Составление схем построения углов в пространстве.

Н. А. Сильченко
Брянский государственный университет
имени академика И.Г.Петровского
Составление схем построения
углов в пространстве
Изучение темы «Углы в пространстве» предусматривает усвоение
определений различных видов углов, формирование умений определять и
строить на чертеже каждый из этих углов и, как следствие, умение
успешно решать задачи, в которых встречаются данные понятия.
Формирование любого умения требует выполнения психологопедагогических требований: четкого выделения этапов деятельности и их
формулировка в общем виде, отработки каждого этапа отдельно от других
на специальных упражнениях, проговаривания этапов при первоначальном
формировании умения, самостоятельное составление алгоритма (схемы)
выполнения соответствующей деятельности[2; с.76]. Однако в учебниках
применительно к углам в пространстве таких схем нет, хотя решение задач
данной темы предусматривает их использование, нет упражнений на
отработку каждого этапа. Данная статья посвящена выделению
теоретических основ для составления схем построения углов в
пространстве и соответствующей организации деятельности учащихся.
Проведение анализа теоретического и задачного материала учебника
«Геометрия 10-11» Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др., позволило
установить связи между различными видами углов в пространстве, а также
выделить основы, опираясь на которые можно составить схемы
построения того или иного угла в пространстве. Такими основами могут
служить и определения, и теоремы, и задачи, в которых «скрыта» схема
выполнения соответствующих построений.
Определения математических понятий являются основой для
составления следующих схем:
1)
построения угла между скрещивающимися прямыми;
2)
построения угла между прямой и плоскостью;
3)
построения угла между плоскостями (определение линейного
угла).
Приведем пример организации деятельности учащихся при
составлении схемы построения угла между скрещивающимися прямыми
на основе определения предложим учащимся следующее задание:
Задание 1. Выделите ключевые слова, в определении угла между
скрещивающимися прямыми. В результате выполнения задания появится
запись: угол между скрещивающимися прямыми- это угол между
пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся
прямым ).
Задание 2. Установите последовательность выделенных признаков,
если ставится задача построения угла между скрещивающимися
прямыми.
Учащиеся выделяют, что: 1) нужна точка, через которую проходят
пересекающиеся прямые, 2) параллельные данным. После чего 3) можно
будет
выделить
образованный
угол.
Выделение
данной
последовательности сопровождается построением чертежа (рис.1а,б)
b
2
1
Рис.1
3
a
2
б)
a)
После изучения теоремы о произвольности выбора точки, через которую
проходят прямые, параллельные двум скрещивающимся прямым
учащимся предлагаем задания 3 и 4.
Задание 3. Можно ли точку, о которой идет речь на первом шаге
построения, выбрать на одной из данных прямых?
В результате выполнения последнего задания выполняется чертеж (рис.2
а,б,в)
2
b
b
Рис.2
2
а
б)
3
b
a
a)
1
1
3
а
в)
Задание 4. Составьте схему построения угла между
скрещивающимися прямыми.
Результатом выполнения задания 4 может быть последовательность
выполнения построений:
1) выбрать удобным образом точку;
2) через эту точку построить прямые (или прямую), параллельные
(параллельную) данным скрещивающимся прямым (или одной из них);
3) сделать вывод, что угол между построенными пересекающимися
прямыми, есть угол между данными скрещивающимся прямыми.
В первых задачах этой темы из их условия известно, что угол уже
построен, значит, при подведении итогов работы над первой из них ,
предлагаем учащимся задание 5: внесите корректировку в составленную
схему построения угла между скрещивающимися прямыми. В результате
чего учащиеся предлагают второй пункт схемы сформулировать так:
выделить или построить прямые (прямую), проходящую через эту
точку...
Мы рассмотрели как различные основы (определение, теорема,
задачи) «работали» на составление одной схемы, которая постепенно
уточнялась.
