Цель - Южный федеральный университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Файн Е.Я., Файн М.Б., Расулова М. Р. , Карукес Е. В.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению лабораторной работы
«Изучение резонансной частоты резонаторов Гельмгольца с
использованием установки Cobra3»
г. Ростов-на-Дону
2010г.
Изучение резонансной частоты резонаторов Гельмгольца с использованием
установки Cobra3.
Цель
Определить различные резонансные частоты резонатора, зависящие от объема.
Принцип
Звуковой объемный резонатор резонирует с частотой, зависящей от геометрической
формы. В данном случае резонатор совершает колебания с резонансом с фоновым шумом.
Краткая теория
Одной из задач прикладной акустики является выделение гармонических составляющих
из сложных (негармонических) звуковых колебаний. Такая задача возникает при
конструировании ряда акустических приборов, например приемников звука, когда хотят
сделать их более чувствительными к колебаниям одной частоты по сравнению с другими
(выделение «полезного сигнала» из всей массы звуков), и т. д. Специальный интерес
представляет гармонический анализ звуков, т. е. определение амплитуд гармонических
составляющих, содержащихся в том или ином звуке при рассмотрении вопроса о восприятии
звуков человеком. Ухо человека снабжено множеством резонаторов (так называемый кортиев
орган), которые и позволяют человеку различать высоту звука, т. е. частоту основного тона
звуковых колебаний, и его тембр («окраску»), т. е. содержание обертонов в этом звуке.
Роль акустического резонатора может играть всякий объем воздуха, ограниченный
стенками и обладающий, поэтому собственными частотами колебаний, например кусок трубы
конечной длины. Однако такой кусок трубы обладает множеством нормальных колебаний и
поэтому будет резонировать на множество гармонических колебаний. Удобнее, конечно,
применять такие резонаторы, которые отзываются на одну определенную частоту внешнего
гармонического воздействия. Такими свойствами обладают,
например, резонаторы Гельмгольца. Резонатор Гельмгольца
представляет собой сосуд сферической формы с открытой
горловиной. Воздух в горловине является колеблющейся массой, а
объем воздуха в сосуде играет роль упругого элемента. Разумеется,
такое разделение справедливо лишь приближенно, так как
некоторая часть воздуха в полости обладает инерционным
сопротивлением. Однако при достаточно большой величине
отношения площади отверстия к площади сечения полости
точность такого приближения вполне удовлетворительна.
Основная часть кинетической энергии колебаний оказывается
сосредоточенной в горле резонатора, где колебательная скорость
частиц воздуха имеет наибольшую величину.
Строго говоря, резонатор представляет собой систему с
распределенными параметрами. Однако если размеры резонатора малы по сравнению с
длиной волны действующих на резонатор колебаний, то практически можно
рассматривать такую систему, как систему с сосредоточенными параметрами.
Собственная частота резонатора Гельмгольца равна:
2
F
C0 S
2 Vl
где





F - частота, Гц;
C0 - скорость звука в воздухе (340 м/с);
S - сечение отверстия, м2;
L - длина отверстия, м;
V - объем резонатора, м3.
Например, для сосуда объемом 1 л с горловиной длиной 1 см и сечением 1 см2 частота
резонанса составит примерно 170 Гц. Обратите внимание, что длина волны для этой
частоты составляет около 2 м, что значительно больше характерных размеров резонатора.
Следовательно, не может быть и речи о стоячей акустической волне в самом резонаторе.
Действительно, в полости можно возбудить только волны, длина которых меньше
характерного размера резонатора:
3V
Для данного примера это частоты выше 3 кГц.
Резонаторы Гельмгольца стоят в таком же отношении к трубам, как механическая
колебательная система с одной степенью свободы (груз на пружине) к однородной сплошной
системе (стержню). Груз на пружине можно рассматривать как предельный случай
неоднородной сплошной системы. Точно так же и резонатор Гельмгольца можно
рассматривать как предельный случай трубы переменного сечения. Обертоны такой
сплошной системы вследствие ее неоднородности не гармоничны и лежат далеко от
основного тона. Основной же тон резонатора, как и в случае груза на пружине, можно
определить, рассматривая его как систему, в которой масса и упругость сосредоточены в
разных местах.
Так как диаметр горла резонатора мал, то при колебаниях скорость воздуха в нем гораздо
больше, чем в сосуде, поэтому роль колеблющейся массы играет главным образом масса
воздуха в горле. С другой стороны, так как объем воздуха в горле гораздо меньше , чем в
сосуде, то абсолютными изменениями объема воздуха в горле при колебаниях можно
пренебречь и считать, что весь этот объем колеблется как целое, изменяется же только объем
воздуха в сосуде, и воздух играет роль пружины. Иначе говоря, воздух в горле можно
заменить поршнем массы m= ρS l , где S – площадь сечения, l – длина горла и ρ – плотность
воздуха. Объем V резонатора можно заменить некоторой пружиной, упругость которой
определим следующим образом. Из соотношения (20.6), связывающего сжатие η с
изменением давления получаем:
p  p
V
S x
 p
V
V
где Δх - смещение «поршня» в горле. Сила, действующая на «поршень»,
S 2p
F  Sp 
x
V
3
пропорциональна смещению поршня, т. е. объем воздуха в сосуде действует как пружина
с коэффициентом упругости:
S 2p
k
V
Угловая частота колебаний массы m, удерживаемой пружиной с коэффициентом
упругости k, как известно, есть:

k
m
Подставляя в это выражение найденные значения k и m , получим:

или, так как
Sp
Vl
p
c

c
S
Vl
(1)
Изменяя размеры сосуда и горла, можно получить резонанс с собственными частотами,
охватывающими весь диапазон звуковых частот.
Из выражения (1) можно определить длину волны , соответствующую собственной
частоте резонатора. Так как λ=c(2π/ω), то
  2
Vl
S
(2)
Для резонатора, у которого диаметр горла равен его длине , а длина горла в несколько раз
меньше диаметра сосуда, длина звуковой волны, соответствующей данному резонатору,
оказывается в 10 – 15 раз больше диаметра сосуда, т. е. размеры резонатора значительно
меньше, чем длина волны.
Гласные звуки человеческой речи также представляют собой колебания., близкие к
периодическим и поэтому содержащие, помимо основного тона, гармонические обертоны.
Однако распределение этих обертонов гораздо сложнее, чем в чистых музыкальных тонах. На
рисунке ниже приведен отрезок записи формы колебаний (т. е. отрезок графика изменения
звукового давления со временем) для гласной «а», произнесенной низким мужским голосом,
4
а на следующем рисунке – амплитуды гармонических составляющих («частотный
спектр») этого же звука.
Согласные звуки человеческой речи представляют собой колебания, уже весьма далекие
от периодических; поэтому их спектр весьма сложен и содержит негармонические
обертоны.
Ход работы:
1) Описание и сборка установки.
Рис. 1
5
Колба,круглодонная(на100 и 1000 мл)
Рис. 2
Звуковой зонд продет в стеклянную трубку и размещен в верхней трети круглой части
колбы.
Микрофон, тумблер
уровне.
Рис.3
усиления микрофона установлен, приблизительно, на среднем
6
Рис.4. Общий вид установки.
Программа, с помощью которой производится вычисление называется phywe measure,
включив ноутбук вы увидите иконку этой программы на рабочем столе.
Рис.5
Начальное окно программы.
7
Рис.6
Рис.7
Последовательность действий для начала измерений в программе (на рис.7 более
подробно).Далее появляется окно, как показано на рисунке 8.
8
Рис.8
Рис. 9
Значения, которые рекомендуется выставлять в открывшемся окне.
2) Измерения.
Откройте программу для начала измерения.
Выберите параметр измерения, как показано на рис. 2;
Отрегулируйте усиление микрофона, выбрав средний уровень.
В данном эксперименте важную роль играет шум окружающей среды. Если в помещении
слишком тихо, сигнал записываться не будет.
Определите положение резонансной частоты колбы, наполненной воздухом, из спектра.
Повторите эксперимент, заполнив сферическую часть колбы водой наполовину.
Для проведения сравнения проделайте вышеизложенную процедуру с колбой на 100 мл.
9
Выполнение работы и оформление результатов.
Спектр колебаний круглодонной колбы состоит из одной резонансной линии с частотой
195 Гц (рис. 10). При снижении объема воздуха в колбе на 50 % при добавлении воды частота
увеличивается до 245 Гц. Кроме этого, теперь можно увидеть вторичные линии, а
окружающий шум слышится более отчетливо, что приводит к ухудшению качества
резонатора (рис. 11.).
Система, состоящая из трубки и полого тела (в данном эксперименте – круглодонной
колбы), представляет собой резонатор Гельмгольца в общем виде. Условием применения
нижеизложенной формулы является малая длина трубки по сравнению с длиной волны звука.
Длина волны звука возникающих резонансных колебаний в данном случае равна 1,4 м, что
значительно длиннее длины трубки круглодонной колбы.
Естественная частота резонанса такого акустического резонансного контура может
возникнуть, если воздух, заполняющий сферу, движется навстречу «воздушному поршню» в
трубке, подобно гибкой пружине. Учитывая то, что размер горлышка мал по сравнению с
длиной трубки, вычисляем частоту f по формуле:
f 
c
2
d 2
1
 1  V
 l  d 
 2 

