермическом процессах.
61. Поправки для воды в уравнении Ван-дер-Ваальса равны
а=0,566 Н*м4/моль2, b=3,06*10-5 м3/моль. Определить критический объем для
1 кг воды.
62. По условию задачи 61 определить значения критического давления
и критической температуры.
63. Вычислить постоянные в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота,
если его критическая температура 126 К, а критическое давление 3383 кПа.
64.Найти критические параметры неона, если его постоянные в
уравнении Ван-дер-Ваальса а = 0,209 Н-м4/моль2, b=1,7*10-5 м3/моль.
65.Азот массой 14 кг занимает объем 0,5 м3 при температуре 0°С.
Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса, найти на сколько нужно изменить
температуру газа, чтобы его давление увеличилось вдвое.
66. В сосуде, объем которого 10 л, находится 360 г водяного пара при
температуре 470 К. Вычислить давление пара, используя уравнение Ван-дерВаальса.
67. По условию задачи 66 определить внутреннее давление водяного
пара и собственный объем молекул пара.
68. Определить эффективный диаметр молекулы газа, для которого
критическая температура равна 282,7 К, поправка в уравнении Ван-дерВаальса a=45,3*10-2 Н*м4/моль2.
69. По уравнению Ван-дер-Ваальса определить давление, под которым
находится 1 кмоль азота в сосуде объемом 2,5 м3, если его температура
310 К.
70. Найти постоянные в уравнении Ван-дер-Ваальса для углекислого
газа, если критическая температура 304 К, а критическое давление 7370 кПа.
III. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОСТОЯННЫЙ ТОК
ПОЯСНЕНИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ
Изучение основ электродинамики начинается с электрического поля в
вакууме. Эта тема является фундаментом раздела, включающего
электростатику и постоянный ток.
Особое внимание при изучении этого раздела следует обратить на закон
сохранения электрического заряда, инвариантность его в теории
относительности, на силовую и энергетическую характеристики поля
(напряженность, потенциал) и связь между ними. Студент должен уметь
применять теорему Остроградского—Гаусса для вычисления напряженности
электрических полей и уяснить такие понятия, как поток и циркуляция
вектора напряженности поля.
При изучении электрического поля в диэлектриках следует представлять
механизм поляризации полярных и неполярных диэлектриков и
преимущество вектора электрического смещения перед вектором
напряженности для описания электрического поля в неоднородных
диэлектриках.
При изучении вопроса об энергии заряженных проводников и
конденсаторов студент должен обратить внимание, что в рамках
электростатики нельзя однозначно решить вопрос о локализации этой
энергии. С равным правом можно считать, что энергией обладают как
заряженные проводники, так и создаваемое ими электрическое поле.
Изучение темы «Постоянный электрический ток» следует начать с
классической электронной теории проводимости металлов, на ее основе
рассмотреть законы Ома и Джоуля—Ленца. Четко разграничить такие
понятия, как разность потенциалов, электродвижущая сила и электрическое
напряжение.
Контрольная работа № 3 составлена таким образом, что помогает
проверить знания студентов по разделу «Электростатика. Постоянный ток».
Она включает в себя задачи на определение напряженности поля и разности
потенциалов, расчет простейших электрических полей с помощью принципа
суперпозиции, определение электроемкости и энергии поля конденсаторов,
применение законов Ома и Джоуля — Ленца. Кроме того, включены задачи
на определение удельной проводимости собственных полупроводников,
электролитов и плотности тока в газе при отсутствии насыщения.
Основные законы и формулы
Закон Кулона
Напряженность электрического поля
Напряженность поля: точечного заряда
бесконечно длинной заряженной нити
равномерно заряженной плоскости
между
двумя
заряженными
равномерно
и
разноименно
бесконечными
параллельными
плоскостями
Напряженность поля, создаваемого металлической
заряженной сферой радиусом R на расстоянии r
от ее центра: на поверхности сферы
вне сферы (r>R)
Смещение электрическое
Поток напряженности электрического поля
Работа перемещения заряда в
электрическом поле из точки М в точку N
Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом
Потенциал электрического поля металлической полой сферы радиусом R на
расстоянии r от центра сферы:
на поверхности и внутри сферы (r<R)
вне сферы (r>R)
Связь потенциала с напряженностью поля
Сила притяжения между двумя разноименно заряженными
обкладками конденсатора
Электроемкость: уединенного проводника
плоского конденсатора
слоистого конденсатора
Электроемкость
батареи
параллельно
соединенных
конденсаторов
Формула для определения электроемкости батареи
последовательно соединенных конденсаторов
Энергия поля: заряженного проводника
заряженного конденсатора
поляризованного диэлектрика
Объемная плотность энергии электрического поля
Сила тока
Плотность тока в металле
Закон Ома для замкнутой (полной) цепи
Закон Ома в дифференциальной форме
Закон Джоуля—Ленца в Дифференциальной форме
Закон Джоуля—Ленца
Термоэлектродвижущая сила
Сопротивление однородного проводника
Удельная проводимость
Зависимость удельного сопротивления от температуры
Работа тока
Полная мощность, выделяющаяся в цепи
Объединенный закон элeктролиза
(объединенный закон Фарадея)
Коэффициент полезного
действия источника тока
Плотность тока в газе
при отсутствии насыщения
Удельная проводимость
собственных полупроводников
Удельная проводимость электролитов
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Два одинаковых положительных заряда 0,1 мкКл находятся в воздухе на
расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке О,
находящейся на середине отрезка, соединяющего заряды, и в точке А,
расположенной на расстоянии 5 см от зарядов (рис. 4).
Дано
Найти: Ео, ЕА.
Решение. Напряженность поля, создаваемого зарядами, находится по
принципу суперпозиции. Результирующая напряженность Е равна векторной
сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в данной точке поля:
Е=Е1+Е2 (1). Напряженность электрического поля, создаваемая отдельным
зарядом, определяется по формуле .
Чтобы найти напряженность поля в точке О, надо
сначала построить векторы напряженностей. Так как
заряды Q1 и Q2 положительные, векторы E1 и Е2
направлены от точки О в сторону от зарядов, создающих
это поле (см. рис. 4). Кроме того, по условию задачи
заряды равны и расположены на одинаковом расстоянии
от точки О Поэтому с учетом направления векторов из формулы (1) получаем
E0=E1,0-E2,0 но так E1,0=E2,0, то Е0=0.
В точке А напряженность поля вычисляется по формуле (1); построение
векторов проводится аналогично. Результирующий вектор напряженности ЕА
является диагональю параллелограмма (см. рис. 4), следовательно, ЕА=E1+Е2
или ЕА=2Е1сosα, так как Е1=Е2. Из рис. 4 имеем cos 
h
. Напряженность
r1
поля в точке А определяем по формуле
(3)
Подставив в (3) числовые значения, получим
Ответ: E0=0, EA=432 кВ/м
2. Электроемкость плоского воздушного конденсатора С=1 нФ, расстояние
между обкладками 4 мм. На помещенный между обкладками конденсатора
Q=4,9 нКл действует сила F=98 мкН. Площадь обкладки 100 см2.
Определить: напряженность поля и разность потенциалов между обкладками,
энергию поля конденсаторов и объемную плотность энергии.
Дано:
Найти: E, U, WЭ,  .
Решение. Поле между обкладками конденсатора считаем однородным.
Напряженность поля конденсатора определяется из выражения'. E=F/Q, где F
- сила, с которой поле действует на заряд Q, помещенный между обкладками
конденсатора.
Подставив числовые значения, найдём
Разность потенциалов между обкладками U=Ed. Подставив числовые
значения, получим
WЭ 
CU 2  0

.
2
2d
Энергии поля конденсатора
Подставив в числовые значения, получим
Плотность энергии   W0 / V  W0 /( Sd ) - объем поля конденсатора; находим
Ответ:
3. Найти, как изменятся электроемкость и энергия плоского воздушного
конденсатора, если параллельно его обкладкам ввести металлическую
пластину толщиной 1 мм. Площадь обкладки конденсатора и пластины 150
см2, расстояние между обкладками 6 мм. Конденсатор заряжен до 400 В и
отключен от батареи.
Дано:
Найти
Решение. Емкость и энергия конденсатора при внесении в него
металлической пластины изменятся. Это вызвано тем, что при внесении
металлической пластины уменьшается расстояние между пластинами от d до
(d-do) (рис. 5). Используем формулу электроёмкости плоского конденсатора
C
 0 S
(1), где S —площадь обкладки; d — расстояние между обкладками.
В данном случае получим, что изменение электроемкости конденсатора
равно
d
Подставив числовые значения, получим
Так как электрическое поле в плоском конденсаторе однородно, плотность

 0 E 2
2 , (2) где Е —
энергии во всех его точках одинакова и равна
напряженность поля между обкладками конденсатора. При внесении
металлической пластины параллельно обкладкам напряженность поля
осталась неизменной, а объем электрического поля уменьшился на
V  S (d  d 0 )  Sd  Sd 0 Следовательно, изменение энергии (конечное
значение ее меньше начального) произошло вследствие уменьшения объема
поля конденсатора:
1
(3)
W  V    E 2 Sd
э
2
0
0
Напряженность поля Е определяется через градиент потенциала: E=-U/d, (4)
где U — разность потенциалов; d — расстояние между обкладками. Формула
(3) с учетом (4) принимает вид:
(5)
Подставляя числовые значения в формулу (5), получаем
Ответ:
4. Сила тока в резисторе линейно нарастает за 4 с от 0 до 8 А. Сопротивление
резистора 10 Ом. Определить количество теплоты, выделившееся в резисторе
за первые 3c.
Дано: t0=0, t1=4с, I=0, I1=8A, t2=3с.
Найти Q.
Решение. По закону Джоуля—Ленца
(1) Так как сила тока является
функцией времени, то I=kt, (2) где k – коэффициент пропорциональности,
численно равный приращению тока в единицу времени:
I 8 A

