МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ТВЭЛЬНЫХ СБОРКАХ ВОДООХЛАЖДАЕМЫХ РЕАКТОРОВ О.В. Семенович ОИЭЯИ-Сосны НАН Беларуси, Минск, Беларусь В работе рассматривается субканальная трехжидкостная трехполевая математическая модель, пригодная для описания процессов термогидродинамики в стержневых тепловыделяющих сборках (ТВС) водоохлаждаемых реакторов во всем диапазоне режимов работы, включая аварийные ситуации. Здесь приведены уравнения модели. Нижний индекс, указывающий фазу, в данном случае означает: v – пар, l – сплошная жидкость, e – капли жидкости. S S l S i S l ,t S v ,t v i l v v z v ,t i N v v ,z i v F wz v C w z vi j j 1 vi i 4 v l z l ,t i N l l ,z v F wzl C l S e i j 1 i li 4 N (1) W l i j 1 i v i S i i S i , (2) (3) i j 1 N i j 1 N i W e i j v i S i i S i , j 1 v v~vz v~vz, z i v~vzi W v i j S v v g i S F vzl F vze d H i d H N j 1 S v~ S S P v~ l W v i j v i S i , ~z e e v e , z i S v~ S S P v~ v v~vz , z l v~l z , z S e e ,t v l z li j v~ 2 j v~ 2 z vi j ,x 2 12 x v ij ,z i v v~vz (4) , ij l v~l z v~l z, z i v~ lzi W v i j S l l g i S F vzl d H i d H j N j 1 2 v~ v~ 2 12 x l ij ,z 2 z l ij ,x i (5) l v~ lz ij , e v~ ez, t i S e e v~ ez v~ez, z i N z ~z ~z e S P e , z i v e i j v ei W e i j S e e g i S F v e j 1 i z v Fwe Cw (6) i , S v v ~v , t i S v v v~vz ~v , z i v N l m2 W v ij ~v i j ~v i Prv PrT v j 1 S v q L w i S l Pv , t i v~ 2 12 x v ,z 2 z v ,x S QI ve QI vl v i ~v i v j ~v j L ij i j (7) , i l ~l , t i S l l v~l z ~l , z i N W l i j j 1 ~ lij l l m2 l i Prl PrT l ~ S P l q L w i v v~ l l ,t i v~l z, x v~l x, z 2 S Q I l e Q I v l i 2 12 l i ~l i l j ~l j Li j ij (8) , S ~ ~ ~ ~z ~ e e e , t i S e e ve e , z i W e i j e i j e i e ei ~e i e j ~e j Pre Li j N j 1 W v i j , t W v i j v~vzi j P v i Pv j Ci j vi j Li j ,z W v i j v~vxi j ,x e Pe ,t S Q i I ev Q I el i v i j F wx v i j C i j F vxl i j F vxe i j C i j v i j v~vxi j Pl i Pl j l i j F wx l i j Ci j F vxl i j C i j 1 i j v i j v~l xi j Ci j i j v~l xi j , Li j W e i j , t W e i j v~ezi j Ci j e i j Pe i Pe j Lij W l i j v~l xi j ,z (10) , ,z , W l i j , t W l i j v~l zi j Ci j l i j S e q L w i (9) ,x W e i j v~exi j ,x (11) e i j F wxe i j C i j F vxe i j C i j i j v i j v~exi j C i j i j v~exi j (12) . Использованы следующие обозначения: S – площадь проходного сечения субканала, м 2 ; p – объемное содержание p -фазы; p – плотность (средняя) p -фазы, кг м 3 ; v~ p – скорость (среднемассовая) p -фазы, м с ; W p i j – линейный (отнесенный к единице длины) расход субканала i p -фазы теплоносителя через межстержневой зазор из в смежный с ним субканал j ; Pp – давление в p -фазе, Па ; g – ускорение гравитационной силы, м с 2 ; C i j – межстержневой зазор между рассматриваемым субканалом i и смежным с ним субканалом j , м ; ~ –удельная энтальпия p (среднемассовая) p -фазы, Дж кг ; v – объемная мощность генерации пара, кг м 3 с ; – объемная мощность уноса жидкости, кг м 3 с ; – доля полной генерации пара, приходящаяся на унесенную жидкость; d H – эквивалентный гидравлический диаметр субканала, м ; Fwp – отнесенная к единице поверхности силу трения p -фазы о стенки стержней, Н м 2 ; qLw – линейный тепловой поток с поверхности твэла, Вт м ; l m –длина смешения, м ; Pr – число Прандтля; PrT – турбулентное число Прандтля; Q I p – кондукционный отнесенный к единице длины тепловой поток на межфазной поверхности, Вт м 3 ; z – аксиальная координата; x – поперечная координата; Y , x – частная производная функции Y по аргументу x . Уравнения баланса на межфазных поверхностях приведены в [6]. Входящие в уравнения (1) – (12) величины определены следующим образом [6]: p v~ pz p v~ pz ij i j p i j p F F x w pi j x p f ij F F i j x wp x p f vi j v i j ij p i v~ pz i , p j v~ pz j , i j i j i j i j i j p i p j p C i j p p , v~ p n C , v~ n p C i j , v~ p n C , v~ n i j , v~ p n C , v~ n i j p p C i j C i j 0 , 0 , i j i j C i j i j i j 0 , 0 , C i j 0 , 0 , C i j , v~ p n C , v~ n i j j i j , v~ p n C , v~ n F px f i x F p f j i p , v~ p n C , v~ n F wx p i x F w p j v i v j v~ p n C v~ n 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , Ppi j ,x t Ppi Pp j Li j . z k+1 Pk+1, Tk+1, ρk+1, αk+1, Wk+1 n+1 k+1/2 vz, k+1/2 vz, n+1, Pn+1, Σn+1, Fz, n+1 k n k-1/2 Pk, Tk, ρk, αk, Wk vz, k-1/2 (αpρp)n, (αpρpvzp)n, (αpρpιp)n k-1 Рис. 1а. Фрагмент временной сетки. Pk-1, Tk-1, ρk-1, αk-1, Wk-1 Рис. 1б. Фрагмент пространственной сетки. Вкратце рассмотрим методику численной реализации предложенной субканальной математической модели. Применяется полунеявная численная схема, сходная с предложенной Лайлизом (Liles) и Ридом (Reed) в работе [7]. Суть этой схемы такова (рис. 1а): все переменные, которые присутствуют в источниковых членах и членах, описывающих взаимодействие на межфазных границах и поверхностях твердых стенок, оцениваются значениями, присущими новому ( n 1 -у) моменту. Таким образом, они рассматриваются в неявной трактовке. Также трактуются фазовые скорости, входящие в конвективные члены массы и энергии, и давления, присутствующие во всех членах дифференцируемых уравнений. Напротив, члены конвективных потоков массы, импульса, энергии оцениваются на n -м шаге по времени , т.е. в явной форме. Для дискретизации по пространственной (аксиальной) переменной используется "шахматная сетка" (рис. 1б). Дискретные уравнения неразрывности имеют вид: 1 v v ni ,k 1 v v ni , k S i , k t 1 v v in, k S v~vz , n 1 i , k 1 2 v v in, k S v~vz , n 1 z S N n 1 v W vn i j , k j 1 1 z ; i,k 1 l l ni ,k 1 l l ni , k S i , k t l in, k S v~l z , n 1 i , k 1 2 l l in, k S v~l z , n 1 i , k 1 2 l N W lni j , k 1 n 1 vn 1 S j 1 1 z i , k 1 2 i,k n 1 S i,k ; 1 e el ni ,k 1 e e ni , k S