Теория надежности и долговечности строительных конструкций

1
Теория надежности и долговечности строительных конструкций
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
Арнольд В.И. Теория катастроф. – М.: Физматгиз, 1990.-126с.
Аугусти Г., Баратта А., Кашиати Ф. Вероятностные модели в строительном проектировании. М.: Стройиздат, 1988.-584с.
Барзилович Е. Ю., Беляев Ю. К. и др. Вопросы математической теории надежности. - М.: Радио и связь, 1983.-376с.
Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности и испытания на безотказность. /Пер. с англ. - М.: Советское радио,
1969.-488с.
Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. /Пер. с англ. - М.: Наука, 1984.-328с.
Болотин В. В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. - 2-е изд., перераб. и доп. -М.:
Стройиздат, 1981.-351с.
Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. – М.: Стройиздат,
1971.-255с.
Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. – М.: Стройиздат, 1965.-202с.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969.-???с.
Волков С.Д. Статистическая теория прочности. – М.: Машгиз, 1960.-176с.
Вопросы безопасности и прочности строительных конструкций/Сб. ст. под ред. А.Р. Ржаницына. – М.: Стройиздат, 1952.-178с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк.,
1999.-479с.
Гнеденко Б.В. Вопросы математической теории надежности. – М.: ?, 1983.-???с..
Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Л. Математические методы в теории надежности. – М.: Наука, 1965.-524с.
Капур К., Ламберсон Л. Надежность и проектирование систем. – М.: Мир, 1980.-604с.
Кудзис А.П. Оценка надежности железобетонных конструкций. – Вильнюс: Моклас, 1985.-155с.
Ломакин В.А. Статические задачи механики твердых деформируемых тел. М., «Наука», 1970.-?с.
Лужин О.В. Вероятностные методы расчета сооружений. – М.: МИСИ им. Куйбышева, 1983.-122с.
Нагрузки и надежность строительных конструкций. Труды ЦНИИСК. Вып. 21, М., 1973.
Надежность и долговечность строительных конструкций [Сб. статей]. – Волгоград, 1974.
Проблемы надежности в строительной механике [Сб. статей]. – Вильнюс: Изд-во “Вайздас”, 1968.-302с., 1971.-208с., 1975.215с.
Проблемы надежности в строительном проектировании [Сб. статей]. – Свердловск, 1972.-296с.
Райзер В.Д. Методы теории надежности в задачах нормирования расчетных параметров строительных конструкций. – М.:
Стройиздат, 1986.-192с.
Райзер В.Д. Расчет и нормирование надежности строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1995.-348с.
Ржаницын А. Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. -М.: Стройиздат, 1978.-239с.
Саульев В.К. Статистическое моделирование: Метод Монте-Карло. – М.: МАИ, 1974.-67с.
Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. – М.: Наука, 1968.-463с.
Синицын А.П. Расчет конструкций на основе теории риска. – М.: Стройиздат, 1985.-304с.
Теория надежности в строительном проектировании: Монография/В.Д. Райзер. – М.: изд-во АСВ, 1998.-304с.
Тимашев С.А. Надежность больших механических систем. – М.: ?, 1981.-???с.
Тихонов В.И. Выбросы случайных процессов. – М.: ?, 1970.-???с.
Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. – М.: Мир, 1969.-396с.
Кузнецов А.А., Алифанов О.М., Ветров В.И. и др. Вероятностные характеристики прочности авиационных материалов и
размеров сортамента. М.: Машиностроение, 1970.
1. Задачи теории надежности
1.1 Понятие надежности и ее свойства
Обычный детерминистический подход к расчету конструкций состоит из двух этапов:
1) Вычисляются напряжения, деформации и перемещения в конструкциях, подверженных действию
внешних нагрузок. Эта задача решается методами строительной механики, теории упругости, теории
пластичности и т.д.
2) Вычисленные величины сопоставляются с нормативно допустимыми значениями. При этом решается
задача надежности, долговечности и экономичности конструкции.
Однако реальная система и ее условия эксплуатации отличаются от идеализированной системы и
условий, рассматриваемых на стадии проектирования. Фактически напряжения, деформации и
перемещения являются случайными величинами из-за случайного характера внешних воздействий,
прочностных и др. внешних условий. Поэтому надежность конструкции может быть определена с
привлечением методов математической и статистической теории вероятностей.
В теории вероятностей главная задача - зная состав генеральной совокупности, изучить распределения для состава
случайной выборки. Это прямая задача теории вероятностей. Обратная задача - когда известен состав выборки и по
нему требуется определить, какой была генеральная совокупность. Это обратная задача математической статистики.
Или, точнее, в теории вероятностей мы, зная природу некоторого явления, выясняем, как будут вести себя (как
распределены) те или иные изучаемые нами характеристики, которые можно наблюдать в экспериментах. В
математической статистике наоборот – исходными являются экспериментальные данные (обычно это наблюдения над
случайными величинами), а требуется вынести то или иное суждение о природе рассматриваемого явления.
Надежность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех
параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях
применения, технического обслуживания, ремонта и транспортирования. Или надежность также –
устойчивость качества по отношению ко всем возможным возмущениям. Надежность – количественный
показатель (промежуток времени, число рабочих циклов, число километров и т.д.).
2
В зависимости от назначения системы и условий ее эксплуатации надежность включает свойства:
1) безотказность; 2) долговечность; 3) ремонтопригодность; 4) сохраняемость и любые их сочетания.
Безотказность – вероятность безотказной работы конструкции за определенный промежуток времени.
Долговечность – вероятный промежуток времени безотказной работы конструкции.
Ремонтопригодность – вероятность того, что неисправная система может быть восстановлена за
заданное время.
Содержание теории надежности – разработка методов оценки надежности систем и создание систем,
обладающих заданными показателями надежности и долговечности.
Задачи расчета на надежность состоят в определении вероятности выхода конструкции из строя в
заданных условиях, нахождении по заданной экономически целесообразной надежности требуемых
размеров конструкции, допустимых нагрузок или оптимального срока эксплуатации, а также оценки
надежности системы по имеющимся оценкам надежности составляющих ее элементов. В задачу теории
надежности строительных конструкций входит также обоснование процедур нормирования расчетных
характеристик. Специфика теории надежности строительных конструкций состоит в необходимости учета
случайных свойств нагрузок и воздействий на сооружения, а также учета совместного действия случайных
нагрузок на систему со случайными прочностными характеристиками.
Основное понятие теории надежности – отказ – событие, состоящее в нарушении работоспособности
системы. Понятие отказа близко по смыслу к понятию предельного состояния. К предельным состояниям 1-й
группы относятся: общая потеря устойчивости формы, потеря устойчивости положения, любое разрушение, переход
в изменяемую систему, качественное изменение конфигурации; состояния, при которых возникает необходимость
прекращения эксплуатации в результате текучести материала, сдвига в соединениях, ползучести или чрезмерного
раскрытия трещин. Предельные состояния 2-й группы – недопустимые деформации конструкций в результате
прогиба, поворота или осадок, характеризуемых разностью вертикальных перемещений узлов, отнесенных к
расстоянию между ними, креном сооружения в целом, относительным прогибом или выгибом, кривизной элемента,
относительным углом закручивания, горизонтальным или вертикальным смещением элемента или сооружения в
целом, углом перекоса или поворота. К предельным состояниям 2-й группы относятся также недопустимые
колебания конструкции, изменение положения, образование или раскрытие трещин.
Примеры отказов - обрушения, опрокидывания, потеря устойчивости, хрупкое разрушение, большие деформации и
прогибы, механический или коррозионный износ, растрескивание и т.д.
Отказы вызваны влиянием случайных факторов, поэтому они носят случайный характер. За показатель
(меру) надежности системы может быть принята вероятность Р безотказной работы в течение всего срока
службы Т.
Недостатки теории надежности - сложно получить опытные данные в количестве достаточном для
последующей их обработки методами теории вероятностей. Сложно длительный срок проводить
испытания конструкции для получения надежных выводов о ее долговременной работе.
2. Основные положения теории вероятностей
Событие - качественный или количественный результат опыта, осуществляемого при определенных
условиях. Например, событие - попадание предела текучести стали R y в интервал от 240 до 260 МПа. Событие
может быть случайным, достоверным или невозможным. Объективная математическая оценка
возможности реализации случайного события - вероятность. Вероятность есть объективная мера возможности
наступления события независимо от того, является ли оно массовым или нет. В жизни все (полуинтуитивно)
применяют вероятностные оценки будущим событиям и весьма успешно.
Частота события А (статистическая вероятность). P* ( A)  m / n , где m - число опытов, в которых
наблюдается событие А; n - общее число опытов. Значения P* ( A) - случайны. P * ( A)  P( A) , где P( A) n 
математическая вероятность, являющаяся достоверной величиной, т.е. вероятность того, что при n
P* ( A)  P( A) равна 1. 0  P ( A)  1 . При m  n P ( A)  1 , при m  0 P( A)  0 .
События несовместны в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.
(Например, появление цифр от 1 до 6 на игральном кубике).
Случайные события совместны, если при данном испытании могут произойти два эти события.
Если события А и В несовместны, то вероятность появления или события А или события В:
 n
 n
P( A  B)  P( A)  P( B) (1) или в общем виде P  Ai    P( Ai ) (1').
PA
PB
 i 1  i 1
В теории множеств (1) эквивалентна объединению множеств А и В (АВ), притом
АВ=.
PA+PB
Сумма вероятностей двух противоположных событий P( A)  P( A )  1 (2).
Событие А независимо от В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло
событие В или нет. Если события А и В независимы (они совместны), то вероятность появления и события
n
n
А и события В: P( AB)  P( A) P( B) (3), P  Ai    P( Ai ) (3').
PA
PB
 i 1  i 1
PAB
3
В урне два кубика – черный и белый и два шарика – черный и белый. Вероятность появления черного кубика равна
произведению вероятностей появления черного цвета и кубика, т.е. 1/21/2=1/4. В теории множеств (3) эквивалентна
пересечению множеств А и В (АВ).
По формуле (3) видно, например, что если событие А (появление максимальной ветровой нагрузки) и событие В
(появление максимальной снеговой нагрузки) – независимы, то вероятность одновременного появления А и В (т.е.
максимумов нагрузок) меньше вероятности появления одного из событий (максимумов нагрузки)
max
max
max
. Это учитывается коэффициентом сочетаний . Вероятность P ( AB) тем
Pснег
ветер  Pснег  Pветер