 2 A / c.
t 4c
2 2
Следовательно, dQ  k t Rdt . За первые три секунды выделиться количество
k
теплоты
(3)
Подставляя числовые значения в формулу (3), получим
Ответ: Q=360 Дж.
5. Батарея состоит из пяти последовательно соединенных элементов. ЭДС
каждого 1,4 В, внутреннее сопротивление каждого 0,3 Ом. При каком токе
полезная мощность батареи равна 8 Вт? Определить наибольшую полезную
мощность батареи:
Дано:
Найти: I, Pп мах
Решение: Полезная мощность батареи Pп=I2R, (1) где R – сопротивление
внешней цепи, I- сила тока, текущего в цепи, которая определяется по закону
Ома: (2).
Здесь n,  1 (— ЭДС, а nr1,- — внутреннее сопротивление n последовательно
соединенных элементов.
Выразим R из (1): R=Pп/I2 и, подставив это выражение в (2), получим
(3) или
(4)
Преобразуя выражение (4), получим квадратное уравнение относительно I:
Решая квадратное уравнение, найдем
Подставляя числовые значения, получим
Для того чтобы определить наибольшую полезную мощность батареи,
найдем зависимость ее от внешнего сопротивления. Подставим в уравнение
(1) выражение (2):
(5)
Из этой формулы следует, что при постоянных величинах Ri и ri , мощность
является функцией одной переменной - внешнего сопротивления R.
Известно, что эта функция имеет максимум, если dPп/dR=0, следовательно,
имеем
(6)
Таким образом, задача сводится к отысканию сопротивления внешней цепи.
Из решения уравнения (6) следует R=nri. Подставляя найденные значения R в
формулу (5), имеем
Производя вычисления, найдем
Ответ:
6. Определить концентрацию дырок в полупроводнике германия при такой
температуре, когда его удельное сопротивление равно 0,5 Oм·м если
подвижности электронов и дырок соответственно равны 0.40 и 0,20 м2/(В·с).
Дано:
Найти n.
Решение. Удельная проводимость собственных полупроводников равна
(1)
где bn и bр — подвижности электронов и дырок соответственно; е — заряд
электрона; n — концентрация свободных электронов, т. е. число их в единице
объема. В собственном полупроводнике концентрация дырок равна
концентрации свободных электронов.
Учитывая, что удельная проводимость и удельное сопротивление связаны
между собой зависимостью   1 /  (2) имеем 1/  =еn(bn+bр). (3)
Определим концентрацию дырок
Подставив числовые значения величин, найдем
Ответ:
7. Какова концентрация одновалентных ионов в воздухе, если при
напряженности поля 30 В/м плотность тока
Подвижности ионов
Дано:
Найти n.
Решение. Плотность тока в газе при отсутствии насыщения
i  Qn(b  b ) E
где п - концентрация ионов, т. е. число ионов одного знака в единице объема;
b+, b- - подвижности положительных и отрицательных ионов; Енапряженность электрического поля в Газе; Q - абсолютное значение заряда
каждого иона. По условию задачи следует определить концентрацию
одновалентных ионов, находящихся в воздухе, т. е. Q = e (е — заряд
электрона), тогда
(2)
Из выражения (2) определим n:
Подставив числовые значения, найдем
Ответ:
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 (2)
1. Два точечных заряда 30 нКл и -10 нКл находятся в воздухе на
расстоянии 10 см друг от друга. Определить напряженность поля,
создаваемого этими зарядами в точке, удаленной на 9 см от положительного
заряда и 7 см от отрицательного заряда. Решение пояснить рисунком.
2.Расстояние между двумя бесконечно длинными параллельными
металлическими нитями, заряженными одноименно с линейной плотностью
6-10-5 Кл/м, равно 5 см. Найти напряженность поля в точке, удаленной на
5 см от каждой нити. Решение пояснить рисунком.
3. Две параллельно расположенные плоскости заряжены — одна с
поверхностной плотностью 0,4·10-6 Кл/м2, другая - 0,6·10-6 Кл/м2. Определить
напряженность поля между плоскостями. Решение пояснить рисунком.
4. Два металлических полых концентрических шара заряжены. Диаметр
большего шара 0,08 м, заряд на нем -40 нКл, диаметр меньшего шара 0,04 м,
заряд на нем 20 нКл. Заряды равномерно распределены по поверхностям
шаров. Определить напряженность поля в центре шаров и на расстояниях: а)
0,03 м, б) 0,05 м от Центра. Решение пояснить рисунком.
5. Тонкое кольцо радиусом r заряжено равномерно с линейной
плотностью  . Определить напряженность поля в центре кольца и на высоте
h. над кольцом по оси симметрии. Решение пояснить рисунком.
6. Расстояние между двумя параллельно расположенными бесконечно
длинными металлическими нитями равно 10 см. Одна нить заряжена с
линейной плотностью 6·10-5 Кл/м, другая -3·10-5 Кл/м. Найти напряженность
поля в точке, удаленной на расстояние 10 см от каждой нити. Решение
пояснить рисунком.
7. Две параллельные плоскости одноименно заряжены с поверхностной
плотностью зарядов 0,5·10-6 и 1,5·10-6 Кл/м2. Определить напряженность
поля: а) между плоскостями, б) вне плоскостей. Решение пояснить рисунком.
8.В центре металлической полой сферы, радиус которой 0,04 м,
расположен точечный заряд 10 нКл. Заряд 40 нКл равномерно распределен
по поверхности сферы. Определить напряженность поля в точках, удаленных
от центра сферы на расстояние: а) 2 см, б) 8 см. Решение пояснить рисунком.
9.Тонкое полукольцо радиусом r заряжено равномерно с линейной
плотностью  . Определить напряженность поля в центре кривизны
полукольца. Решение пояснить рисунком.
10.Два точечных одноименных заряда по 2,7·10-6 Кл находятся в воздухе
на расстоянии 5 см друг от друга. Определить напряженность поля,
создаваемого этими зарядами в точке, удаленной на расстояние 3 см от
одного заряда и 4 см от другого. Решение пояснить рисунком.
11.Узкий пучок электронов, обладающих скоростью 20 000 км/с, проходит
в вакууме посередине между обкладками плоского конденсатора. Какую
наименьшую разность потенциалов нужно приложить к пластинам, чтобы
электроны не вышли из конденсатора? Расстояние между пластинами 1 см,
длина их 3 см.
12.Обкладки плоского конденсатора площадью 100 см2, расстояние между
которыми 3 мм, взаимодействует с силой 120 мН. Определить разность
потенциалов между обкладками.
13.Обкладки плоского конденсатора, расстояние между которыми 2 мм,
взаимодействуют с силой 100 мН. Найти заряд на обкладках конденсатора,
если разность потенциалов между ними 500 В.
14.Пылинка, заряд которой 6,4-10-18 Кл, масса 10-14 кг, удерживается в
равновесии в плоском конденсаторе с расстоянием между обкладками 4 мм.
Определить разность потенциалов между обкладками.
15.Два точечных одноименных заряда 20 и 50 нКл находятся в воздухе на
расстоянии 1 м. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы
сблизить их до расстояния 0,5 м.
16.Пылинка, заряд которой содержит 50 электронов, удерживается в
равновесии в плоском конденсаторе, расстояние между обкладками 5 мм,
разность потенциалов между ними 75 В. Определить массу пылинки.
17.Определить силу взаимодействия между обкладками плоского
конденсатора, если он находится в спирте. Площадь обкладок 200 см2,
расстояние между ними 5 мм. Обкладки заряжены до разности потенциалов
200 В.
18.При разности потенциалов 900В. в середине между обкладками
плоского конденсатора в равновесии находилась пылинка. Расстояние между
обкладками конденсатора 10 мм. При уменьшении напряжения пылинка
через 0,5 с. достигла нижней обкладки. Определить это напряжение.
19.Расстояние между двумя одноименными точечными зарядами -0,5 нКл
и 3 нКл равно 5 см. Какую работу совершает сила поля, если второй заряд,
отталкиваясь от первого, пройдет путь 4 см?
20.Предположим, что электрон движется вокруг протона по круговой
орбите. Определить отношение потенциальной энергии электрона к его
кинетической.
21.Конденсатор, заряженный до напряжения 200 В, соединен с
незаряженным конденсатором такой же электроемкости: а) параллельно, б)
последовательно. Какое напряжение установится между обкладками
конденсатора в обоих случаях?
22.Каким образом нужно соединить три конденсатора, электроемкостью 3,
6 и 9 мкФ каждый, чтобы электроемкость батареи была: а) минимальной, б)
максимальной.
23.Шару радиусом R1 сообщили заряд Q1, а шару радиусом R2 — заряд Q2.
Расстояние между шарами много больше их радиусов. Найти отношение
поверхностной плотности зарядов на шарах к их радиусам, если шары
соединить тонкой металлической проволокой.
24.Параллельно обкладкам плоского конденсатора введена металлическая
пластинка толщиной 6 мм. Определить электроемкость конденсатора, если
площадь каждой из обкладок 100 см2, расстояние между ними 8 мм.
25.Один конденсатор заряжен до напряжения 50 В, другой конденсатор
такой же емкости —до напряжения 150 В. Какое напряжение установится
между обкладками конденсатора, если их соединить: а) одноименно
заряженными обкладками, б) разноименно заряженными обкладками?
26.Конденсатор состоит из трех полосок станиоля площадью 3 см2 каждая,
разделенных двумя слоями слюды толщиной по 0,05 мм. Крайние полоски
станиоля соединены между собой. Какова электроемкость такого
конденсатора?
27.Два конденсатора электроемкостью 3 и 5 мкФ соединены
последовательно и подсоединены к источнику постоянного напряжения 12 В.
Определить заряд каждого конденсатора и разность потенциалов между его
обкладками.
28.Между обкладками плоского конденсатора находится металлическая
пластинка толщиной 4 мм. Как изменится электроемкость конденсатора, если
эту пластинку убрать? Расстояние между обкладками 6 мм, площадь
обкладок 100 см2.
29.Каким образом нужно соединить три конденсатора электроемкостью 2,
4 и 6 мкФ каждый, чтобы электроемкость батареи была больше 2 мкФ, но
меньше 12 мкФ? Рассмотреть все возможные случаи.
30.Найти напряжение на каждом из двух конденсаторов, если они
соединены последовательно и электроемкостью 4 и 6 мкФ, подсоединены к
источнику постоянного напряжения 100 В.
31.Плоский конденсатор, расстояние между обкладками которого 2 см, а
площадь каждой обкладки 200 см2, зарядили до разности потенциалов 200 В
и отключили от источника напряжения. Какую работу нужно совершить,
чтобы увеличить расстояние между обкладками до 6 см?
32.Напряженность поля внутри плоского воздушного конденсатора с
площадью обкладок по 100 см2 равна 120 кВ/м. Напряжение на конденсаторе
600 В. Определить энергию, поверхностную плотность зарядов и
электроемкость конденсатора.
33.Определить работу, совершаемую при раздвигании обкладок плоского
конденсатора площадью 100 см2 каждая на расстояние 1.5 см, при условии,
что обкладки несут заряд 0,4 и -0,4 мкКл.
34. Определить энергию и силу притяжения обкладок плоского
конденсатора при условии, что разность потенциалов между обкладками 5
кВ, заряд каждой обкладки 0,1 мкКл, расстояние между обкладками 1 см.
35.Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного
конденсатора с твердым диэлектриком равна 3 Дж/м5. Определить давление,
производимое пластинами конденсатора на диэлектрик.
36.Два конденсатора одинаковой электроемкости 6 мкФ каждый были
заряжены — один до 100 В, другой до 200 В. Затем конденсаторы соединили
параллельно. Определить напряжение батареи после соединения и изменение
энергии системы.
37.Давление, производимое обкладками плоского конденсатора на
твердый диэлектрик, находящийся между ними, равно 1,5 Па. Определить
энергию электрического поля конденсатора и объемную плотность энергии,
если площадь обкладок 100 см2, расстояние между ними 0,5 см.
38.Найти напряженность поля плоского конденсатора и объемную
плотность энергии, если расстояние между обкладками конденсатора 0,05 м.
Конденсатор заряжен до разности потенциалов 600 В и обладает энергией
3,2 мкДж.
39.Два конденсатора одинаковой электроемкости 6 мкФ каждый заряжены
— один до 100 В, другой до 200 В. Затем конденсаторы соединили
последовательно. Определить изменение энергии системы.
40.Плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок 150 см2 и
расстоянием между ними 6 мм заряжен до 400 В. Определить, как изменятся
электроемкость и энергия конденсатора, если параллельно его обкладкам
внести металлическую пластину толщиной 1 мм.
41.Определить заряд, прошедший по резистору с сопротивлением 1 Ом,
при равномерном возрастании напряжения на концах резистора от 1 до 3 В в
течение 10 с.
42.Определить количество теплоты, выделяющееся в резисторе за первые
две секунды, если сила тока в нем за это время возрастает по линейному
закону от 0 до 4 А. Сопротивление резистора 10 Ом.
43.Определить силу тока, потребляемого электрической лампочкой при
температуре вольфрамовой нити 2000 °С, если диаметр нити 0,02 мм,
напряженность электрического поля нити 800 В/м.
44.Определить удельное сопротивление и материал провода, который
намотан на катушку, имеющую 500 витков со средним диаметром витка 6 см,
если при напряжении 320 В допустимая плотность тока 2·106 А/м2.
45.Определить плотность тока, текущего по резистору длиной 5 м, если на
концах его поддерживается разность потенциалов 2 В. Удельное
сопротивление материала 2·10—6 Ом·м.
46.
Определить заряд, прошедший по резистору за 10 с, если сила
тока в резисторе за это время равномерно возрастала от 0 до 5 А.
47.
В резисторе сопротивлением 20 Ом сила тока за 5 с линейно
возросла от 5 до 15 А. Какое количество теплоты выделилось за это время?
48.
Определить удельную тепловую мощность, выделяемую
медными шинами площадью сечения 10 см2, по которым течет ток силой
100 А.
49.
Определить разность потенциалов на концах нихромового
проводника длиной 1 м, если плотность тока, текущего по нему, 2·108 А/м2.
50.Определить плотность тока, текущего по никелиновому проводнику,
если удельная тепловая мощность, выделяемая в проводнике, равна 104
Дж/(м3·с).
51.ЭДС аккумулятора автомобиля 12 В. При силе тока в 3 А его КПД
равен 0,8. Определить внутреннее сопротивление аккумулятора.
52.Элемент с ЭДС 6 В и внутренним сопротивлением 1,5 Ом замкнут на
внешнее сопротивление 8,5 Ом. Найти: а) силу тока в цепи, б) падение
напряжения во внешней цепи и внутри элемента, в) КПД элемента.
53.Определить ток короткого замыкания батареи, ЭДС которой 15 В, если
при подключении к ней резистора сопротивлением 3 Ом сила тока в цепи
4 А..
54.Два источника тока, ЭДС которых по 2 В и внутреннее сопротивление
каждого 0,5 Ом, соединены последовательно. При каком внешнем
сопротивлении потребляемая полезная мощность будет максимальной?
55.
Два источника тока, ЭДС которых по 1,5 В и внутреннее
сопротивление каждого по 0,5 Ом, соединены параллельно. Какое
сопротивление нужно подключить к ним, чтобы потребляемая полезная
мощность была максимальна.
56.
Источник постоянного тока один раз подсоединяют к резистору
сопротивлением 9Ом, другой раз - 16 Ом. В первом и во втором случае
количество теплоты, выделяющееся на резисторах за одно и то же время,
одинаково. Определить внутреннее сопротивление источника тока.
57.
Электроплитка имеет две одинаковые спирали. Начертить все
возможные схемы включения этих спиралей и определить отношение
количеств теплоты, полученных от плитки за одно и то же время в каждом из
этих случаев.
58.
При каком условии сила тока во внешней цепи будет одинаковой
при последовательном и параллельном соединениях п одинаковых
элементов? Чему будет равно отношение потребляемых мощностей в этих
случаях?
59.В течение 5 с по резистору сопротивлением 10 Ом течет ток, сила
которого равномерно возрастает. В начальный момент сила тока равна нулю.
Определить заряд, протекший за 5 с, если количество теплоты, выделившееся
в резисторе за это время, равно 500 Дж.
60.Сила тока в резисторе равномерно возрастает от нулевого значения в
течение 10 с. За это время выделилось количество теплоты 500 Дж.
Определить скорость возрастания тока, если сопротивление резистора 10 Ом.
61.При ионизации воздуха образуются одновалентные ионы. Определить
их концентрацию, если при напряженности поля 1 кВ/м плотность тока равна
6·10-6 А/м2. Подвижности положительных и отрицательных ионов
соответственно равны 1,4·10-4 и 1,9·10-4 м2/(В·с).
62. При некоторой температуре собственный полупроводник германий
имеет концентрацию свободных электронов 2,5·1019 м-3. Определить
удельное сопротивление германия при этой температуре, если подвижности
дырок и электронов соответственно равны 0,16 и 0,36 м2/(В·с).
63.При покрытии металлического изделия серебром электрический ток
пропускается в течение 10 мин. Определить, при какой плотности тока
толщина покрытия будет 4,5·10-2 см.
64.При электролизе медного купороса была израсходована энергия
15 МДж. Определить массу меди, выделившейся на электроде, если разность
потенциалов на электродах 10 В.
65.Между двумя пластинами площадью 200 см2 каждая, находящимися на
расстоянии 3 см, находится воздух. Определить концентрацию
одновалентных ионов между пластинами, если воздух ионизируют с
помощью радиоактивного источника и при напряжении между пластинами
120 В идет ток силой 2 мкА. Подвижности положительных и отрицательных
ионов соответственно равны 1,4·10-4 и 1,9·10-4 м2/(В·с).
66.Полупроводник кремний при комнатной температуре имеет удельное
сопротивление 0,5 Ом·м. Определить концентрацию дырок, если
подвижности электронов и дырок соответственно равны 0,16, 0,04 м2/(В·с).
67. Определить удельную проводимость водного раствора хлористого
калия, концентрация которого 0,10 г/см3 при температуре 18°С, если
коэффициент диссоциации этого раствора 0,8. подвижность ионов калия и
хлора равны соответственно 6,7  10 8 и 6,8  10 8 м2/( В·с)
68.Определить коэффициент диссоциации водного раствора хлористого
калия с концентрацией 0,10 г/см3. Удельное сопротивление такого раствора
при 18 °С равна 7,36·10-2 Ом·м. Подвижности ионов калия и хлора равны
соответственно 6,7·10-8 и 6,8·10-8 м2/(В·с).
69.Определить заряд ионов, образующихся в воздухе при ионизации его
рентгеновскими лучами, если концентрация ионов одного знака 5,7·1013 м-3,
подвижности положительных и отрицательных ионов соответственно равны
1,4·10-4 и 1,9·10-4 м2/(В·с). При напряженности поля 3 кВ/м плотность тока
равна 9,03·10-6 А/м2.
70.Определить концентрацию электронов в металле, если удельное
сопротивление его 2·10-7 Ом·м, средняя скорость хаотического движения
электронов 4·106 м/с, средняя длина, свободного пробега электронов в
металле 0,7 нм.
IV. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ПОЯСНЕНИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ
Изучение электрических и магнитных явлений было проведено в XIX в.
Эти явления связаны с особой формой существования материи —
электрическими и магнитными полями с их взаимодействием.
Электромагнитные
взаимодействия
не
только
объясняют
все
электромагнитные явления, нo и обеспечивают силы, обусловливающие
существование вещества на атомном и молекулярном уровнях как целого.
Важность теории электромагнитного поля связана с тем, что она включает в
себя всю оптику, так как свет представляет собой электромагнитное
излучение. Основой теории электромагнитного поля является теория
Максвелла. Уравнения Максвелла установили тесную связь между этими
явлениями, которые раньше рассматривались как независимые. Максвелл
сформулировал такое важнейшее понятие физики, как электромагнитное
поле.
Приступая к изучению этого раздела, студент должен уделить особое
внимание закону электродинамики — закону Ампера. Знать и уметь
применять закон Био—Савара—Лапласа для расчета магнитной индукции
или напряженности магнитного поля прямолинейного и кругового токов, а
также закон полного тока (циркуляция вектора магнитной индукции) для
расчета магнитного поля тороида и длинного соленоида. При изучении
вопроса, связанного с действием магнитного поля на движущиеся заряды,
нужно уметь применять силу Лоренца для определения направления
движения заряженных частиц в магнитном поле, представлять себе принцип
действия циклических ускорителей заряженных частиц, а также определять
работу перемещения проводника и контура с током в магнитном поле.
При изучении явления электромагнитной индукции необходимо усвоить,
что механизм возникновения ЭДС индукции имеет электронный характер.
Изучив основной закон электромагнитной индукции Фарадея—Максвелла,
студент на его основе должен уметь вывести и применять для расчетов
формулы ЭДС индукции, энергии магнитного поля.
Изучение магнитных свойств вещества в основном носит описательный
характер. Студент при этом должен уяснить, что исходя из выражения
циркуляции вектора магнитной индукции магнитное поле в отличие от
электрического является вихревым.
При изучении темы «Колебания» следует параллельно рассматривать
механические и электромагнитные колебания, что способствует выработке у
студента единого подхода к колебаниям различной физической природы.
Здесь следует четко уяснить понятия фазы, разности фаз, амплитуды,
частоты, периода колебаний, и там, где это необходимо, использовать
графический метод представления гармонического колебания. Нужно
уяснить, что любые колебания линейной системы всегда можно представить
в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических
колебаний с различными частотами, амплитудами и начальными фазами.
Изучение темы «Волны» целесообразно начинать с механических волн,
распространяющихся в упругих средах. Здесь следует обратить внимание на
картину мгновенного распределения смещений и скоростей в бегущей волне,
различие между бегущей и стоячей волнами, зависимость фазовой скорости
от частоты колебаний, найти связь между групповой и фазовой скоростями и
показать их равенство в отсутствие дисперсии волн. Особое внимание
студент должен уделить условию интерференции волн, энергетическому
соотношению
при
интерференции
волн,
понять
и
объяснить
перераспределение энергии при образовании минимумов и максимумов
интенсивности. Переходя к изучению электромагнитных волн, студенту
следует ясно представить себе физический смысл уравнений Максвелла (в
интегральной форме) и, опираясь на них, рассмотреть свойства этих волн.
Нужно четко представлять, что переменные электрическое и магнитное поля
взаимосвязаны, они поддерживают друг друга и могут существовать
независимо от источника, их породившего, распространяясь в пространстве в
виде электромагнитной волны. Другими словами, электромагнитная волна —
это распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле.
Под энергией электромагнитного поля следует подразумевать сумму энергий
электрического и магнитного полей. Простейшей системой, излучающей
электромагнитные волны, является колеблющийся электрический диполь.
Следует помнить, что если диполь совершает гармонические колебания, то
он излучает монохроматическую волну.
Контрольная работа № 4 представлена набором таких задач, которые
помогут студенту проверить свои знания по таким вопросам, как применение
закона Био—Савара—Лапласа для расчета магнитной индукции (или
напряженности) магнитного поля, создаваемого проводниками с током
различной конфигурации, научиться применять принцип суперпозиции при
определении индукции или напряженности простейших полей, определять
траекторию движения заряженной частицы, ее удельный заряд и силу,
действующую на движущуюся частицу в магнитном поле, вычислять работу,
совершаемую силами как при движении прямолинейного проводника с
током, так и при вращении контура с током различной конфигурации в
магнитном поле, находить намагниченность, энергию и объемную плотность
энергии магнитного поля соленоида и тороида.
Задачи на гармонические колебания охватывают такие вопросы, как
определение амплитуды, скорости, ускорение, энергии при механических
колебаниях, периоды, электроемкости, индуктивности, силы тока,
напряжения, энергии при электромагнитных колебаниях. Волновые процессы
представлены задачами, в которых определяются период, длина, скорость
распространения, энергия и объемная плотность энергии механических и
электромагнитных волн.
Основные законы и формулы
Закон Ампера
Механический
момент,
действующий на контур с током,
помещенный в магнитное поле
Магнитный момент контура с
током
Связь магнитной индукции с
напряженностью
магнитного
поля
Закон Био—Савара—Лапласа
Магнитная индукция в центре
кругового тока
Магнитная индукция:
поля, созданного бесконечно
длинным прямым проводником с
током
поля,
созданного
отрезком
проводника с током
поля
бесконечно
длинного
соленоида и тороида
Сила
взаимодействия
двух
прямолинейных бесконечно
длинных
параллельных
проводников с током
Вектор Пойнтинга
Напряженность
магнитного
поля, создаваемого движущимся
зарядом
Сила Лоренца
Магнитный поток однородного
магнитного поля
Работа по перемещению контура
с током в магнитном поле
Основной
закон
электромагнитной индукции
Потокосцепление
Потокосцепление соленоида
Электродвижущая
самоиндукции
Индуктивность соленоида
сила
Заряд,
протекающий
замкнутому
контуру
возникновении
в
индукционного тока
по
при
нем
Мгновенное значение силы тока в
цепи, обладающей сопротивлением
R и индуктивностью L
Энергия магнитного поля
Объемная плотность
магнитного поля
энергии
Намагниченность
Магнитная
восприимчивость
среды
Период
электромагнитных
колебаний в контуре (формула
Томсона)
Скорость
распространения
электромагнитных волн в среде
Уравнение
колебания
гармонического
Полная
энергия
гармоническом колебании
при
Уравнение бегущей волны
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
I. Изолированный прямолинейный проводник изогнут в виде прямого
угла со стороной длиной 20 см. В плоскости угла помешен кольцевой
проводник радиусом 10 см так, что стороны угла являются
касательными к кольцевому (рис. 6, а). Найти индукцию в центре
кольца. Силы токов в проводниках равны 2 А. Влияние подводящих
проводов не учитывать.
Решение. Индукция dВ в точке поля от элемента проводника dl с током I
(проводник имеет произвольную конфигурацию) определяется по
закону Био—Савара—Лапласа:
где r— модуль радиуса-вектора, проведенного из элемента в точку, где
определяется индукция: α — угол, составленный векторами dl и r; µо—
магнитная
постоянная.
Направление
вектора
индукции
перпендикулярно плоскости, содержащей dl в r, и определяется
правилом правого винта. Например, в центре окружности (см. рис. 6, а)
векторы индукции от всех элементов перпендикулярны плоскости
окружности и направлены на нас. Интегрируя выражение (1), получаем
индукцию в центре окружности радиуса r0:
Индукция, создаваемая в точке М конечным отрезком АВ прямого
проводника на расстоянии r0 от него (рис. 6,б), равна В2=
Эту же формулу в некоторых случаях
удобнее записать в виде
Вектор индукции в точке М перпендикулярен плоскости, в которой лежат
проводник АВ и r0 , и совпадает по направлению с В1.
По условию задачи β1 = β2 =45°, и индукция от двух сторон угла составляет
Так как направления векторов индукции полей, создаваемых проводниками,
совпадают, то результирующая индукция в центре кольца равна сумме
В = B1+B3, или
Ответ: В = 15,32 мкТл.
2. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся
на расстоянии 10 см друг от друга, текут токи силой 5 А в каждом.
Определить индукцию магнитного поля,
создаваемого токами в точке, лежащей
посередине между проводниками в
случаях: 1) проводники параллельны и
токи текут в одном направлении (рис. 7.
а); 2) проводники перпендикулярны,
направления токов показаны на рис. 7.
б. Дано: d=0,l м,
I1 = I2= I = 5 А. .
Найти: В|| и В┴
Решение. Результирующая индукция
магнитного поля в данной точке равна
векторной сумме индукций полей,
создаваемых
каждым
током
в
отдельности: В=В1+В2 (1), где B1 и В2 —
индукции
полей,
создаваемых
соответственно токами I1 и I2. Если токи
текут по параллельным проводникам в
одном направлении, то, применив
правило правого винта, определяем направления В1, и В2. Как видно из рис. 7, а, В1 и В2 направлены в
противоположные стороны, поэтому векторная сумма (1) в данном случае
может быть заменена алгебраической
Индукции полей, создаваемых
находим по формуле
бесконечно
длинными
проводниками,
где r1 и r2 — соответственно расстояния от проводников до точки, где
определяется индукция магнитного поля. Согласно условию задачи, r1 = r2 = r
и тогда
В случае, когда проводники перпендикулярны (рис. 7,6), результирующая
индукция в точке, лежащей посередине между проводниками, равна
Подставляя числовые значения, получаем
3. Пройдя ускоряющую разность потенциалов 3,52 кВ, электрон влетает в
однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция
поля 0,01 Тл, радиус траектории r = 2см. Определить
удельный заряд электрона.
Дано: U = 3,52 103 В, В=0,01 Тл, r =2 см.
Найти e/m.
Решение. Удельным зарядом частицы называется величина, равна
отношению заряда к массе, т. е. e/m.
В магнитном поле с индукцией В на заряд, движущийся со скоростью v
перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца F л = B∙e∙v. Под
действием этой силы заряд перемещается по дуге окружности. Так как при
этом сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение, то согласно
второму закону Ньютона можно записать
Кинетическую энергию, равную mV2/2, электрон приобретает за счет работы
А сил электрического поля (A = e∙U), поэтому имеем mV2/2 = e∙U
Преобразуя последние два соотношения и исключив из них скорость,
получим формулу для определения удельного заряда электрона
Подставив исходные данные, находим
4. Виток радиусом 2 см, по которому течет ток силой 10 А, свободно
установился в однородном магнитном поле с индукцией 1,5 Тл. Линии
индукции перпендикулярны плоскости витка. Определить работу,
совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90° вокруг оси,
совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока
в нем поддерживается неизменной.
Дано: I=10 А, В=1,5 Тл, r =0,02 м, α=90°.
Найти А.
Решение. На виток с током, помещенный в магнитное поле, действует
вращающий момент M=pmB sin α, (1) где pm = IS = Iπr2 — магнитный момент
витка; В — индукция магнитного поля; α — угол между векторами рm и B. В
начальном положении согласно условию задачи виток свободно установился
в магнитном поле, следовательно, векторы рm и В совпадают по
направлению, т. е. α=0 и М=0. При действии внешних сил виток выходит из
положения равновесия, при этом возникает момент сил, определяемый
формулой (1). Момент сил стремится возвратить виток в исходное
положение. При повороте витка внешние силы совершают работу против
этого момента, который является переменным и зависит от угла поворота α:
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу, совершаемую при
повороте витка на конечный угол:
Подставляя числовые значения, находим
5. По соленоиду течет ток силой 5 А. Длина соленоида 1 м, число витков 500.
В соленоид вставлен железный сердечник. Найти намагниченность и
объемную плотность энергии магнитного поля соленоида. Зависимость
В=f(H) дана на рис. 8.
Решение. Намагниченность определяется отношением магнитного момента к
объему магнетика и связана с напряженностью магнитного поля
соотношением J=ηH, (1), где η—магнитная восприимчивость среды. Поле
соленоида можно считать однородным. В этом случае напряженность поля
вычисляется по формуле Н=Iп, (2) где I— сила тока, текущего по обмотке
соленоида; n=N/l — число витков, приходящихся на единицу длины
соленоида. Тогда H=IN/l. (3)
Связь между магнитной восприимчивостью η и магнитной
проницаемостью µ среды выражается формулой
η =µ—1. (4)
Определим напряженность магнитного поля соленоида по (3)
По графику на рис. 8 находим, что напряженности H=2500 А/м соответствует
индукция магнитного поля В=-1,6 Тл. Используя соотношение В=µµ0Н,
находим
Согласно формуле (4) имеем η=500—1=499. Определим намагниченность
по формуле (1)
Объемная плотность энергии магнитного поля соленоида вычисляется по
формуле
6. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания с
периодом 1 с. Начальная фаза колебаний 30°, Определить амплитуду
колебаний, максимальные скорость и ускорение колеблющейся точки, если
максимальная кинетическая энергия равна 0,02 Дж.
Решение. Полная энергия колеблющейся точки — это сумма потенциальной
и кинетической энергии; она равна максимальной кинетической или
максимальной потенциальной энергии. Полная энергия зависит от массы
колеблющейся точки, амплитуды и круговой частоты колебаний:
E=Ek1max=1/2mA2 ω2.
Отсюда находим
1 2 Ek max
A

