Лекция 6. Энергетические процессы в цепях при гармоническом воздействии Мгновенная, активная, реактивная, полная и комплексная мощности. Согласование источника энергии с нагрузкой по критерию максимальной активной мощности. Цели изучения 1. Рассмотрение энергетических процессов в пассивной цепи при гармоническом воздействии. 2. Определение условий, при которых в нагрузке выделяется максимальная активная мощность. 6.1. Мгновенная мощность пассивного двухполюсника Рассмотрим произвольный линейный двухполюсник, не содержащий источников энергии. Напряжение и ток на зажимах двухполюсника изменяются по гармоническому закону: u 2U cost u , i 2 I cost i . Найдем мгновенную мощность двухполюсника p ui 2UI cost u cost i UI cos UI cost u i , (6.1) где u i - сдвиг фаз между напряжением и током. Как видно из выражения (2.67), мгновенная мощность пассивного двухполюсника содержит постоянную составляющую UI cos , значение которой зависит от сдвига фаз между током и напряжением, и переменную составляющую UI cos t u i , амплитуда, которой UI не зависит от . Среднее значение мгновенной мощности двухполюсника за период (активная мощность) численно равно постоянной составляющей мгновенной мощности (6.2) P UI cos . 6.2. Активная, реактивная, полная и комплексная мощности Активная мощность, которая была определена как среднее значение мгновенной мощности за период, характеризует среднюю за период скорость поступления энергии в двухполюсник и численно равна постоянной составляющей мгновенной мощности (6.1). По знаку активной мощности можно судить о направлении передачи энергии: при P 0 двухполюсник потребляет энергию, при P 0 - отдает энергию остальной части цепи. 1 Очевидно, что для двухполюсников, не содержащих источников энергии, активная мощность не может быть отрицательной. Полной мощностью S называется величина, равная произведению Im ~ S 0 Q Re 0 Re Im PA Re Z Z r б) а) Рис. 6.1. Треугольники мощностей (а) и сопротивлений (б) произвольного пассивного двухполюсника действующих значений тока и напряжения на зажимах цепи: S UI . (6.3) Полная мощность численно равна амплитуде переменной составляющей мгновенной мощности. Активная мощность двухполюсника может быть выражена через полную мощность: (6.4) P S cos . Из выражения (6.4) видно, что полная мощность есть максимально возможное, значение активной мощности цепи, которое имеет место при 0. ~ Комплексное число S , модуль которого равен полной мощности цепи S , а аргумент - углу сдвига фаз между током и напряжением , называется комплексной мощностью цепи ~ S Se j . (6.5) ~ Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической ~ S S cos jS sin , (6.6) устанавливаем, что вещественная часть комплексной мощности равна активной мощности цепи: ~ Re S S cos P . (6.7) Мнимая часть комплексной мощности представляет собой реактивную мощность цепи ~ Im S S sin Q . (6.8) Реактивная мощность характеризует процессы обмена энергией между цепью и источником и численно равна максимальной скорости запасания энергии в цепи. В зависимости от знака угла реактивная мощность цепи может быть либо положительной, либо отрицательной. По знаку реактивной 2 мощности, таким образом, можно судить о характере запасаемой энергии: при Q 0 энергия запасается в магнитном поле цепи, при Q 0 в электрическом. При Q 0 в цепи отсутствует обмен энергией с источником. С учетом (6.7) и (6.8) выражение (6.6) можно записать следующим образом: ~ S P jQ . (6.9) Отсюда следует, что комплексная мощность представляет собой комплексное число, вещественная часть которого равна активной мощности цепи P , а мнимая - реактивной Q . ~ ~ Комплексному числу S можно поставить в соответствие вектор S , проекции которого на вещественную и мнимую оси равны, соответственно P и Q (рис. 6.1, а). Прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной S , и катетами P и Q называется треугольником мощностей. Из рисунка видно, что полная, активная и реактивная мощности связаны между собой соотношением S 2 