меньше, чем меньше P( A) и P(B) .
Формула (3) иллюстрируется последовательным соединением. Вероятность не
разрушения последовательной системы: P  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ,
где P( Ai ) , i=1,3 – вероятности не разрушения i-того элемента системы, Ai – событие,
состоящее в не разрушении i–того элемента системы.
Пример последовательного соединения: статически определимая система т.к. разрушение всей
системы происходит при разрушении хотя бы одного из элементов, т.о. вероятность не разрушения
всей системы меньше вероятности не разрушения любого ее отдельного элемента.
Формула (3) также иллюстрируется и параллельным соединением. Вероятность
разрушения параллельной системы: P  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) , где P( Ai ), i  1,3 –
вероятности разрушения i–того элемента системы. Вероятность не разрушения
параллельной системы: P  1  P  1  (1  P( A1 ))(1  P( A2 ))(1  P( A3 )) (5)
n
или в общем виде: P  1   (1  P( Ai )) (5').
i 1
Пример параллельного соединения: статически неопределимая система т.к. разрушение
всей системы происходит при разрушении всех избыточных и еще одной связей. Т.о.
вероятность не разрушения всей системы больше вероятности не разрушения любого ее отдельного элемента. Однако
в действительности в статически неопределимой системе вероятности разрушения элементов системы не независимы,
т.к. разрушение одного элемента из-за перераспределения усилий приводит к изменению вероятностей разрушения
остальных элементов.
Например, при диаграмме Прандтля «условное» разрушение одного элемента статически неопределимой системы
(т.е. напряжение в этом элементе при увеличении N остается постоянным и равным R y ) в меньшей степени приводит
к перераспределению усилий, а следовательно и к изменению вероятностей разрушения. Т.о. статически
неопределимая система со стержнями, работающими по диаграмме Прандтля, больше подходит в качестве примера
для параллельной системы.
Если случайные события А и В совместны (и независимы), то вероятность появления или А или В:
n
 n  n
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A) P( B) (6), P  Ai    P( Ai )   P( Ai ) (6).
PA
PB
i 1
 i 1  i 1
(6) эквивалентна объединению множеств А и В, притом АВ, т.е.
A(B\(AB))=B(A\(AB)).
P(A+B)
Если случайные события А и В зависимы (и совместны) и вероятности их появления Р(А) и Р(В), то
вероятность совмещения событий А и В (произойдет и А и В): P( AB)  P( A) P( B / A) (7),
где P ( B / A) – условная вероятность, т.е. вероятность появления события В, при условии, что событие А
произошло. Аналогично P( AB)  P( B) P( A / B) (7).
Например, в урне два черных и два белых шара. Событие А – появление белого шара с первого раза, событие В появление белого шара со второго раза. Вероятность появления белого шара два раза подряд:
Р(АВ)=Р(А)Р(В\А)=1/2·1/3=1/6. Из формул (7) и (7) можно получить:
P( B / A) (8),
P( B )
где P( A) – априорная вероятность появления события А, определенная до того как стала известна
информация о событии В. P ( A / B ) – апостериорная вероятность появления события А, основанная на этой
информации. А и В произошли, но мы определяем вероятность того, что перед В было А. Если А и В независимы, то
P( A / B )  P( A)
P( A / B)  P( A) и наоборот.
Имеется n несовместных событий A1 , A2 ,..., An с вероятностями появления P( A1 ), P( A2 ),..., P( An ) и пусть
P( B / A1 ), P( B / A2 ),..., P( B / An ) – условные вероятности осуществления события В с одним из n событий
A1 , A2 ,..., An . (Т.е. события В и А1, В и А2,…, В и Аn – зависимы и совместны).
4
n
Тогда вероятность осуществления события В: P ( B )   P ( Ai ) P ( B / Ai ) (9) – формула полной вероятности.
i 1
( P( Ai ) P( B / Ai ) - вероятность того, что произойдет В и Ai , P(B) – по другому – вероятность того, что В произойдет
с любым из Ai ).
Пусть событие В произошло – это изменит вероятности P( A1 ), P( A2 ),..., P( An ) . Надо найти условные
вероятности P( A1 / B), P( A2 / B),..., P( An / B) осуществления события Ai , i=1,n при условии, что В произошло
(т.е. если В произошло, то надо найти вероятность того, что ему предшествовало появление именно
события Ai ). Формула Байеса (из (9) и (8)): P( A / B)  P( Ai ) P( B / Ai ) (10),
i
n
 P( A j ) P( B / A j )
j 1
где P( Ai ) – вероятность появления события Ai до того как произошло В, i=1,2,…,n. ( P( Ai / B) – как бы
является удельным весом вероятности P( Ai ) в сумме всех вероятностей P( A j ), j  1, n ).
Производится n независимых опытов, имеющих два возможных исхода – появление и не появление
события А (вероятность появления p , не появления q=1-p). Вероятность того, что при испытаниях
событие А наступает (А появляется из раз), а при испытаниях не наступает (формула Бернулли):
n!
n(n  1)( n  2)...( n  [m  1]) - число сочетаний из m элементов
Pnm ( A)  C nm p m q n m (11), где Cnm 

m!(n  m)!
1  2  3...m
90  89  88
100  99  98  97
3
1
4
в n. Пример: C90
;

 117480; C10
 10 / 1; C100

1 2  3
1 2  3  4
Cnm  Cnnm ; Cn0  Cnn  1; Cn1  n; Cnm  Cnm1  Cnm11 , 0  m  n .
Вероятность Pn1 ( A) того, что в результате n независимых опытов событие А произойдет хотя бы один
раз (может и больше): Рn(A)=1-qn, где q - вероятность не появления события А в первом испытании, qn вероятность того, что А не произойдет ни разу, 1-qn - вероятность того, что А произойдет один раз, или два
раза ... или все n раз. Пример. А - разрушение здания в сейсмическом районе, p=0.1 - вероятность разрушения его в
течение первого года. Тогда q=1-p - вероятность не разрушения в течение первого. Тогда Р 2(А)=1-0.92=0.19, Р3(А)=10.93=0.271, Р10(А)=1-0.910=0.651, Р20(А)=1-0.920=0.878, Р50(А)=1-0.950=0.995, где Pn(A) – вероятности разрушения
здания за n лет. Т.о. функция надежности (зависимость вероятности не разрушения от пройденного количества лет) от
значения 1 асимптотически приближается к ОХ.
3. Характеристики распределения с. в.
С. в. Х (одномерная) - величина, могущая принять различные вероятные значения х на некотором
интервале (-х), т.е. х - возможное значение с.в. Х. С.в. может быть дискретной и непрерывной.
Вероятностные свойства с.в. Х характеризуются функцией распределения Р(x) (интегральная функция
распределения). Значение функции Р(x) равно вероятности обнаружить с.в. Х<х (или что тоже на интервале
-,х) т.е. Р(x)=Prob(X<x), где х - конкретная детерминированная величина. Если с.в. Х может принимать
лишь дискретные значения х1,х2,...,хn с вероятностями р1,р2,...,рn, то функция
распределения представляет собой сумму вероятностей тех значений хk,
которые меньше х. P( x )   pi . На рисунке Prob(Xx3)=Р(х3)=0.5, (т.е. Х=х1
xi  x
или Х=х2 или Х=х3). Prob(X=x4)=0.6-0.5=0.1 (скачок равен вероятности
появления значения х4).
Функция распределения числа m наступления события в
последовательности n независимых испытаний (согласно
формуле (11)).
Биномиальный закон распределения:
0 при x  0;


P( x)   Cnm p m q nm , при 0 < x  n; X  np, Dx  npq .
 n x
1 при х > n, где q = 1 - p.
Если с.в. Х непрерывна, то функция распределения
имеет вид (см. рис. ). Свойства функции распределения:
1) Р(х) - неубывающая функция аргумента х (т.е. при
x2>x1 P(x2)=Prob(X<x2)>P(x1)=Prob(X<x1);
2) При x=- P(x)=0;
3) При x=+ P(x)=1;
4) Prob(x1<Xx2)=P(x2)-P(x1) (14);
5
5) Prob(X=x1)=0. Вероятность обнаружить число, например 241.000... равно 0. Однако, делая измерения мы
округляем значения, тем самым, увеличивая вероятность их появления. Например, округленное 241.0 содержит
значения от 240.9500... до 241.04999...  и вероятность попадания числа в этот интервал не равна 0.
Распределение с.в. Х характеризуется также функцией плотности
распределения с.в. Для дискретных значений с.в. функция плотности
распределения может задаваться таблично.
График функции р(х)=рi при x=xi изображен на рис. .
Т.к. возможные значения xi с.в. образуют полную группу несовместных
событий (т.е. в каждом из n испытаниях с.в. обязательно примет одно из
значений xi с определенной вероятностью), то
n
p
i
 1 , где n - число
i 1
испытаний. Для непрерывной с.в. функция плотности
распределения имеет вид:
Если функция распределения с.в. Р(х) - непрерывна,
dP( x )
то p( x ) 
(15) или
dx
Pr ob( x  X  x  x ) dP( x )
. По
p( x )  lim

x0
x
dx
непрерывной кривой плотности распределения, в отличие
от дискретной, вероятность обнаружить точное число х2
равна нулю. При помощи функции р(х) вероятность
обнаружить с.в. Х в бесконечно малом интервале x<X<x+dx равна Prob(x<X<x+dx)=p(x)dx (площадь
прямоугольника, dx0). То же в конечном интервале x1<X<x2:
Pr ob( x1  X  x2 ) 
x2
 p( x )dx
(16) (Геометрически это заштрихованная площадь под кривой плотности
x1
распределения). Из (15) следует, что P( x ) 
x
 p( x)dx
(17),

поэтому функцию распределения называют еще интегральной функцией распределения.
Свойства функции плотности распределения:
1) Плотность распределения вероятностей - неотрицательная функция р(х)0.

2)
 p( x)dx  1
(18), что эквивалентно Р()=1.

Размерность р(х) обратная размерности с.в., а Р(х) - безразмерна.
4. Числовые характеристики распределения
1) Математическое ожидание с.в. Х (arithmetical mean)
m
- дискретной M ( x)   xi pi (19) при этом
i 1
- непрерывной X 
m
p
i
 1 (М(x) - случайна при n).
i 1

 xp( x)dx, (20).

Математическое ожидание
X - достоверная величина т.к. вероятность того, что при n= испытаниях мы получим
среднее арифметическое М(X)= X равна 1.
М(с)=с, М(сx)=сМ(x), где с – неслучайное число. Для независимых с.в. Х1 и Х2 М(x1+x2)=М(x1)+М(x2),
М(x1x2)=М(x1)М(x2), М(x2)=[М(x)]2+D(x).
К математическому ожиданию стремится среднее арифметическое наблюдаемых значений с.в. при
количестве испытаний n. Геометрически м.о. - абсцисса ц.т. площади под кривой плотности
распределения. Размерность м.о. совпадает с размерностью с.в.
2) Дисперсия с.в. Х - м.о. квадрата отклонения с.в. Х от ее м.о. (или центра распределения):
D(x)=M[x-M(x)]2=M(x2)-M2(x), т.к. M[x-M(x)]2=M[x2-2xM(x)+M2(x)]=M(x2)-2M2(x)+M2(x),
M[2xM(x)]=2M2(x) и M[M(x)]=M(x).
n
Дисперсия дискретной с.в. Х D( x)   ( xi  M ( x)) 2 pi (21) - случайна при n. Дисперсия непрерывной с.в.
i 1


Х: D( x)   ( x  X ) 2 p ( x)dx   x 2 p( x)dx  x 2 (22), (дисперсия непрерывной с.в. - достоверна).


D( x)  M [( x  X ) ], при X  0 D( x)  M ( X 2 ), X - математическое ожидание. Дисперсия характеризует
разброс с.в. вокруг ее среднего значения (математического ожидания). D(c)=0, D(cx)=c2D(x), D(c+x)=D(x).
2
6
Док-во: D(cx)=M[cx-M(cx)]2=M[c2x2-2cxM(cx)+M2(cx)]=c2M(x2)-M[2c2xM(x)]+M[c2M2(x)]=c2M(x2)2c2M2(x)+c2M2(x)=c2[M(x2)-M2(x)]=c2D(x). D(c+x)=M[c+x-M(c+x)]2=M[c+x-c-M(x)]2=M[x-M(x)]2=D(x).
Для независимых с.в. Х1 и Х2 D(x1±x2)=D(x1)+D(x2). Геометрически дисперсия - центральный момент
инерции площади под кривой плотности распределения. Размерность дисперсии - квадрат размерности с.в.
3) Среднеквадратическое отклонение (стандарт):  ( x)  D( x) .

4) Асимметрия непрерывной с.в. Х: A( x )  ( x  X ) 3 p( x )dx (23). Если с.в. Х распределена симметрично


относительно своего м.о., то А(х)=0.
5) Коэффициент изменчивости (вариации) с.в. Х - отношение стандарта к м.о.: V ( x )   ( x ) / X  1 (24).
5. Случайная векторная величина двух измерений
На практике решаются задачи, в которых результат опыта описывается не одной с.в., а двумя или более
с.в., образующими систему. При этом свойства системы нескольких с.в. могут включать и взаимные связи
(зависимости) между ними.
Если с.в. X и Y принимают дискретные значения xi, yj и каждой паре значений (xi,yj) соответствует
определенная вероятность pij, то можно составить таблицу распределения
вероятностей дискретной двумерной с.в.
Очевидно
m
n
 p
i 1 j 1
ij
 1 . Значение функции Р(x,y) равно вероятности
обнаружить с.в. Х<х и с.в. Y<y, т.е. P(x,y)=Prob(X<x,Y<y).
Свойства функции распределения Р(x,y):
1) Р(х,y) - неубывающая функция своих аргументов, т.е. при х2>x1 P(x2,y)>P(x1,y) или при y2>y1
P(x,y2)>P(x,y1);
2) P(x,-)=P(-,y)=P(-,-)=0;
3) P(x,+)=P(x), P(+,y)=P(y) - если один из аргументов равен +, то функция распределения Р(х,y)
превращается в функцию распределения другой с.в.;
4) P(+,+)=1.
Плотность распределения системы двух с.в. (вторая смешанная производная P(x,y) по x и затем по y ).
 n P( x1 , x2 ,..., xn ) ,  2 P  2 P .
 2 P( x, y ) (25)(15) или в общем виде

p( x1 , x2 ,..., xn ) 
xy
xy yx
x1x2 ...xn
Геометрически p(x,y) можно представить поверхностью (поверхность распределения - по ОХ и OY
откладываются значения с.в. X и Y, по Z - вероятность их появления, см. рис. ). Из (25) следует
p ( x, y ) 
x y
P ( x, y ) 
  p( x, y)dxdy (26)(17). Вероятность обнаружить двумерную с.в. (X,Y) в области D:
 
Prob((X,Y)D)=  p( x, y)dxdy (27)=(16). Вероятность обнаружить точку М с координатами х1,х2,...,хn в nD
n раз
мерном объеме V: Prob(MV)=  ...  p( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn (27)-стр. 21 [7]. Далее, аналогично (18)
V
 
  p( x, y)dxdy  1 (28), т.е. геометрически объем под поверхностью распределения равен 1. В общем виде
 
имеем n-кратный интеграл
 n раз 
 ...  p( x , x ,..., x )dx dx ...dx
1

2
n
1
2
n
 1 (28).