m
или учитывая, что ω 2=2 π/T,
A
T
2
2 Ek max
m
;
A
1c
2  0,02 Дж
 0,32 м
2  3,14
0,01кг
Зная
амплитуду, запишем
уравнение гармонических колебаний,
совершаемых материальной точкой:
x=0,32sin(2πt+ π/6),
где η — смещение точки относительно положения равновесия; 0,32м=A —
амплитуда; 2πс-1=ω — круговая частота; π/6=φ0 — начальная фаза
колебаний.
Скорость точки определяется как первая производная от смещения по
времени:

dx
 0,32  2  cos( 2  t   / 6).
dt
Полагая cos(2πt+ π/6)=1 получаем,
υmax=0,32м·2 π c-1=2м/с
Ускорение точки определяется как первая производная от скорости по
времени:
a
d
 0,32(2 ) 2 sin( 2  t   / 6).
dt
Полагая sin(2 πt+ π/6)=-1, находим
amax =0,32м·4π 2с-2=12,62м/с2.
Максимальную скорость можно найти из уравнения 1/2mυ2max=Ek max
Откуда
 max  2 E k max / m;
 max  2  0,02 Дж / 0,01кг  2 м / с.
Ответ:A=0,32м, υmax=2м/с, аmax=12,62м/с2.
7. Разность потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном
контуре изменяется со временем по закону U=100sin1000πt. Электроемкость
конденсатора 0,5 мкФ. Определить период собственных колебаний,
индуктивность, энергию контура и максимальную силу тока, текущего по
катушке индуктивности.
Дано: U= 100 sin 1000πt, С=0,5·10-6 Ф.
Найти: Т, L, W, Imax.
Решение. Напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому
закону U=U0sinωt, где U0 — амплитудное (максимальное) значение
напряжения на обкладках конденсатора; ω0 — собственная циклическая
частота колебаний, которая связана с периодом соотношением T=2π/ω0 .
Отсюда находим
Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона
откуда
Энергия контура – это сумма электрической
магнитной
энергий и равна максимальной энергии поля конденсатора
максимальной энергии катушки индуктивности
и
или
Зная полную энергию, можно определить максимальную силу тока,
протекающего по катушке индуктивности:
8. Колеблющиеся точки удалены от источника колебаний на расстояние
0,5 и 1,77 м в направлении распространения волны. Разность фаз их
колебаний равна Зπ/4. Частота колебаний источника 100 с-1. Определить
длину волны и скорость ее распространения. Написать уравнение волны
для заданных точек, если амплитуды колебаний их равны 1 см.
Дано: l1=0,5 м, l2=1,77 м, Δφ=Зπ/4, v=102 с-1, A1=A2=A=0,01 м.
Найти: λ, υ.
Решение. Из уравнения бегущей волны по разности фаз Δφ и расстоянию l
от источника колебаний до колеблющейся точки можно определить λ.
Имеем
где х — смещение колеблющейся точки; t — время колебания;
ω=2π/Т=2πλ= 200π — круговая частота.
В уравнении (2) выражение 2π(t/T—l/λ) является фазой колебаний.
Запишем
фазы
для
каждой
из
заданных
точек:
Тогда разность фаз

