Лекция 6 Постоянный ток 2. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Лекция 6
Постоянный ток
1. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля-Ленца.
2. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
3. Источники тока. ЭДС источника тока. Сторонние силы.
4. Закон Ома для полной цепи.
5. Мощность тока во внешней цепи. КПД источника тока.
6. Закон Ома для неоднородного участка цепи.
7. Правила Кирхгофа.
8. Измерительные мосты постоянного тока.
1.
Пусть
к
проводнику
сопротивлением
R
приложена
разность
потенциалов Δφ = U и за время dt через проводник пройдет заряд q.
Известно, что
  U 
A
 A  U  q (1)
q
Так как сила тока
I
q
 q  I  dt (2)
dt
Подставив правую часть уравнения (2) в (1), получим
A  UIdt (3)
Измеряется работа в А = В·А·с = Дж.
Используя закон Ома для участка цепи перепишем уравнение (3)
U2
A
dt (4) и A  I 2 Rdt (5)
R
Мощность это работа совершенная в единицу времени, следовательно,
с учетом уравнения (3) получим
P
A UIdt

 IU (6)
dt
dt
Р = А·В = Вт
и сходя из формул (4) и (5) получим формулы мощности постоянного тока.
P
U2
(7) и P  I 2 R (8)
R
Ток оказывает тепловое действие и количество теплоты выделяемое в
проводнике определяется по закону Джоуля-Ленца, так как по закону
сохранения энергии Q = A, то по формуле (5)
Q  I 2 Rdt (9)
Количество
теплоты,
выделяющееся
в
проводнике
прямо
пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению и времени.
2.
Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Запишем закон Джоуля-Ленца (9)
Q  I 2 Rdt (9)
Сопротивление
цилиндрического
проводника
объемом
V  dSdl
определяется по формуле
R
dl
(10)
dS
Плотность тока
j
I
 I  jdS (11)
dS
Подставим правые части уравнений (10) и (11) в уравнение (9)
Q  ( jdS ) 2 
dl
dt
dS
Q  j 2 dSdldt  j 2 dVdt (12)
Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице
объема называется удельной тепловой мощностью
j 2 dVdt
W
dVdt
W  j 2  (13)
с учетом того, что  
1


и j  E - закон Ома в дифференциальной форме
получим закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
W  E 2 (14)
3.
Источник тока. ЭДС источника тока. Сторонние силы.
I
А


В
+
Если заряженный проводник соединить с незаряженным проводником,
то возникнет импульс тока, заряды перейдут на незаряженный, потенциалы
выровняются на проводниках А и В, ток прекратится.
Для поддержания в цепи постоянного тока необходимо иметь
специальное устройство внутри которого происходило бы разделение
зарядов и на полюсах создавалась разность потенциалов. Такие устройства
называются источниками тока, а силы под действием которых происходит
разделение
зарядов
называются
сторонними.
Это
силы
неэлектростатического происхождения.
Природа этих сил различна. В электрофорной машине – силы трения, в
гальванических элементах разделение зарядов осуществляется силами
возникающими в результате химических реакций между электродами и
электролитами, в генераторах за счет энергии магнитного поля и т. д.
Сторонние
силы
перемещая
электрического поля совершают работу.
заряды
против
силовых
линий
Величина численно равная работе по перемещению единичного
положительного заряда сторонними силами называется электродвижущей
силой источника тока (ЭДС).


Измеряется
ЭДС
Аст
(15)
q
Дж
 В (Вольт)
Кл
источника
тока
при
помощи
вольтметра,
подключенного к источнику тока при разомкнутой внешней цепи.
ε
- +
V
4.
Закон Ома для полной цепи.
ε
- +
r
R
Рассмотрим цепь состоящую из источника тока с электродвижущей
силой ε, внутренним сопротивлением r и внешним сопротивлением R.
Для замкнутой цепи на заряд q помимо сторонних сил действуют силы
электростатического происхождения и работа сторонних сил будет равна
Aст  А1  А ,
где А1 – работа на внешнем участке цепи, А′ - работа на внутреннем участке
цепи.
Разность потенциалов на R
  U 
А1
 А1  Uq  IRq (16)
q
Работу на внутреннем участке определим по закону Джоуля-Ленца
А  I 2 rt (9)
ЭДС источника тока в соответствии с формулой (15) равна

Аст А1  А А1 А



(17)
q
q
q
q
Подставив правые части уравнений (16) и (9) в уравнение (17) получим

IRq I 2 rt

 IR  Ir
q
It
то есть
  I ( R  r ) (18)
Выразим из формулы силу тока I
I

Rr
(19) – закон Ома для замкнутой цепи
Сила тока в замкнутой цепи прямо пропорциональна ЭДС источника
тока и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи.
Перепишем уравнение (18), используя закон Ома для участка цепи:
  U U
ЭДС равна сумме напряжений на внешнем и внутреннем участках
цепи.
5.
Мощность тока во внешней цепи. КПД источника тока.
ε
- +
r
R
Выразим работу совершаемую источником тока из формулы (15)