Если известен закон распределения системы двух случайных величин p(x,y), то
можно определить законы распределения отдельных величин, входящих в


p
(
x
)


 p( x, y)dy


систему:
(29).


 p( y )  p( x, y )dx




Тоже в общем виде: p( xi ) 



...
 p( x , x ,..., x
n 1 pa3


1
2
n
)dx1 dx 2 ...dxi 1dxi 1 ...dx n (29). Но для
того, чтобы по заданным законам распределения отдельных с.в., входящих в систему,
Линии регрессии для
независимых с.в. X и Y
7
определить законы распределения системы с.в., надо знать зависимость между величинами, входящими в
систему.
Условный закон распределения с.в. Х, входящей в систему (X,Y) - закон ее распределения, вычисленный
при условии, что другая с.в. Y приняла определенное значение. Условный закон распределения можно
задавать функцией P(x/y) и плотностью p(x/y) распределения. Геометрически функция плотности
распределения p(x/y) представляет собой сечение поверхности распределения при y=const. Сечения
поверхности распределения плоскостями x=const и y=const дают соответственно условные плотности распределения
p(y/x) величины Y при определенных значениях x и условные
плотности распределения p(x/y) величины X при определенных
0,35
0,35
значениях y. Если X и Y - зависимые с.в., то кривые плотности
0,3
0,3
распределения p(y/x) изменяются при изменении x, а кривые
0,25
0,25
0,2
плотности распределения p(x/y) изменяются при изменении y.
0,2
0,15
М.о. этих кривых при таких изменениях образуют линии
0,15
0,1
0,1
регрессии 1 и 2. В случае независимости X и Y линии регрессии
0,05
0,05
0
представляют собой прямые x  X и y  Y , параллельные осям
0
2
координат. При наличии функциональной связи (а не
2
1
1
0
стохастической) между X и Y обе линии регрессии сливаются в
0
-1
одну - y=y(x), при этом поверхность плотности распределения
-1
-2
-2
может быть заменена кривой плотности распределения X или Y
-3 -3
вдоль линии y=y(x).
Поверхность плотности распределения p(x,y)
С учетом вышесказанного плотность распределения
системы двух с.в. равна плотности распределения одной из
них, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что
первая величина приняла заданное значение: p(x,y)=p(x)p(y/x) (30)=(7)
или в общем случае p(x1,x2,...,xn)=p(x1,x2,...,xi/xi+1,xi+2,...,xn)p(xi+1,xi+2,...,xn) (30).
Для независимых с.в. p(x,y)=p(x)p(y) (31)=(3) - плотность распределения системы независимых с.в.
равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.
6. Числовые характеристики распределения системы двух с.в.
1) М.о. X 

Xi 
 
 
 
 

 x  p( x, y)dxdy , Y 

 ...  x
i
  y  p( x, y )dxdy (32) или в общем виде
 p( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn (32). Геометрически точка ( X ,Y ) является проекцией на
 n рa3 
плоскость XOY центра тяжести объема, ограниченного поверхностью распределения p(x,y).
2) Дисперсия: D( X ) 
 

2
 ( x  X )  p( x, y)dxdy,

3) Корреляционный момент с.в. X и Y:
 
D(Y ) 
 (y Y )
2
 p( x, y )dxdy (33).

 
Kx y 
  ( x  X )( y  Y )  p( x, y)dxdy (34).
  
Корреляционный момент характеризует стохастическую зависимость между с.в. а также рассеивание.
Корреляционный момент - м.о. произведения отклонений двух с.в. от их м. ожиданий
K x y  M [( X  X )(Y  Y )] , при X  Y  0 K xy  M [ XY ] . Корреляционный момент - достоверная величина.
Если зависимости между X и Y нет, то Kxy=0, но из того, что Kxy=0 не следует независимость X и Y.
С.в. - 1) Независимы, т.е. не коррелированы Kxy=0; 2) Зависимы и коррелированы Kxy0; 3) Зависимы и не
коррелированы Kxy=0 (если поверхность плотности распределения симметрична относительно осей координат OX и
OY, т.е. M(X)=M(Y)=0).
Kx y
, где  - стандарт. -1rxy1 - характеризует степень тесноты
 x y
линейной зависимости между с.в. rxy=1 при Y=aX+b (линейная функциональная стохастическая связь). При
нелинейной функциональной связи rxy<1. При отсутствии стохастической связи rxy=0 - необходимое, но
недостаточное условие независимости X и Y.
Систему n с.в. можно охарактеризовать n м.о. X i , n дисперсиями D( X i ) и n(n-1) корреляционными
4) Коэффициент корреляции: rx y 
моментами KXiYj ij (при этом KXiYj=KXjYi).
7. Функции с.в.
Функция с.в. будет также случайной величиной Y=(X). Ее распределение соответствует
распределению аргумента, но с измененной шкалой абсцисс. P(y)=Prob(Y<y)=Prob((X)<y).
8
y
P( y ) 

 p[ ( y )] ( y ) dy (36)=(17), где (пси) (y) - функция обратная (х) (замена под интегрального

выражения x=(y), dx=(y)dy). Если Y=(X), где ( ) - монотонная функция своего аргумента, то
распределение Y определяется тем, что вероятность нахождения y в пределах y1<Y<y2 равна вероятности
неравенства х1<X<x2, где y1=(x1) и y2=(x2). М.о. и дисперсия с.в. Y:

Y    ( x) p( x)dx, D(Y ) 


Y 
 yp( y)dy,

 ( ( x)  Y )
2
p ( x)dx (37)=(20) и (22). Доказательство (37):

y   ( x)  dy   ( x)dx, (40)  p( y )  p( x) ( y ) 


 Y    ( x) p( x) ( y ) ( x)dx.

Для линейной функции Y=aX+b из (37) и (18) следует

Y




 ax  b p( x)dx  a  xp( x)dx  b  p( x)dx  a X  b

 ax  b  a X  b  p( x)dx  a  x  X  p( x)dx  a D( x) .

D(Y ) 
и D(Y)=a2D(X) (38). Доказательство (38):

2
2

2
2

Для функции Z=(X,Y) двух случайных аргументов м.о. и дисперсия
 
Z
   ( x, y ) p( x, y)dxdy,
 
D( Z ) 
 
  [ ( x, y)  Z ]
2
p( x, y )dxdy (39).
 
Если Z=(X,Y)=X+Y и X и Y - независимы, то м.о. Z  X  Y и дисперсия суммы независимых с.в.
величин D(Z)=D(X)+D(Y).
Плотность распределения непрерывной с.в. Y, связанной монотонной функциональной зависимостью
Y=(X) с непрерывной с.в. Х: p( y )  p( x ) d ( y ) или p( y )  p[ ( y )] d ( y ) (40),
dy
dy
где x=(y) - функция обратная y=(x). Для линейной функции y=ax+b из (40) следует p(y)=(1/a)p(x) (40).
Если Y=(X/R) и p(x/r) - условная плотность вероятности с.в. Х, входящей в систему (X,R), то условная
плотность вероятности с.в. Y - p( y / r )  p[ ( y / r )] d ( y / r ) , где (y/r) - функция обратная Y=(X/R), а
dy
безусловная плотность вероятности с.в.Y: p( y ) 

 p( y / r) p(r)dr , где p(r) - плотность вероятности с.в. R.

Если имеются функции с.в. U=U(X,Y) и V=V(X,Y), то зная совместную плотность распределения p(x,y),
совместная плотность распределения U и V: p(U ,V )  p( x, y ) dx  dy  p( x, y ) x  y  x  y  (41) (в
dU dV
 U V V U 
x
скобках - Якобиан

U
J (U , V ) 
y
U
дисперсия D(U ) 
 

2
 [U  U ] p(U , V )dUdV   (41) 
 
момент KUV 
 
  U  X V  Y p( x, y)dxdy .
 
 
x
U    Up(U ,V )dUdV   (41) 
V ). М. ожидания:
  
 
y

U

  U ( x, y) p( x, y)dxdy, V 
V
  
 
  [U ( x, y)  U ]
 
2
(42),
 
  V ( x, y) p( x, y)dxdy
  
p( x, y )dxdy , корреляционный
9
В случае линейного преобразования U=a1X+b1Y+c1 и V=a2X+b2Y+c2

p ( x, y )
U  b1Y  c1
U  a1 X  c1  по (41) и (42) имеем:
(43), U  a1 X  b1Y  c1 и
 X 

p (U ,V ) 
,Y 
a1b2  a2b1
a1
b1


V  a2 X  b2Y  c2 (44). Дисперсия
 
 
 
 
D(U ) 

2
2
 [U  U ] p( x, y)dxdy    (a1 x  b1 y  c1  a1 X  b1Y  c1 ) p( x, y)dxdy 
 

  a ( x  X )  b ( y  Y )
2
1
1
p( x, y )dxdy 
 
 

  a
2
1

( x  X ) 2  2a1b1 ( x  X )( y  Y )  b12 ( y  Y ) 2 p( x, y )dxdy a12 D( X )  2a1b1 K XY  b12 D(Y ).
 
U 
Доказательство (44)
 
 
 
 
 
 
  a1 x  b1 y  c1  p( x, y)dxdy    a1 xp( x, y)dxdy    b1 yp( x, y)dxdy 
 
 c1   p( x, y )dxdy  a1 X  b1Y  c1 .
 

1
Запишем еще раз дисперсии и корреляционные моменты: D(U )  a12 D( X )  2a1b1K XY  b12 D(Y ) ,
D(V )  a22 D( X )  2a2b2 K XY  b22 D(Y ) , KUV  a1a2 D( X )  (a1b2  a2b1 ) K XY  b1b2 D(Y ) (доказать самостоятельно).
Зная плотность распределения p(U,V), где U=U(X,Y) и V=V(X,Y), можно определить плотность


распределения p(U) или p(V): p(U )  p( x, y ) x dy  p( x, y ) y dx .
 

U
U
 
 

x through Uand y
y through Uand x
Пример (стр.23 [7]). Стержень нагружен изгибающим моментом Mb и крутящим моментом Mt, и есть их
совместная плотность вероятности pq(Mb,Mt). Кроме того, моменты Mb и Mt стохастически независимы и
 1  M 2 M 2 
1
подчиняются центрированному нормальному распределению: pq ( M b , M t ) 
exp   2b  2t  ,
2 b t
 2   b  t 
где b и t – стандарты Mb и Mt.
Опасное состояние стержня достигается при превышении некоторой функцией этих моментов
предельного значения Mr>Mr,lim, зависящего от свойств материала и геометрии сечения стержня. Например,
для стержня круглого сечения из пластического материала эта функция может быть взята в виде
M r  M b2  M t2 , где Mr – приведенный момент, определенный в соответствии с критерием текучести,
основанном на наибольших касательных напряжениях. Касательное напряжение от крутящего момента
M y
  t , где I - полярный момент круглого сечения, y – радиус окружности, содержащей
I
рассматриваемую точку, =max при y=r (r – радиус стержня). Нормальное напряжение от изгибающего
момента   M b / Wx . Для расчета надежности стержня необходимо знать плотность вероятности pu(Mr)
приведенного момента Mr.
Перейдем к полярным координатам, положив M b  M r cos  , M t  M r sin  , где 02. Согласно (41)
совместная плотность распределения с. в. Mr и : pu ( M r , )  pq ( M r cos , M r sin  ) ( M r cos , M r sin  ) .
 ( M r , )
Используя pq ( M b , M t ) и замечая, что якобиан преобразования
 ( M r cos  , M r sin  ) M r cos  M r sin  M r cos  M r sin 




 cos   M r cos   M r sin  sin   M r ,
(M r , )
M r


M r
 1  M 2 cos 2  M r2 sin 2  
 M r 
exp   r 2

2
2 b t
2


b
t


найдем
2
2
2
2
2
 M  sin    t cos  
Mr

exp  r b
.
2 b t
2 b2 t2


Плотность распределения вероятности pu(Mr) определяется интегрированием полученной формулы по
1
pu ( M r ,  )  pq ( M r cos  , M r sin  ) M r 


10
углу : pu ( M r ) 
2
 p (M
u
r
, )d . Используя формулу анализа
0
2
e
 cos
d  2 I 0 ( ) , где I 0 ( ) -
0
функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка, получим окончательно
2
2
2
 M r2  b2   t2   M r  b   t 
Mr
.
pu ( M r ) 
exp 
I0 
2 2
2 2

 b t
4


4


b t
b t

 

2


Если дисперсии моментов Mb и Mt одинаковы, т.е. b=t=, то I0(0)=1 и pu (M r )  M2r exp  M r2  . При

 2 
этом приведенный момент подчиняется распределению Релея.
8. Законы распределения с.в.
1. Равномерное распределение вероятностей
Для него вероятность того, что с.в. Х попадет в интервал Х: Prob(Х)=(-)/(b-a). Функция
0, x  a;
xa
распределения P ( x) 
, a<x<b. Функция плотности распределения (вероятности): p( x)  c, a  x  b;
ba
0, x  b.