откуда
2 l2  l1 
2 1,77  0,5
; 
 3,38 м
3 / 4

Скорость распространения волны
Подставляя, числовые значения в уравнение
для первой и второй точек:
(1), получаем соответственно
x1  0,01sin 200 t  0,5 / 338  ;
x2  0,01sin 200 t  1,77 / 338  .
9. Определить энергию, переносимую плоской синусоидальной
электромагнитной волной, распространяющейся в вакууме, за 1 с сквозь
поверхность площадью 1 м2, расположенную перпендикулярно
направлению распространения волны. Амплитуда напряженности
электрического поля волны 5 мВ/м. Период волны T«t.
Решение. Плотность потока энергии (или интенсивность излучения)
электромагнитных волн, т. е. количество энергии, переносимой за единицу
времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению
распространения волны, определяется вектором Пойнтинга Р=ЕхН, где Е,
Н—векторы напряженности электрического и магнитного полей в электро-
магнитной волне. Учитывая, что Е┴Н, получим для модуля вектора Р
Так как величины E и H в каждой точке электромагнитной волны
меняются во времени по закону синуса, находясь в одинаковых фазах, то
мгновенное значение величины Р равно
Таким образом, величина Р является функцией времени. Согласно
определению вектора плотности потока энергии, имеем
1 dW
P
S dt
где dW — энергия, переносимая волной через площадку S за время dt. Из
выражений (2) и (1) имеем
Для определения dW необходимо знать величину Hо, которая может быть
найдена из соотношения
Отсюда
По условию, ε=µ=1, тогда
Подставляя (4) в (3), получим
Энергия, переносимая волной за время t.
По условию задачи T«t, поэтому
можно пренебречь. Тогда
Подставляя числовые значения, получим
и членом
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4 (3)
1.
По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам,
расположенным параллельно друг другу на расстоянии 10 см, текут токи
силой 0,5 и 10 А. Определить магнитную индукцию поля в точке, удаленной
на 10 см от каждого проводника. Рассмотреть все возможные случаи.
Решение пояснить рисунком.
2. По кольцевому проводнику радиусом 10 см течет ток силой 4 А.
Параллельно плоскости кольцевого проводника на расстоянии 2 см над его
центром проходит бесконечно длинный прямолинейный проводник, по
которому течет ток силой 2 А. Определить индукцию и напряженность
магнитного поля в центре кольца. Рассмотреть все возможные случаи.
Решение пояснить рисунком.
3. По двум круговым виткам, имеющим общий центр, текут токи силой 5
и 4 А. Радиусы витков соответственно равны 3 и. 4 см. Угол между их
плоскостями 30°. Определить индукцию и напряженность в центре витков.
Рассмотреть все возможные случаи. Решение пояснить рисунком.
4. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам,
расположенным параллельно друг другу на расстоянии 10 см, текут токи в
одном направлении. Напряженность поля в точке, удаленной на 10 см от
каждого проводника, 16,33 А/м. По одному из проводников течет ток силой
0,5 А. Определить силу тока, текущего по другому проводнику. Решение
пояснить рисунком.
5. Два круговых витка с током лежат в одной плоскости и имеют общий
центр. Радиус большего витка 12 см, меньшего 8 см. Напряженность поля в
центре витков равна 50 А/м, если токи текут в одном направлении, и нулю,
если в противоположном. Определить силы токов, текущих по круговым
виткам. Решение пояснить рисунком.
6. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам текут токи
силой 4 и 6 А. Расстояние между проводниками 15 см. Определить,
геометрическое место точек, в которых индукция магнитного поля равна
нулю.
Решение пояснить рисунком.
7. По круговому проводнику радиусом 0,12 м течет ток силой 0,2 А.
Перпендикулярно плоскости кругового проводника проходит бесконечно
длинный проводник, по которому течет ток силой 0,1 А. Индукция
магнитного поля в центре кругового проводника 11,3•10-7 Тл. Определить, на
каком расстоянии от центра кругового проводника находится
прямолинейный проводник. Решение пояснить рисунком.
8. Проводник длиной 1 м согнут в виде квадрата. Определить индукцию
магнитного поля и напряженность в точке пересечения диагоналей квадрата,
если по проводнику течет ток силой 4 А. Решение пояснить рисунком.
9. Прямой проводник согнут в виде прямоугольника со сторонами длиной
0,2 и 0,3 м. Какой силы ток нужно пропустить по этому проводнику, чтобы
напряженность поля в точке пересечения диагоналей была 19 А/м. Решение
пояснить рисунком.
10.Прямой проводник длиной 90 см согнут в виде равностороннего
треугольника. Какой силы ток нужно пропустить по этому проводнику,
чтобы индукция магнитного поля в точке пересечения высот треугольника
равнялась 1,24•10—6 Тл. Решение пояснить рисунком.
11.Как нужно расположить алюминиевый проводник, имеющий площадь
поперечного сечения 3,78 • 10—9 м2, по которому проходит ток силой 1 А,
относительно горизонтально расположенного проводника с током силой 5 А,
чтобы алюминиевый проводник находился в равновесии?
12.Рассчитать радиус дуантов циклотрона, индукция магнитного поля в
котором 1 Тл, если он предназначен для ускорения протонов до энергии 10
МэВ.
13.Электрон, имеющий начальную скорость 105 м/с, влетает в
пространство, в котором созданы два взаимно перпендикулярных магнитных
поля, индукции которых 0,3 и 0,4 мкТл. Определить траекторию движения
электрона, если векторы индукции магнитных полей перпендикулярны
вектору скорости электрона.
14.Частица, обладающая энергией 16 МэВ, движется в однородное
магнитном поле с индукцией 2,4 Тл по окружности радиусом 24,5 см.
Определить заряд этой частицы, если ее скорость 2,72•107 м/с.
15.Определить
площадь
поперечного
сечения
прямолинейного
алюминиевого проводника, движущегося с ускорением 0,4 м/с2 в однородном
магнитном поле с индукцией 2,2•10-4 Тл. По проводнику течет ток силой 5 А,
его направление движения перпендикулярно вектору индукции.
16.Каким образом нужно расположить прямолинейный алюминиевый
проводник в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией 0,04
Тл и какой силы ток пропустить по нему, чтобы он находился в равновесии.
Радиус проводника 1 мм.
17.Определить напряженность однородного горизонтального магнитного
поля, в котором в равновесии находится незакрепленный прямолинейный
медный проводник с током силой 10 А. Диаметр проводника 4 мм.
18.Внутри длинного соленоида перпендикулярно его оси расположен
проводник длиной 5 см, по которому проходит ток силой 10 А. Какая сила
действует на проводник, если соленоид имеет 25 витков на сантиметр длины
и по его обмотке течет ток силой 5 А?
19.Электрон, обладающий энергией 0,5 кэВ, пролетает в вакууме сквозь
однородное магнитное поле напряженностью 1 кА/м перпендикулярно полю.
Определить скорость электрона, силу Лоренца и радиус траектории его
движения.
20.Какова должна быть скорость электрона, чтобы его траектория была
прямолинейной при движении во взаимно перпендикулярных магнитном и
электрическом полях. Поля однородны и имеют соответственно
напряженности 100 А/м и 500 В/м.
21.В однородном магнитном поле индукцией 125,6 мТл вращается
стержень с постоянной частотой 10 с-1 так, что плоскость его вращения
перпендикулярна линиям индукции, а ось вращения проходит через один из
его концов. Индуцируемая на концах стержня разность потенциалов равна
0,1 мкВ. Определить длину стержня.
22.Сила тока в соленоиде равномерно возрастает от 0 до 10 А за 1 мин,
при этом соленоид накапливает энергию 20 Дж. Какая ЭДС индуцируется в
соленоиде?
23.В однородном магнитном поле с индукцией 0,01 Тл под углом 30° к
полю расположена медная квадратная рамка со стороной длиной 0,5 м.
Диаметр провода 0,2 мм. Рамку повернули перпендикулярно полю. Какое
количество электричества индуцировалось в рамке?
24.Какой длины нужно взять проволоку диаметром 1 мм, чтобы изготовить
однослойный соленоид с индуктивностью 0,01 Гн? Площадь поперечного
сечения соленоида 7,5 см2. Сердечник отсутствует.
25.По соленоиду, имеющему 1000 витков, проходит ток силой 1 А. Какова
индуктивность соленоида, если магнитный поток, создаваемый током, равен
0,5 мВб?
26.В однородном магнитном поле с индукцией 1 Тл движется
прямолинейный проводник длиной 10 см со скоростью 10 м/с. Направление
вектора индукции перпендикулярно проводнику и вектору скорости его.
Концы проводника соединены гибким проводом вне поля. Общее
сопротивление цепи 10 Ом. Определить мощность, необходимую для
движения проводника.
27.С какой скоростью движется перпендикулярно магнитному полю
напряженностью 1 кА/м (µ = 1) прямой проводник длиной 20 см и
сопротивлением 0,1 Ом, если при замыкании проводника по нему идет ток
силой 0,05 А. Сопротивление замыкающего провода не учитывать.
28.По соленоиду течет ток силой 1 А. Магнитный поток, пронизывающий
поперечное сечение сердечника, равен 2 мкВб. Определить индуктивность
соленоида, если он имеет 500 витков.
29.Найти индуктивность соленоида, если при скорости изменения силы
тока 20 А/с среднее значение возникающей э. д. с. самоиндукции 0,04 В.
30. Виток радиусом 1 см находится в магнитном поле напряженностью 20
кА/м. Плоскость витка перпендикулярна линиям индукции поля. Каково
сопротивление витка, если при уменьшении напряженности поля до нуля по
нему протекает заряд 1 мКл?
31.Рамка в виде кольца с током силой 1 А и радиусом 2 см находится в
воздухе в однородном магнитном поле, напряженность которого равна 75
А/м. Плоскость рамки составляет угол 10° с вектором напряженности поля.
Какую работу надо совершить, чтобы повернуть рамку перпендикулярно
полю?
32.Прямолинейный проводник, с током силой 5 А и длиной 1 м вращается
со скоростью 50 с-1 в плоскости, перпендикулярной магнитному полю,
относительно оси, проходящей через конец проводника. Напряженность
магнитного поля 50 А/м. Определить работу, совершаемую сторонними
силами при вращении проводника за 5 мин.
33.Определить работу внешних сил, совершаемую при перемещении
проводника за 30 мин, если проводник движется со скоростью 30 км/ч
перпендикулярно магнитному полю, напряженность которого 15 А/м
(µ=1). Длина проводника 20 см, по нему течет ток силой 0,5 А.
34.Определить индуктивность соленоида с железным сердечником,
магнитный поток и энергию в нем, если по соленоиду длиной 30 см идет ток
силой 3 А, диаметр соленоида 6 см и на каждый сантиметр длины
приходится 10 витков. Зависимость индукции
от напряженности
магнитного поля показана на рис. 8.
35.Соленоид без сердечника с обмоткой из проволоки диаметром 1 мм
имеет длину 1 м и поперечное сечение 40 см2. Какой силы ток течет по
обмотке при напряжении 25 В, если за время 0,001 с в обмотке выделяется
столько же теплоты, какова энергия поля соленоида?
36.В соленоид длиной 30 см, имеющий число витков 900, введен
магнитный сердечник. Найти намагниченность железа внутри соленоида,
если по нему идет ток силой 1 А. Зависимость В=f(H) дана на рис. 8.
37.Индукция магнитного поля в железном сердечнике 1,5 Тл. Определить
намагниченность железа. Зависимость В= f(H) дана на рис. 8.
38.По соленоиду длиной 0,5 м, имеющему число витков 250, течет ток
силой 5 А. Площадь поперечного сечения 25 см2. В соленоид вставлен
железный сердечник. Найти энергию магнитного поля соленоида.
Зависимость B=f(H) дана на рис. 8.
39.По условию задачи 38 найти объемную плотность энергии магнитного
поля.
40. По соленоиду, имеющему длину 0,2 м, площадь поперечного сечения
10 см2 и число витков 800, течет ток силой 1 А. Соленоид находится в
диамагнитной среде, индуктивность его 0,4 мГн. Найти магнитную
индукцию внутри соленоида и намагниченность.
41.Гармоническое колебание происходит по закону s = =0,5sin(300t+1).
Определить амплитуду, частоту, период и начальную фазу колебания.
42.Груз, подвешенный к пружине, колеблется с амплитудой 2 см.
Жесткость пружины 10 кН/м. Чему равна максимальная кинетическая
энергия груза?
43.Тело массой 100 г совершает гармонические колебания по закону s =
0,20 sin (10лt+л/2). За сколько времени кинетическая энергия тела
уменьшится от 2 до 1 Дж?
44.Материальная точка массой 5 г совершает гармонические колебания с
частотой 0,5 с-1. Амплитуда колебаний 0,03 м. Определить скорость точки в
момент, когда смещение ее равно 1,5 см.
45.По условию задачи 44 определить максимальную силу, действующую
на точку, и полную энергию колеблющейся точки.
46.Тело массой 0,02 кг совершает гармоническое
колебание с
-1
амплитудой 0,05 м и частотой 10 с , начальная фаза колебания равна нулю.
Определить полную энергию колеблющегося тела и написать уравнение
гармонического колебания.
47.Груз, подвешенный к пружине, колеблется с амплитудой 3 см.
Определить жесткость пружины, если максимальная кинетическая энергия
колеблющегося груза равна 0,5 Дж.
48.Амплитуда гармонического колебания, совершаемого телом, равна 5
см, период 0,1 с, масса тела 20 г. Найти скорость в начальный момент
времени и полную энергию тела, написать уравнение колебания, если в
начальный момент смещение было равно половине амплитуды.
49.Материальная точка имеет наибольшее смещение 0,25 м и
максимальную скорость 0,5 м/с. Написать уравнение гармонического
колебания и определить максимальное ускорение точки.
50.Материальная точка совершает гармонические колебания по закону
s = Asin(ωt+φ). Найти максимальные значения скорости и ускорения.
51.Колебательный контур состоит из конденсатора электроемкостью 200
пФ и катушки индуктивностью 0,5 мкГн (без сердечника). Определить
период собственных электромагнитных колебаний контура и длину
излучаемой волны.
52.По условию задачи 51 определить длину излучаемой волны, если в
катушку индуктивности введен ферритовый сердечник, магнитная
проницаемость которого 1000.
53.Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и
конденсатора электроемкостью 500 пФ, имеет период колебаний 0,5 мкс.
Найти энергию колебательного контура, если максимальная сила тока,
протекающего по катушке индуктивности, равна 0,1 А. Определить длину
волны, излучаемую этим контуром.
54.Определить частоту колебаний, возникающих в колебательном контуре,
состоящем из параллельно соединенных конденсатора электроемкостью 300
пФ и катушки индуктивности (без сердечника) длиной 20 см, сечением 2 см2,
содержащей 1000 витков.
55.На какую длину волны резонирует колебательный контур, состоящий
из катушки с индуктивностью 2 мкГн и конденсатора электроемкостью 2 нФ?
56.Найти максимальное напряжение на обкладках конденсатора в
колебательном контуре, если электроемкость конденсатора 6 пФ,
индуктивность катушки 0,5 мГц, максимальная сила тока 20 А.
57.Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки
индуктивности. Определить частоту колебаний, возникающих в контуре,
если максимальная сила тока в катушке индуктивности 1,2 А, максимальная
разность потенциалов на обкладках конденсатора 1200 В, энергия контура
1,1 мДж.
58.Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью 5 мГн и
плоского конденсатора. Расстояние между обкладками конденсатора 4 мм,
площадь обкладок 2 см2, диэлектрик—слюда. Как изменится период
колебаний в контуре, если в качестве диэлектрика взять эбонит?
59.По условию задачи 58 определим, как изменится период колебаний в
контуре, если между обкладками конденсатора в качестве диэлектрика
вместо слюды ввести парафин.
60.Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и
конденсатора электроемкостью 1 нФ, имеет частоту колебаний 5 мГц. Найти
максимальную силу тока, протекающего по катушке, если энергия контура
0,5 мкДж.
61.В среде с ε = 4, µ=1 распространяется плоская электромагнитная волна.
Амплитуда напряженности электрического поля 100 В/м. На ее пути
перпендикулярно направлению распространения расположена поглощающая
поверхность, имеющая форму круга радиусом 0,5 м. Какую энергию
поглотит эта поверхность за 1 мин? Период волны T«t.
62.Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со
скоростью 10 м/с. Период колебаний точек шнура 1 с, амплитуда 1,5 см.
Определить длину волны, скорость и ускорение точки, отстоящей от
источника колебаний на расстоянии 20 см, в момент времени 5 с.
63.Определить энергию, которую переносит за 0,5 мин плоская
электромагнитная волна, распространяющаяся в воздухе, сквозь площадку
10,0 см2, расположенную перпендикулярно направлению распространения.
Амплитуда индукции магнитного поля волны 3,33 пТл. Период волны T«t.
64.Определить скорость распространения волн в упругой среде, если
разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на
расстояние 20 см, равна π/3. Частота колебаний 50 Гц.
65.Скорость распространения электромагнитных волн в кабеле
уменьшилась на 15 % после того, как пространство между внешним и
внутренним проводниками кабеля заполнили диэлектриком. Определить
диэлектрическую проницаемость диэлектрика.
66.В среде с ε = 6, µ = 1 распространяется плоская электромагнитная
волна. Амплитуда напряженности магнитного поля 0,65 А/м. Определить
энергию, переносимую этой волной за время 1 мин сквозь площадку 50 см2,
расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.
Период волны T«t.
67.Волны в упругой среде распространяются со скоростью 15 м/с. Чему
равно смещение точки, находящейся на расстоянии 3 м от источника
колебаний, через 4 с от начала колебаний? Период колебаний 1 с, амплитуда
колебаний 2 см.
68.На
сколько процентов уменьшится
скорость распространения
электромагнитных волн в кабеле, если пространство между внешним и
внутренним проводниками кабеля заполнить диэлектрик ком с
диэлектрической проницаемостью, равной 6.
69. Плоская электромагнитная волна
E=100sin(6,28·108t+4,55 x) распространяется в веществе. Определить
диэлектрическую проницаемость вещества.
70. На каком расстоянии находятся ближайшие точки, совершающие
колебания с частотой 725 Гц в противоположных фазах, если звук
распространяется: а) в воздухе, б) в воде, в) в бериллии, г) в воске?
V. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
ПОЯСНЕНИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ
В настоящее время волновая оптика является частью общего учения о
распространении волн. При изучении явлений интерференции, дифракции,
объясняемых с позиций волновой природы света, студент должен обратить
внимание на общность этих явлений для волн любой природы. Но световые
волны
имеют
специфические
особенности:
когерентность,
монохроматичность, которые обусловлены
конечной длительностью
свечения отдельного атома.
При изучении интерференции света особое внимание следует обратить на
такие вопросы, как цвета тонких пленок, полосы равной толщины и равного
наклона. Следует помнить, что при интерференции света имеет место
суперпозиция, связанная с перераспределением энергии, а не с
взаимодействием волн.
Рассматривая явление дифракции, необходимо уяснить метод зон
Френеля, уметь пользоваться графическим методом сложения амплитуд, что
будет способствовать пониманию дифракции на одной щели, дифракционной
решетке. Кроме того, необходимо изучить дифракцию на пространственной
решетке и уметь пользоваться формулой Вульфа—Брэгга, являющейся
основной в рентгеноструктурном анализе, имеющем важнейшее
практическое применение.
Изучение явлений интерференции и дифракции света должно подготовить
студента к пониманию основ волновой (квантовой) механики и физики
твердого тела.
Поперечность световых волн была экспериментально установлена при
изучении явления поляризации света, которое имеет большое практическое
применение. При изучении этого явления особое внимание следует обратить
на способы получения поляризованного света и применение законов
Брюстера, Малюса, на явление вращения плоскости поляризации в
кристаллах и растворах, эффект Керра.
Изучая явление дисперсии света, необходимо уяснить сущность
электронной теории этого явления, отличие нормальной дисперсии от
аномальной.
Четко представлять такие понятия, как фазовая и групповая скорость,
знать связь между ними и показать их равенство при отсутствии дисперсии.
Следует представлять, что при движении заряженных частиц в веществе в
том случае, когда их скорость движения превышает фазовую скорость
световых волн в этой среде, возникает излучение Вавилова—Черенкова,
которое нужно рассматривать как классическое явление.
Переход от классической физики к квантовой связан с проблемой
теплового излучения и, в частности, с вопросом распределения энергии по
частотам в спектре абсолютно черного тела. Изучая тему «Квантовая
природа излучения», необходимо знать гипотезу Планка о квантовании
энергии осцилляторов и уяснить, что на основании формулы Планка могут
быть получены законы Стефана—Больцмана и Вина.
Развитие гипотезы Планка привело к созданию представлений о
квантовых свойствах света. Кванты света получили название фотонов. С
позиций квантовой теории света объясняются такие явления, как
фотоэлектрический эффект и эффект Комптона. При изучении фотоэффекта
следует знать формулу Эйнштейна и на ее основании уметь объяснить
закономерности, установленные Столетовым.
Рассматривая эффект Комптона, необходимо обратить внимание на
универсальный характер законов сохранения, которые оказываются
справедливыми в каждом отдельном акте взаимодействия фотона с
электроном.
Изучая световое давление, важно понять, что это явление может быть
объяснено как на основе волновых представлений о свете, так и с точки
зрения квантовой теории.
В итоге изучения этого раздела у студента должно сформироваться
представление, что электромагнитное излучение имеет двойственную
корпускулярно-волновую природу (корпускулярно-волновой дуализм).
Корпускулярно-волновой дуализм является проявлением взаимосвязи двух
основных форм материи: вещества и поля.
Контрольная работа № 5 построена таким образом, что дает
возможность проверить знания студентов по разделу «Волновая оптика и
квантовая природа излучения». В нее включены задачи на расчет картины
интерференции от двух когерентных источников, интерференцию в тонких
пленках, полосы равной толщины и равного наклона. Тема «Дифракция
света» представлена задачами: дифракция в параллельных лучах на одной
щели, на плоской и пространственной дифракционных решетках.
Задачи по теме «Поляризация света» охватывают такие вопросы, как
применение законов Брюсгера, Малюса, использование формул Френеля для
определения степени поляризации, вращение плоскости поляризации в
растворах и кристаллах.
Задачи на дисперсию и поглощение света затрагивают такие вопросы,
как определение фазовой и групповой скорости
эффект Вавилова—
Черенкова, закон Бугера.
Задачи по теме «Квантовая природа излучения» включают такие
вопросы, как законы теплового излучения, фотоэффект, эффект Комптона,
давление света.
Основные законы и формулы
Показатель преломления сре- n  c / 
ды (абсолютный)
Оптическая длина пути луча
L=nl
Оптическая разность
световых волн
хода
двух   L1  L2
  2k

, k  0,1,2,...
2
Условие максимума интенсивности
света при интерференции
Условие минимума интенсивности   (2k  1)  , k  1,2,3,...
2
света при интерференции
Линейное и угловое расстояние l  L ;   
d
d
между
соседними
интерференционными полосами на экране,
расположенном параллельно двум
когерентным источникам света
Оптическая разность хода световых   2d n 2  sin 2 i   / 2;
волн в тонких пленках в отраженном
2
2
и проходящем свете (показатель   2d n  sin i ;
преломления
пленки
больше   2dn cos r.
показателя
преломления
окружающей среды)
Радиус темных колец Ньютона в rk  kR
отраженном свете
Радиус светлых колец Ньютона в rk  (2k  1) R / 2
отраженном свете
Условие
дифракционных
симумов от одной щели
мак-
Условие дифракционных минимумов
от одной щели
a sin   (2k  1)
a sin   2k

2
Условие главных
максимумов c sin   k
дифракционной решетки
Формула
Вульфа—Брэгга
для 2d sin   k
дифракционных рентгеновских лучей
Разрешающая сила дифракционной R   /   kN
решетки

2
2
Формулы Френеля для отраженногр
 sin( i  r ) 
естественного света от диэлектриков I   0,5I 0  sin( i  r ) 


