Первое место

Доказать теорему о сумме углов треугольника ... по моим чертежам.
Доказать: А + В + С = 180º
1 (1 балл)
2 (2 балла)
В
1
В
1
2
А
С
3 (2 балла)
2
3
А
С
4 (3 балла)
В
1
В
К
1
2
А
С
5 (3 балла)
В
М
2 3
N
А
4
С
6 (3 балла)
В
D
1
Е
D
2 3
О
5
6
1
А
С
4
А
С
F
Доказать: А + В + С = 180º
7 (5 баллов)
В
4
7
D
1 2
A
K
E
3
8
5
M
6
N
C
Доказать: А + В + С = 180º
За отведенное время необходимо сообща разобраться в указанном вам способе
доказательства.
Если вы справитесь с заданием ранее, то можете заработать дополнительно
некоторое количество баллов себе и своей команде. Для этого необходимо рассмотреть
другие чертежи и рассказать найденные доказательства присутствующим в вашей команде
ассистентам. Сложность каждого способа оценена в баллах.
Слушаем доказательство теоремы (4; 5; 6)
На экране появляются соответствующие чертежи. Одна команда отвечает, другие
комментируют ответ.
Применим теорему к решению задач. Перед вами 4 основные и 2
дополнительные задачи на готовых чертежах. На предварительное обдумывание 2
минуты. Если вы справитесь со своей задачей, можно подумать над дополнительными.
На экране появляются чертежи, соответствующие задачам. (см. Приложение 2.
Упражнения на готовых чертежах.) Одна команда отвечает, другие комментируют ответ.
1
а)
40º
б)
в)
?
?
80º
?
70º
г)
д) D
С
е)
А
? М
Е
30º
?
40º
а.
б.
в.
г.
д.
е.
60º
N
А
О
?
В
D
С
В
АВСD – квадрат
АВ=АС, АЕ=АD
Примерные решения:
Два угла при вершине А – вертикальные, следовательно 1+2=40. Треугольники
АОВ, АОС и СОВ – равнобедренные, значит 1=4, 2=3, 1+2+3+4=80.
А+В+С=180, поэтому 5+6=100. Сумма углов треугольника ВОС равна
180. На неизвестный угол приходится 80.
Решение аналогично задаче а).
Внешний угол треугольника ВОС равен 80, следовательно, 2+3=80. 1=2,
3=4. А=20.
Сумма градусных мер четырехугольника ABCD равна сумме градусных мер
треугольников ABC и ACD и составляет 180+180=360. 1+2+3+4=360-40=320.
Треугольники равнобедренные, значит 1=2, 3=4. 1+2=320:2=160
Т.к. АС – диагональ квадрата, то NAC=45. DNO – внешний угол треугольника
ANO, поэтому NOA=60-45=15. NOA и COM вертикальные, следовательно,
равные. Угол COM равен 15.
Пусть ABC=ACB=, ADE=AED=, EDC=x. ADE - внешний угол
треугольника CDE, делаем вывод, что  = x + . ADC - внешний угол треугольника
ABD, значит,  + x = +30, 2x = 30, EDC=15
Что вы использовали при решении задач?
После ответов учащихся на экране появляется вывод:
При решении задач «на треугольники» оказываются полезными:
Теорема о внешнем угле треугольника.
Прием «считаем парами».
Презентация домашней задачи.
Теорема о сумме углов треугольника была известна еще в Древней Греции.
Геометрия получила широкое развитие, прежде всего, в связи с её практическим
применением. Обогащенные геометрическими знаниями, люди производили те или иные
расчеты, изобретали различные приборы. Вот один из них. На экране появляется рисунок.
Для измерения величины угла между наклонной и горизонтальными прямыми на
местности используют эклиметр, принцип действия которого ясен из рисунка. (ОР – нить
с грузиком, отвес) Доказать, что нить ОР показывает на шкале величину искомого угла.