Рассмотрим пример, как те же основы помогают составить 3
различные схемы. Работа с определением линейного угла приводит к
составлению следующей схемы построения угла между плоскостями:
1)
выбрать произвольную точку на линии
пересечения плоскостей ;
2)
из этой точки восстановить перпен3
дикуляр в одной из плоскостей;
3)
из этой точки восстановить перпен4
дикуляр в другой плоскости;
4)
сделать вывод, что угол между
2
1
построенными прямыми есть линейный
угол двугранного угла
Рис.3
Свойство плоскости, перпендикулярной линии пересечения двух
данных плоскостей [1; с.47], является обоснованием второго способа
построения угла между плоскостями. Для организации деятельности
учащихся на этапе подведения итогов изучения этого свойства можно
предложить задания 6- 8.
Задание 6. используя рис.4, выделите линии пересечения плоскости
 (перпендикулярной линии пересечения а) с данными плоскостями
 и  . Определите их взаимное положение с прямой а.
В результате выполнения этого задания
важно, чтобы учащиеся ответили, что
β
эти прямые на только пересекают
Рис.4
γ
прямую а, но и ей перпендикулярны.
Задание 7.сформулируйте выводы
выполнения задания 6, заполните пропуски.:
1) плоскость, перпендикулярная линии
а
α
пересечения двух данных плоскостей
пересекает их по прямым…..;
2) эти прямые образуют …..угол, так как его стороны…..
Задание 8. Составьте схему построения угла между плоскостями с
использованием плоскости, перпендикулярной линии пересечения двух
данных плоскостей
Итогом выполнения задания 8 станет схема построения угла между
плоскостями:
1) выделить плоскость, перпендикулярную линии пересечения двух
данных плоскостей ;
2) выделить или построить прямые пересечения этой плоскости с
данными плоскостями;
3) сделать вывод, что угол между этими прямыми является линейным
углом.(рис.5)
Рис. 5
2
1
3
2
Неперпендикулярные плоскости  и  пересекаются по прямой
MN. В плоскости  из точки A проведен перпендикуляр AB к прямой
MN и из той же точки A проведен перпендикуляр AC к плоскости  .
Докажите, что АВС - линейный угол двугранного угла АMNС.) отражает
ещё один способ построения угла между плоскостями, обоснованием
которого является теорема о трёх перпендикулярах.
Выполнение чертежа при решении данной задачи осуществляется в
следующей последовательности:
1) Выбирается точка A в плоскости  .
2) Из нее опускаются два перпендикуляра:
а) на линию пересечения плоскостей;
б) на плоскость  .
3) Выделяется АВС
После доказательства того, что этот угол является линейным углом
двугранного угла АMNС, учащимся предлагают следующее задания.
Задание 9. Составьте схему построения угла между плоскостями
опираясь на задачу.
задание 10. Составьте схему построения угла между плоскостями,
основанную на последовательности построений указанную на рис.6.
Рис.6
Результатом выполнения этих
1
взаимодополняющих заданий
является составление схемы
4
построения угла между прямыми:
2
5
1) выбрать в одной из плоскостей точку;
3
2) выделить или построить1-ый
(главный) перпендикуляр- перпендикуляр к одной из данных
плоскостей из точки другой плоскости;
3) определить 2-ой перпендикуляр- перпендикуляр к линии
пересечения плоскостей( наклонную или её проекцию);
4) построить 3-ий перпендикуляр;
5) сделать вывод, что угол между построенными наклонной и
проекцией является углом между плоскостями.
1
Итогом такой работы станет «копилка» схем- алгоритмов определения
углов ив пространстве, куда войдут и словесные формулировки этапов, и
краткий конспект с указанием последовательности построения.
Литература:
1.
Геометрия 10- 11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.
С.Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.- 11-е изд. – М. :Просвещение, 2002.- 206с.
2.
Малова И. Е., Горохова С.К. и др. Система
профессиональной подготовки учителя основной школы при изучении
курса методики преподавания математики: учебное пособие для
студентов физико математических факультетов педагогических вузов. –
Брянск: Издательство БГУ, 2003. – 179.