Степень поляризации света
 tg (i  r ) 
I   0,5I 0 

 tg (i  r ) 
I  I
P 
 100%
I  I
Закон Брюстера
tgi0  n21  n2 / n1
Закон Малюса
I  I 0 cos 2 
Разность хода лучей, прошедших   d (n0  ne )
пластинку исландского шпата (или
кварца), вырезанную параллельно
оптической
оси,
в
случае
нормального падения света
Угол поворота плоскости поляризации
монохроматического
света при прохождении через
оптически активное вещество;
кристаллы
   0l
растворы
   0 lc
Связь между групповой (u) и фазовой
(υ) скоростями волн
dn
;
d
  dn 
u   1 

n d 

u  
Условие возникновения излучения
υ>c/n
Вавилова—Черенкова
Закон Стефана—Больцмана
Re  T 4
Закон смещения Вина
max  b1 / T
Связь
между
светимостью
и
энергетической B e  Re / 
энергетической
2
яркостью для абсолютно черного
тела
Энергия фотона
  h  hc / 
Масса фотона
mô 
Импульс фотона
p ô  mô c 

c
2

hc
h

2
c
c
h h

c

Давление света при нормальном
E (1   )
падении
на
поверхность
с p   (1   ); p  e
c
коэффициентом отражения р
I  I 0 e  x
Закон Бугера
Уравнение Эйнштейна для внешнего h  A  T
фотоэффекта:
T 1 / 2 m 2
при Г<5 кэВ
T  E  E 0  m0 c 2 
при Г>5 кэВ


1
 
 1
2
2
 1 / c

Красная граница фотоэффекта
Изменение длины
эффекте Комптона
волны
 ãð  A / h, или  ãð  hc / h,
h
при   m c (1  cos  ) 
0
(1  cos  )  2 sin 2 ( / 2)
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Расстояние между двумя когерентными источниками d=0,9 мм.
Источники, испускающие монохроматический свет с длиной волны λ=640
нм, расположены на расстоянии L=3,5 м от экрана. Определить число
светлых полос, располагающихся на 1 см длины экрана.
Дано: d=9  10 4 м, λ=640 нм=64  10 8 м, L=3,5 м, x= 1  10 2 м.
Найти: k/x.
Решение: В точке О на экране (рис. 9) будет максимальная освещенность:
точка О равноудалена от обоих источников S1 и S 2 и поэтому разность хода
волн S1 O и S 2 О равна нулю. В произвольной точке экрана Ok максимум
освещенности будет наблюдаться, если оптическая разность хода
когерентных волн равна целому числу длин волн:   s2  s1  k , (1) где s2 ,
s1 — оптические пути интерферирующих волн; λ — длина волны падающего
света; k — номер светлой полосы (центральная светлая полоса принята за
нулевую).
Оптическая разность хода волн   xd / L , где х—расстояние
от центральной светлой до k-й светлой полосы. Учитывая выражение (1),
получим
  xd / L  k
Рис. 10
(2)
Из выражения (2) определяем искомую величину k/x — число светлых
интерференционных полос на 1 см длины:
k / x  d /( L )
Подставляя в это выражение числовые значения, получим
k / x  9 10 4 м /(3,5м  64 10 8 м)  400 м 1
Ответ: k/х= 400 м 1
2. В просветленной оптике для устранения отражения света на поверхность линзы наносится тонкая пленка вещества с показателем
преломления 1,26, меньшим, чем у стекла. При какой толщине пленки
отражение света от линзы не будет наблюдаться? Длина волны падающего
света 0,55 мкм, угол падения З0°.
Дано: λ=0,55 мкм = 0,55  10 6 м; i= 30°, n=1,26.
Найти: d.
Решение: Свет, падая на систему пленка—стекло под углом i, отражается
как от верхней /, так и от нижней // поверхности пленки (рис. 10;
n1  n  n2 , n1иn2 - показатели преломления соответственно воздуха и стекла).
Лучи s1 и s2 когерентны, так как образованы из одного луча S. Результат
интерференции этих лучей зависит от оптической разности хода. Лучи
отражаются от среды с большим показателем преломления, поэтому как на
верхней, так и на нижней поверхности пленки происходит потеря полуволны
и, следовательно, оптическая разность хода волн равна
  2d n 2  sin 2 i
(1)
Условие минимума освещенности при интерференции (условие минимумов) имеет вид
  (2k  1)( / 2)
(2)
где k=1, 2, 3, ... — порядок интерференционного минимума. Из (1) и (2)
следует
2d k n 2  sin 2 i  (2k  1)( / 2)
откуда
dk 
(2k  1)
4  n 2  sin 2 i
.
Полагая k=1, 2, 3,..., получим ряд возможных значений толщины пленки:
5
3
d

.;
d1 
.;
2
4  n 2  sin 2 i
4  n 2  sin 2 i
d1 
d2 
3  0,55  10 6 м
4  1,26  sin 30
2
2
5  0,55  10 6 м
 0,35  10 6 м  0,35 мкм;
 0,59  10 6 м  0,59 мкм.
4  1,26  sin 30
Ответ: d1==0,35 мкм; d2=0,59 мкм и т. д.
2
2
3. На дифракционную решетку Д нормально падает монохроматический
свет с длиной волны 0,65 мкм.. На экране Э, расположенном параллельно
решетке и отстоящем от нее на расстояние 0,5 м, наблюдается
дифракционная картина (рис. 11). Расстояние между . дифракционными
максимумами первого порядка равно 10 см. Определить постоянную
дифракционной решетки и общее число главных максимумов, получаемых с
помощью этой решетки.
Дано: λ=0,65  10 6 м, L=0,5 м, l=0,1 м, k=1.
Найти: с, n.
Решение: Запишем условие главных максимумов дифракционной
решетки: c sinφ= kλ, (1) где с —постоянная дифракционной решетки; φ—
угол отклонения лучей от нормального направления распространения света; k
— порядок главного дифракционного максимума; λ — длина волны
падающего на решетку монохроматического света.
По условию задачи, k=l. Учитывая, что l/2<<L (см. рис. 11), имеем
sinφ  tgφ>=l/(2L). (2). Подставляя (2) в (1), получим
cl

2L
или
c
2 L
l
(3)
Подставляя в (3) числовые значения величин, находим
2  0,65  10 6 м  0,5 м
c
 6,5  10 6 м  6,5 мкм.
0,1м
Для определения общего числа главных максимумов, даваемых
дифракционной решеткой, исходим из условия, что максимальный угол
отклонения лучей от нормального направления распространения не может
превышать 90°, т. е. sin 90°= 1, тогда формула (1) примет вид k max  c /  .
Производим вычисления
k max  6,5 10 6 м / 0,65 10 6 м  10.
Общее число максимумов равно n  2k max  1 , т. е. влево и вправо от
центрального максимума будут наблюдаться по k max максимумов:
n = 2·10+ 1 =21.
Ответ: с=6,5  10 6 м, n=21.
4. Определить расстояние между атомными плоскостями в кристалле
каменной соли, если дифракционный максимум первого порядка
наблюдается при падении рентгеновских лучей с длиной волны 0,147 нм
под углом 15° 12' к поверхности кристалла.
Дано: λ=0,147 нм= 1,47  10 10 м, Ө=15°12', k=l.
Найти: d.
Решение: Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах — это результат
интерференции рентгеновского излучения, зеркально отражающегося от
системы параллельных плоскостей, которые проходят через узлы — атомы
(например, А) кристаллической решетки. Эти плоскости называют атомными
(рис. 12). Отражение наблюдается лишь в тех направлениях,,
соответствующих дифракционным максимумам, которым удовлетворяет
соотношение
∆ = | ВС | + |BD | = 2d sin Ө или 2d sin Ө = kλ,
(1)
где k=1, 2, 3,... — порядок дифракционного максимума; Ө — угол
скольжения, т. е. угол между падающим лучом и плоскостью кристалла; d —
расстояние между соседними плоскостями, называемое межплоскостным.
Рис. 12
рис. 13
Исходя из условия (1) и учитывая, что k=l, имеем

1,47  10 10 м
d

 2,82  10 10 м  0,282 нм.
2 sin  2 sin 1512
Ответ: d=0,282 нм.
5. Луч света, проходя слой льда, падает на алмазную пластинку, частично
отражается, частично преломляется. Определить, каким должен быть угол
падения, чтобы отраженный луч был максимально поляризован. Найти
степень поляризации отраженного и преломленного света для этого угла
падения с помощью формул Френеля.
Дано: n1 = 1,31, n 2 =2,42.
Найти: i0 , P1 , P2 .
Решение: Отраженный свет максимально поляризован при угле падения
i= i0 , удовлетворяющем закону Брюстера: tg i0 = n21 , (1) где n21 = n 2 / n1 —
относительный показатель преломления отражающей среды. Если i = i0 , то
отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны (рис. 13).
Проходящий свет поляризован лишь частично. Из выражения (1) находим
n
2,42
i0  arctg 2  arctg
 61,5.
n1
1,31
С помощью формул Френеля определяем степень поляризации отраженного луча:
P1  I   I   100%(I   I  ).
Здесь
2
 sin( i  r ) 
I   0,5I 0 
 ,
sin(
i

r
)


 tg (i  r ) 
I   0,5I 0 

 tg (i  r ) 
2
(2)
---- интенсивности света, распространяющегося в направлениях,
перпендикулярном и параллельном плоскости падения; I 0 — интенсивность
естественного света; i — угол падения; r — угол преломления.
Еcли свет падает на диэлектрик под углом полной поляризации (i= i0 ), то,
учитывая, что i0 +r=90°, для отраженного луча из (2) получим
I   0,5I 0 sin 2 (i0  r ), I   0, , так как sin( i 0 +r) =sin 90°=1, tg 90°  
Степень поляризации отраженного луча
P1  I   100 % / I   100 %
т. е. луч максимально поляризован.
Найдем интенсивности света после преломления в направлениях,
перпендикулярном и параллельном плоскости преломления:
I   0,5I 0  I   0,5 I 0  0,5 I 0 sin 2 (i  r )  0,5I 0 1  sin 2 (i0  r );
I   0,5I 0 .
Степень поляризации преломленного луча
I   I 
0,5I 0  0,5I 0 1  sin 2 (i0  r )
sin 2 (i0  r )
P2 
 100% 
 100 % 
 100%;
I   I 
0,5I 0  0,5I 0 1  sin 2 (i0  r )
2  sin 2 (i0  r )
sin 2 (61,5  28,5)
0,54 2
P2 
 100% 
 100%  17%.
2  sin 2 (61,5  28,5)
2  0,54 2
Ответ: i0 = 61,°5, P1 = 100 %, P2 =17 %.
6. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного
света, прошедшего через два николя, плоскости поляризации которых
составляют угол 45°. Каждый николь поглощает 8 % света, падающего на
него (рис. 14).
Дано: а = 45°, £ = 0,08.
Найти: I 0 / I 2 .
Решение: В результате двойного лучепреломления естественный луч
света, попадая в призму П — поляризатор, раздваивается на обыкновенный и
необыкновенный лучи. Оба луча поляризованы, но во взаимно
перпендикулярных плоскостях. Обыкновенный луч, подчиняясь закону
преломления, преломится и, подойдя к слою канадского бальзама в Николе,
испытывает полное отражение и поглотится зачерненной боковой гранью
призмы. Необыкновенный луч проходит через призму без отклонения,
интенсивность его уменьшается из-за поглощения света призмой на величину
k I0 .
Интенсивность света, прошедшего
через поляризатор, равна
I 1 =0,5(1—k) I 0 , (1) где k=0,08 (т.е. 8 %)—коэффициент поглощения света в
призме; I 0 — интенсивность естественного света, падающего на поляризатор.
Поляризованный свет, войдя во второй николь — анализатор А, опять
поглощается и интенсивность его уменьшается на величину k I 0 кроме того,
интенсивность поляризованного света из-за несовпадения плоскостей
поляризации поляризатора и анализатора согласно закону Малюса:
(2)
I 2  I1 (1  k ) cos 2 
где α — угол между плоскостями поляризации поляризатора
и
анализатора; k — коэффициент
поглощения; I 1 — интенсивность
поляризованного света, падающего на анализатор; I 2 — интенсивность
поляризованного света, прошедшего через анализатор. Подставляя
выражение (1) в (2), имеем
I 2  0,5(1  k ) 2 I 0 cos 2  .
(3)
Из соотношения (3) следует
I2
 0,5(1  k ) 2 cos 2  ,
I1
I0
1

.
I 2 0,5(1  k ) 2 cos 2 
а
Подставляя числовые значения, получим
I2
 0,5(1  0,08) 2 cos 2 45  0,2;
I1
I0
1

 5.
I 2 0,2
Ответ: I 0 / I 2 =5.
7. Показатель преломления сероуглерода для света с длинами воли 509,
534 и 589 нм равен соответственно 1,647; 1,640 и 1,630. Вычислить фазовую
и групповую скорости света вблизи длины волны 534 нм.
Решение: Групповая скорость u связана с фазовой скоростью υ света в
среде соотношением
u  
d
.
d
(1)
Учитывая, что υ=c/n, из (1) получаем u   1 

 dn 
.
n d 
Для средней дисперсии вещества имеем
  n 
u   1 
.
 n  
(2)
где n /  — средняя дисперсия показателя преломления среды. Для λ =
534 нм и n= 1,640 находим относительную дисперсию
 n 535нм(1,647  1,630)

 0,069.
n  1,640(509  589)нм
Из соотношения (2) определяем
  n 
 1 
  (1  0,069)  0,931
  n  
u
(3)
u = 0,931υ.
Учитывая, что фазовая скорость υ = c/n, находим ее значение вблизи λ =
534 нм
3  10 8 м / с

 1,83  10 8 м / с
1,640
Рис. 15
По формуле (3) вычисляем групповую скорость
u  0,931  1,83  10 8 м / с  1,70  10 8 м / с
Ответ: υ=1,83  10 8 м / с , u=1,70  10 8 м / с .
8. В черенковском счетчике из каменной соли релятивистские протоны
излучают в фиолетовом участке спектра в конусе с раствором 98°,80.
Определить кинетическую энергию протонов. Длина волны фиолетовых
лучей 0,4 мкм. Коэффициент преломления для этого участка спектра 1,54.
Дано: λ = 0,4  10 6 м, Ө = 49,°40, n=1,54, E0 =938,23 МэВ (см. табл. 18).
Найти: Eê
Решение:
Если частица движется в веществе со «сверхсветовой»
скоростью V, то возникает свечение Вавилова—Черенкова при условии
V>υ
=
c/n,
(1)
где с — скорость света в вакууме; n — показатель преломления вещества;
υ — фазовая скорость света.
Свет, возникающий на каждом малом участке траектории заряженной
частицы, распространяется вдоль образующих конуса, вершина которого О
(рис. 15), расположена на этом участке, ось совпадает с траекторией частицы,
а образующие составляют с осью угол
 c 

 nV 
  arccos
(2)
или
cos  
c
.
nV
(3)
Так как излучают релятивистские протоны, то их кинетическая энергия равна


1
E ê  E 0 
 1.
2
2
 1V / c

(4)
Величину V/c определим из соотношения (3)
V
1
1
1



 0,998.
c n cos  1,54  cos 49,40 1,54  0,6507
Используя формулу (4), находим кинетическую энергию


1
  938,23МэВ  14 ГэВ.
Eк  

1
 1  0,998 2



Ответ: Eê =14 ГэВ.
9. Во сколько раз увеличится мощность излучения абсолютно черного
тела, если максимум энергии излучения передвинется от красной границы
видимого спектра к его фиолетовой границе?
Дано: ê =0,76 мкм; ô =0,38 мкм.
Найти: n = N ô / N ê
Решение: Длина волны, на которую приходится максимум энергии
излучения абсолютно черного тела, определяется из первого закона
смещения Вина: max  b1 / T , , (1) где Т — термодинамическая температура
излучателя; b1  2,89 10 3 м  К — постоянная Вина. По формуле (1)
определяем температуру, соответствующую красной и фиолетовой границам
видимой области спектра:
Tê  b1 / í ,
Tô  b1 / ô .
Мощность излучения абсолютно черного тела N=ReS, где Re —
энергетическая светимость абсолютно черного тела; S — площадь
поверхности излучающего тела. В соответствии с законом Стефана—
Больцмана
Re = T 4 (2)
где   5,67 10 8 Вт /( м 2  К 4 ) — постоянная Стефана—Больцмана. Для
красной и фиолетовой границ видимой области спектра
N ô  Tô4
N к  Tк4 ,
Из формул (1) и (2) следует
4
S (b1 / ф ) 4 (b1 / ф ) 4
N ф  к 


,
т
.
е
.
  .
N к S (b1 / к ) 4 (b1 / к ) 4
N к  ф 
Nф
Отношение N ô / N ê = n
показывает, во сколько раз увеличивается
мощность излучения абсолютно черного тела:
4
n  0,76 мкм / 0,38 мкм  2 4  16.
Ответ: Мощность излучения увеличится в 16 раз.
10. На зачерненную поверхность нормально падает монохроматический
свет с длиной волны 0,65 мкм, производя давление 0,5  10 5 Па, Определить
концентрацию фотонов вблизи поверхности и число фотонов, падающих на
площадь 1 ì 2 в 1 с.
Дано: λ= 0,65  10 6 м, р = 0,5  10 5 Па, ρ=0, S=1 ì 2 , t=1 с.
Найти: n 0 , n.
Решение: Давление света при нормальном падении на поверхность с
коэффициентом отражения ρ вычисляется по формуле
р = ω(1+ρ)
(1)
или
р=
Ee
(1+ρ),
c
(2)
где ω— объемная плотность энергии; E e — энергетическая освещенность;
с — скорость света в вакууме; ρ — коэффициент отражения поверхности, в
данном случае ρ=0.
Объемная плотность энергии равна произведению концентрации фотонов
(числа фотонов в единице объема) на энергию одного фотона ε=hν=hc/λ, т. е.
  n0
hc