Эта задача предложена в качестве дополнительной к следующей домашней работе.
2
Проверка домашнего задания
Задача. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым
углом С, на стороне АВ выбрана точка М так, что МС=МВ.
Установить вид треугольника ВСМ.
Решение: А+В+С=180,  +  + 90=180,  +  =90.
Следовательно  = . Треугольник ВСМ – равнобедренный.
На основании рассмотренной задачи, сформулируем
свойство прямоугольного треугольника. На экране появляется текст с пропусками:
«Если точка М ... (гипотенузы) АВ такова, что МА=МС, то СМ - ... (медиана)
треугольника АВС и равна ... (половине гипотенузы)».
Используем этот важный вывод для обоснования самого наглядного доказательства
теоремы о сумме углов треугольника с помощью бумажного треугольника.
Презентация. (см. Приложение 2. «Теорема о сумме углов треугольника».
(Доказательство с помощью листа бумаги»)
Вашему вниманию было предложено 7 способов доказательства теоремы о сумме
углов треугольника. Во всех них использовалась параллельность прямых. Есть еще одно
доказательство, но оно не опирается на параллельность прямых. Его мы рассмотрим на
факультативе. (см. Приложение1. Еще один способ доказательства.)
В результате рассмотрения домашней задачи мы установили некоторые свойства
прямоугольного треугольника. Подробнее о прямоугольных треугольниках мы поговорим
на будущих уроках. А пока еще раз обратимся к теме: «Равнобедренный треугольник».
Решение задач
Задача №1. (Внимательно читайте условие!) В равнобедренном треугольнике
АВС (АВ=ВС) на стороне ВС выбрана такая точка D, что ВАD = 2DАС. Чему
может равняться угол В этого треугольника, если известно, что треугольник АВD
тоже равнобедренный?
Представитель одной из команд решает задачу на доске. Представители других
команд комментируют ответ. Как правило, отвечающий у доски рассматривает не все
варианты.
Решение:
а) По теореме о сумме углов треугольника ABD,  ADB = 180-4x.
ADB – внешний угол треугольника ADC, следовательно  ADB = 4x.
Составив и решив уравнение, найдем, что  B = 45
б) Так как треугольник ADB - равнобедренный, то ABD = ADB
= (180-2х):2=90-х. ADB – внешний угол
треугольника ADC, следовательно  ADB =
4x. Составив и решив уравнение, получим
что  B = 72
в)
Рассматривая
полученное
аналогичным
образом
уравнение,
приходим к выводу, что такой случай
невозможен.
Отв. 72° или 45°.
Какие выводы можно сделать на основании решения данной
задачи?
После ответов учащихся на экране появляется вывод:
Если в условии задачи присутствует неопределенность, то необходимо
рассматривать все возможные случаи.
Прием «вычисление суммы двумя способами» помогает связать неизвестные
величины уравнением
3
В следующей задаче речь идет о двух равнобедренных треугольниках.
Задача №2. (Разбирая готовые решения задач, старайтесь понять логику
решающего. Обращайте внимание как на ошибки, так и на чужие идеи. И то, и
другое бывает очень полезным) Отрезок AL делит треугольник АВС на два
равнобедренных треугольника. Чему может быть равен наибольший угол исходного
треугольника, если ВАС=48°?
Некто решил эту задачу. Разберитесь в чертежах и закончите решение.
На экране появляются чертежи.
Решение: а) ALC и ALB
смежные, однако  +  = 180º невозможно,
т.к. В и С односторонние  было бы
АВАС
б)
ALB
–
внешний
угол
треугольника ALC   = 2. Сумма углов
треугольника ALB равна 180º , поэтому
ВАL = 180º - 2. Зная, что ВАС = 48°,
составляем уравнение: 180 - 4 +  = 48,
=44. А=48º, В=44º, С=88º. Проверка: 48+44+88=180.
Наибольший угол равен 88º.
