Мастер – класс « Семь мостов Кёнигсберга»

Мастер – класс
« Семь мостов Кёнигсберга»
Способность видеть чудесное в обыкновенном –
несомненный признак мудрости.
Р.У. Эмерсон
Мимо – планет убегающих блики,
Навстречу – созвездий горящих клумбы.
Мы все открыватели. Каждый – великий.
Мы все бесконечных просторов Колумбы.
Между девятью планетами Солнечной системы установлено космическое
сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам:
Земля – Меркурий
Уран – Нептун
Плутон – Венера
Нептун – Сатурн
Земля – Плутон
Сатурн - Юпитер
Плутон – Меркурий
Юпитер – Марс
Меркурий – Венера
Марс – Уран
Можно ли на рейсовых ракетах долететь от Земли до Марса?
Чтобы ответить на этот вопрос, изобразим планеты точками, а маршруты –
линиями.
Очевидно, что долететь с Земли до Марса нельзя.
Дана доска. Можно ли обойти её ходом шахматного коня и вернуться на
исходную клетку, побывав во всех клетках ровно по одному разу?
Пронумеруем последовательно клетки доски и покажем с помощью
рисунка, что такой обход возможен.
Мы рассмотрели две непохожие задачи. Однако решение этих задач
объединяет общая идея – графическое представление решения.
Каждая картинка – это несколько точек, соединённых линиями. Такие
изображения называют графами. Точки при этом называются вершинами
графов, а линии – рёбрами графов.
Приведите примеры графов, которые не раз встречались вам в обыденной
жизни. (Схемы метрополитена, железных дорог, планы выставок).
А теперь составьте следующую картинку. Изобразите кружками себя,
своих родителей, братьев и сестёр, свою вторую половинку, ваших детей и
соедините соответствующие кружки отрезками.
Это тоже граф, причём именно его составление является для каждого из нас
наиболее приятным.
Исторически сложилось так, что теория графов зародилась в ходе решения
головоломок двести с лишним лет назад.
Одной из таких задач – головоломок была задача о кёнигсбергских мостах.
Возникший в XIII веке город Кёнигсберг (ныне Калининград) состоял из
трёх формально независимых городских поселений и ещё нескольких «слобод»
и «посёлков». Расположены они были на островах и берегах реки Прегель ,
делящей город на четыре главные части: Альтштадт, Кнайпхоф, Ломзе и
Форштадт. Для связи между городскими частями уже в XIV веке стали строить
мосты.
Самым старым из семи мостов был Лавочный мост, соединявший самый
главный из кёнигсбергских городов — Альтштадт с расположенным рядом с
кёнигсбергским замком и лежащий на острове город Кнайпхоф. Название моста
свидетельствует о том, что он сам и прилегающие берега Прегеля были
сосредоточением торговли. В 1972 году снесён в связи со строительством
Эстакадного моста.
Вторым по возрасту был Зелёный мост, построенный полвека спустя.
Он также стал «прародителем» Эстакадного моста. Этот мост соединял
Кнайпхоф и Форштадт. Название моста банально происходит от названия
краски, которой красили опоры моста. В 1875 году в непосредственной
близости от Зелёного моста было построено здание биржи. Что сейчас
находится в этом здании? ( Дворец культуры моряков).
Во время войны были разрушены и больше не восстанавливались Рабочий
мост, соединявший Форштадт и Кнайпхоф, и Кузнечный мост, связывающий
Альштадт и Кнайпхоф.
До наших дней сохранились :

Деревянный мост ,сейчас по нему осуществляется
движение автотранспорта (по одному ряду в каждую сторону) и
пешеходов.