Аст
 Аст  q ,
q
q
t
так как I  , то q  I  t .
Подставив значение q в формулу работы, получим
Аст    I  t (20)
Мощность тока определяется по формуле P 
Подставив значение силы тока I 
Р 

Rr

2
Rr

Rr
Аст It

 I .
t
t
получим:
(21) – мощность источника тока или полная
мощность.
Полезная мощность РП на участке R определяется по формуле
РП  IU  I 2 R 
2
(R  r) 2
(22)
Коэффициент полезного действия источника тока равен отношению

Р П  2 R( R  r )

Р
(R  r) 2  2

R
(23)
Rr
R – внешнее сопротивление, r – внутреннее сопротивление источника тока.
6.
Закон Ома для неоднородного участка цепи.
ε
1
φ1
12
- +
r
R
2
φ2
Рассмотрим неоднородный участок на котором действует ε1-2, а к
концам участка 1-2 приложена разность потенциала φ1-φ2. Если ток проходит
по
неподвижным
проводникам,
то
согласно
закону
сохранения
и
превращения энергии работы внешних сил (сторонних и электростатических)
равна теплоте выделяющейся на этом участке.
dA12  Aст  Аэл ,  
Аст
А
 Аст   12  q ,   эл , Аэл    q
q
q
Работа dA12  q12  q(1  2 )  q12  (1  2 )
dQ  I 2 Rdt  IR( Idt )  IRq , так как
dA12  dQ ;  12  (1   2 )  IR  I 
I
 12  (1   2 )
R
 12  (1   2 )
R
(24) – закон Ома для неоднородного участка цепи в
интегральной форме, обобщенный закон.
а)  12  0 ; I 
1   2
R

U
- закон Ома для участка цепи.
R
б) Если же цепь замкнута, то φ1 = φ2, φ1 – φ2 = 0.
I
 12
R
, где ε1-2 – ЭДС действующая в цепи.
R = r + Rвнеш, I 
 12
r  Rвнеш
, r – внутреннее сопротивление источника тока,
Rвнеш – внешнее сопротивление цепи.
ε
r
R внеш
7.
Правила Кирхгофа.
При расчете электрических цепей часто используют правила Кирхгофа.
1.
Узлом электрической цепи называют точку в которой
сходится не менее трех проводников.
2.
Токи
входящие
в
узел
положительные,
выходящие
отрицательные.
Первое правило Кирхгофа.
I4
I3
I1
I2
I 3  I 2  I1  I 4  0 , I 3  I 2  I1  I 4 ;
n
I
i 1
i
0
Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле равна 0. – закон
сохранения зарядов.
Второе правило Кирхгофа.
n

i 1
n
i
  I i Ri
i 1
В замкнутом контуре алгебраическая сумма произведений сил токов
сопротивления соответствующих участков цепи равна алгебраической сумме
ЭДС.
1. Выбрать направления токов.
2. Выбрать направление обхода контура.
3. При переходе с «-» на «+» ε со знаком «+».
4. Если направление обхода контура совпадает с направлением тока,
то IR со знаком «+».
b
I1
a
I2
I3
ε1
r
- +1
ε2
r
- 2
А1
I1
А2
А3
Запишем правило Кирхгофа для:
контура abcda
ε1 – ε2 = I1r1 + I1R1 – I2R2 – I2r2
контура abcdefa
ε1 = I1r1 + I1R1 + I3R3
R2
d
I2
+
f
c
R1
R3
I3
e
8.
Измерительные мосты постоянного тока. Мост Уитстона.
b
R1
R2
I1 I4
a
I2
ИН
c
R4
Iх
I3 I4
R3
Rх
d
- +
Запишем первое правило Кирхгофа для узлов b и a.
Узел b: I1 – I4 – I2 = 0, узел d: I3 + I4 – Iх = 0
Запишем второе правило Кирхгофа для контуров abda и bcdb
abda: I1R1 + I4R4 – I3R3 = 0
bcdb: I2R2 + IxRx – I4R4 = 0
При сбалансированном мосте φb = φd
Iинд = 0 c учетом этого уравнения (1), 2, 3, 4 перепишутся
I1 = I2
I3 = Ix
I1R1 = I3R3
I2R2 = IxRx
Разделим 7 на 8 и с учетом 5 и 6 уравнений получим
R1 R3
R

 Rх R1  R2 R3  Rх  2 R3
R2 Rх
R1
Чаще всего при измерении сопротивлений R2 = R1, тогда Rx = R3.
Мост Уитстона реохордный
То есть вместо двух сопротивлений проволоки длиной l1 и l2
R1  
l1
l
, R2   2 .
S
S
R1
R2
ИН
R3
l1
R4
r
- +
ε
l2