Я предлагаю вам ознакомиться с последним (третьим) случаем, и сделать вывод,
который пригодится нам при решении следующей задачи.
Вниманию учеников предлагаются чертеж и решение, выполненные на доске.
Так как ∆АСL – равнобедренный, то углы при основании равны. Пусть АСL=
АLС=. Так как ∆АВL – равнобедренный, то углы при основании равны. Пусть LАВ=
АLВ=
АLВ – внешний угол ∆АСL, следовательно, CAL=-. АLС – внешний угол
∆АВL, следовательно, ABL=-.
Зная, что ВАС=48°, составляем уравнение: 2--48. Зная, что АLС и АLВ
смежные, составляем уравнение: +=180
Решаем систему уравнений. Окончательно имеем: А=48º (по условию), В==28º, С==104º
Проверка: 48+28+104=180º
Все ли верно?
Где ошибка? Где рассуждения неверны или что-то не учтено?
Опыт показывает, что, как
правило,
многократно
читая
предложенный текст, проверяя и
перепроверяя себя и товарищей,
ученики чувствуют что «что-то
здесь не так», хотя ошибку не
находят.
На экране возникает чертеж
4
После ответов учащихся на экране появляется вывод:
В равнобедренном треугольнике углы при основании могут быть только
острыми.
Система должна была иметь вид:
2     48
    180


  90
  90
Кроме того, в задаче рассмотрены не все случаи.
Сколько их всего? Дальнейшее решение этой задачи
будет рассмотрено на факультативе.
Задача №3. (Закрепление сделанного вывода.)
Существует ли выпуклый четырехугольник АВСD и
точка М внутри него такие, что МА=АВ, МВ=ВС, МС=СD, МD=АD?
Решение:
Так как ∆АВМ, ∆ВСМ, ∆МСD, ∆АМD – равнобедренные, то углы при основании
острые. <90, <90, <90, <90. +++<360,
С другой стороны, сумма углов при вершине М равна 360º. Пришли к
противоречию.
Ответ: Такого четырехугольника не существует.
Обратим внимание еще на один прием:
Оценка суммы помогает решить задачу.
На экране появляется соответствующее утверждение.
Задача-аукцион. К треугольнику АВС (А=20º, В=50º, С=110º) пристроили
равнобедренный треугольник так, что получился новый треугольник. Сколькими
способами это можно сделать? Вычислите углы нового треугольника.
Решение задачи каждый ученик выполняет на выданном ему листе с таблицей, в
каждой ячейке которой изображен один и тот же треугольник. Постепенно на доске
появляются карточки с ответами.
Ответы:
50; 55; 75
50; 60; 70
40; 50; 90
20; 55 105
20; 70; 90
20; 40; 120
25; 45; 110
10; 60; 110
20; 25; 135
10; 50; 120
5
Подведем итоги
1. Мы убедились, что теорема о сумме углов треугольника применима при решении
многих задач. А также открыли новые свойства, казалось бы, уже известных нам
треугольников.
2. При решении задач мы использовали приемы «счет парами», «вычисление суммы
двумя способами» и оценку.
3. Задачи, решенные на уроке, помогли нам продвинуться еще на одну ступеньку в
развитии пространственного воображения.
Домашнее задание: пп. 30 – 31; вопросы 1-5 (с. 84); задачи 296, 298, 333,
дополнительные задачи.
Дополнительные домашние задачи
1. Задача об эклиметре.
2. Существует ли два равнобедренных треугольника с разными основаниями, но с
одинаковыми боковыми сторонами, один из которых можно разместить в другом?
3. Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного отрезка получить
все известные виды треугольников: равносторонний, равнобедренный,
разносторонний, прямоугольный, остроугольный и тупоугольный?
Литература
1. Журнал «Математика в школе». Разные годы.
2. Журнал «Квант».Разные годы.
3. В.А. Далингер. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении
математике.
6