,
(3)
откуда
n0   /( hc) .
(4)
Определяя объемную плотность энергии из (1) и подставляя в (4), имеем
n0  p /( hc);
(5)
0,5  10 5 Па  0,65  10 6 м
 1,6  1013 м 3 .
34
8
6,62  10 Дж  с  3  10 м / с
Число фотонов, падающих на площадь 1 м 2 за 1 с, численно равно
отношению энергетической освещенности к энергии одного фотона:
n0 
n
Ee
E
 e .
hc / 
hc
(6)
Энергетическую освещенность определяем из (2) и, подставляя в (6),
получаем
n
pc p

.
hc
h
(7)
С учетом (5) выражение (7) примет вид n=n 0 с. Подставляя числовые
значения, получаем
n  1,6  1013 м 3  3  10 8 м / с  4,8  10 21 с 1  м 2 .
Ответ: n0  1,6 1013 м 3 , n= 4,8  10 21 с 1  м 2 .
11. Угол рассеяния фотона с энергией 1,2 МэВ на свободном электроне
60°. Найти длину волны рассеянного фотона, энергию и импульс электрона
отдачи. Кинетической энергией электрона до соударения пренебречь.
Дано: ε=1,2 МэВ = 1,92  10 13 Дж, Ө = 60°.
Найти:  2 , Tå , p e .
Решение: Изменение длины волны фотона при комптоновском рассеянии
равно
h
(1  cos  )   (1  cos  ).
m0 c
  2  1 
(1)
где 1 и  2 — длины волн падающего и рассеянного фотонов; h =
= 6,62  10 34 Дж·с — постоянная Планка; m0 =9,l1  10 31 кг — масса покоя
электрона;
с=3  10 8 м/с — скорость света вакууме;   2,43  10 12 м —
комптоновская длина волны; Ө — угол рассеяния (рис. 16). На рисунке p1 и
—
импульсы
падающего
и
p2
рассеянного фотонов.
Из формулы (1) находим  2 = 1 +∆λ = 1 +  (1—cosӨ). Выражая 1 через
энергию фотона 1  hc / 1 , получаем
2  hc /  1  (1  cos )
(2)
Энергия электрона отдачи по закону сохранения энергии равна Te   1   2
Выразим изменение, длины волны через изменение частоты:
  c / 2  c / 1  c( 1  2 )( 1 2 ) .
С учетом (1) можно написать:
 1  2 
h 1 2
(1  cos  )
m0 c 2
Умножая
(3)
выражение
(3)
на
h 1   1 , h 2   2 , m0 c  E 0 ,  1   2  Te , получаем
h
и
учитывая,
что
2
Te 
 12 (1  cos  )
,
E0   1 (1  cos  )
(4)
где E0 =0,511 МэВ = 0,82  10 13 Дж — энергия покоя электрона. Зная
энергию электрона, найдем
pe  (1 / c) Te (Te  2E0 )
(5)
Подставляя числовые значения в формулы (2), (4) и (5), получаем:
6,62  10 34 Дж  с  3  10 8 м / с
2 
 2,43  10 12 м(1  0,5)  2,25  10 12 м;
13
1,92  10 Дж
(1,2МэВ) 2  0,5
Te 
 0,648 МэВ  1,04  10 13 Дж;
0,511МэВ  1,2МэВ  0,5
1
pе 
1,04  10 13 Дж (1,04  10 13 )  2  0,82  10 13 Дж  5,55  10  22 кг  м / с.
8
3  10 м / с
Ответ: 2 = 2,25  10 12 м; Te = 0,648 МэВ ; på  5,55  10 22 кг  м / с.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5 (4)
1. Для получения колец Ньютона используют плоско-выпуклую линзу с
радиусом кривизны 12,5 м. Освещая линзу монохроматическим светом,
определили, что расстояние между четвертым и пятым светлыми кольцами
равно 0,5 мм. Найти длину волны падающего света.
2. На каком расстоянии от экрана находятся мнимые источники света
(λ=0,6 мкм), расстояние между которыми 0,4 мм, а ширина светлых
интерференционных полос на экране 2 мм? Решение, пояснить рисунком.
3. Определить толщину глицериновой пленки, если при освещении ее
белым светом, падающим под углом 45°, она в отраженном свете кажется
красной? Длина волны красных лучей 0,63 мкм. Принять k = 5.
4. На тонкий стеклянный клин нормально падает монохроматический
свет. Наименьшая толщина клина, с которой видны интерференционные
полосы, 0,1 мкм, расстояние между полосами 5 мм. Определить длину волны
падающего света и угол между поверхностями клина.
5. Какую наименьшую толщину должна иметь пленка из скипидара, если
на нее под углом 30° падает белый свет и она в проходящем свете кажется
желтой? Длина волны желтых лучей 0,58 мкм.
6. На пленку толщиной 0,16 мкм под углом 30° падает белый свет.
Определить показатель преломления пленки, если в проходящем свете
пленка кажется фиолетовой. Длина волны фиолетовых лучей 0,4 мкм.
Принять k=1. Из какого вещества сделана пленка?
7. Расстояние между двумя когерентными источниками света 2 мм, они
удалены от экрана на 2 м. Найти длину волны, излучаемую когерентными
источниками, если расстояние на экране между третьим и пятым
минимумами интерференционной картины 1,2 см.
8. На тонкий стеклянный клин падает нормально свет с длиной волны 0,5
мкм, расстояние между соседними темными интерференционными полосами
в отраженном свете 0,3 мм. Определить угол между поверхностями клина.
9. Определить показатель преломления материала, из которого изготовлен
клин, преломляющий угол которого 3  10 4 рад, если на один сантиметр
приходится 22 интерференционные полосы максимума интенсивности света.
Длина волны нормально падающего монохроматического света равно 0,415
мкм.
10. На тонкую пленку из глицерина падает белый свет под углом 30°. В
отраженном свете пленка кажется светло-зеленой, длина волны этого цвета
0,540 мкм. Каким будет казаться цвет пленки в отраженном свете, если свет
будет падать под углом 60°?
11. На непрозрачную пластинку с узкой щелью падает
нормально
плоская монохроматическая световая волна. Угол отклонения лучей,
соответствующий первому дифракционному максимуму, равен 30°.
Определить ширину щели, если длина волны падающего света 0,6 мкм.
12. Определить длину световой волны спектральной линии, изображение
которой, даваемое дифракционной решеткой в спектре третьего порядка,
совпадает с изображением линии λ=0,38 мкм в спектре четвертого порядка.
13. На грань кристалла каменной соли падает пучок параллельных
рентгеновских лучей с длиной волны 0,15 нм. Под каким углом к атомной
плоскости наблюдается дифракционный максимум третьего порядка, если
расстояние между атомными плоскостями кристалла 0,285 нм.
14. На щель шириной 0,1 мм падает нормально пучок параллельных лучей
белого света (0,38—0,76) мкм. На экране, отстоящем от щели на расстоянии 1
м, наблюдается дифракционная картина. Найти ширину дифракционного
максимума второго порядка.
15. Пучок параллельных лучей монохроматического света падает
нормально на дифракционную решетку. Угол дифракции для спектра второго
порядка 10°. Каким будет угол дифракции для спектра пятого порядка?
16. Какую разность длин волн может «разрешить» дифракционная
решетка в спектре второго порядка для фиолетовых лучей (0,4 мкм), если
период решетки 2 мкм, ширина ее 2 см.
17.Дифракционная решетка, имеет 800 штрихов на одном миллиметре, на
нее нормально падает монохроматический свет с длиной волны 0,585 мкм.
Определить, как изменится угол дифракции для спектра второго порядка,
если взять решетку с 500 штрихами на одном миллиметре.
18. На кристалл кальцита, расстояние между атомными плоскостями
которого 0,3 нм, падает пучок параллельных рентгеновских лучей, длина
волны которых 0,147 нм. Определить, под каким углом к поверхности
кристалла (угол скольжения) должны падать рентгеновские лучи, чтобы
наблюдался дифракционный максимум первого порядка.
19. На узкую щель нормально падает монохроматический свет. Угол
дифракции для спектра второго порядка 2°. Скольким длинам волн
падающего света равна ширина щели?
20.
Две дифракционные решетки имеют одинаковую ширину 4
мм, но разные периоды, равные 2 и 4 мкм. Определить и сравнить их
наибольшую разрешающую способность для желтой линии натрия (λ=0,589
нм).
21. Луч света переходит из воды в алмаз, так что луч, отраженный от
границы раздела этих сред, оказывается максимально поляризован.
Определить угол между падающим и преломленным лучами.
22. Угол между плоскостями поляризации николей равен 30°,
Интенсивность света, прошедшего такую систему, уменьшилась в 5 раз.
Пренебрегая потерей света при отражении, определить коэффициент
поглощения света в каждом из николей, считая их одинаковыми.
23. Раствор сахара с концентрацией 300 кг/м3, налитый в стеклянную
трубку, поворачивает плоскость поляризации света, проходящего через
раствор на угол 65°. Другой раствор, налитый в такую же трубку,
поворачивает плоскость поляризации на 50°. Определить концентрацию
этого раствора.
24. На поверхность стекла падает пучок естественного света под углом
45°. Найти с помощью формул Френеля степень поляризации отраженного
света.
25. На кристалл алмаза падает пучок естественного света под углом
Брюстера. Определить степень поляризации отраженного и преломленного
света, используя формулы Френеля.
26. Луч света переходит из кварца в жидкость, частично отражаясь,
частично преломляясь. Отраженный луч максимально поляризован при угле
падения 43°6'. Определить показатель преломления жидкости и скорость
распространения света в ней.
27. Угол между плоскостями поляризации двух поляроидов 70°. Как
изменится интенсивность прошедшего через них света, если этот угол
уменьшить в 5 раз?
28. Определить постоянную вращения оптически активного вещества,
если при введении его между двумя николями, плоскости поляризации
которых параллельны, интенсивность света, прошедшего эту систему,
уменьшилась в 5 раз. Толщина слоя оптически активного вещества 4 мм.
Потерями света на отражение и поглощение пренебречь.
29. На поверхность глицерина падает пучок естественного света под
углом 55,°77. Найти с помощью формул Френеля степень поляризации
отраженного света.
30. При прохождении естественного света через два николя, угол между
плоскостями поляризации которых 45°, происходит ослабление света.
Коэффициенты поглощения света соответственно в поляризаторе и
анализаторе равны 0,08 и 0,1. Найти, во сколько раз изменилась
интенсивность света после прохождения этой системы.
31. Показатель преломления флюорита для света с длинами волн 670,8;
656,3; 643,8 нм равен соответственно 1,4323; 1,4325 и 1,4327. Вычислить
фазовую и групповую скорости света вблизи длины волны 656,3 нм.
32. В черенковский счетчик, заполненный водой, влетает пучок
релятивистских электронов с энергией 3,5 МэВ. Определить угол отклонения
от оси конуса фиолетовых лучей, длина волны которых 0,4 мкм.
33. Коэффициент линейного поглощения некоторого вещества равен 0,25
1
м . Определить толщину слоя этого вещества, ослабляющего интенсивность
монохроматического света в 5 раз.
34. Какую ускоряющую разность потенциалов должен был бы пройти
протон в глицерине, чтобы наблюдать черенковское свечение?
35. Показатель преломления сильвина для света с длинами волн 303,4;
214,4 и 185,2 нм равен соответственно 1,5440; 1,6618 и 1,8270. Вычислить
фазовую и групповую скорости света вблизи длины волны 214,4 нм.
36. Определить, как изменится интенсивность монохроматического света
при прохождении через слой поглотителя; толщина первого слоя 10 мм,
второго 20 мм, коэффициенты линейного ослабления соответственно равны
0,1 и 0,3 см 1 .
37. В черенковском счетчике из каменной соли пучок релятивистских
протонов излучает в красной области спектра (0,67 мкм) в конусе с
раствором 98°38'. Определить кинетическую энергию протонов.
38. Найти коэффициент линейного поглощения вещества, для которого
толщина слоя половинного ослабления интенсивности монохроматического
света равна 2,46 м,
39. Показатель преломления воды при 20°С для света с длинами волн
670,8, 656,3 и 643,8 нм равен соответственно 1,3308, 1,3311 и 1,3314.
Вычислить отношение фазовой к групповой скорости света вблизи длины
волны 656,3 нм.
40. Для каких частиц возникает черепковское излучение при их движении
в воде, когда их кинетическая энергия превышает 972 МэВ?
41. На какую длину волны приходится максимум энергии излучения, если
температура абсолютно черного тела равна 500 К? Во сколько раз возрастает
суммарная мощность излучения, если температура увеличивается до 1300 К?
42. Принимая спектр Солнца за спектр излучения абсолютно черного тела,
определить мощность суммарного (интегрального) (т. е. приходящегося на
все длины волн) излучения, если максимум испускательной способности
соответствует длине волны 0,48 мкм. Радиус Солнца считать равным 6,5  10 5
км.
43.
Температура абсолютно черного тела равна 3600 К. Определить
длину волны, на которую приходится максимум энергии в спектре
излучения, и спектральную плотность энергетической светимости,
приходящуюся на эту длину волны.
44. Начальная температура тела 150°С. Определить, на сколько нужно
повысить температуру абсолютно черного тела, чтобы мощность суммарного
излучения увеличилась в 5 раз.
45. Какое количество теплоты в 1 с нужно подводить к свинцовому
шарику радиусом 4 см, чтобы поддерживать его температуру при 27°С, если
температура окружающей среды — 23 °С. Считать, что тепло теряется только
вследствие излучения. Поглоща-тельная способность свинца равна 0,6.
46. Принимая спектр Солнца за спектр излучения абсолютно черного тела,
определить плотность потока энергии у поверхности Земли. Считать, что
расстояние от Земли до Солнца 1,5-103 км, радиус Солнца 6,5-105 км.
Максимум испускательной способности соответствует длине волны 0,48 мкм.
47. Определить количество теплоты, теряемое поверхностью
расплавленной платины при 1770 °С за 1 мин, если площадь поверхности 100
см 2 . Коэффициент поглощения принять равным 0,8.
48. Максимум энергии излучения абсолютно черного тела приходится на
длину волны 450 нм. Определить температуру и энергетическую светимость
тела.
49. Абсолютно черное тело было нагрето от температуры 100 до 300 "С.
Найти, во сколько раз изменилась мощность суммарного излучения при этом.
50. Температура абсолютно черного тела понизилась с 1000 до 850 К.
Определить, как и на сколько при этом изменилась длина волны, отвечающая
максимуму распределения энергии.
51. Определить давление на черную поверхность, создаваемое светом с
длиной волны 0,4 мкм, если ежесекундно на 1 см² поверхности падает 6  1016
фотонов.
52. Световое давление, испытываемое зеркальной поверхностью
площадью 1 см², равно 10 6 Па. Найти длину волны монохроматического
света, если ежесекундно падают 5  1012 фотонов.
53. На зачерненную поверхность нормально падает монохроматический
свет с длиной волны 0,45 мкм. Найти число фотонов, падающих на площадку
1 м² в 1 с, если давление, производимое этим светом, равно 10 5 Па.
54. Принимая спектр Солнца за спектр абсолютно черного тела,
определить давление солнечных лучей на земную поверхность при условии,
что максимальная испускательная способность соответствует длине волны
0,48 мкм. Радиус Солнца считать равным 6,5  10 5 км. Коэффициент отражения
солнечных лучей равен нулю. Расстояние от Земли до Солнца 1,5  10 8 км.
55. Определить силу, светового давления на зеркальную поверхность
площадью 100 см², если интенсивность светового потока, падающего
нормально на эту поверхность, равна 2,5 кВт/м².
56. Энергетическая освещенность поверхности Земли равна 1,4 кВт/м².
Определить давление, обусловленное светом, принимая коэффициент
отражения равным 0,6.
57. Давление света на зеркальную поверхность, расположенную на
расстоянии 2 м от лампочки нормально к падающим лучам, равно 0,5  10 8 Па.
Определить мощность лампочки, расходуемую на излучение.
58. Энергетическая освещенность поверхности, освещаемой нормально
падающими лучами равна 3 кВт/м². Вычислить световое давление, если
поверхность черная.
59. Свет (λ=0,6 мкм), падая нормально на зеркальную поверхность,
оказывает давление 10 6 Па. Определить число фотонов, падающих на 1 м²
поверхности.
60. Определить длину волны монохроматического света при нормальном
падении его на зеркальную поверхность площадью 1 м², если ежесекундно
падает 5  10 8 фотонов.
61. Фотон с энергией 1,3 МэВ в результате эффекта Комптона был рассеян
на свободном электроне. Определить комптоновскую длину волны •
рассеянного фотона, если угол рассеяния фотона 60°.
62. Какую часть энергии фотона составляет энергия, пошедшая на работу
выхода электрона из фотокатода, если красная граница для материала
фотокатода равна 540 мкм, кинетическая энергия фотоэлектрона 0,5 эВ?
63. В результате комптоновского эффекта электрон приобрел энергию 0,5
МэВ. Определить энергию падающего фотона, если длина волны рассеянного
фотона равна 0,025 нм.