2
М.о. и дисперсия: M ( x)  a  b , D( x)  (b  a) .
2
12
2. Нормальное распределение
 (x  X )2 
1
Плотность распределения: p( x) 
exp 
 (45).
2
 ( x) 2
 2 ( x) 

 

1
1
Точки перегиба кривой плотности распределения:  X   ( x);
 и  X   ( x);
.



 ( x) 2 
 ( x) 2  

Функция распределения:
x
 (x  X )2 
1
P( x ) 
exp

 dx (46), где X - м.о., (х)
2
 ( x) 2   2 ( x) 
– стандарт. Чем больше (х), тем ниже и шире кривая
плотности распределения. Плотность n-мерного
нормального распределения:
 1 n

1
p( x1 , x2 ,..., xn ) 
exp
A jl ( x j  X j )( xl  X l )


n/2
(2 )

 2 j , l 1

, где  - определитель корреляционной матрицы k jl , а Ajl
– алгебраическое дополнение элемента kjl-того определителя.
Р(х) можно выразить через интеграл вероятности Гаусса
z
x X 
1
1
 (48).
Ф( z ) 
exp( 0.5 z 2 )dz (47) - P( x)   Ф


2
2 0
  ( x) 
Функция (47) – нечетная (Ф(-z)=-Ф(z)), имеются таблицы ее
значений.
Вероятность попадания с.в. Х в интервал (a,b) b X 
a X 
  Ф
 (49).
Pr ob(a  x  b)  Ф

  ( x) 
  ( x) 


Если b-a=6(X), то вероятность того, что с.в. Х окажется в
интервале X  3 ( X ) равна 0.9973. Линейные функции с.в., подчиняющихся нормальным законам
распределения, имеют также нормальный закон распределения.
Как показал Ляпунов в случае, если число n безгранично увеличивается, кривая плотностей вероятностей суммы
не зависит от кривых плотностей вероятностей, слагаемых при некоторых предположениях, и представляет собой
нормальную кривую (45). Условия: слагаемые величины х=х1+х2+...+хn (xi, i=1,2...n) в среднем одного порядка и
одного порядка некоторые характеристики слагаемых - вторые и третьи моменты. Т.о. если с.в. образуется из суммы
большого числа независимых, неограниченных случайных переменных факторов, то ее закон - близок к нормальному,
т.е. в действительности многие переменные представляют собой результат простого суммирования многих
независимых факторов. Закон больших чисел: Pr ob( X  x) 
3. Усеченный нормальный закон


X
D( X )
, Pr ob x  X   
, (Pr ob( X  0)  0 .
x
2
11
Если известны границы возможных значений с.в. (a,b), то

 ( x  X )2 
exp 


2
1
 2 ( x) 
 p ( x) 
, a  x  b (50). Закон используется для описания реальных
 c
 ( x) 2   b  X 
 a  X 

  Ф

Ф

  ( x) 
 ( x) 






 pc ( x)  0, x  a, x  b.
величин, распределенных нормально (например, не могущих принимать отрицательные значения).
4. Логарифмически нормальное распределение
Если некоторая с.в. Х распределена по нормальному закону (45), то ее
экспоненциальная функция Y=exp(X) (51) (X=ln(Y)) распределится по
закону (используем (40)):
 (ln y  X ) 2 
dx
1
x
p ( y )  p ( x) 
exp 
, y  e (52).
2
dy y   ( x) 2
2 ( x) 



М. о. и дисперсия: Y  exp X  0.5 2 ( x) ,


D(Y )  exp 2 X  D( X ) exp D( X )  1 (53).
Коэффициент вариации: V (Y )  exp D( x)  1 .
Изменению Х по нормальному закону (45) в пределах (-,)
соответствует изменение Y по закону (52) в пределах (0,+).
5. Распределение Вейбулла
В теории хрупкого разрушения и других отраслях техники нашло
применение распределение Вейбулла. Интегральная кривая
распределения: P( x)  1  exp( cx b ), c  0, b  0, 0  x   (54).
Плотность распределения:
p( x)   exp( cx b )b(cx b1 )  bcx b1 exp( cx b ) (54).
В выражения для числовых характеристик распределения Вейбулла


входит гамма-функция Г ( )  x 1e  x dx (56), для которой имеются
0
табличные значения.
6. Распределение Гумбеля (двойное экспоненциальное
распределение)
Используется при статистическом анализе снеговых нагрузок на
сооружения. Функция распределения (интегральная):

   x 
 (57)
P( x)  exp  exp 
  

Значению x= соответствует вероятность не превышения , равная P()=exp(-exp0))=exp(-1)=1/e=0.36788.
Значению x=0 соответствует вероятность не превышения 0, равная P(0)=exp[-exp(/)].
 x
e
  x 


Плотность распределения: p( x)  dP  e    e    1   1  exp   x  exp    x  (58). В (58) -<x<,





   
dx
  
 


-<<, >0.
Если возвести в n-ную степень (57), то интегральная кривая не изменит своего вида, а только сместится
вдоль оси на величину ln(n):
n
 x
 x
  x   ln n
ne
e
ln n
e
 e x 

   x   ln n 
n





 (59). Параметры  и 
P ( x)  e
e
e
e
 exp  exp 








связаны с м.о. X и дисперсией D(x): X    0.5776  , D( X )  1.645 2 (60).
12
7. Распределение максимумов случайных величин
Рассматривается n статически независимых с.в. Xi (i=1,2,…,n) и
имеется вероятность того, что ни одна из них не превысит х.
Вероятность не превышения х величиной XiProb(Xi<x)=Pi(x),
где Pi(x) – интегральный закон распределения Xi. Вероятность не
n
превышения х ни одной из величин Xi: Pn ( x)   Pi ( x) (61),
i 1
где Pn(x) – интегральный закон распределения максимумов
совокупности n с.в. Xi. Тогда плотность распределения
n
d  Pi ( x)
n
n
pi ( x) (62).
dx
i 1 Pi ( x )
i 1
p3 ( x)  p1 ( x) P2 ( x) P3 ( x)  P1 ( x) / P1 ( x)  P1 ( x) p2 ( x) P3 ( x)  P2 ( x) / P2 ( x)  P1 ( x) P2 ( x) p3 ( x)  P3 ( x) / P3 ( x) 
вероятностей: pn ( x) 
i 1
  Pi ( x)
Для 3-х с.в.
 p ( x) p2 ( x) p3 ( x) 
.
 P1 ( x) P2 ( x) P3 ( x) 1


 P1 ( x) P2 ( x) P3 ( x) 
Если закон распределения всех с.в. Xi одинаков, то Pn ( x)  P n ( x), pn ( x)  nP n1 ( x) p( x) (63),
где Pn(x) и pn(x) – интегральная функция распределения и плотность распределения максимумов,
получаемых при n реализациях одной и той же с.в. Xi. М.о. и дисперсия максимума в n опытах:
Xn 




n 1
2
2 n 1
 xpn ( x)dx  n  xP ( x) p( x)dx (64), Dn ( x)   ( x  X ) pn ( x)dx  n ( x  X n ) P ( x) p( x)dx (65).
8. Распределение Пуассона
Это дискретное распределение описывает число событий, происходящих в одинаковых промежутках
времени при условии, что события происходят независимо одно от другого с постоянной интенсивностью.
Вероятность того, что с.в. Х примет значение, равное m (m m
целое число): pm   e  ,   0, m  0,1,2,3...
m!
Распределение зависит от параметра .
Существуют некоторые недостатки при описании реальных
с.в.: так в некоторых законах с.в. может принимать
отрицательные значения (нормальный закон), хотя этими
законами описываются изначально только положительные
величины (предел текучести стали и т.д.). Кроме того,
теоретические распределения допускают, хотя и с малой
вероятностью, возможность сколь угодно больших отклонений
с.в. от среднего значения.
Все теоретические закономерности и законы теории
вероятностей относятся к идеальным схемам. Применяемые
обычно теоретические законы распределения относятся к ситуациям с неограниченным нарастанием числа
случайных факторов или с неограниченным повторением некоторого явления и имеют характер
предельных закономерностей, к которым приближаются реальные распределения.
Кроме перечисленных существуют и другие распределения – Пирсона 3-го рода, Рэлея, Максвелла, Пирсона 2-го рода,
2 (хи квадрат), Стьюдента, Фишера и т.д.
9. Последовательное соединение элементов
При последовательном соединении элементов разрушение происходит по наиболее слабому их них.
Последовательным соединением элементов может быть названо также любое их соединение, образующее
статически определимую систему. (Прочность – случайна,  – напряжение в стержне от фактической
определенной нагрузки).
Интегральный закон распределения прочности i-того элемента системы – Pi() (т.е. вероятность того,
что прочность элемента будет находиться на интервале (-,), т.е. это вероятность разрушения).
Вероятность не разрушения равна 1-Pi() для i-того элемента. Аналогично для всей системы ее вероятность
не разрушения 1-Pc(), где Pс() – интегральное распределение прочности всей системы, состоящей из n
n
последовательно соединенных элементов. Согласно (3) и (4) 1  Pc ( )   1  Pi ( ) (9.1) (Или еще так –
i 1
прочность определена –r, а нагрузка и, следовательно, напряжения от нагрузки случайны, но тогда P(r) – вероятность
не разрушения).
13
Предполагается, что прочность каждого элемента является независимой с.в. Если все элементы
имеют одинаковые распределения своей прочности, выраженной через внешнюю нагрузку
(Pi()=P1(), i=1,2,…,n), то вероятность не разрушения 1-Pc()=[1-P1()]n (9.2),
где P1() – интегральное распределение прочности каждого элемента. Распределение плотности
вероятности разрушения системы: pc()=n[1-P1()]n-1p1() (9.3),
где p1() – плотность распределения прочности каждого элемента. Если прочность элементов
подчиняется распределению Вейбулла (54) P1()=1-exp(-cb) (9.4), то подставив (9.4) в (9.2) получим
(вероятность разрушения системы) Pc()=1-exp(-cnb)=1-exp(-cyb) (9.5),
где y   b n , т.е. распределения Pc() и P1() различаются лишь масштабом вдоль оси , который
для случайной величины прочности системы Rc в b n раз меньше, чем для случайной величины
прочности элемента R1. Следовательно, в этом отношении изменяются (при переходе от одного
элемента к системе последовательно соединенных элементов) и м.о. и стандарт прочности Rc  R1 ,
b
n
 (R )
 ( Rc )  b 1 (9.6).
n
Если стержни системы сделаны из одного материала, но имеют различные поперечные сечения, то
n
формула вероятности не разрушения системы: 1  Pc ( )   1  P1 ( i ) (9.7),
i 1
F  N i1
где  i 
(в каждом стержне свое конкретное напряжение). Здесь F – внешняя нагрузка;
Ai
i – напряжение, вызываемое усилием F  N i1 в i-том стержне;
N i1 - усилие в i-том элементе от внешней нагрузки F=1; Ai – площадь сечения i-того стержня.
В случае, когда прочность материала подчиняется распределению Вейбулла (9.4), вероятность не
разрушения системы (подставим (9.4) в (9.7)):
b
n
n
n

 N i1  

b
b
b
  (9.8)
1  Pc ( )   exp  c i   exp   c i   exp  cF  

i 1  Ai  
i 1
 i 1 

R
 ( R)
Тогда м.о. и стандарт прочности системы: R 
,  (R ) 
(9.9)
c
c
b
1
1 b
n
n
 Ni 
 Ni 
b
b






i 1  Ai 
i 1  Ai 
Пример. Дано: металлическая статически определимая ферма. Нагрузка и размеры – детерминированы,
прочность всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь
С245, Ry=240МПа, Ry  260 МПа – м.о. предела текучести; (Ry)=20МПа, тогда
V(R y )   ( R y ) / R y  20 / 260  0.077 (7.7%). Для стали обычно V(x)=2-3%, для бетона максимально
V(x)=13.5%. Обычным путем получены усилия, подобраны сечения и найдены напряжения в стержнях
фермы. Необходимо найти вероятность не разрушения (надежность) фермы.
Элемент
ВП
НП
Ст.
Рас.
3-5
5-7
1-4
4-6
4-5
1-3
3-4
4-7
Расчетное
усилие, кН
-316
-316
232.2
313.2
-60.81
-313.8
148.2
-30.7
Унифицированное
сечение
2L100x7
2L75x5
2L50x5
2L90x6
2L50x5
2L63x5
Площадь
А, см2
25.6
25.6
14.78
14.78
9.6
21.2
9.6
12.26
Напряжение
, МПа
-220.4
-220.4
157
212
-141
-221
154.3
-104.4
Ry
c
n
228
Вероятности
разрушения
0.0239
0.0239
0
0.0082
0
0.0256
0
0
Функция распределения прочности элементов: P( ) 
1
 Ry  2


 exp 
  R  d , где  2 R  

14
2
y
2
y

напряжение, действующее в стержне. Значение P() – есть вероятность того, что случайный предел
текучести Ry будет меньше действующего напряжения , т.е. вероятность разрушения. Через интеграл
   Ry 
 . Определим вероятности разрушения каждого стержня:
вероятности Гаусса: P ( )  1  Ф
  R  
2
y


1
1
 220.4  260  1
3  5 : P(220.4)   Ф
   Ф 1.98   Ф1.98  0.0239 ;
2
20
2

 2
1
 157  260  1
1  4 : P(157)   Ф
   Ф 5.15  0.5  0.5  0 ;
2
20

 2
1
 212  260  1
4  6 : P(212)   Ф
   Ф 2.4  0.5  0.4918  0.0082 ;
2
20

 2
1
 141  260  1
4  5 : P(141)   Ф
   Ф 5.95  0.5  0.5  0 ;
2
20

 2
1
 221  260  1
1  3 : P(221)   Ф
   Ф 1.95  0.5  0.4744  0.0256 ;
2
20

 2
3  4 : P(154.3)  0 , 4  7 : P(104.4)  0 .
Тогда по (9.1) вероятность не разрушения фермы (надежность): 1-Pc(r)=(1-0.0239)4(1-0.0082)2(10.0256)2=0.8478. Ферма обладает такой надежностью в случае действия максимальных нагрузок,
вероятность появления которых невелика, поэтому действительная надежность фермы больше. Кроме того,
ферма не является в действительности статически определимой системой и появление в стержне
напряжения равного пределу текучести не есть еще разрушение этого стержня.