i , k t e in, k S v~ez , n 1 i , k 1 2 e e in, k S v~ez , n 1 i , k 1 2 e N W en i j , k vn 1 S j 1 i,k n 1 S . i,k Дискретные уравнения баланса продольной составляющей импульса: t 1 S z S P z 1 n1 v v i,k i,k vni , k 4 i,k v n v v n v~ vz,,in, k11 2 v v i , k v~ vz,,in, k 1 2 S i , k n i,k n 1 v n v~ vz,,in, k 1 2 v~ vz,,in, k11 2 S i , k v v i , k v~ vz,,in, k 1 2 v~ vz,,in, k11 2 i , k 1 d H i , k d H N j 1 vn Pvn 1 2 j ,k i,k S i,k v v ni , k g v~ z , n 1 2 v~ x , n 1 2 v i j ,k 1 2 v i j ,k 1 2 x z N v~vzi,jn,k1 1 2 v~vzi,,nk 11 2 W vni j , k S i , k F vzl F vze j 1 n 1 i,k 12 v v~vz n i j ,k C w i , k vni , k F wz v, ni , k1 , 1 S z 1 l l ni ,k 1 v~ lz, i, n, k11 2 l l ni , k v~ lz, i, n, k 1 2 S i , k t z S i,k i,k lni , k 4 P ln 1 n l l ni , k v~ lz, i, n, k 1 2 v~ lz, i, n, k11 2 S i , k l l ni , k v~ lz, i, n, k 1 2 v~ lz, i, n, k11 2 l ln P ln 1 i , k 1 d H i , k d H N j 1 j ,k 2 i,k S i,k l l ni , k g v~ z , n 1 2 v~ x , n 1 2 l i j ,k 1 2 l i j ,k 1 2 x z 12 l v~l z N v~l zi ,jn, k1 1 2 v~l zi ,, kn 11 2 W vn i j , k S i , k F vzl,in, k 1 lni , k C w i , k F wz l, n 1 j 1 t 1 S z S P z 1 n1 e e i,k i,k e i,k e , n i,k n v~ ez,,in, k 1 2 v~ ez,,in, k11 2 S i , k e e i , k v~ ez,,in, k 1 2 v~ ez,,in, k11 2 en P en 1 i ,k 1 i,k S i,k e e ni , k g N v~ ezi,nj ,k1 1 2 v~ ezi,,nk11 2 W eni j , k S i , k F vze, ni ,k1 eni , k C w i , k F wz e, ni ,k1 j 1 n v~ ez,,in, k11 2 e e i , k v~ ez,,in, k 1 2 S i , k n 1 e n e n i j ,k . Дискретные уравнения баланса энергии: 1 S z 1 v v ~v ni ,k 1 v v ~v ni , k S i , k t i,k v S i,k v Pv t v j 1 Prv N v ~v ni , k v~ vz,,in, k11 2 S i , k v v ~v ni , k v~ vz,,in, k11 2 n1 i,k v Pv n i,k d H i , k d H j , k 2 n 4 PrT v k k n ~ v j ~v j nk vi vi L i j ,k q n 1 v L w i,k v~ z , n 1 v i j , k 1 2 x 2 2 v~vxi, jn,k1 1 2 z 12 i j N n1 n ~n ~n v i j , k v i , k W v i j , k S i , k Q I v e Q I v l i , k j 1 , 1 S z 1 l l ~l ni ,k 1 l l ~l ni , k S i , k t i,k l l ~l ni , k v~ lz, i, n, k11 2 S i , k l l ~l ni , k v~ lz, i, n, k11 2 S i,k l Pl t l Pl n1 i,k n i,k q n 1 l L w i,k n 2 2 12 2 z ,n1 x , n 1 ~ ~ d d v v l H i,k H j ,k l i j , k 1 2 l i j , k 1 2 n j 1 x z 4 PrT l k Prl k i j l i ~l i l j ~l j nk N ~ n ~ n n n 1 l i j , k l i , k W l i j , k S i , k Q I l e Q I v l i , k L i j ,k j 1 N 1 t 1 z S i,k t S e ~e ni ,k 1 e e ~e ni , k S i , k e i,k e P e e e ~e ni , k v~ ez,,in, k11 2 S i , k e e ~e ni , k v~ ez,,in, k11 2 n1 i,k e Pe n i,k e q L w i , k S i , k Q I e v Q I e l i , k n1 n 1 n N 1 e e i ~e i e j ~e j ~eni j , k ~eni , k W eni j , k j 1 L i j , k Pr e k j 1 N . Дискретные уравнения баланса поперечной составляющей импульса: W t 1 n 1 v i j ,k W 1 L i j ,k C i j ,k n v i j ,k n v i j ,k W vni j , k W z 1 n v i j ,k v~ vz i, n, k11 2 W vni j , k v~ vz i, n, k11 2 v~ vxi, nj ,k1 W vni j , k v~ vx i, nj , k1 Pvni ,k1 Pvnj, k1 L i j ,k C i j , k F vxl F vxe n 1 i j ,k vni j , k F wx v, ni j ,1k C i j , k vnij1, k v~ vx i, nj , k1 , , 1 1 W lnij1, k W lni j , k W lni j , k v~ lzi,,nk11 2 W lni j , k v~ lzi, ,nk11 2 t z 1 L i j ,k W n l i j ,k C i j , k nl i j , k v~ lxi , jn,k1 W lni j , k v~ lxi, nj , k1 P lni , k1 P lnj, k1 L i j ,k lni j , k F wx l, ni j ,1k C i j , k F vxl,inj, k1 C i j , k 1 inj,1k vnij1, k v~ lxi, nj , k1 C i j , k inj,1k v~ lxi, nj , k1 , 1 1 W enij1, k W eni j , k W eni j , k v~ ezi, n, k11 2 W eni j , k v~ ez i, n, k11 2 t z 1 L i j ,k W n e i j ,k C i j , k ne i j , k v~ exi, nj ,k1 W eln i j , k v~ ex i, nj , k1 P eni, k1 P en j, k1 L i j ,k eni j , k F wx e,ni j1, k C i j , k F vxe,ni j ,1k C i j , k inj,1k vnij1, k v~ ex i, nj , k1 C i j , k inj,1k v~ ex i, nj , k1 . Новые значения аксиальных и поперечных скоростей выражаются через новые градиенты давлений следующим образом: , , v~vz((i n, k1 1) 2 ) v~vz((i n, k) 1 2 ) d v( (ni), k 1 2 ) P((i n, k1) ) P((i n, k11) ) v~l z( (i ,nk11) 2 ) v~l z( (i ,nk) 1 2 ) d l((ni ), k 1 2 ) P((i n, k1) ) P((i n, k11) ) v~ez((i n, k1 1) 2 ) v~ez((i n, k) 1 2 ) d e( (ni), k 1 2 ) P((i n, k1) ) P((i n, k11) ) , , , , W v((nij1, k) ) W v((ni )j , k ) D v( (ni), k 1 2 ) P((i n, k1) ) P((jn,k1)) W l((ni j 1, k) ) W l((ni )j , k ) D l((ni ), k 1 2 ) P((i n, k1) ) P((jn,k1)) W e((nij1, k) ) W e((ni )j , k ) D e( (ni), k 1 2 ) P((i n, k1) ) P((jn,k1)) где величины d , D и W рассматриваются в n -й (текущий), а давление – в n 1 -й (новый) момент времени. В начале решаются уравнения неразрывности и энергии. Подставив эти соотношения, уравнения состояния и замыкающие соотношения в дискретные аналоги субканальных фазовых уравнений неразрывности и сохранения энергии, получим следующее матричное уравнение, которое может быть решено методом Ньютона-Рафсона: Pi , k v l a 1 , 12 e M v v Tv M l l Tl M e , T Ev e e Pi , k 1 El P Ee i , k 1 a 6 , 12 P i j 1, k Pi j 2 , k P i j 3,k a 1,1 a 1, 2 a 1, 5 a 2 ,1 a 2 , 2 a 5,5 a 6 ,1 где T p – температура p -фазы, K ; M p и E p – члены, полученные в результате преобразований дискретных аналогов субканальных фазовых уравнений неразрывности и баланса энергии, соответственно. Далее можно сформулировать матричное уравнение для давления: 1,1 2 ,1 1, 2 2,2 3,2 K , K 1 P1 R 1 P2 R 2 P R 3 3 , P R k k K , K PK R K Pi , k 2,3 3,3 3,4 k , k 1 k ,k k , k 1 где Pk P1 , k P2 , k R k r1 , k P3 , k r2 , k r3 , k ri , k PI , k t rI , k t , . Здесь верхний индекс t означает "транспонированный". Матрицы k , k – квадратные матрицы размера I I , где I – количество рассматриваемых субканалов. Pk – векторы поправок к значениям давления на k -м аксиальном уровне, суммарное количество которых равно K . Pi , k – поправка к давлению для i -го субканала на k -м аксиальном уровне. Для нумерации субканалов и зазоров