64. При облучении светом цинкового шарика, удаленного от других тел,
шарик зарядился до потенциала 4,3 В. Определить граничную длину
световой волны излучателя.
65. Фотон с импульсом 1,02 МэВ/с (с — скорость света) в результате
эффекта Комптона был рассеян на угол 30°. Определить импульс
рассеянного фотона.
66.
Облучение литиевого фотокатода производится фиолетовыми
лучами, длина волны которых 400 мкм.
Определить скорость
фотоэлектрона, если красная граница фотоэффекта для лития равна 520 мкм.
67. Фотон при соударении со свободным электроном испытал
комптоновское рассеяние под углом 60°. Определить долю энергии,
оставшуюся у фотона.
68. Кинетическая энергия электронов, выбитых из цезиевого фотокатода,
равна 3 эВ. Определить, при какой максимальной длине волны света
выбивается этот электрон?
69. Фотон с энергией 0,51 МэВ в результате эффекта Комптона был
рассеян на 180°. Определить энергию электрона отдачи.
70. Фотон с длиной волны 0,2 мкм вырывает с поверхности натрия
фотоэлектрон, кинетическая энергия которого 2 эВ. Определить работу
выхода и красную границу фотоэффекта.
VI. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ И ФИЗИКИ
ТВЕРДОГО ТЕЛА.
ПОЯСНЕНИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ
Изучение этого раздела следует начать с элементов квантовой механики и
рассмотреть такие вопросы, как корпускулярно-волновой дуализм материи,
гипотезу де Бройля, уяснить, что движение любой частицы согласно этой
гипотезе всегда сопровождается волновым процессом. Исходя из
соотношений неопределенностей Гейзенберга, определить границы
применимости классической механики и понять, что из этих соотношений
вытекает необходимость описания состояния микрочастиц с помощью
волновой функции, обратить внимание на ее статистический смысл.
Целесообразно рассмотреть применение уравнения Шредингера к
стационарным состояниям (прямоугольная потенциальная яма бесконечной
глубины), следует знать правила квантования энергии, орбитального
момента импульса в атоме водорода и выяснить смысл трех квантовых чисел.
При изучении темы «Периодическая система элементов» необходимо
обратить внимание на физический смысл спинового числа и принцип запрета
Паули, на основе которого рассмотреть распределение электронов в атоме по
состояниям.
Переходя к изучению элементов физики атомного ядра и элементарных
частиц, студент должен хорошо представлять себе состав атомного ядра и
его характеристики: массу, линейные размеры, момент импульса, магнитный
момент ядра, дефект массы ядра, энергию и удельную энергию связи ядра.
Рассматривая состав ядра и взаимодействие нуклонов в ядре, нужно знать
свойства ядерных сил и обратить внимание на их обменную природу.
В процессе изучения радиоактивного распада ядер важно понять
дискретный характер энергетического спектра α-частиц и γ-излучения,
свидетельствующий о квантовании энергии ядер; понять закономерности
β-распада, связанного с законами сохранения энергии и момента импульса.
Изучая тему «Ядерные реакции», важно понять, что во всех ядерных
реакциях выполняются законы сохранения: энергии, импульса, момент
импульса, электрического заряда, массы (массового числа). Особое
внимание уделите реакциям синтеза легких и делению тяжелых ядер,
вопросам ядерной энергетики и проблемам управления термоядерными
реакциями.
При изучении темы «Элементы физики твердого тела»; основное
внимание должно быть уделено: элементам теории кристаллической
решетки, элементам зонной теории твердых тел, полупроводникам,
проводникам (металлам). Рассматривая эти вопросы, существенно понять
характер теплового движения в твердых телах, дебаевскую теорию
теплоемкости, распределение электронов по энергиям при Т=0 и Т>0, иметь
качественное представление о сверхпроводимости, выяснить различие
между металлами, диэлектриками и полупроводниками, рассмотреть
собственную и примесную проводимости полупроводников в вольтамперную характеристику р-n-перехода. Контрольная работа № 6 представлена набором задач, включающих
следующие вопросы: определение длины волны де Бройля движущихся
частиц, соотношения неопределенностей Гейзенберга, применение уравнения
Шредингера для частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме с
бесконечно высокими стенками, рентгеновское излучение и закон Мозли,
закон радиоактивного распада, определение дефекта массы, энергии связи и
удельной энергии связи ядра, энергии ядерных реакций. В эту контрольную
работу включены также задачи по теме «Элементы физики твердого тела», в
которых
определяются
параметры
объемно-центрированных
и
гранецентрированных кубических решеток, удельная и молярная
теплоемкости при постоянном объеме по теории Дебая при T<<ϴD,
примесная электропроводность некоторых полупроводников.
Основные законы и формулы
Длина волны де Бройля
Одномерное
уравнение
Шредингера
для
стационарных состояний
Плотность вероятности
Вероятность обнаружения
частицы (в интервале от x1
до x2)
Соотношения
неопределенности
Гейзенберга
для
координаты и импульса и
энергии и времени
Стационарное уравнение
Шредингера
Импульс релятивистской
частицы и его связь с
кинетической энергией
Волновая
функия
описывающая состояние
частицы в бесконечно
глубокой прямоугольной
потенциальной
яме
шириной l
Полная энергия частицы в
прямоугольной
потенциальной
яме
шириной l
Коротковолновая граница
сплошного
рентгеновского спектра
Формула Мозли
Закон
поглощения
излучения
веществом
(Формула Бугера)
Закон
распада
радиоактивного
Деффект массы ядра
Энергия массы ядра
(где ∆Есв выражена в МэВ)
Расстояние
между
ближайшими соседними а)
атомами в кубической
решетке (а – параметр
решетки)
б)
а)
объемноцентрированной
б) гранецентрированной
Молярная теплоемкость
твердого
тела
при
постоянном объеме по
теории Дебая при Т<<ϴD
Примесная
электропроводность
полупроводников
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.Кинетическая энергия электрона равна 1,02 МэВ. Вычислить длину волны
де Бройля этого электрона.
.Дано: Ек=1,02, МэВ=16,2*10-14 Дж, Е0 = 0,51 МэВ = 8,1*10-14 Дж.
Найти К.
Решение. Длина волны де Бройля определяется по формуле λ=h/p, (1) где λ
— длина волны, соответствующая частице с импульсом р; h —постоянная
Планка. По условию задачи кинетическая энергия электрона больше его
энергии покоя: Ek = 2E0, (2) следовательно, движущийся электрон является
релятивистской частицей. Импульс релятивистских частиц определяется по
формуле
(3)
или, учитывая соотношение (2),
. (4)
Подставляя (4) в (1), получим
Производя вычисления, получим
Ответ: λ=0,87*10-12 м
2. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, показать,
что ядра атомов не могут содержать электронов. Считать радиус
ядра равным 10-13 см.
Дано: Rя=Ю-15 м, h= 6,62-10-34 Дж-с.
Решение. Соотношение неопределенностей Гейзенберга выражается
формулой
где ∆х — неопределенность координаты; ∆pх — неопределенность импульса; h — постоянная Планка. Если неопределенность координаты принять
равной радиусу ядра, т. е. ∆x=Rя, то неопределенность импульса электрона
выразим следующим образом: ∆px=h/(2π∆x). Так как ∆px=m∆vx, то
m∆vx=h/(2π∆х) и ∆vx=h/(2π∆x*m). Вычислим неопределенность скорости
электрона:
Сравнивая полученное значение ∆vx со скоростью света в вакууме
с=3*108 м/с, видим, что ∆vx>c, а это невозможно, следовательно, ядра не
могут содержать электронов.
2. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной
яме шириной
1
нм в возбужденном состоянии. Определить
минимальное, значение энергии электрона и вероятность нахождения
электрона в интервале 0<х<l/3 второго энергетического уровня.
Дано:l=1 нм=10-9 м, m = 9,1*10-31 кг, 0<х<l/3, п=2.
Найти:Emin , P2
Решение. В квантовой механике информацию о движений частиц получают
из волновой функции (ψ-функция), которая отражает распределение частиц
или систем по квантовым состояниям. Эти частицы характеризуются
дискретными значениями энергии, импульса, момента импульса, т. е. ψфункция является функцией состояния частиц в микромире. Решая уравнение
Шредингера, получим, что для рассматриваемого случая собственная
функция имеет вид
(1)
(рис 17)
где n = 1, 2, 3, ...; х — координата частицы; l — ширина ямы. Графики
собственных функций изображены на рис. 17. Согласно соотношению де
Бройля двум отличающимся знаком проекциям импульса соответствуют две
плоские монохроматические волны де Бройля, распространяющиеся в
противоположных направлениях вдоль оси х. В результате их интерференции
возникают стоячие волны де Бройля, характеризующиеся стационарным
распределением вдоль оси х амплитуды колебаний. Эта амплитуда и есть
волновая функция ψ(x), квадрат которой определяет плотность вероятности
пребывания электрона в точке с координатой х. Как видно из рис. 17, для
значения n = 1 на ширине ямы l укладывается половина длины стоячей
волны де Бройля, для n = 2 — целая длина стоячей волны де Бройля и т. д., т.
е. в потенциальной яме могут быть лишь волны де Бройля, длина которых
удовлетворяет условию
1 = пλ/2 (n= 1,2,3,.., )
Таким образом, на ширине l ямы должно укладываться целое число
полуволн: λ=2l/n, (2)
Полная энергия частицы в потенциальной яме зависит от ее ширины l и
определяется формулой Е=h2n2/(8ml2) (3), где m — масса частицы; n=1,2,3... .
Минимальное значение энергии электрон будет иметь при минимальном
значении п, т. е. при п=1. Следовательно,
Emin=h2l2/(8ml2)
Подставляя числовые значения, получим
Вероятность того, что электрон будет обнаружен в интервале от х до
x + dx, равна
.
Искомую вероятность находим интегрированием в пределах от 0 до l/3:
Используя соотношение sin2α = (1 - cos2α), вычисляем интеграл при
условии, что электрон находится на втором энергетическом уровне:
Ответ: Еmin = 0,6*10-19 Дж, Р2=0,4
4. Граничная длина волны Ка - серии характеристического рентгеновского излучения для некоторого элемента равна 0,0205 нм. Определить этот
элемент.
Дано: λКа =0,0205 нм=0,205*10-10 м, i = 1, n=2, a=1.
Найти Z.
Решение. Из формулы Мозли
где λ — длина волны характеристического излучения, равная λ=c/v (с —
скорость света, v — частота, соответствующая длине волны λ); R —
постоянная Ридберга; Z — порядковый номер элемента, из которого
изготовлен электрод; а —постоянная экранирования; i — номер
энергетического уровня, на который переходит электрон; п — номер
энергетического уровня, с которого переходит электрон (для Ka -серии i=1,
п=2, а=1), находим Z:
Порядковый номер 78 имеет платина.
Ответ: Z=78 (платина).
5. На поверхность воды падает узкий монохроматический пучок
γ-лучей с длиной волны 0,775 пм. На какой глубине интенсивность γ-лучей
уменьшится в 100 раз!
Дано: λ=0,775 пм = 7,7*10-1'3 м, k=100.
Найти х.
Решение. Ослабление интенсивности γ-лучей определяется из формулы
I=I0e-μx , (1) откуда k=:I0/I=e-μx, где I0 — интенсивность падающего пучка γлучей; I — их интенсивность на глубине х; μ - коэффициент линейного
ослабления. Решая уравнение (1) относительно х, находим
lnk = μx; x = lnk/μ
(2)
Для определения μ, вычислим энергию γ-квантов ε = hν=hc/λ, где h —
постоянная Планка; с — скорость света в вакууме. Подставляя числовые
значения, получим
По графику зависимости линейного коэффициента ослабления γ-лучей
от их энергии (рис. 18) находим μ=0,06 см-1. Подставляя это значение μ. в
формулу (2), находим
(рис 18)
Ответ: х=76,75 см.
6. Определить, сколько ядер в 1 г радиоактивного 9038Sr распадается в
течение одного года.
Дано: m=10-3 кг, T=27 лет, t=1 год.
Найти Nt
Решение. Для определения числа атомов, содержащихся в 1 г 9038Sr,
используем соотношение
N = vNA = (m/M) NA, (1)
где NA —постоянная Авогадро; ν - число молей, содержащихся в массе
данного элемента; М — молярная масса изотопа. Между молярной массой
изотопа и его относительной атомной массой существует соотношение: М=
10—3 А кг/моль. (2) Для всякого изотопа относительная атомная масса весьма
близка к его массовому числу А, т. е. для данного случая M=10-3*90
кг/моль=9*10-2 кг/моль. Используя закон радиоактивного распада
N = N0e-λt
(3)
где No — начальное число нераспавшихся ядер в момент t=0; N — число
нераспавшихся ядер в момент t; λ — постоянная радиоактивного распада,
определим количество распавшихся ядер 9038 Sr в течение 1 года:
Nt = N0 - N = No(1-e-λt) (4)
Учитывая, что постоянная радиоактивного распада связана с периодом
полураспада соотношением λ= 1п2/Т, получим
Nt = N0(1 – e-(ln2/T)t ) (5)
Подставляя (1) с учетом (2) в выражение (5), имеем
(6)
Произведя вычисления по формуле (6), найдем
'
21
= 6,4*10 .
Ответ:Nt = 6,4*1021
7. Вычислить в мегаэлектрон-вольтах энергию ядерной реакции:
Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?
Решение. Энергию ядерной реакции ∆Е=∆тсг, (1), где ∆m— дефект
массы реакции; с — скорость света в вакууме. Если ∆m выражать в а. е. м., то
формула (1) примет вид ∆Е=931∆m. Дефект массы равен
Так как число электронов до и после реакции сохраняется, то вместо
значений масс ядер воспользуемся значениями масс нейтральных атомов,
которые приводятся в справочных таблицах:
Реакция идет с выделением энергии, так как ∆m>0:
∆E = 931 МэВ/а.е.м.*0,00825 а.е.м = 7,66 МэВ
Ответ: ∆E=7,66 МэВ.
8. Медь имеет гранецентрированную кубическую решетку. Расстояние
между ближайшими атомами меди 0,255 нм. Определить плотность меди и
параметр решетки.
Дано: d=0,255 нм=2,55*1010 м, n = 4, М = 63,54*10-3 кг/моль.
Найти: ρ, а.
Решение. Плотность кристалла меди найдем по формуле ρ = M/Vo, (1)
где М — молярная масса меди; Vo — молярный объем. Он равен объему
одной элементарной ячейки а3, умноженной на число Z0 элементарных
ячеек, содержащихся в одном моле кристалла: V0=a3Z0. (2)
Число элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла,
состоящего из одинаковых атомов, найдем, разделив постоянную Авогадро
NA на число п атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку: Z0 =
NA/n. (3) Для кубической гранецентрированной решетки n = 4. Подставляя (3)
в (2), получим
V0 = a3NA/n. (4)
Подставляя (4) в (1), окончательно имеем
ρ = Mn/(a3NA).
Расстояние между ближайшими соседними атомами связано с
параметром решетки а простым геометрическим . соотношением (рис. 19):
a = d√2.
Подставляя числовые значения в расчетные формулы, находим
(рис 19)
Ответ: a = 3,59*10 м, ρ = 9,12 *103 кг/м3
9. Кристаллический алюминий массой 10 г нагревается от 10 до 20 К.
Пользуясь теорией Дебая, определить количество теплоты, необходимое для
нагревания. Характеристическая температура Дебая для алюминия равна 418
К. Считать, что условие T<<ϴD выполняется.
Дано: m=0,01 кг, T1 = 10 К, T2 = 20 К, ϴD =418 К, M = 27*103
кг/моль.
Найти Q.
Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания алюминия
от температуры T1 до Т2 будем вычислять по формуле
-10
(1)
где m — масса алюминия; с — его удельная теплоемкость, которая
связана с молярной теплоемкостью соотношением с=Сm /М. Учитывая это,
формулу (1) запишем в виде
(2)
По теории Дебая, если условие T<<ϴD выполнено,
теплоемкость определяется предельным законом
молярная
(3)
где R=8,31 Дж/(моль*К)—молярная газовая постоянная; ϴD —
характеристическая температура Дебая; Т — термодинамическая температура. Подставляя (3) в (2) и выполняя интегрирование, получаем
Подставляя числовые значения, находим
Ответ: Q=0,36 Дж.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА N 6 (5)
1.Определить кинетическую энергию протона и электрона, для которых
длины волн де Бройля равны 0,06 нм.
2.Кинетическая энергия протона равна его энергии покоя. Вычислить
длину волны де Бройля для такого протона.
3. Определить длины волн де Бройля электрона и протона, прошедших
одинаковую ускорящую разность потенциалов 400 В.
4. Протон обладает кинетической энергией, равной энергии покоя. Во
сколько раз изменится длина волны де Бройля протона, если его
кинетическая энергия увеличится в 2 раза?
5. Кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя. Вычислить