10. Параллельное соединение элементов
Считаем элементы идеально хрупкими, модуль упругости и площадь сечения элементов одинаковыми и
детерминированными. Известна функция распределения прочности Pr(R) и плотность распределения pr(R),
r
Pr ( R)   pr ( R)dr; (0  R  ) (10.1). Внешнее усилие N распределяется поровну между всеми n
0
элементами, в которых напряжения не достигли предельных. При напряжении  из строя выходит nPr()
элементов (произведение общего количества стержней на вероятность выхода из строя одного) и м.о.
воспринимаемого усилия: N  Fn1  Pr ( ) (10.2) или т.к.     E , то N  EF  n1  Pr ( ) (10.3).
Уравнение (10.3) описывает диаграмму работы системы n параллельно соединяемых хрупких элементов,
т.е. кривую состояний равновесия этой системы. Pr() – вероятность того, что прочность R будет меньше
действующего напряжения , т.е. вероятность хрупкого разрушения стержня, F – площадь поперечного
сечения каждого стержня. Рассмотрим зависимость напряжений от деформаций для хрупкого стержня
=(). Напряжения в стержне – с.в., т.к. его предел прочности R также с.в.
М.о. действующего в стержне напряжения (из 10.2)   N / F    n1  Pr ( ) и при n=1   E1  Pr (E)
(10.4) , где  - м.о. напряжения в стержне при деформации .
Т.к. функция () разрывная, то возможны два события: 1) сопротивление равно E и вероятность этого
1  Pr (E) ; 2) сопротивление равно 0 и вероятность этого Pr (E) , т.е. вероятность хрупкого разрушения
стержня и падения напряжения до нуля. Согласно этому (и используя формулу определения м.о. для двух
случайных событий X  x1 p1  x2 p2 ) м.о.   E1  Pr (E)  0 (идентично 10.4). Дисперсия  (используя
формулу для дисперсии D( X )  p1 x1  X   p2 x2  X  ): D( )  E1  Pr (E )E  E1  Pr (E )2 
2
 Pr (E )E1  Pr (E )   2 E 2 Pr (E )1  Pr (E ) (10.5). Подобным образом получаем корреляционную
функцию K  ( 1 ,  2 )   1 2 E 2 Pr ( 2 E )1  Pr ( 1 E ) for  2   1 ; K  ( 1 ,  2 )   1 2 E 2 Pr ( 1 E )1  Pr ( 2 E ) for  2   1 .
Данные характеристики относятся к одному хрупкому стержню. В случае n параллельно работающих
стержней сопротивление системы (при одинаковой для всех стержней деформации) равно сумме
2
2
n
сопротивлений составляющих: N ( )  F   i ( ) , где N ( ) и  i ( ) - случайные несущая способность
i 1
системы и действующее напряжение в i-том стержне.
М.о. несущей способности N ( )  n  F ( )  nFE1  Pr (E) , что аналогично (10.2). Дисперсия несущей
способности системы: D( N )  n  D(F )  nF 2 D( ) (см. далее 10.5). При этом предполагается, что
прочность отдельных стержней – независимые с.в.
15
При нормальном распределении м.о. максимальной несущей способности системы:
N  nF R(uV ( R)  1)(0.5  Ф(u)) , где Ф(u) – интеграл вероятности Гаусса, u 
E lim  R
, где R - ожидаемая
 ( R)
прочность одного стержня (м.о.); (R) – стандарт этой прочности; V ( R)   ( R) / R - коэффициент вариации
прочности одного стержня.
2
Дисперсия несущей способности системы: D( N )  nF 2 R (uV ( R)  1) 2 [0.5  Ф(u)][0.5  Ф(u)] .
D( N )
0.5  Ф(u ) .

N
n(0.5  Ф(u ))
Пример. Определим надежность статически неопределимой системы (см. также стр. 136[25])
Дано: нагрузка и размеры – детерминированы, прочность (предел текучести Ry) всех стержней случайна,
независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь
С245, Ry=240МПа, Ry  260 МПа – м.о. предела текучести;
Коэффициент изменчивости несущей способности системы: V ( N ) 
(Ry)=25МПа (достаточно большой разброс), N=130кН, А1=6см2,
А2=10см2, l1=1.5м, l2=1м, а=1м.
Считаем, также, что разрыв стержней происходит хрупко,
динамический эффект хрупкого разрушения не учитываем.
l
l
А) МА=-N3a+N12a+ N2a=0, 1  2 , l1  N1l1 ,
2a
a
EA1
N 2l2
N l  2 A1 и подставляя в уравнение равновесия, получим
 N1  2 2
EA2
A2  l1
150  1  2  6
Nl1  3 A2
3  130  10  1.5
 120 (кН) и напряжения
N2 

 150 (кН), тогда N1 
10  1.5
4 A1l2  A2l1 4  6  1  10  1.5
l2 
 1a 
N1 120  103
N 2 150  103
a
(МПа),


200



 150 (МПа).
2
A1
6  10 4
A2
10 3
Б) В случае хрупкого обрыва стержня 1: МА=-N3a+ N2a=0  N 2 
N  3a
 390 (кН) и напряжение в
a
3
оставшемся стержне 2:  2б  N 2  390 10
 390 (МПа).
A2
10 3
В) В случае хрупкого обрыва стержня 2: МА=-N3a+ N12a=0  N1 
N  3a
 195 (кН) и напряжение в
2a
3
оставшемся стержне 1:  1в  N1  195  10
 325 (МПа).
A1
6  104
Вероятность не разрушения системы определим по формуле полной вероятности (9). Система не
разрушится в трех случаях:
А) не разрушатся и стержень 1 и 2 – вероятность этого Pa;
Б) разрушится стержень 1, но не разрушится стержень 2 – Pб;
В) разрушится стержень 2, но не разрушится стержень 1 – Pв;
А) Ра=(1-Р1(1а))(1-Р2(2а)), где Р1(1а) – вероятность разрушения стержня 1 (т.е. предел текучести будет
меньше действующего напряжения 1).
(1-Р1(1а)) – вероятность не разрушения стержня 1;
(1-Р2(2а)) – вероятность не разрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 не разрушился.
 1
 200  260     1
 150  260   
Pa  1  P1 2001  P2 150  1    Ф
  1    Ф
 
25
25

    2


 2
1
 1

   Ф2.4  Ф4.4  0.5  0.49180.5  0.499991  0.99179
2
 2

Б) Рб=Р1(1а)(1-Р2(2б)), где Р1(1а) – вероятность разрушения стержня 1.
(1-Р2(2б)) – вероятность не разрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 разрушился.
1
  1
 390  260   
Pб  P1 2001  P2 390    Ф2.41    Ф
 
25
2
  2


 0.5  0.49180.5  Ф5.2  0.0082  2.7110 7  2 10 9 .
В) Рв=Р2(2а)(1-Р1(1в)), где Р2(2а) – вероятность разрушения стержня 2.
(1-Р2(2б)) – вероятность не разрушения стержня 1, при условии, что стержень 2 разрушился.
16
1
 1

Pб  P2 1501  P2 325    Ф4.4  Ф2.6  5.377  10 6  0.004654116  2.5  10 8 .
2
 2

Тогда вероятность не разрушения системы (события а, б, в – не совместны):
Рс=Ра+Рб+Рв=0.99179+210-9 +2510-9=0.99179. Значения двух последних слагаемых очень малы, поэтому с
достаточной степенью точности можно сказать, что статическая неопределимость в данной системе почти
не увеличивает ее надежность. Однако, при увеличении степени статической неопределимости увеличение
за счет ее надежности системы более существенно.
На рис. показаны зависимости надежности системы (с параметрами из задачи) от усилия N, от предела
текучести Ry и от стандарта (Ry). Максимальная надежность данной системы наблюдается при
выравнивании напряжений в стержнях, т.е. при l1 / l2  2 . При увеличении разброса прочности (Ry)
увеличивается разброс воспринимаемой нагрузки (кривая зависимости надежности от нагрузки становится
более пологой).
11. Случайные функции
Случайная функция – функция, которая в результате опыта может принять тот или иной неизвестный
заранее конкретный вид. Обычно аргументом случайной функции (с.ф.) является время, тогда с.ф.
называют случайным процессом (с.п.).
С.ф. непрерывно изменяющегося аргумента t называется такая с.в., распределение которой зависит не
только от аргумента t=t1, но и от того, какие частные значения принимала эта величина при других
значениях данного аргумента t=t2. Эти с.в. корреляционно связаны между собой и тем больше, чем ближе
одни к другим значения аргументов. В пределе при интервале между двумя значениями аргумента,
стремящемся к нулю, коэффициент корреляции равен единице: r ( X 1 , X 2 )  k ( X 1 , X 2 )  1 ,
 ( X 1 ) ( X 2 )
т.е. t1 и t1+t1 при t10 связаны линейной зависимостью.
С.ф. принимает в результате одного опыта бесчисленное (в общем случае несчетное) множество значений – по
одному для каждого значения аргумента или для каждой совокупности значений аргументов. Эта функция имеет одно
вполне определенное значение для каждого момента времени. Результат измерения непрерывно изменяющейся
величины является такой с.в., которая в каждом данном опыте представляет собой определенную функцию времени.
С.ф. можно также рассматривать как бесконечную совокупность с.в., зависящую от одного или нескольких
непрерывно изменяющихся параметров t. Каждому данному значению параметра t соответствует одна с.в Xt. Вместе
все с.в. Xt определяют с.ф. X(t). Эти с.в. корреляционно связаны между собой и тем сильнее, чем ближе друг к другу.
Элементарная с.ф. – это произведение обычной с.в. Х на некоторую неслучайную функцию (t): X(t)=X(t), т.е. такая
с.ф., у которой случайным является не вид, а только ее масштаб. С.ф. Y (t )  X (t )  X (t ) - имеет м.о. равное нулю.
p[x(t1)] – плотность распределения с.в. Х (значения с.ф. X(t)), взятой при произвольном значении t1 аргумента t.
Реализация с.ф. X(t) – описывается уравнением x=f1(t) при t=t1 и уравнением x=f2(t) при t=t2. Вообще функции x=f1(t) и
x=f2(t) – различные функции. Но эти функции тождественны и линейны тем более, чем более (t 1t2) t1 ближе к t2.
Одномерная плотность вероятности с.ф. p(x,t) – зависит от х и от параметра t. Двумерная плотность вероятности
p(x1,x2;t1,t2) – совместный закон распределения значений X(t1) и X(t2) с.ф X(t) при двух произвольных значениях t и t

аргумента t. p ( x1 , t1 ) 
 px , x ; t , t dx
1
2
1
2

2
p( x1 (t1 )) 

 px (t ), x
1
1
2
(t 2 ) dx 2 . В общем случае функция X(t)

характеризуется большим числом n-мерных законов распределения px(t1 ), x(t2 ),..., x(tn )  .
Характеристики случайных функций
М.о. с.ф. X(t) - неслучайная функция X (t ) , которая при каждом значении аргумента t равна м.о.
ординаты с.ф. при этом аргументе t. X (t ) 

 x(t ) px(t )dx(t ), px(t )
1
1
1
1

- функция, зависящая от x и t. Аналогично и дисперсия - неслучайная
функция. Степень зависимости с.в. для различных значений аргумента
характеризуется автокорреляционной функцией.
17
Автокорреляционная функция с.ф. X(t) - неслучайная функция двух аргументов Kx(ti,tj), которая при
каждой паре значений ti, tj равна корреляционному моменту соответствующих ординат с.ф. (при i=j
корреляционная функция (к.ф.) обращается в дисперсию
с.ф.); K x (t1 , t2 ) 
 
  x(t )  X (t ) x(t )  X (t )px(t ), x(t )dx(t )dx(t ) (67)=(34), где px(t1 ), x(t2 ) 1
1
2
2
1
2
1
2