между ними применяется способ, общие положения которого предложены в статье [8]. Автор апробировал этот способ в работах [9–17]. На рис. 2 представлена схема нумерации субканалов и зазоров, для пучка из стержней в квадратной упаковке. На рис. 3 приведены результаты сравнения расчётных значений и экспериментальных данных для массового паросодержания в электрообогреваемой сборке из 9 стержней, расположенных в квадратной упаковке. Экспериментальные данные взяты из 1 1 8 15 16 13 66 22 10 5 3 4 6 10 7 7 12 13 11 9 9 3 4 2 5 2 17 11 8 14 19 18 20 14 23 15 24 12 21 16 Рис. 2. Способ нумерации субканалов и зазоров для квадратного пучка из 9 стержней (16 субканалов; 24 зазора). 0,36 Вар. 3 0,32 0,28 - расчёт 0,24 Вар. 2 0,20 0,16 – С-1 – С-2 - эксперимент 0,12 Вар. 1 0,08 0,04 – С-3 Рис. 3а. Схема идентификации субканалов. 0,00 C-1 C-2 Рис. 3б. Сравнение рассчитанных и экспериментальных значений массового паросодержания. C-3 работы [17], там же можно найти сведения о параметрах сборки и исходных данных экспериментов. Варианты (на рис. 3 принято сокращение "Вар.") 1, 2 и 3 – это соответственно варианты "2D3","2E3" и "2G2", согласно классификации таблицы 1 из [17]. Можно отметить хорошее совпадение результатов. Список литературы 1. Жуков А.В., Сорокин А.П., Матюхин Н.М. Межканальный обмен в ТВС быстрых реакторов: Расчетные программы и практическое приложение.– М.: Энергоатомиздат, 1991. – 224 с. 2. Семенович О.В. Методы и программы термогидродинамического расчета стержневых тепловыделяющих сборок (аналитический обзор). – Минск, 1997.– 45 с.– (Препринт / НАН Беларуси. Ин-т проблем энергетики; ИПЭ-25). 3. Семенович О.В. К проблеме термогидродинамического расчета стержневых тепловыделяющих сборок. Субканальные уравнения баланса. – Минск, 2000. – 66 с. – (Препринт / НАН Беларуси. Ин-т проблем энергетики; ИПЭ-56). 4. Sha W. T., Shmitt R. C., Huebotter P. R. Consideration of Thermal-Hydraulic Channel Arrangement in a Rod Bundle // Transactions of the American Nuclear Society. – 1973. – Vol. 16, № 1. – P. 221 – 222. 5. Методы и результаты теплогидравлических исследований нестационарных процессов в ТВС быстрых реакторов: Обзор: По отеч. и зарубеж. источникам. / А.В. Жуков, А.П. Сорокин, Ю.Н. Корниенко и др.–Препринт/Физ.-энерг. ин-т; ФЭИ-0227.– М., 1988. – 39 с. 6. Семенович О.В. К проблеме термогидродинамического расчета стержневых тепловыделяющих сборок. Субканальные математические модели. Системы решаемых уравнений.– Минск, 2001. – 48 с. – (Препринт / НАН Беларуси. Ин-т проблем энергетики; ИПЭ-68). 7. Liles D.R., Reed Wm.H. A Semi-Implicit Method for Two-Phase Fluid Dynamics// Journal of Computational Physics. – 1978. – Vol. 26, No. 4 – P. 390–407. 8. Роу. Математическая модель для исследования переходных процессов в подканалах сборки тепловыделяющих элементов ядерного реактора // Теплопередача. Сер. С. – 1973. – Т. 95, № 2. – С. 67–73. 