Алгебра матриц

1.
Определение суммы и произведения двух матриц. Свойства этих
операций.
Сложение матриц A, B  Mat ( m  n, k ), ( k  R, Q, Z , C ) . A  ( a ij )  a ij , B  (bij )  bij . Суммой двух матриц A и B
(одинаковый размер:
m n ) есть матрица C  Mat (m  n, k ),
такая, что
cij  aij  bij , для i, j.
Запись С = A + B.
Свойства:
1) A + B = B + A (коммутативность).
Док-во: Идея: поэлементное сравнение.
Равенство матриц
C = A + B, то
2)
U V 
их элементы совпадают, т.е.
u ij  vij , i, j.


cij  aij  bij . C  B  A , то cij  bij  aij ;  cij  cij  A  B  B  A .
(A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность).
 0 ... 0 


3)
0   ... ... ... : A  0  A, A  Mat (m  n, k ).
 0 ... 0 


2.
Умножение матрицы на число. Пусть   k , ( k  R, Q, Z , C ) . A  Mat ( m  n, k ) .
Определение: B  Mat ( m  n, k ) - называется произведением  , A (записывают B  A ), если bij  a ij ,i, j
элементы A умножены на
Вопрос:
(все
 ).
A  Mat (n, R)   det A;
det A  n det A ?!!!!
Свойства сложения и умножения на число:
 ( A  B)  A  B,   k , A, B  Mat (m  n, k ). (дистрибутивность).
2) (   ) A  A  A,  ,   k , A  Mat ( m  n, k ).
3) ( ) A   ( A) (ассоциативность).
4) 1  A  A.
5) 0  A  0 .
1)
3. Умножение двух матриц. Матрицу
A  Mat (m  n, k )
можно умножить на матрицу
B  Mat ( s  t , k ),
число столбцов в первом множителе равно числу строк во втором.
Определение: Матрица C называется произведением матрицы
A  Mat (m  n, k )
на матрицу
если
n  s , т.е.
B  Mat (n  t , k ) , если
n
cij   a is bsi (9.1) .
s 1
Запись:
C  A B
(порядок множителей важен!).
(9.1). Соответствующий элемент
C  Mat (m  t , k )  A  B  C
mn _ nt
mt
.
i  й строки матрицы A умножается на соответствующий элемент j  го столбца матрицы
B, а затем произведения складываются.
Свойства умножения двух матриц:
1)
2)
A  B  B  A (вообще говоря).
A  Mat (m  p, k ); B  Mat ( p  q, k ); C  Mat (q  n, k ); ( A  B)  C  A  ( B  C ) . (ассоциативность).
4)
A  Mat (m  p, k ); B  Mat ( p  n, k )t ( A  B) t Bt A . (связь умножения и транспонирования).
A  ( B  C )  A  B  A  C; ( B  C )  A  B  A  C  A (связь умножения и сложения).
5)
A, B  Mat (n)  A  B  A  B
3)
(определитель произведения).
Теорема об ассоциативности произведения двух матриц.
A  Mat (m  p, k ); B  Mat ( p  q, k ); C  Mat (q  n, k ); ( A  B)  C  A  ( B  C ) .
Док-во:
W *  (
A  B)  C
U
Поэлементно:
- левая часть,
W **  A  ( B
 C)

wij*   u is  c sj (1)
- правая часть.
V
s 1
q
p ,q
 p

uis   ail bls (2) . Подставляем (2) в (1): wij*     ail bls   c sj   ail bls c sj
l 1
s 1  l 1
l 1, s 1

p
p
q
p ,q


wij**   ail vlj     bls c sj    ail bls c sj.
l 1
l 1  s 1
 p 1,s 1
*
**
*
**
Итак, wij  wij  W  W .
.
Примеры некоммутативности произведения двух матриц.
Если A и B – квадратные, то A  B, B  A  определена операция умножения. Для n  2 есть примеры некоммутирующих
матриц:
1 2
 3 1
 1 5
 3 7
; B  
; A  B  
, B  A  
.
A  
0 1
 1 2
 1 2
 1 0
Теорема об определителе произведения квадратных матриц.
Пусть A и B - квадратные матрицы порядка n, тогда A  B  A  B . (Определитель произведения равен произведению
определителей.)
Док-во:
1 – й шаг:
Рассмотрим вспомогательный определитель порядка 2n:
2n


A
0
1
0

...
B 2 n .

0
1

 . Зафиксируем первые n строк, на этих строках строится единственный, не
(1 2 ...  n )  (1 2 ...  n )
B  A (1) 2(1 2...  n ) B  A  B .
равный 0, минор, если выбрать первые n столбцов    A ( 1)

 

Применим теорему Лапласа к вычислению
1
2 – й шаг:
Преобразование
 . Цель преобразования: получить в блоке, где стояла B, нулевую матрицу.
A
Работаем со столбцами:

1
0
. Рассмотрим
0
...
0
(n  j )  b1 j I  b2 j II  ...  bnj (n) .
(n  j )  й столбец. Преобразование:
B
1
 n

  a1k bkj 
 0 
 a11 
 a12 
 a1n   a11b1 j  a12b2 j  ...  a1n bnj   k 1

 
 



 

n


0
a
a
a
a
b

a
b

...

a
b
 
 21 
 22 
 2 n   21 1 j
22 2 j
2 n nj 
a 2 k bkj 


 ... 
 ... 
 ... 
 ...  

k 1
...
 