совместная плотность распределения двух с.в. (значений с.ф.), взятых при двух произвольных значениях t1
и t2 аргумента t. При t1=t2=t получаем дисперсию D(t).
Автокорреляционная функция - совокупность м.о. произведений отклонений двух ординат с.ф. X (t ) , взятых при
аргументах t1 и t2, от ординат неслучайной функции м.о. X (t ) , взятых при тех же аргументах. Автокорреляционная
функция характеризует степень изменчивости с.ф. при изменении аргумента. На рис. видно, что зависимость между
значениями с.ф., соответствующим двум данным значениям аргумента t - слабее в первом случае.
Корреляционно связанные с.ф.
Если две с.ф. X(t) и Y(t), образующие систему не являются независимыми, то тождественно не равна
нулю их взаимная корреляционная функция:
 
K yx (t2 , t1 )  K xy (t1 , t2 ) 
  x(t )  X (t ) y(t )  Y (t ) px(t ), y(t )dx(t )dy(t )
1
1
2
2
1
2
1
2
(68), где pxt1 , yt 2  -

совместная плотность распределения двух с.в. (значений двух с.ф. X(t) и Y(t)), взятых при двух
произвольных аргументах (t1 - аргумент функции X(t), t2 - аргумент функции Y(t)).
Если X(t) и Y(t) независимы, то KXY(t1,t2)=0. Система из n с.ф. X1(t),X2(t),...,Xn(t) характеризуется n м.о.
X 1 (t ), X 2 (t ),..., X n (t ) , n автокорреляционными функциями K X1 t1 , t 2 , K X 2 t1 , t 2 ,..., K Xn t1 , t 2  и еще n(n-1)/2
корреляционными функциями K X1 X 2 t1 , t 2 ,..., K X n 1 X n t1 , t 2  .
Взаимная корреляционная функция (характеризует связь между двумя с.ф., т.е. стохастическую
зависимость) K XY ti , t j  двух с.ф. X(t) и Y(t) - неслучайная функция двух аргументов ti и tj, которая при
каждой паре значений ti, tj равна корреляционному моменту соответствующих сечений с.ф. Она
устанавливает связь между двумя значениями двух функций (значения - с.в.), при двух аргументах t1 и t2.
Особое значение имеют стационарные случайные функции, вероятностные характеристики которых не
меняются при любом сдвиге аргумента. М.о. стационарной с.ф. постоянно (т.е. не является функцией), а
корреляционная функция зависит лишь от разности значений аргументов ti и tj.
X (t )  const  K X t i , t j   K X    K X   ,   t i  t j (69) - четная функция (симметрично OY).
Из (69) K X ti , t j   D(t )  const , K X 0  K X ( ) .
При большом значении интервала времени =t2-t1 отклонение ординаты с.ф. от ее м.о. в момент времени t2
становится практически независимым от значения этого отклонения в момент времени t1. В этом случае функция
KX(), дающая значение корреляционного момента между X(t1) и X(t2), при  стремится к нулю.
Многие стационарные с.ф. обладают эргодическим свойством, которое заключается в том, что при неограниченно
возрастающем интервале наблюдения среднее наблюденное значение стационарной с.ф. с вероятностью, равной 1,
будет неограниченно приближаться к ее м.о. Наблюдение стационарной с.ф. при разных значениях t на достаточно
большом интервале в одном опыте равноценно наблюдению ее значений при одном и том же значении t в ряде
опытов.
Иногда требуется определить характеристики преобразованных с.ф. по характеристикам исходных с.ф.
t
t
Так если Z (t )  x(t )dt; y(t )  dx(t ) (70), то Z (t )   X (t )dt; Y (t )  dX (t ) т.е. м.о. интеграла (производной) от
0
dt
dt
0
с.ф. равно интегралу (производной) от м.о. (y(t) - скорость изменения с.ф. X(t), Y (t ) - скорость изменения
м.о.). При интегрировании или дифференцировании с.ф. получаем также с.ф. Если X(t) распределена
нормально, то Z(t) и Y(t) распределены тоже нормально. Если X(t) – стационарная с.ф., то Z(t) уже не
t
стационарная с.ф., т.к. DZ (t )  2 (t   ) K X ( )d зависит от t.
0
Примеры корреляционных функций.
18
1) K x ( )   2e
 
2
1     (из (2) при );
3) K x ( )   2e  cos  ; 4) K x ( )   2e
K x ( )   2e
 
 
2) K x ( )   2 e
 



 cos   sin    ;



2
cos  ; 5) K x ( )   2 e  (из (3) при ); 6)
(из (4) при ). На графиках =1, =5, =1.
 - характеризует быстроту убывания корреляционной связи между ординатами с.ф. при увеличении
разности аргументов этих ординат .  - характеризует "степень нерегулярности процесса". При малом
 ординаты процесса оказываются сильно коррелированными и реализация процесса похожа на
синусоиду; при большом  периодичность с частотой  становится незаметной. Корреляционные
функции 4 и 6 – не имеют производных при =0. Соответствующие спектральные плотности:
2
 (   ) 2  
 2  2   2
 2   (   ) 2 
2) S ( )  2
;
3)


 
  ;
S
(

)

exp


exp
2
2



4

4

 ( 2   2   2 ) 2  4 2 2
4  




2
2

 2  2   2
4) S ( )  
;
6)
.
S
(

)

2
2
2
2 2
2 2


2
 (     )  4  
Чтобы найти корреляционную функцию интеграла (производной) от с.ф., нужно дважды
проинтегрировать (продифференцировать) корреляционную функцию исходной с.ф. сначала по одному,
ti t j

 K Z (ti , t j )    K X (ti , t j )dti dt j
0 0
затем по другому аргументу: 
(71). Примеры - стр. 44 [7].

2

K
(
t
,
t
)

X i
j
 K Y (ti , t j ) 

t

t
i
j

Формула (71) для стационарной функции примет вид:
d 2 K X ( )
d 2 K X ( )
.
K Y (t i , t j )  K Y ( )  
;


t

t

D
(

)


i
j
Y
d 2
d 2  0
dK X ( )
Корреляционная функция с.ф. и ее производной K XY ( )  
. Для дифференцируемого
d
стационарного процесса ордината с.ф. и ее производной, взятая в тот же момент времени являются
некоррелированными с.в. (а для нормального (73) процесса и независимыми).
При умножении с.ф. на детерминированную получаем с.ф. Z(t)=a(t)X(t), корреляционная функция
которой равна KZ(t1,t2)=a(t1)a(t2) KX(t1,t2) (74), где a(t) - детерминированная функция.
Сумма двух с.ф. является тоже с.ф. Z(t)=X(t)+Y(t) и ее корреляционная функция при наличии
корреляционной связи между X(t) и Y(t): KZ(t1,t2)=KX(t1,t2)+ KY(t1,t2)+2KXY(t1,t2),
где KXY(t1,t2) - см. (68) - взаимная корреляционная функция двух зависимых с.ф. X(t) и Y(t). Если X(t) и Y(t)
независимы, то KXY(t1,t2)=0. М.о. с.ф. Z(t): Z( t)  X( t)  Y( t) .
12. Вероятность редких событий (появление случайного события A за время t)
Пусть некоторое событие A появляется случайно, причем корреляционная связь между вероятностями
соседних по времени событий практически отсутствует, т.е. на срок возникновения последующего события
не влияют сроки появления предыдущих. Наблюдениями в течение очень большого промежутка времени
можно установить среднюю частоту появления события A, т.е. число событий, образующееся в среднем за
единицу времени. U=n/T, где n - число событий, появившихся за большой промежуток времени T.
Тогда вероятность появления события A хотя бы один раз за время t: 1-Pt=1-e-ut (12.1),
19
где Pt - вероятность не появления события A за время t. Если средняя частота появления события A - u
 t

  U ( t ) dt 
 0


переменна во времени (т.е. u=u(t)), то 1  Pt  1  e
(12.2).
Если событие A крайне нежелательно или недопустимо (например, А – отказ), то выражение
 t

Pt  exp   U (t )dt  (12.3) - функция надежности, представляющая собой вероятность не появления
 0

события A в течение времени t ни разу. При постоянной U(t)=const: Pt=e-ut (12.4).
13. Выбросы с.ф. за заданный уровень
Необходимость определения вероятностных характеристик процесса пересечения с. функцией заданного
уровня возникает, когда необходимо вычислить вероятность того, что в течение срока службы нагрузка,
действующая на строительную конструкцию, не превысит допустимого уровня. Найдем вероятность
пересечения случайной функцией (дифференцируемой) X(t) некоторого уровня а в течение времени t.
Полагая скорость изменения с.ф. V(t)=dX(t)/dt постоянной в течение времени dt (с точностью до
бесконечно малых второго порядка) условие пересечения функцией X(t)
уровня а за малый промежуток времени dt: X(t)<a; X(t)+V(t)dt>a или aV(t)dt<X(t)<a (V(t)>0) (75). Вероятность этого события (выраженного

условием (75)): Qa (t ) 

a
 p( x,V )dxdV
(76),
0 a Vdt
где p(x,V) - совместная плотность распределения с.ф. X(t) и V(t). В виду близости пределов внутреннего
интеграла (его заменили на p(a,V)Vdt - площадь прямоугольника) вероятность выброса:

Qa (t )  dt  p(a,V )VdV (77). Если разделить вероятность выброса Qa на время dt, в течение которого он
0
ожидается, получится временная плотность вероятности выброса за уровень а в момент t (среднее число

выбросов в единицу времени): q(a )  p(a,V )VdV (78).

0
d
X (t ) и известна
dt
автокорреляционная функция для X(t) - KX()) следовательно, p(x,V)=px(x)pV(V), где p(x,V) - совместная
плотность распределения X(t) и Y(t); px(x)и pV(V) - соответственно плотности распределения X(t) и Y(t).
В случае стационарного с.п. X(t) и Y(t) - независимые с.ф. и (при том V (t ) 


0
0
Тогда временная плотность вероятности выброса: q(a )  p x (a ) pV (V )VdV  p x (a ) pV (V )VdV (80),


где

p
V
(V )VdV  V - м.о. положительной скорости V(t).
0
 ( x  X ) 2  (81) распределение скорости V(t)
exp 

2
2  ( X )
 2 ( X ) 
  V 2  (82).
1
будет также нормальным и независимым от распределения X(t): pV (V ) 
exp  2

2  (V )
 2 (V ) 
Для нормального распределения X(t): p x ( x ) 
1
d2
K X ( ) . Подстановка (82) и
d 2
 0
2


(81) в (80) даст для временной плотности вероятности выброса q(a)   (V ) exp  (a 2 X )  (83).
2 ( X )
 2 ( X ) 
Доказательство (83):
 (a  V ) 2  
 V 2 
1
1
q( a ) 
exp 
exp  2

VdV 
2

2  ( X )
 2 ( X )  0 2  (V )
 2 (V ) 
М.о. V (t )  0 вследствие стационарности процесса. По (72)  2 (V )  

 (a  X ) 2  
 V 2 
1
exp 
exp

 2 2 (V ) VdV , заменим подынтегральное выражение,
2
2 ( X ) (V )
 2 ( X )  0


V 2
V
 dU  2
dV  VdV   2 (V )dU , тогда
2 2 (V )
 (V )
2


  V2 
 (a  X ) 2  .
 V 2 
 (V )
2
U
2
2
2 (V )  

,
тогда
q
(
a
)

exp
exp

VdV



(
V
)
e
dU



(
V
)
e


(
V
)
 2 2 ( X ) 
0  2 2 (V ) 
0

0
2  ( X )




U
20
Чем больше уровень а, тем меньше q(a). При очень малом значении q(a) выбросы можно рассматривать
как редкие события, т.е. как независимые с.в.
Если число выбросов в течение времени t подчиняется закону Пуассона (66), тогда вероятность того,
что за время T не произойдет ни одного выброса при условии, что X(t) – стационарная функция
 T

Pt=exp[-q(a)T] (84) – это функция надежности. В случае нестационарной функции Pt  exp    q( a, t )dt  (85).
 0