P2 Q2 . В связи с тем что треугольник мощностей цепи подобен треугольнику ~ сопротивлений этой же цепи (рис. 2.16, б), комплексная мощность S и её компоненты S , P , Q могут быть выражены через комплексное сопротивление цепи Z и его компоненты Z , r , x : S UI I 2 Z ; Q S sin P S cos UIx I 2x ; Z UIr ~ I 2 r ; S Se j I 2 Z e j I 2 Z . Z (6.10) Найдем связь между комплексной мощностью и комплексными действующими значениями тока и напряжения на зажимах цепи. Подставляя в (2.71) выражения (2.69) и (2.20), находим ~ S UIe j u i Ue j u Ie ji UI * , (6.11) j i где I Ie - число, комплексно сопряженное с I (комплексно сопряженный ток). Таким образом, комплексная мощность цепи равна произведению * комплексного напряжения цепи U на комплексно сопряженный ток I . Активная, реактивная, полная и комплексная мощности имеют одинаковую размерность [Дж/с]. Однако для того, чтобы подчеркнуть различный физический смысл, который вкладывается в эти понятия, единицам данных величин присвоены различные названия. Активная 3 * мощность, так же как и мгновенная мощность, выражается в ваттах [Вт], полная и комплексная мощности - в вольт-амперах [ВА], реактивная мощность - в вольт-амперах реактивных [Вар]. 6.3. Баланс мощностей Рассмотрим произвольную электрическую цепь, содержащую N идеальных источников напряжения, M идеальных источников тока и H идеализированных пассивных элементов. Пусть i R , u k - ток и напряжение k -го элемента цепи. Из закона сохранения энергии следует, что сумма мгновенных мощностей всех элементов цепи в каждый момент времени равна нулю: N M H N M H k 1 k 1 pk u k ik 0 . (6.12) Группируя члены, соответствующие идеализированным активным ( p k ист ) и идеализированным пассивным ( p k пот р) элементам, уравнение (6.12) можно преобразовать к виду N M H k 1 k 1 p k ист p k пот р . (6.13) Уравнение (6.13) называют уравнением (условием) баланса мгновенных мощностей. Принимая во внимание, что мгновенная мощность любого элемента характеризует скорость потребления энергии этим элементом (потребляемая мощность), а мгновенная мощность, взятая со знаком минус, характеризует скорость отдачи энергии этим элементом (отдаваемая мощность), условие баланса мгновенных мощностей может быть сформулировано следующим образом: сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками, равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приемниками энергии (необходимо иметь в виду, что потребляется и отдается не мощность, а электрическая энергия). Можно показать, что условие, аналогичное (6.13), выполняется и для комплексных мощностей всех элементов: N M ~ H ~ S k ист S k пот р . k 1 k 1 (6.14) Уравнение (6.14) называется уравнением (условием) баланса комплексных мощностей. Таким образом, сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми идеализированными активными элементами, равна сумме комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов. 4 Для практических расчётов электрических цепей условие баланса мощностей удобно представить в следующей форме N M H k 1 k 1 k 1 * * 2 E k I k U k J k I k Z k . (6.15) Левая часть выражения (6.15) представляет собой алгебраическую сумму комплексных мощностей, отдаваемых всеми активными элементами. E Z U U Z а) I б) Рис. 6.2. К определению знака комплексных мощностей: а – отдаваемой источником напряжения; б - отдаваемой источником тока Слагаемое вида E k I *k есть произведение комплексного действующего значения э. д. с. источника напряжения на комплексно сопряженный ток этого источника; слагаемое вида U k J *k равно произведению комплексного напряжения на источнике, тока на комплексно сопряженный ток этого источника. Слагаемые, состоящие в левой части выражения (6.15), берут со знаком плюс, если направления токов и напряжений источников выбраны в соответствии с рис. 6.2. В противном случае соответствующие слагаемые берут со знаком минус. Правая часть уравнения (6.15) есть сумма комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов, причем каждое слагаемое вида I k2 Z k равно произведению квадрата действующего значения тока k -го идеализированного пассивного элемента на его комплексное сопротивление. Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей: активная мощность, отдаваемая всеми источниками, равна активной мощности всех потребителей: N M H * * 2 Re E k I k Re U k J k I k rk ; k 1 k 1 k 1 реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потребителей: N M H * * 2 Im E k I k Im U k J k I k xk , k 1 k 1 5 k 1 где rk и xk - вещественная и мнимая составляющие комплексного сопротивления k -го элемента. 6.4. Согласование источника энергии с нагрузкой Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника энергии и нагрузки. Пусть источник энергии представлен последовательной схемой замещения (рис. 6.3), причем его внутреннее сопротивление имеет комплексный характер: Z i ri jxi . I Zi E ZН U Рис. 6.3. Схема замещения источника энергии с нагрузкой Задача согласования источника энергии с нагрузкой заключается в выборе, такого сопротивления нагрузки Z н rн jx н , при котором в цепи будут выполняться условия, называемые критериями согласования. Рассмотрим согласование источника с нагрузкой по критерию наибольшей активной мощности, передаваемой в нагрузку. Активная мощность нагрузки в соответствии с (6.10) P I 2 rн E 2 rн ri rн 2 xi xн 2 . (6.16) Как видно из (6.16), P является функцией двух переменных rн и x н . В связи с тем, что вещественная rн и мнимая x н составляющие сопротивления нагрузки не зависят одна от другой, выбор значения каждой из этих величин, соответствующего максимуму P , можно производить в отдельности. Величина x н входит только в знаменатель выражения (6.16). Очевидно, что максимальное значение активной мощности по этой переменной P m ax будет достигнуто, если xн xi . (6.17) 6 При этом P m ax P x н xi E 2 rн ri rн 2 . Для определения значения rн , соответствующего наибольшему возможному значению (максимум максиморум) активной мощности нагрузки P m axm ax , продифференцируем P m ax по rн и приравняем нулю полученное выражение: dPm ax ri rн 2 2 rн ri rн 2 E 0. drн ri rн 4 Иначе ri rн 2 2rн ri rн 0 . (6.18) Решая уравнение (2.84), находим значение вещественной составляющей сопротивления нагрузки rн ri , (6.19) при котором активная мощность P достигает наибольшего возможного значения: P maxmax P max r r P н i rн ri xн xi E2 . 4 ri (6.20) Выводы Мгновенная мощность пассивного двухполюсника содержит постоянную составляющую, значение которой зависит от сдвига фаз между током и напряжением, и переменную составляющую, амплитуда которой не зависит от сдвига фаз между током и напряжением. Среднее значение мгновенной мощности двухполюсника за период (активная мощность) численно равно постоянной составляющей мгновенной мощности. Реактивная мощность характеризует процессы обмена энергией между цепью и источником и численно равна максимальной скорости запасания энергии в цепи. В зависимости от знака угла реактивная мощность цепи может быть либо положительной, либо отрицательной. Комплексная мощность представляет собой комплексное число, вещественная часть которого равна активной мощности цепи, а мнимая – реактивной. Баланс мощностей: Сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками, равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приемниками энергии. При гармоническом воздействии: сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми 7 Рис. 2.8. Im i Векторные u диаграммы тока и напряже Im пРис. 2.8. Векторные диаграммы тока и напряжения (а), комплексног о сопротивлен ия (б), а также комплексной проводимост и (в) ёмкости ротивления (б), а также комплексной проводимост и (в) ёмкости идеализированными активными элементами, равна сумме комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов. Активная мощность в нагрузке максимальна, если активная часть сопротивления нагрузки и источника равны, а реактивные части этих сопротивлений равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. 8