 



 
  ... 


n
 0 
 a n1 
 an2 
 a nn   a n1b1 j  a n 2 b2 j  ...  a nn bnj 

 b   b1 j    b2 j 
  ...  bnj  0   
   a nk bkj  . Если C  A  B , то после

1
0
0

1
j
 
 



 
  k 1


0
 b2 j 
 0 
 1 
 0  

0


 
 



 

0
...


...
...
...
...
 
 



 

 ... 
 0 
 0 
 1  

b 
0
 



 
 
 nj 



0


 c1 j 
 
 c2 j 
 ... 
 
 c nj 
указанного преобразования ( n  j )  го столбца, получаем столбец вида: 
 . Описанные преобразования не меняли
0
 
 0 
 
 ... 
 0 
 
A
.  
значения
C
1
. Вычисляем
0
...

по теореме Лапласа, фиксируя последние n строк. На этих
0
1
0
строках существует единственный минор, отличный от нуля, соответствующий
1
Тогда

0
(1)[( n 1)( n  2)...  2 n ][1 2...  n ] C  (1) n (1)
...
1 2 n
2n
2
j1  1, j 2  2,..., j n  n.
C  (1) n  n ( 2 n 1) C  (1) n ( 2 n 2) C  C
.
1
0
3 – й шаг:
По 1 – му шагу:
  A  B.
По 2 – му шагу:
  C . C  A  B . ЧТД.
Связь транспонирования и умножения матриц.
A  Mat (m  p, k ); B  Mat ( p  n, k )t ( A  B) t Bt A .

t
Док-во: C  A  B, C  C , тогда cij  c ji .
Поэлементно: Найдём элемент с номером
ij
в правой части равенства
[ B t B, A t A] .
B 
A


p
p

  bis  bsi 

(*) ij   bis  a sj 

b
a

a js bsi  cij , т.е. любой элемент правой части равен соответствующему


si js

a sj  a js  s 1
s 1
s 1
t
t
t
t
элементу ( A  B) .  ( A  B) B A. ЧТД.
t
t
p
Алгебра квадратных матриц.
A, B  Mat (n, k ) . Квадратные матрицы можно складывать, умножать в одном порядке, умножать на любую константу, в
результате получаем вновь квадратные матрицы того же порядка. Говорят, что Mat ( n, k )  алгебра квадратных матриц.
«Единица в
Единичная матрица и её свойства.
Mat (n, k ) ». (1
 a

a 
1

a) .

для _ чисел
1

0
E 
...

0

0 ... 0 

1 ... 0 

... ... ... 

0 ... 1 
называется единичной матрицей. Элементы матрицы обозначаются:
1, i  j
, (  ij 
0, i  j
 ij  
символ
Кронекера).
Свойства E:
1.
2.
E  1.
A  Mat (n, k ), A  E  E  A  A .
3. Матрица E, обладающая свойством 2 – единственная.
Док-во:
1 ... 0
1.
2.
(определитель диагональной матрицы):
A  (aij ), C  A  E ,
E  ... ... ...  1  1  ...  1  1 .
0 ... 1
n
тогда
cij   aik  kj  [единственное ненулевое слагаемое получаем, если k  j ]  a ij jj  a ij ,
k 1
cij  aij , i, j, C  C  A. (Обратно по аналогии).
Пусть E   Mat ( n, k )  некоторая другая матрица, обладающая свойством 2.
E  E   E (2); E  E  E (2)  E  E . ЧТД.
т.е.
3.
Левая и правая обратные матрицы, их совпадение.
1
1
a