14. Приближенные методы нахождения распределения функций с.в.
1. Метод Монте-Карло (метод рандомизации)
Есть система двух с.в. X и Y и p(x,y) – совместная плотность их распределения. Данный метод позволяет
найти плотность распределения p(U), где U=U(X,Y). Для одномерной с.в. Х, где р(х) – плотность ее
распределения можно найти p(U), причем U есть функция от X: U=U(X)).
Суть метода в том, что аргументам X и Y даются случайные значения, распределенные согласно p(x,y).
Случайные числа для значений аргументов можно брать по таблицам (есть таблицы для равномерного,
нормального распределений, распределения Пирсона и т.д.) или определять на ЭВМ по специальной
программе. Каждой случайной точке (xi,yj) соответствует определенное значение функции U(xi,yj). После
реализации достаточно большого количества значений с.в. U их можно сгруппировать по интервалам
n<U<(n+1) и построить ступенчатую аппроксимацию искомой кривой распределения p(U). Метод
эффективен при использовании ЭВМ и при разрывности функции U(X,Y) (или при различном ее
аналитическом описании в различных областях плоскости XOY).
Если есть функция двух с.в. U=U(X,Y) и p(x,y) – совместная плотность распределения X и Y, то


 (U , y )
p(U )    (U , y ), y 
dy (получено из (40) и (29)), где x=(U,y). p (U )   p (U , y )dy (29) и
dU


 (U , y )
(40), но для двух аргументов.
p[U , y ]  p[ x, y ]
U
2. Метод статистических испытаний
Производится достаточно большое число статистических испытаний по схеме Бернулли, т.е. на каждом
испытании генерируются случайные реализации всех исходных величин. Далее, например, если
необходимо определить вероятность отказа системы, то испытания проводятся n раз, и каждый раз
проверяется условие наступления отказа (например, Q>R, где Q – фактическая нагрузка на систему, R –
прочность системы). Затем частота появления отказа: P*(A)=m/n, где m – количество отказов. При n P*(A)P(A), где P(A) – вероятность наступления отказа, являющаяся достоверной величиной. В данном
методе необходимо оценить погрешность определения P*(A) при определенном количестве испытаний n
или оценить количество испытаний n, необходимое для достижения частотой наступления отказа P*(A)
достаточной достоверности.
15. Методы оценки надежности конструкций
Необходимый уровень надежности обеспечивается не только расчетными требованиями норм
проектирования, а зависит также от методов расчета, принятой конструктивной схемы, вида соединений
конструктивных элементов, правил конструирования, плана контрольных испытаний и условий приемки
при изготовлении и монтаже.
Изначально применялся метод допускаемых напряжений. Для любого волокна конструкции должно
было выполняться условие kSSдоп, где Sдоп - допускаемое напряжение; S - напряжение в волокне,
определяемое методами строительной механики; к - коэффициент запаса. В этом методе коэффициент
запаса для всех конструкций из данного материала был одинаков, что не отвечало фактической работе
таких комплексных материалов, какими являются железобетон и каменная кладка, компоненты которых
имеют различные механические характеристики и в соответствии с этим в различной степени и с различной
быстротой исчерпывают свою несущую способность. Кроме того, работа строительных материалов в
конструкциях рассматривалась лишь в упругой стадии, т.е. не учитывались пластические свойства
материалов изменчивость нагрузок и сопротивлений материалов. Поэтому метод допускаемых напряжений
модифицировался в метод разрушающих нагрузок.
кFн<Rн, где к - коэффициент запаса, зависящий от соотношения нагрузок; Fн - нормативное значение
нагрузки; Rн - нормативное значение несущей способности (среднее значение прочности бетона или так
называемая гарантируемая прочность стали). Стала учитываться пластическая работа материала для
определенных схем разрушения.
Введение метода предельных состояний позволило учесть специфику работы разных конструкций и
фактическую изменчивость нагрузок и механических свойств строительных материалов и т.д., т.е.
позволило достичь определенного выравнивания надежности отдельных элементов конструкции,
составляющих единое целое.
21
Этот метод опирается на статистическое изучение значений нагрузок, механических свойств
материалов и условий работы конструкций и материалов. Общее условие не превышения предельного
состояния может быть представлено в виде (Fp,Rp,n,a,c,c)0 (89),
Fp - расчетное значение нагрузки; Fp,=Fнf, где f - коэффициент надежности по нагрузке; Fн - нормативное
значение нагрузки. Rp - расчетное значение сопротивления материала; Rp=Rн/m; Rн - нормативное значение
сопротивления материала; m - коэффициент надежности по материалу; n - коэффициент надежности по
назначению конструкции; c - коэффициент условий работы; a - коэффициент точности; с - постоянные,
включающие предварительно выбранные расчетные ограничения, задаваемые для некоторых видов
предельных состояний (по прогибам, раскрытию трещин и т.п.). Условие (89) определяет границу области
допустимых состояний конструкции. Входящие в это условие факторы можно условно разделить на две
группы. Первая группа факторов зависит от свойств самой конструкции, вторая от внешних воздействий.
Это разделение возможно из-за отсутствия в большинстве случаев функциональных и корреляционных
 n q ( Fp , a , c )   r ( R p )
связей. Тогда условие (89): 
 n ( Fp , R p , a , c )  c

(90), с - предельное значение (прогиб, угол поворота,
раскрытие трещин). Условие не превышения границы области допустимых состояний конструкций может
определяться как R-F>0, где с.в. R – обобщенная прочность конструкции; F – обобщенная нагрузка; или
иначе S=R-F (91),
где F – наибольшее значение усилия (или напряжения) в конструкции, выраженное через внешнюю
нагрузку (т.е. задача определения напряженного состояния предполагается решенной); R – несущая
способность, выраженная в тех же единицах, и отвечающая предельному состоянию конструкции по
прочности (предел текучести, предел прочности и т.д.); S –
резерв прочности.
0
Вероятность разрушения конструкции: Q 
 p ( S )dS  P (0)
s
s

(92), где ps(S) – плотность распределения резерва прочности.
Ps(0) – значение функции распределения резерва прочности при
S=0 (вероятность того, что S0, т.е. разрушения). Плотность
распределения резерва прочности при взаимонезависимости R и F: ps ( S ) 

 p (S  F ) p
r
f
( F )dF (93),

где pr(R) – плотность распределения несущей способности; pr(S+F) – та же функция, но с аргументом S+F;
pf(F) - плотность распределения внешнего усилия. Доказательство (93): из (88) полагая S=(R,F) и


R=(S,F) ps ( S )  p[ R, F ] R dF  p ( S , F ), F   ( S , F ) dF (по (36), но для двух аргументов), где


S
S


p[R,F] - совместная плотность распределения с.в. R и F. При их независимости p[R,F]=pr(R)pf(F),

 ( S , F )  ( S  F )

 1 и тогда ps ( S )   pr ( S  F ) p f ( F )dF (93) - получить аналогично, выразив F=(R,S).
S
S

Отметим, так же следующие формулы, используемые при выводе (36) для двух аргументов:
ps ( S , F )  p( ( S , F ), F )
 ( S , F )
( S  F )
 p( S  F , F )
 p( S  F , F ) , где p( S  F , F ) S
S
1
совместная плотность распределения с.в. R и F. При взаимонезависимости R и F
p( S  F , F )  pr ( S  F ) p f ( F ) . Использовалась также формула (29)
ps (S ) 




 p(S , F )dF 
 p (S  F ) p
r
f
( F )dF .
Далее эквивалентная (93) формула ps ( S ) 

 p ( R) p
r
f
( R  S )dR (93), где pf(R-S) - плотность распределения

усилия, но с аргументом (R-S). При разрушении <S<0, <R<F, R<F<.
Подставляя (93) в (92) Q  Ps (0) 
 F

p
R
0 
F 



 pR ( S  F ) pF ( F )dFdS  
p
R
( R) pF ( F )dFdR 
( R) pF ( F )dRdF (94). R меняется от - до F, а F меняется от - до . Подставляя (93) в (92)

Q  Ps (0) 
0 
 


R 
 R

 pR ( R) pF ( R  S )dRdS 
 pR ( R) pF ( F )dRdF    pR ( R) pF ( F )dFdR (94).
22


( R) p F ( F )dRdF   p F ( F )   p R ( R)dR  dF   p F ( F )  PR ( F )dF (95). Под



 

интегралом стоит произведение ординат функций, изображенных на рис. 1.
Аналогично запишем далее для (94)






Q    p R ( R) p F ( F )dFdR   p R ( R)   p F ( F )dF  dR   p R ( R)  1  PF ( R)dR  1   p R ( R)  PF ( R)dR (95), где 1 –
 R



R

вся площадь; 1-PF(R) – площадь от R до ; PF(R) – площадь от - до R. Под интегралом стоит произведение
ординат функций, изображенных на рис. 2. Из (95) и (95) вероятности не разрушения P=1-Q:
Далее запишем (94) Q 
 F
p

P  1

R
 pF ( F )  PR ( F )dF (96) и P  1 


F

p
R
( R)  PF ( R )dR (96). Рисунки – 3шт

В случае, когда R и F зависимы (93) и (93) соответственно запишутся в виде p S ( S ) 

 p(S  F , F )dF
(97) и


pS (S ) 
 p( R, R  S )dR (97), где p(R,F) – функция совместной плотности распределения R и F; p(S+F,F) и

p(R,R-S) – то же, но с аргументами S+F и R-S.
Подставляя (97) в (92) получим: Q  Ps (0) 
0 

 
F 
p( S  F , F )dFdS  

 
 F
p( R, F )dFdR  
 p( R, F )dRdF
 
(98)(94). Интеграл численно равен объему под поверхностью p(R,F) – рис.3. S+F=RdS=dR.
Аналогично, подставляя (97) в (92) получим Q  PS (0) 

  p( R, F )dFdR (98)(94). R<F<, а тогда -<R<F
 R
и с учетом F-<R<.
16. Характеристика безопасности
При любых законах распределения с.в. R и F м.о. и дисперсия резерва прочности S: S  R  F ;
 ( S )   2 ( R)   2 ( F ) (99). Для удобства вводят характеристику безопасности (при независимых R и F)

S
 (S )

RF
 ( R)   2 ( F )
2
(100).  показывает число стандартов (S), укладывающихся в интервале от S
до S  S . (см. рис. Стр. 26).
Из (24) следует, что   1 (101), где V(S) – коэффициент вариации (изменчивости) с.в. S (резерва
V (S )
прочности). Можно записать и так    0  S (102). Для функции нормального распределения (см. 46) S
 (S )
0
 (S  S ) 2 
1
вероятность разрушения: Q  Q( S  0)  PS (0) 
exp

dS (103)(46). Тогда, используя
2
 (S ) 2   2 ( S ) 



(48) и (102) Q  PS (0)   1  Ф (0  S )    1  Ф(  ) (104), где Ф() – интеграл вероятности Гаусса (47) с

  ( S )   2
 2


аргументом . В таблице и на графике приведены зависимости характеристики безопасности  от
вероятности разрушения Q и не разрушения P.
2.25
3.25
3.75
4.25
4.75
5.25

Q
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
Определять Q по (104) при больших  затруднительно, поэтому
2
1
2
используется асимптотическая формула Q  1  
exp
3
2
2 
(105).
Пример 5.
23
Случайная нагрузка распределена по нормальному закону. F =100кН, (F)=10кН. Предел текучести
Ry=230МПа. Определить площадь сечения растянутого стержня А, при которой обеспечивается
вероятность не разрушения P=0.99.
По (104) P  0.5  Ф(  )  0.99 характеристика безопасности =2.33. Учитывая несущую способность
A  Ry  F
, где  ( R)   ( AR y )  0 , откуда площадь
 (F )
 ( F )  F 2.33 10 4  10 10 4
A

 5.36 (см2). При детерминированном расчете, если усилие F определено
Ry
230 10 6
R=ARy по (100) имеем  
и равно F : A=F/Ry=4.35 (см2), =18,8%.
Пример 6
Нагрузка F и предел текучести Ry – случайны, распределены нормально. F  100 кН, (F)=10кН,
R y  230 МПа, (Ry)=10МПа, А=5,36 (см2). Определить вероятность не разрушения растянутого стержня.
Несущая способность: R=ARy, R  A  R y , (R)=(Ry)A (согласно (38)). Определим характеристику
безопасности (100)  
A  Ry  F
A (R )
2
y
  (F )
2

5.36  230  10 2  100  103
4
(5.36  10  10  10 )  (10  10 )
6 2
3 2

29950
 2.64 . По (104)
11346
P=0.5+Ф(2.64)=0.9959. Вероятность не разрушения выше, чем в первом случае, т.к. для разрушения и
нагрузка и предел текучести одновременно должны достичь неблагоприятных значений, что менее
вероятно ( Q  Pr obF / R y  A ).
Пока отсутствует еще один пример
17. Коэффициент запаса
Иногда вместо резерва прочности вводят случайный коэффициент запаса K=R/F (106). K, R, F – с.в.
Тогда вероятность разрушения Q  Q( K  1)  PK (1) (107), где Pk(1) – функция распределения коэффициента
запаса при аргументе K=1.
Вероятность не разрушения P=P(K>1) (108).
М.о. коэффициента запаса (детерминированный) K  R / F (109). Разделим числитель и знаменатель
правой части (100) на F и используя (109) получим характеристику безопасности
K 1
K 1
(110)(24), где V ( F )   ( F ) / F , V ( R)   ( R) / R - коэффициенты


2
2
2 2
2
 ( F )  ( R)
V ( F )  K V ( R)

2
2
F
F
вариации усилия и несущей способности.
Введение в (100) значений V(F) и V(R) имеет то преимущество,
что они могут быть сравнительно легко оценены с достаточной
точностью даже при отсутствии полных статистических данных
относительно с.в. R и F. Кроме того, при изменении значения
нагрузки, например, в результате увеличения площади, с
которой она собирается, равно как при изменении прочности
несущих элементов, например, вследствие увеличения размеров
поперечных сечений, коэффициенты вариации V(F) и V(R)
остаются постоянными.
Из (110) при делении на K числителя и знаменателя видно, что при K     1 / V ( R) , при
K  1    0 . Можно доказать, что при увеличении K от 1 до   монотонно изменяется от 0 до 1 / V ( R ) .


