Аслонов К.З., Юлдашев Зиявидин Хабибович, Эшонкулов Х.И

Аслонов К.З., Юлдашев Зиявидин Хабибович, Эшонкулов Х.И.
АЛГОРИТМ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНОГО ВЕКТОРА
ПАРАМЕТРОВ АДАПТИВНОГО РЕГУЛЯТОРА
Как известно, что алгоритмы синтеза адаптивного управления
многосвязными объектами управления, основанные на использовании
принципа неявной эталонной модели и аппарата интервального анализа для
решения задачи определения интервального вектора параметров настройки
адаптивного регулятора, сводится к решению интервального матричного
алгебраического уравнения вида AX  B , где блочная интервальная матрица Апрямоугольная.
С целью дальнейшего упрощения выкладок ограничимся определением
интервального вектора параметров адаптивного регулятора для ОУ с одним
входом/выходом, т.е. рассмотрением алгебраического уравнения вида
L  G   n  ,
(1)

~  n~) , G  здесь L есть интервальная матрица адаптируемости размерности (m
искомый интервальный вектор настроек параметров адаптивного регулятора,
~  1) .
n  - интервальный вектор размерности (m
Требуется определить интервальный вектор параметров G* адаптивного
регулятора :
*
*

*
*
G : L*  n~ * ; L  L*  L , n  n~ *  n  G * ,
(2)
*
~  n~) и
где матрица L* и вектор n~ имеют, соответственно, размерности (m
~  1) .
(m


Необходимо отметить, что для управления объектом требуется знание не
интервального вектора G* параметров адаптивного регулятора, а вектора G * с
точечными значениями. Однако, прежде чем приступить к определению
вектора G * , необходимо определить достаточные условия его существования.
На практике всегда задаются допуски на предельно возможные
отклонения параметров регулятора от номинальных значений, при которых
работоспособность системы по требуемым показателям качества признается
удовлетворительной. Определим множество допустимых значений параметров
регулятора в виде опорного интервального вектора G* .
Тогда, если G* считается заданным и выполняется включение
~
G*  G* ,
(3)
*
где G определяется из (4.56), то всегда можно определить такой точечный
вектор G * , для которого:
(4)
L*G*  n* ,
~*
*
*
где G  G  G .
Задача отыскания точных граничных значений интервального вектора
*
G , удовлетворяющего несовместной (в общем случае) и переопределенной
системе интервальных алгебраических уравнений (1), представляет собой
отдельную сложную теоретическую задачу интервального анализа. Это связано
с тем, что при попытке перейти от прямоугольного представления
интервальной матрицы L , подлежащей инвертированию, к более удобной для
вычислений квадратной матрице путем обычной для линейной алгебры
операции умножения слева уравнений вида (1) на соответствующую
транспонированную матрицу, в силу свойств субдистрибутивности, присущей
интервальному анализу, имеют место соотношения:
~*  LT L*G*  LT n
~* .
(5)
L*G*  n
~)
Пусть матрица LТ имеет размерность
и L*  l *ij ,
(n~  m
~ , j  1, n~ , причем l *  0  l  1 . Определим интервальную
LT  l , i  1, m
ji
ij
ij
M *  LT L*
матрицу
размерности
и интервальный
(n~  n~)
~ * размерности (n~  1) .
m*  LT n
Введем определение интервального вектора N* :

вектор

(6)
N : M *  m* , M  M *  M , m  m*  m  N* .
В силу свойства субдистрибутивности:
(7)
G *  N* ,
~*
*
*
или, если потребовать: G  N  G , то условие существования включения
~
G *  G * можно определить как достаточное условие существования точечного
вектора.
В дальнейшем для формализации задачи отыскания интервального
вектора N* допустимых настроечных значений адаптивного регулятора будем
пользоваться итерационными процедурами, рассматриваемыми в [Работа Гэя] и
модифицированными в соответствии с конкретной задачей (6).
Прежде чем приступить к рассмотрению итеративных процедур,
сформулируем в виде теоремы условия, при которых гарантируется
существование искомого интервального вектора N* допустимых настроечных
значений адаптивного регулятора. Для этого воспользуемся теоремой из работы
[Гэя].
Покажем, что возможно некоторое упрощение этой теоремы за счет
замены несингулярной матрицы Y некоторой вещественной ненулевой
константой  в случае, когда 0 m *ij , i  j , i, j  1, n , где M *  m *ij
1
*
*
*
*
(учитывается, что диагональные элементы матрицы M * равны между собой).
Теорема. Предположим, что с использованием полученных интервальной
~*
~  n~) и интервального вектора n
матрицы адаптируемости L размерности (m
~  1) определены ((5)-(6)) интервальная матрица M*  M* ,M* и
размерности (m




*
*
интервальный вектор m*  m ,m соответственно размерностей (n~  n~) и
*
*
(n~  1) . Предположим далее, что определен интервальный вектор N*  N ,N
размерности (n~  1) и существует вещественное число   0 , для которого имеет


место:


 
1
M1*  M * ,   m ij  m ij / 2 ,
~ * , M *  m * , N *  n * , i, j  1, n.
d  m
1ij
i
*
Тогда, если:
n
 *
*

sup m1ij  n i   m1*ij n *i   d i ,
j 1


~
n
*


inf  m1*ij  n i   m1*ij n *i   d i .
j 1


~

*



*
для i  1, n , тогда для любого M*  M ,M и m*  m ,m
N* содержит
решение х* системы M х* =m .
Рассмотрим итеративную процедуру решения уравнения M N*  m* :
E : I  YM * ,
(8а)
*
(8б)
d  Ym ,
* 0
N   d,
(8в)
i  0,1,...,m  1,
(8г)
N* i1  d  EN* i ,
С учетом коррекции ("аддитивная добавка" к граничным значениям):
m
m
m 1
m 1
N *  N *   sup E N *  / 1  E
B,
(8д)
где B - несингулярная матрица размерности (n~  n~) , определяемая
*
 
*


инвертированием матрицы, соответствующие элементы которой определяют
центры констант-интервалов интервальной матрицы M * .
Модифицируем итеративную процедуру (8) (предполагается, как и в
теореме, возможность представления матрицы Y в виде   I ):
E  I  M * , 0  m *ij , i  j, i, j  1, n~,
(9а)
1
*
*
E  e ij ,   m ij  m ij / 2 ,

 
*

1  m ij , i  j ,
e ij  
*

 m ij , i  j,
d : m* ,
N* 0  d,
i  0,1,...,m  1,
N 
* i 1
С учетом коррекции:

(9б)
(9в)

 I  E  E  ...  E d .
i 1
1
 
N *  N*   sup E
m
m 1
N 
* m
(9г)

/ 1  E
m 1
B .
(9д)
Наименее "привлекательным" с вычислительной точки зрения в
алгоритмах (8), (9) является определение "аддитивной добавки". Практически с
выбором достаточно большого m числа итераций в (8г) и (9г) необходимость
коррекции (8д) и (9д) отпадает.
С вычислительной точки зрения предлагаемая модифицированная
итеративная процедура (9) является, на наш взгляд, более рациональной. Вопервых, в (9а) и (9б) вместо несингулярной матрицы Y может использоваться
представление   I ; во-вторых, если все-таки используется процедура
коррекции (8д) и (9д), то в (9д) уже непосредственно имеется вычисленное
m
значение E ; в-третьих, с учетом свойства субдистрибутивности, ширина
интервального вектора N *  , определяемого из (9г), меньше ширины
i 1
аналогичного вектора N *  , определяемого из (9г), то есть:
i 1

j 
* i
 I   E  d  d  EN  .
j 1


Рассмотренные вычислительные схемы (8), (9) имеют много общего с
итеративной процедурой Якоби. На практике часто применяют итеративную
процедуру, обладающую большей скоростью сходимости к N* , определяемую
по аналогии с итерациями Гаусса - Зейделя:
N * i  d  E1 N * i  E 2 N * i1 ,
(10)
где E1 - нижняя треугольная матрица от E (8а) (или (9д)) С нулевыми
диагональными элементами, E 2 - верхняя треугольная матрица от E с
диагональными элементами, равными 1  m *ij .
При использовании итеративных процедур вида (8)-(10) предполагается,
что норма E  1. Тогда, если sup E  1 и если последовательность
i 1
N  , N  ,...определяется из (8г) или (9г), тогда :
N  lim N 
* 1
* 2
* i
*
i 
(11)
- есть однозначно определенный интервальный вектор, удовлетворяющий:
N *  d  EN * ,
(12)
или


j 
N *   I   E  d .
(13)
j 1


Обычно выражения (11)-(13) используются для определения правила
останова итераций:
i
i
q N *  , N *  / wid N *    ,
(14)
*
где  - допустимая малая константа; при практических вычислениях N вместо
(14) используют:
i
i
q N *  , N *  / wid N *   r 1  1 ,
(15)
где r  sup E  1.
В работе [Хлебалина] показано, что действительный вектор K является
решением
невырожденной
системы
с
неопределенными
PK  H
коэффициентами (то есть P  p ij , H  h i , i, j  1, n - есть, соответственно,




интервальные матрица и вектор) тогда и только тогда, когда он представляет
собой решение системы:
 k mid p   mid h  ,
n
j 1
j
ij
i
(16)
и удовлетворяет ограничениям:
n
k
j 1
j
 w id p ij   w id h i  ,
где mid p ij , wid p ij  - есть, соответственно, центр интервального числа и его
длина (аналогично - mid h i , wid h i  ).
Доказательство равенства (16) тривиальным образом распространяется и на
следующее равенство, определяемое из (1):
n~
~ * , i  1, m
~
(17)
g * mid l *   mid n

j 1
i
ij
i
~ *  n * , i  1, m
~ , j  1, n~ .
где G *  g *ji , L*  l *ij , n
i
Тогда если вектор G* с точечными значениями, определенный
~ *   G * mid L*  из (17),
единственным образом в смысле минимума нормы mid n
принадлежит интервальному вектору N* , определенному из (8) (или (9)), то
адаптивный регулятор с параметрами G* обеспечит выполнение цели
адаптивного управления в указанном интервальном смысле.