9. Семенович О. В. Исследование процессов тепломассообмена в элементах активной зоны водоохлаждаемого ядерного реактора // Труды III Минского международного форума по тепломассообмену Т. X: Тепломассообмен в энергетических устройствах и энергосбережение, Ч. 1.– Мн., ИТМО.– 1996.–С. 197–201. 10. Семенович О. В. Компьютерное моделирование процессов тепломассообмена в потоке теплоносителя, охлаждающего стержневую тепловыделяющую сборку энергетического ядерного реактора // Тепломассообмен ММФ-2000: Труды IV Минского международного форума по тепломассообмену (22–26 мая 2000 г.): В 11 т. – Мн.: АНК "ИТМО им. А.В. Лыкова", 2000. – Т. 10: Тепломассообмен в энергетических устройствах. – С. 353–359. 11. Семенович О.В., Куликов И.С. Моделирование процессов гидродинамики и теплообмена в тепловыделяющих сборках водоохлаждаемого ядерного реактора// Прогрессивные технологии и системы машиностроения: Международный сборник научных трудов. – Донецк: ДонГТУ, 2001. – Вып. 17. – С. 218–222. 12. Семенович О.В. Моделирование термогидравлических процессов в сборке топливных стержней // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тезисы докладов VIII международной Четаевской конференции (Казань, 28–31 мая 2002 г.) – Казань: КазГТУ, 2002. – С. 284. 13. Семенович О.В. Субканальные методы расчета теплогидравлических параметров продольно охлаждаемых пучков тепловыделяющих стержней (труб) и их сборок // Машиностроение и техносфера XXI века: Сб. трудов международной научно-технической конференции в г. Севастополе 8–14 сентября 2003 г./ Донецкий национальный технический университет: В 4 т.– Донецк: ДонНТУ, 2003. –Т. 3.– С. 104–108. 14 Семенович О.В. Моделирование процессов тепломассообмена в тепловыделяющей сборке легководного ядерного реактора // Тезисы докладов и сообщений. – Т. 2. – V Минский международный форум по тепло- и массообмену. 24–28 мая 2004 г. – С. 319–321. 15. Семенович О.В. Расчет сборок стержневых тепловыделяющих элементов водоохлаждаемых ядерных реакторов // Машиностроение и техносфера XXI века: Сб. трудов международной научно-технической конференции в г. Севастополе 13–18 сентября 2004 г. / Донецкий национальный технический университет: В 4 т. – Донецк: ДонНТУ, 2004. – Т. 3. – С. 85–89. 16. Семенович О. В. Моделирование термомеханических процессов в стержневых тепловыделяющих элементах энергетических ядерных реакторов // Машиностроение и техносфера XXI века: Сб. трудов международной научно-технической конференции в г. Севастополе 12–17 сентября 2005 г. В 5-и т. – Донецк: ДонНТУ, 2005. – Т. 3 .– С. 160–164. 17. Kronenberg J., Burtak F., Avramova M. COBRA-TF – A Core thermal-hydraulic code: validation against GE 3 3 experiment // Jahrestagung kerntechnik 2003: Annual meeting on nuclear technology 2003. – P. 105–109.