длину волны де Бройля для такого электрона.
6. Масса движущегося электрона в 2 раза больше массы покоя.
Определить длину волны де Бройля для такого электрона.
7. Используя постулат Бора, найти связь между длиной волны де Бройля
и длиной круговой электронной орбиты.
8. Какой кинетической энергией должен обладать электрон, чтобы
дебройлевская длина волны электрона была равна его комптоновской длине
волны.
9. Сравнить длины волн де Бройля электрона, прошедшего разность
потенциалов 1000 В, атома водорода, движущегося со скоростью равной
средней квадратичной скорости при температуре 27 °С, и шарика массой 1 г,
движущегося со скоростью 0,1 м/с.
10.Какой кинетической энергией должен обладать протон, чтобы
дебройлевская длина волны протона была равна его комптоновской длине
волны.
11.Среднее время жизни π°-мезона равно 1,9*10-16с. Какова должна быть
энергетическая разрешающая способность прибора, е помощью которого
можно зарегистрировать π0-мезон?
12.На фотографии, полученной с помощью камеры Вильсона, ширина
следа электрона составляет 0,8*10-3 м. Найти неопределенность в
нахождении его скорости.
13.Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме
водорода 13,6 эВ. Используя соотношение неопределенностей, найти
наименьшую погрешность, с которой можно вычислить координату
электрона в атоме.
14.Электрон, движущийся со скоростью 8*106 м/с, зарегистрирован в
пузырьковой камере. Используя соотношение неопределенностей, найти
погрешность в измерении скорости электрона, если диаметр
образовавшегося пузырька в камере 1 мкм.
15.Показать, что для частицы, неопределенность координаты которой
∆x=λ(2π) (λ— длина волны де Бройля), неопределенность ее скорости равна
по порядку величины самой скорости частицы.
16.Среднее время жизни π+-мезона равно 2,5*10-8 c. Какова должна быть
энергетическая разрешающая способность прибора, с помощью которого
можно зарегистрировать π+-мезон?
17.Исходя из соотношения неопределенностей, оценить размеры ядра
атома, считая, что минимальная энергия нуклона в ядре 8 МэВ.
18.Используя соотношение неопределенностей, оценить энергию
электрона, находящегося на первой боровской орбите в атоме водорода.
19.Используя соотношение неопределенностей, показать, что в ядре не
могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными
5,8*10-15 м. Учесть, что удельная энергия связи в среднем 8 МэВ/нуклон.
20.Атом испустил фотон с длиной волны 0,550 мкм. Продолжительность
излучения 10 не. Определить наибольшую погрешность, с которой может
быть измерена длина волны излучения.
21.Частица в потенциальной яме шириной l находится в возбужденном
состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале 0<x<l/2
на третьем энергетическом уровне.
22.Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом
и втором энергетических уровнях одномерной потенциальной ямы, ширина
которой I, в интервале 0<х<l/4.
23.Определить, при какой ширине одномерной потенциальной ямы
дискретность энергии электрона становится сравнимой с энергией теплового
движения при температуре 300 К.
24.Электрон находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина которой 0,1 нм.
Определить импульс электрона.
25.Электрон находится в основном состоянии в одномерной
потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина которой 0,1
нм. Определить среднюю силу давления, оказываемую электроном на стенки
ямы.
26.Электрон находится в одномерной потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками, ширина которой 1,4*10-9 м. Определить энергию,
излучаемую при переходе электрона с третьего энергетического уровня на
второй.
27.Электрон находится в одномерной потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками, ширина которой 1 нм. Определить наименьшую разность
энергетических уровней электрона.
28.Определить, при какой температуре дискретность энергии электрона,
находящегося в одномерной потенциальной яме, ширина которой 2*10 -8 м,
становится сравнимой с энергией теплового движения.
29.Частица в потенциальной яме шириной l находится в возбужденном
состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале 0<x<l/4
на втором энергетическом уровне.
30.Определить ширину одномерной потенциальной ямы с бесконечно
высокими стенками, если при переходе электрона с третьего энергетического
уровня на второй излучается энергия 1 эВ?
31.Граничное значение длины волны К-серии характеристического
рентгеновского излучения некоторого элемента равно 0,174 нм. Определить
этот элемент.
32.Найти граничную длину волны К-серии рентгеновского излучения от
платинового антикатода.
33.При каком наименьшем напряжении на рентгеновской трубке с
железным антикатодом появляются линии Ка-серии?
34.Какую наименьшую разность потенциалов нужно приложить к
рентгеновской трубке с вольфрамовым антикатодом, чтобы в спектре
излучения вольфрама были все линии К-серии?
35.Граничная длина волны К-серии характеристического рентгеновского
излучения некоторого элемента равна 0,1284 нм. Определить этот элемент.
36. Определить минимальную длину волны тормозного рентгеновского
излучения, если к рентгеновской трубке приложены напряжения 30 кВ; 75
кВ.
37.Наименьшая длина волны тормозного рентгеновского излучения,
полученного от трубки, работающей под напряжением 15 кВ, равна 0,0825
нм. Вычислить по этим данным постоянную Планка.
38.При переходе электрона в атоме меди с M-слоя на L-слой испускаются
лучи с длиной волны 12*10-10 м. Вычислить постоянную экранирования в
формуле Мозли.
39.Наибольшая длина волны K-серии характеристического рентгеновского излучения равна 1,94*10-10 м. Из какого материала сделан
антикатод?
40.К рентгеновской трубке, применяемой в медицине для диагностики,
приложено напряжение 45000 В. Найти границу сплошного рентгеновского
спектра.
41.Период полураспада радиоактивного аргона 4118Аг равен 110 мин.
Определить время, в течение которого распадается 25% начального
количества атомов.
42.Вычислить толщину слоя половинного поглощения свинца, через
который проходит узкий монохроматический пучок γ-лучей с энергией 1,2
МэВ.
60
43.Период полураспада изотопа
27Co равен примерно 5,3 года.
Определить постоянную распада и среднюю продолжительность жизни
атомов этого изотопа.
44.На железный экран падает узкий монохроматический пучок γ-лучей,
длина волны которых 0,124*10-2 нм. Найти толщину слоя половинного
поглощения железа.
45.Какова энергия γ-лучей, если' при прохождении через слой алюминия
толшиной 5 см интенсивность излучения ослабляется в 3 раза?
46.Период полураспада 6027Со равен 5,3 года. Определить, какая доля
первоначального количества ядер этого изотопа распадается через 5 лет,
47.Рассчитать толщину защитного водяного слоя, который ослабляет
интенсивность γ-излучения с энергией 1,6 МэВ в 5 раз.
48.За год распалось 60 % некоторого исходного радиоактивного
элемента. Определить период полураспада этого элемента.
49.Через экран, состоящий из двух плит: свинцовой толщиной 2 см и
железной толщиной 5 см, проходит узкий пучок γ-лучей с энергией 3 МэВ.
Определить, во сколько раз изменится интенсивность γ-лучей при
прохождении этого экрана.
50.Определить постоянную распада и число атомов радона, распавшихся
в течение суток, если первоначальная масса радона 10 г.
51.Вычислить дефект массы, энергию связи ядра и удельную энергию
связи для элемента 10847Ag.
52.Вычислить энергию термоядерной реакции
53. В какой элемент превращается 23892 U после трех α-распадов и двух βпревращений?
54.Определить максимальную энергию β-частиц при β-распаде трития.
Написать уравнение распада.
55.Определить максимальную, кинетическую энергию электрона,
вылетающего при β-распаде нейтрона. Написать уравнение распада.
55.Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи
для элемента 2412Mg.
56.Ядро, состоящее из 92 протонов и 143 нейтронов, выбросило αчастицу. Какое ядро образовалось в результате α-распада? Определить
дефект массы и энергию связи образовавшегося ядра.
57.При термоядерном взаимодействии двух дейтронов возможны
образования двух типов: 1) 32Не и 2) 31H. Определить тепловые эффекты этих
реакций.
58.Какое количество энергии освобождается при соединении одного
протона и двух нейтронов в атомное ядро?
60. Вычислить энергию ядерной реакции
61.Молибден имеет объемно-центрированную кубическую кристаллическую решетку. Расстояние между ближайшими соседними атомами
равно 0,272 им. Определить плотность молибдена.
62.Используя теорию Дебая, вычислить удельную теплоемкость железа
при температуре 12 К. Принять характеристическую температуру Дебая для
железа 467 К. Считать, что условие T<<ϴD выполняется.
63.Золото имеет гранецентрированную кубическую кристаллическую
решетку. Найти плотность золота и расстояние между ближайшими атомами,
если параметр решетки 0,407 нм.
64.Определить примесную электропроводность германия, который
содержит индий с концентрацией 5*1022 м-3 и сурьму с концентрацией 2*1021
м-3. Подвижности электронов и дырок для германия соответственно равны
0,38 и 0,18 м2/(В*с).
65.При комнатной температуре плотность рубидия равна 1,53 г/см3. Он
имеет объемно-центрированную кубическую кристаллическую решетку.
Определить расстояние между ближайшими соседними атомами рубидия.
66.Слиток золота массой 500 г нагревают от 5 до 15 К. Определить,
пользуясь теорией Дебая, количество теплоты, необходимое для нагревания.
Характеристическая температура Дебая для золота 165 К. Считать, что
условие T<<ϴD выполняется.
67.Определить примесную электропроводность германия, который
содержит бор с концентрацией 2*1022 м-3 и мышьяк с концентрацией 5*1021 м3
. Подвижности электронов и дырок для германия соответственно равны 0,38
и 0,18 м2/(В*с).
68.Найти параметр решетки и расстояние между ближайшими
соседними атомами серебра, который имеет гранецентрированную кубическую кристаллическую решетку. Плотность серебра при комнатной
температуре равна 10,49 г/см3.
69.Пользуясь теорией Дебая, найти молярную теплоемкость цинка при
температуре 14 К. Характеристическая температура Дебая для цинка 308 К.
Считать, что условие T<<ϴD выполняется.
70.Определить примесную электропроводность кремния, который
содержит бор с концентрацией 5*1022 м-3 и сурьму с концентрацией 58*1021
м-3. Подвижности электронов и дырок для кремния соответственно равны 0,16
и 0,04 м2/(В*с).
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Основные физические постоянные (округленные значения)
Физическая постоянная
Обозначение
Числовое значение
Нормальное ускорение g
свободного падения
9,81 м/с2
Гравитационная
постоянная
G
6,67*10-11 м3/(кг*с2)
Постоянная Авогадро
NA
6,02*1023 моль-1
Молярная
постоянная
газовая R
Постоянная Больцмана
k
8,31 Дж/(моль*К)
1,38*10-23 Дж/К
Объем одного моля V0
идеального газа при
нормальных условиях
(T0 = 273,15 K, p0 =
101325 Па )
22,4*10-3 м3/моль
Элементарный заряд
e
1,60*1019 Кл
Масса покоя электрона
me
9,1*10-31 кг
Постоянная Фарадея
F
9,65 Кл/моль
Скорость
вакууме
света
в c
3*108 м/с
Постоянная Стефана - σ
Больцмана
5,67*10-8 Вт/(м2*К4 )
Постоянная
первом
(смещения)
2,89*10-3 м*К
Вина в b1
законе
Постоянная Вина
втором законе
Постоянная Планка
во b2
1,30*10-5 Вт/(м3*К5 )
h
6,63*10-34 Дж*с
ħ
1,05*10-34 Дж*с
Постоянная Ридберга
R
2,07*10-18 с-1
Боровский радиус
a
0,529*10-10 м
Комптоновская длина ΛC
волны электрона
2,34*10-12 м
Энергия
ионизации Ei
атома водорода
2,18*10-18 Дж = 13,6
эВ
Атомная единица массы
1,660*10-27 кг
Энергия,
соответствующая
а.е.м.
а.е.м.
931,50 МэВ
1
Электрическая
постоянная
ε0
8,85*10-12 Ф/м
Магнитная постоянная
μ0
4π*107 Гн/м
Магнетон Бора
μB
9,27*10-24 Дж/Тл
Ядерный магнетон
μN
5,05*10-27 Ф/м
2. Некоторые астрономические величины
Радиус Земли
(среднее значение)
6,37*106 м
Масса Земли
5,96*1024 кг
Радиус Солнца (среднее значение)
6,95*108 м
Масса Солнца
1,98*1030 кг
Радиус Луны (среднее значение)
1,74*106 м
Масса Луны
Среднее расстояние между
центрами Земли и Луны
Среднее расстояние между центрами
Солнца и Земли
Период обращения Луны вокруг Земли
7,33*10 22 кг
3,84*108 м
1,5*1011 м
27 сут 7 ч и 43 мин
3. Плотность жидкостей ρ*10-3, кг/м3
Вода (при
4 0С) - 1
Глицерин
1,26
Масло
0,9
Ртуть – 13,6
–
–
Керосин
0,8
Спирт – 0,8
–
4. Плотность газов (при нормальных условиях), кг/м3
Азот — 1,25
Аргон — 1,78
Водород – 0,09
Воздух—1,29
Гелий — 0,18
Кислород – 1,49
5. Плотность р, модуль упругости (модуль Юнга) Е, коэффициент
линейного расширения (среднее значение) α некоторых твердых
тел
Твердое тело
ρ*10-3, кг/м3
Е*10-10 , Па
α*106, К-1
Алюминий
2,7
70
24
Вольфрам
19,75
41,1
4,3
Железо (сталь)
7,85
22,0
11,9
Константан
8,9
21,0
17,0
Лед
0,92
0,28
Медь
8,8
12,98
16,7
Никель
8,8
20,4
13,4
Нихром
8,4
—
—
Фарфор
2,3
—
3
6. Скорость звука в веществе (при 15 °С)
Бериллий
12 250 м/с
Воздух
340 м/с
Вода
Воск
1450 м/с
390 м/с
7. Подвижность ионов в электролитах, м2/(В*с)
N03 ¯
6,4*10-8
Н+
3,26*10-7
К+
6,7*10-8
Сl¯
6,8*10-8
Ag+
5,6*10-8
8. Эффективный диаметр молекулы газов d*1010 , м
Азот - 3,1
Аргон - 3,6
Воздух - 3,0
Водород -2,3
Гелий - 1,9
Кислород -2,9
9. Удельная теплота плавления λ*10-4, Дж/кг
Лед
33,5
Свинец
2,3
10. Удельная теплота парообразования r*10-5 , Дж/кг
Вода
22,5
Эфир
6,68
11. Удельная теплоемкость c*10-2, Дж/(кг*К)
Вода
41,9
Лед
21,0
Нихром
2,20
Свинец
1,26
12. Постоянные Ван-дер-Ваальса
Вещество
а, Н*м4/моль2
b,10-5 м6/моль
Азот
0,135
3,68
Аргон
Водяной пар
Углекислый газ
Кислород
Водород
0,134
0,545
0,361
0,136
0,241
3,22
3,04
4,28
3,17
2,61
13. Удельное сопротивление ρ*108, Ом*м
Вольфрам – 5,5
Железо – 9,8
Нихром – 110,0
Медь – 1,7
14. Диэлектрическая проницаемость
Вода
Парафин
Слюда
Трансформаторное масло
15. Температурный
α*103, К-1
Вольфрам
Медь
Никелин – 40,0
Серебро – 1,6
(относительная) вещества
81,0
2,0
6,0
2,2
коэффициент
5,2
4,2
сопротивления
проводников
16. Потенциал ионизации, эВ
Водород
Ртуть
13,6
10,4
17. Показатель преломления
Алмаз – 2,42
Вода – 1,33
Каменная соль – 1,54
Кварц – 1,55
Скипидар – 1,48
Стекло 1,52
Глицерин – 1,47
Сероуглерод – 1,63
18. Масса m0 и анергия Е0 покоя некоторых элементарных частиц и
легких ядер
m0
а. е. м.
5,486*10-4
1,00728
1,00867
2,01355
4,0015
Электрон
Протон
Нейтрон
Дейтрон
α-частица
E0
МэВ
0,511
938,23
939,53
1876,5
3726,2
10 , кг
0,00091
1,6724
1,6748
3,3325
6,6444
27
19. Работа выхода электронов из металла, эВ
Алюминий – 3,7
Вольфрам – 4,5
Литий – 2,3
Платина – 6,3
Цезий – 1,8
Цинк – 4,0
Медь – 4,4
20. Периоды полураспада некоторых радиоактивных элементов
45
20Сa
90
38Sr
– 164 cуток
– 27 лет
210
84Po
– 138 суток
222
86Rn
– 3,82 суток
235
95U
– 7,1*108 лет
238
92U
– 4,5*109 лет
226
88Ra
– 1590 лет
1010, Дж
0,00081
1,50
1,51
3,00
5,96
21. Элементы периодической системы и массы нейтральных атомов,
а. е. м
Элемент системы
Водород
Масса
1,00783
2,01410
3,01605
Гелий
Литий
Берилий
Магний
Алюминий
Кремний
Фосфор
Сера
Железо
Медь
Вольфрам
Радий
Серебро
Торий
3,01605
4,00260
7,01501
7,01169
23,98504
26,98436
26,98135
26,81535
32,97174
32,97146
55,94700
63,54000
183,8500
226,02536
107,868
232,038
Изотоп
1
1H
2
1H
3
1H
3
2He
4
2He
7
3Li
7
4Be
24
12Mg
27
12Mg
27
12Al
26
14Si
33
15P
33
16S
56
26Fe
64
29Cu
184
74W
226
88Ra
108
47Ag
232
90Th
22. Граница К-серии рентгеновского излучения для различных материало
Вольфрам – 0,178 Медь – 1,38
Платина – 0,158
Серебро – 0,484
Золото – 0,153
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Общие методические указания
Литература
Рабочая программа
Сведения о приближенных вычислениях
Примерная схема решения задач
Задачи для самостоятельного решения
Учебные материалы по разделам курса физики
IФизические основы механики
II. Основы молекулярной физики и термодинамики
III.Электростатика. Постоянный ток
IV.Электромагнетизм. Колебания и волны
V. Волновая оптика. Квантовая природа излучения
VI. Элементы атомной и ядерной физики и физики твердого тела
Приложение