Высокий мост. Первый Высокий
мост был построен в 1520 году. Он соединял Ломзе и Форштадт. В
1882 году мост был перестроен, при этом был возведён так
называемый «мостовой домик», помещение для механизмов развода
моста и т. п. Это красивое небольшое здание в стиле неоготики,
несколько напоминающее замок в Диснейленде, сохранилось до сих
пор. Сам старый Высокий мост был снесён в 1938 году, а в нескольких
десятках метров от него был возведён новый Высокий мост,
сохранившийся до сих пор. От старого Высокого моста сохранились
опоры.
 Медовый мост; ныне он приобрёл практически исключительно
пешеходный характер, так как сейчас на острове Кнайпхоф
расположены
только
кафедральный
собор
(главная
достопримечательность
города)
и
парк
скульптур.
Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как
пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие
кёнигсбержцы пытались решить эту задачу, как теоретически, так и
практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако не
удавалось и доказать, что это даже теоретически невозможно.
В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося
математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера.
Леонард Эйлер (1707 – 1783) родился в Базеле в
семье пастора Пауля Эйлера. В 1727 году двадцатилетний Эйлер переехал в
Россию, ставшую для него второй родиной: он прожил в России более 30 лет.
Большинство научных трудов Эйлера (473 работы) опубликовано в российских
академических изданиях.
О трудолюбии и мужестве Эйлера ходят легенды. В 1735 году он потерял
один глаз, выполнив за три дня огромную вычислительную работу,
осуществить которую другие математики брались за несколько месяцев.
Потеряв в 1766 году второй глаз, он до конца жизни продолжал диктовать свои
работы (около 400!), используя феноменальную память и сохранившуюся до
последних дней силу ума.
Эйлеру принадлежат значительные открытия во всех областях
математики, существовавших в то время.
Задача о мостах Кёнигсберга связана с другими головоломками, суть
которых заключается в том, чтобы обвести контур некоторой фигуры, не
отрывая карандаша от бумаги и не обводя ни одной линии контура дважды,
т.е. «нарисовать одним росчерком».
По латыни «один путь» звучит как «унус курсус», поэтому такие графы
стали называть уникурсальными.
Некоторые из таких линий вам хорошо знакомы. Например, «звёздочка»
или столь любимый нами «конвертик».
Существуют очень интересные уникурсальные графы.
На досуге я предлагаю вам потренироваться в их начертании и, я уверена,
вам удастся создать и свои собственные неповторимые фигуры, которыми я
с удовольствием пополню совою коллекцию.
Задача о кёнигсбергских мостах будет решена, если соответствующий
граф будет уникурсальным.
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, научимся определять индекс
вершин графа и выясним, каким правилам подчинён уникурсальный граф.
Индекс вершины - число рёбер графа, сходящихся в данной вершине
(рёбра с началом и концом в данной точке считаются дважды).
Посчитайте индексы вершин графа «звёздочки» и «конвертика».
Что можно сказать о вершинах первого графа? ( Все чётные).
А второго? ( Три чётные и две нечётные).
Действительно, уникурсальный граф создан по принципу «выход из
ситуации там же, где вход». А если в какой то вершине «входов» на один
больше, значит, в какой – то другой вершине должно быть большее число
«выходов».
Только что мы нашли доказательство важной теоремы:
Теорема. Для уникурсального графа число вершин нечётного индекса равно
нулю или двум.
(Молодцы! Над этой теоремой Леонард Эйлер работал несколько
лет, а наш коллективный разум преодолел данную проблему за несколько
минут!).
Вернёмся к мостам и выясним, имеет ли данная задача решение.
Вершина А имеет индекс 5, Б – 3, П – 3 и Л – 3. Таким образом, мы имеем
четыре вершины нечётного индекса, и, следовательно, данный граф не является
уникурсальным. Отсюда получаем, что во время прогулки по городу нельзя
пройти по каждому из семи мостов только один раз.
У этой задачи есть и неординарные решения. Например, калининградский
поэт Роман Андрианов предложил решение, основанное на буквальной
трактовке решения: пройти по всем семи мостам, не проходя ни по одному из
них дважды можно, если
а) проползти под одним из них;
б) пролететь над одним из них;
в) проехать по одному из них;
г) переплыть через Преголю.
Ещё интереснее «решение» Кайзера. Император Кайзер Вильгельм
славился своей прямотой, простотой мышления и солдатской "недалёкостью".
Однажды, находясь на светском рауте, он чуть не стал жертвой шутки, которую
с ним решили сыграть учёные умы, присутствующие на приёме. Они показали
Кайзеру карту Кёнигсберга, и попросили попробовать решить эту знаменитую
задачу, которая по определению была нерешаемой. Ко всеобщему удивлению,
Кайзер попросил перо и лист бумаги, сказав, что решит задачу за полторы
минуты. Ошеломлённые гости не могли поверить своим ушам, но бумагу и
чернила быстро нашли. Кайзер положил листок на стол, взял перо, и написал:
"приказываю построить восьмой мост на острове Ломзе". Так в Кёнигсберге и
появился новый мост, который так и назвали - мост Кайзера. А задачу с
восемью мостами теперь мог решить даже ребёнок.
Мост Кайзера был разрушен в годы войны, а в 2005 году на его опорах
построили Юбилейный мост.
Итак, вы познакомились с графами и открыли для себя удивительную
теорему Эйлера. Мудрость этого открытия мы наблюдаем ежедневно,
пользуясь Всемирной паутиной, ведь маршрутизация данных в Интернете
основана на использовании теории графов.
Что бы увидеть чудесное в обыкновенном, иногда нужно просто
посмотреть вокруг. Мир полон потрясающих неожиданных открытий, но свои
чудеса он открывает только пытливому уму.
.