где c – скорость звука, l – длина трубки, d – диаметр трубки, а V – объем полого тела,
прикрепленного к трубке.
На основе данных числовых значений для колбы, 1000 мл:
c = 343 м/с
d = 0,036 м
l = 0,070 м
-4 3
V = 10,23 · 10 м
На основе данных числовых значений для колбы, 100 мл:
c = 343 м/с
d = 0,021 м
l
V
= 0,021 м
= 10,23 · 10-5м3
Рассчитывается резонансная частота пустой круглодонной колбы, которая равна 199 Гц, и
резонансная частота колбы, наполовину наполненной водой, равная 280 Гц. Из сравнения
двух резонансных частот видно, что частота обратно пропорциональна корню квадратному из
объема полого тела.
Рис. 10: Установки временного сигнала, спектра и параметров измерения для пустой
круглодонной колбы, 1000 мл.
10
Рис. 11: Акустические характеристические колебания в круглодонной колбе, 1000 мл,
наполовину заполненной водой.
Замечания
Если уровень шума окружающей среды в процессе измерения незначителен, его можно
создать искусственно. Для этого достаточно потереть друг о друга два листа шлифовальной
бумаги.
При использовании колбы, 100 мл, зонд следует опускать в нее без стеклянной трубки,
чтобы она не повлияла на длину резонанса.
Для проведения количественного анализа определите количество воды, наливаемой в
колбу, путем взвешивания или при помощи градуированного цилиндра.
Для вычисления относительной ошибки предлагается следующая формула:
f 1  d  1  l 
 
    , где Δd=1мм Δl=1мм - инструментальные ошибки
f
2 d  2 l 
Вопросы для допуска к выполнению лабораторной работы.
1.Что такое резонансная частота? При каком условии возникает резонансная частота в
объёмном резонаторе?
2. Какие еще виды акустических резонаторов вы знаете?
3. Где и для чего применяют на практике резонаторы Гельмгольца?
4. Почему тумблер усиления микрофона в данной экспериментальной установке следует
ставить на средний уровень?
11
Контрольные вопросы.
1. Почему резонатор Гельмгольца имеет форму сферической колбы?
2. Что представляет собой звуковой резонансный контур? Чем он отличается от объёмного
резонатора?
3. Почему не может возникнуть стоячая волна в самом резонаторе?
4. Как ведет себя резонатор, когда на него падает плоская волна?
5. Как изменится резонансная частота, если наполовину заполнить водой сферическую
часть колбы? Почему?
6. Почему при использовании колбы, 100 мл, зонд следует опускать в нее без стеклянной
трубки? Как она может повлиять на длину резонанса?
Приложение 1. Другой вид резонаторов
Другой вариант резонатора - органная труба. Стоячие волны в таком резонаторе
возможны лишь для тех случаев, когда на длине трубы укладывается нечетное число
четвертей длин волн. Соответственно, резонансные частоты будут равны:
C0
2 p  1
4L
p  1,2,3...
F
Хотя резонансных частот несколько, однако, сильнее всех выражена первая мода
колебаний. Этому случаю соответствует четвертьволновый резонатор длиной:
L
C0
4F
Список литературы.
1. Ландау, Ахиезер, Лифшиц. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика.
1965 г. стр. 363
2. Хайкин. Физические основы механики. 1971 г. стр. 735-738.
3. Скучик. Основы акустики. Том 2. стр. 40-42, стр. 101-103.
12