aa
1).
«Обратный элемент» ( a


для _ констант
Определение: Матрица
Cl  Mat (n, k ) 
называется левой обратной к
A  Mat (n, k ),
если
Cl  A  E . C r  правая
A  Cr  E .
Утверждение: Если A  0, то A не имеет ни левую, ни правую обратные матрицы.
обратная, если
Док-во:
1.
Пусть
A  0 . От противного: пусть Cl ,
Определитель от обеих частей:
2.
Пусть
т.е.
Cl  A  E .
Cl A  Cl A  0. E  1;  0  1 
противоречие, т.е. нет левой обратной.
A  0 . Показать по аналогии, что A не имеет C r . ЧТД.
Определение: Если
A  0 , то A – называется вырожденной, если A  0 , то A – невырожденная.
Критерий равенства 0 определителя (критерий вырожденности матрицы):
A  0 , когда его строка (столбец) – есть ЛК
других строк (столбцов).
Док-во:
1.  - достаточность – свойство 6 определителя.
A  0 , то rkA  n , т.к. единственный минор n – ного порядка A
2. Если
равен нулю, следовательно все n строк
(столбцов) матрицы A ЛЗ, значит ЛЗ систем. Одна из строк (один из столбцов) выражается линейно через остальные, т.е.
является их ЛК. ЧТД.
Вывод:
A  вырождена ~ A  0 ~ rkA  n.
Утверждение: Если
A  Mat (n, k )
имеет
C l , C r , то эти матрицы совпадают.
Док-во:
Cl  A  C r  (Cl  A)  C r  E  C r  C r
Cl  A  C r  Cl  ( A  C r )  Cl  E  Cl
 Cr  Cl . ЧТД.
Если A имеет правую и левую обратные, то они совпадают и называются обратная матрица к матрице A, обозначение:
A1 A  AA1  E .
Связь обращения матрицы с умножением и транспонированием.
Утверждение: Пусть A, B  Mat ( n, k ) .
т.е.
1)
( AB) 1  B 1 A 1
2)
( t A) 1  t ( A 1 ) .
(A,B – невырожденные матрицы.)
Док-во:
 A  B  невырожденная,  ( A  B) 1 и эта матрица единственная.
( A  B)  ( B 1  A 1 )  A  ( B  B 1 )  A1  A  E  A 1  A  A1  E  B 1  A 1  ( A  B) 1 (по определению обратной).
t
t
1
2. A – невырожденная  A  невырожденная матрица. !( A) .
t
At ( A1 ) [ t ( A  B) t Bt A] t ( A1  A) t E  E ( t A) 1  t ( A1 )  по определению обратной. ЧТД.
Критерий существования обратной матрицы.
Матрица A имеет обратную  A – невырожденная.
1. A,B – невырожденные матрицы,
Док-во:
A1 , тогда A имеет и правую и левую обратные матрицы  по утверждению (см. выше) она не может быть
вырожденной A  0 .
2.  - достаточность.
A21 ...
An1 
 A11


A22 ...
An 2 
 A12


...
... ...
...
*
 . Рассмотрим C  A  A* :
Пусть d = A  0 . A  ( a ij ) . Составим матрицу: A  
A
A
...
A
 

1n
2n
nn

 алгебраические
алгебраические 
_к
дополнения_ к 
 дополнения
элем ентам1й
элем ентам nй 
строки
строки


1.
Пусть
n
cij   aik
k 1
элем ент
k й _ строки
j  ого _ столбца

A jk
d , i  j
 d   ij .

 0, i  j
 [Сумма произведений элементов i  й строки A на алгебраическое дополнение j  й строки]
A 1 . ,
0
0
d
d




*
A A  
...
...
 . Рассмотреть A  A и по аналогии доказать, что произведение равно 
.
0
0
d 
d 


1 *
1
1
1 * *
A обладает свойством обратной матрицы, т.е. ( A* )  A  A  ( A* )  E  A 1 
Матрица
A . A
d
d
d
A
*
матрица.
- присоед-ая
A1 . ЧТД.
Ранг произведения матриц.
Утверждение: Пусть C = AB.
rkC  min{ rkA, rkB} . Ранг произведения матриц не превосходит минимума рангов множителей.
Док-во: C = AB.
1.
A  (a1 a2 ...an )
- система столбцов A, тогда
 b11 b12

 b 21 b22
C  (a1 a 2 ...a n )
... ...

b
 n1 bn 2
... b1 p 

... b2 p 
.
... ... 

... bnp 
Столбцы матрицы C.
с1  b11 a1  b21 a 2  ...  bn1 a n 

c 2  b12 a1  b22 a 2  ...  bn 2 a n 

...

c p  b1 p a1  b2 p a 2  ...  bnp a n 
выражение столбцов матрицы C через столбцы матрицы A.
C, как система столбцов выражается через A как система столбцов
 rkC  rkA.
C  ( AB) B A. ранги матрицы и её транспонированной матрицы совпадают, значит по первому пункту доказательства:
rk C  rk tB , т.е. t B выступает в качестве первого множителя, т.е. матрицы A в 1 – м пункте.
rk tC  rkC
Т.к.
, то rkC  rkB .
rk tB  rkB
rkC  rkA
 rkC  min{ rkA, rkB} . ЧТД.
Итак, 
rkC  rkB
2.
t
t
t
t
t
Решение матричных уравнений.
СЛУ, используя правила произведения матриц, можно записать в виде:
AX  B , где A – основная матрица системы,
 a11

 a 21
 ...

a
 m1
a12
a 22
...
am2
 x1 
 b1 
 
 
 x2 
b 
X     столбец переменных, B   2  
...
...
 
 
x 
b 
 n
 n
... a1n  x1   b1 
   
... a 2 n  x 2   b2 
. Рассмотрим случай, когда A – квадратная невырожденная матрица, т.е. A  0

... ...  ...   ... 
   
... a mn  x n   bm 
n).
AX  B . Умножим обе части уравнения на A 1
A 1 ( AX )  A 1 B
( A 1 A) X  A 1 B
EX  A 1 B
X  A 1 B
столбец свободных членов.
слева.
Система определённая. Матричная запись формулы Крамера.
(rkA =