Нижний предел ожидаемого значения коэффициента запаса K  1 / 1  V ( K ) 1  Q  (111), где
Q 

V ( K )   ( K ) / K - коэффициент вариации коэффициента запаса. Приближенно V ( K ) 
V 2 ( R)  V 2 ( F )
1  V 2 (F )
(112).
Можно вывести приближенную формулу, связывающую характеристику безопасности  и коэффициент
запаса K  1   V 2 ( R)  V 2 ( F ) (113).
(113) используется при небольших значениях V(R) и V(F), иначе
K
1   2V 2 ( R)   2V 2 ( F )   4V 2 ( R)V 2 ( F )
(114) – получено из (110).
1   2V 2 ( R)
24
В большинстве случаев корреляционная связь между нагрузкой и прочностью отсутствует или мала.
Положительная корреляционная связь нагрузки с прочностью имеет место, когда для более прочных
элементов с большей вероятностью можно ожидать относительно больших нагрузок. Отчасти это
относится к статически неопределимым конструкциям, в которых большую прочность отдельных
элементов можно считать связанной с их большей жесткостью, а, следовательно, и с большими
воспринимаемыми усилиями. Пример отрицательной корреляционной связи – ослабленное отверстием
сечение более прочно, т.е. сечение меньше, а прочность больше.
Если удается оценить корреляционную связь R с F с помощью корреляционного момента K(R,F), то
RF
характеристика безопасности аналогично как для (100)  
(115).
2
 ( F )  2 K ( R, F )   2 ( F )
K 1
(116), где V ( R, F )  K ( R, F ) , где K(R,F)
RF
V 2 ( F )  2 KV 2 ( R, F )  K V 2 ( R)
определяется по (34), а (114) запишется в виде
Тогда (110) запишется  
2




1   2V 2 ( R, F )   2 V 2 ( F )  2V 2 ( R, F )  V 2 ( R)   4 V 2 ( R)V 2 ( F )  V 4 ( R, F )
(117) получено из (116).
1   2V 2 ( R)
Пример 7.
Обратная задача – по заданной надежности необходимо найти характеристики системы.
Требуется рассчитать элемент, на который действует растягивающая нагрузка.
Дано: растягивающее усилие N и прочность элемента R – распределены нормально и независимы.
N  17.8 кН,  ( N )  0.445 кН, R  690 МПа,  ( R)  34.5 МПа. Допуск для радиуса элемента r   r , где
K
=0.015 (1.5%) – доля радиуса r . Требуемая вероятность безотказной работы P=0.9999.
Необходимо определить r .
1. Зная Q=1-P по (104) находим характеристику безопасности .
2. Используя (100) можно найти r , для этого надо найти м.о. и стандарт напряжения F  N / A . Для этого
предварительно необходимо определить A и (A).
1. По (104) Q  1  0.9999  0.5  Ф(  )  0.0001  Ф(  )  0.4998  по табл. =3.72.
2. Сначала определим A и (A). Непосредственно определить A и (A) по формулам (37)
затруднительно, поэтому используем разложение функции y=f(x) вокруг точки x  x в ряд Тейлора до
2
первых 3-х членов (2.1) y  f ( x)  f ( x)  ( x  x) f ( x)  ( x  x) f ( x)   , где  - остаточный член,
2!



которым можно пренебречь (тем более f (r )  0 ).
Применим операцию м.о. для левой и правой части (2.1)


( x  x) 2
1
M  y   y  M  f ( x)  ( x  x) f ( x) 
f ( x)  f ( x)  f ( x)  M
x 
x  f ( x) M ( x  x) 2 





2!
2


0 распр _ симм
D( x)

f ( x) 



1
f ( x) D( x) .
2
2

 
( x  x) 2
1
D( y )  M ( y  y )  M  f ( x)  ( x  x) f ( x) 
f ( x)  f ( x)  f ( x) D( x)   
2!
2

 

2





т.к.M ( x  x) 2  D( x)  M x  x f ( x)


   f ( x) D( x) . Т.е. окончательно y  f ( x)  12 f ( x) D( x) (2.2)
2
2
2
D( y )  f ( x) D( x) (2.3). Тогда т.к. A    r 2  f (r ) из (2.2) A  f (r ) 
2

1
f  r Dr  , где f (r )  2  r ,
2
2
2
r 
 r 
r и
1 r 
2
2
f (r )  2 . 3 (r )   r   (r ) 
 .
D(r )    получаем A    r  2      r   
3
2  3 
 3 
 3 
2
Вторым членом можно пренебречь, т.е. A    r (2.4).




2

2
2
2
Из (2.3) D( A)  f (r ) D(r )  2  r   r    ( A)  2    r (2.5).
 3 
3
 
Определим F и (F). F=N/A=f(N,A) – функция 2-ух переменных. Непосредственно определить F и (F)
по формулам (39) затруднительно, поэтому используем разложение в ряд Тейлора.
25
Если y=f(x1, x2,..., x3) разлагаем в ряд Тейлора вокруг точки с координатами x1 , x 2 ,..., x n , то
n
y  f ( x1 , x 2 ,..., x n )  
i 1
f ( x1 , x2 ,..., xn )
xi
x  x   21!  
n
xi  x i
i
n
2
f ( x1 , x2 ,..., xn )
xi x j
i
j 1 i 1
xi  x i
x j x j



 xi  x i x j  x j   (2.6), где
 - остаточный член.
2
n
Из (2.6) можно получить (аналогично (2.2) и (2.3)): y  f ( x1 , x 2 ,..., x n )  1   f ( x1 , x22 ,..., xn )
2 i 1
xi
 D( xi )
2


(2.7), D( y )    f ( x1 , x2 ,..., xn ) x  x   D( xi ) .
i
i
xi
i 1 

2

 2 f ( N , A)
Тогда из (2.7) F  f N , A  1   f ( N , A)

D
(
N
)

N N
2  N 2
A2
A A

 2 f ( N , A) 2 N
N
(2.9).
 3  0 , т.е. F 
A2
A
A
n



Из (2.8) D( F )   f ( N , A)
 N
 
2
2

 f ( N , A)
  D( N )  
N N
 A
A A 


 2 ( F )   2 ( N ) 1/ A   2 ( A) N / A
2 2
2
2
A A
N N
 N 1
 D( A)    0  0 , т.к.
 A 2

2
2
2

 N 
1
  D( A)    D( N )    2  D( A) или
A A
 A
 A 
N N 

 , подставляем (2.4) и (2.5) 
2 2
2
  N
 ( F )   ( N )1 /  r    r  
3
  r
2
xi  xi
2
2
2
2

1
(4 / 9) 2 N
 2 ( N )  (4 / 9) 2 N
   2 (N )


4 
4
4
4
 2r
 2r
 2r

2
(2.10).
Подставляем F и  2 ( F ) - формулы (2.9 и 2.10) в (100) и получим

2
RF
 ( R)   ( F )
2
2

R  N /( r )
(2.11).
  2 ( N )  (4 / 9) 2 N 

2 4



r


 2 ( R)  
Подставляя все значения в (2.11) получаем 3.72 
2
690 10 6 

6
 34.5 10


4

2

17.8 10 3
 2r
2
445  (4 / 9)(0.015) (17.8 10 ) 

4
 2r

2
2
3 2
0.5
(2.12).
2
После упрощений получаем уравнение для r : 144.63r  24.6r  1  0 . Это уравнение имеет два
положительных корня r1  2.6 мм и r 2  3.21мм. Последний корень дает заданную вероятность безотказной
работы Р=0.9999. Интересно отметить, что другой корень r 1  2.6 приводит к вероятности 0.0001.
17.8 103
При детерминированном расчете F  N  N 2  R  r  N 
 2.87 (мм), А=20%. При
A  r
 R
3.141 690 10 6
увеличении допуска  надежность уменьшается
100%
Р
Р
(R), МПа
0.5
0.9999149145
20.685
0.99999
3.0
0.999846797
34.475
0.9999
5.0
0.999610197
62.055
0.98382
7.0
0.999032344
68.95
0.97381
При увеличении среднеквадратического отклонения прочности (R) элемента надежность уменьшается.
18. Статистический характер прочности
В действующих документах нормативные значения не совпадают с м.о. и сдвинуты по отношению к
среднему значению.
 Fn  F  F  f V ( F )  F   f  ( F )
(118), где

 Rn  R  R rV ( R)  R   r ( F )
26
F , V ( F ) - м.о. и коэффициент вариации нормативного
значения нагрузки; R, V ( R) - то же сопротивления;  f ,  r коэффициенты, показывающие какое число стандартов
отсчитывается от м.о. при назначении нормативных значений
нагрузки и сопротивления.
При коэффициенте изменчивости прочности менее 0,06-0,08 применяется нормальный закон
распределения (т.е. не учитываются моменты высших порядков – асимметрия и эксцесс). Более всего это
относится к стали, для бетона, каменной кладки, древесины и других материалов с коэффициентом
изменчивости 0,15-0,25 и более корректнее использовать более точные законы распределения,
учитывающие асимметрию и эксцесс. Например, функция распределения, полученная из распределения

1

 Г (  b ) X  b


 Г ( ) X 
1
1  Г (  b) 
1
 X b
Пирсона III типа: P( x)  
e
  , где  и b – параметры.

X  Г ( )  Г ( )b
X
2
 2 Г ( ) Г (  2b)
2
V X  Г (  b)2  1 , V X  Dx / X


, асимметрия A  33 .

2
2 x
 ( x)  ( Г ( )) Г (  3b)  3 Г ( ) Г (  2b)  2
3
3
2

Г (  b)
Г (  b)
b
По СНиП II-23-81 ”Стальные конструкции. Нормы проектирования” (приложение 8а, стр.92) при
испытаниях металла нормативное значение предела текучести R yn или временного сопротивления стали
Run определяется по результатам статистической обработки:
Rn  M ( R)     ( R) ,
где M (R ) — математическое ожидание предела текучести или временного сопротивления;
 (R) — среднеквадратическое отклонение предела текучести или временного сопротивления, МПа.
1 n
 Ri ;
n i 1
n
1
(или по (19) M ( R )   Ri pi , где p1  p2  ...  pn  . R i появляется один раз).
n
i 1
pi — вероятность появления возможных значений Ri предела текучести или временного сопротивления;
n — число испытанных образцов (полная группа несовместных событий);
  f (n) — коэффициент, учитывающий объем выборки.
M ( R) 

  1.651 
0.91 1.5 

,
n 
n

n

3



3
.
342
при
;
n  10    2.372 ;
n  100    1.825 ;
n      1.65  r (см.118).
 показывает, на какое число  (R) сдвинуто нормативное сопротивление по отношению к
математическому ожиданию.
Чем больше n , тем достовернее полученные результаты, тем меньше  и больше Rn ( R yn или Run ).
 ( R) 

1 n
Ri  M ( R)2 .

n  1 i1
При значении коэффициента вариации (изменчивости)
v( R) 
 ( R)
M ( R)
0.1 использовать результаты, полученные из
опытов, не допускается, т. к. они не надежны. Кроме того,
коэффициентом надежности по материалу  m 1 учитывается
разброс (изменчивость в неблагоприятную сторону)
найденных нормативных сопротивлений. Расчетное
27
сопротивление R y 
R yn
(т.1*); Ru 
m
Run
m
.
Нормативные значения принимаются с обеспеченностью 0.95, т. е. вероятность того, случайное
фактическое сопротивление R  Rn равна 0.95, т. е.
Rn
P( Rn ) 
 P( x)dx  0.05 или,

приняв нормальное распределение через интеграл вероятности Гаусса Ф(х):
P( Rn ) 
R R 
1
  0.05 .
 Ф n
2
  ( R) 
Определим математическое ожидание предела текучести для стали С235. Примем v( R)  0.1 (худший
вариант), и тогда
P( R yn ) 
 R yn  R y
1
 Ф
2
  ( R)
При изменчивости v( R) 

 R  R yn 
R  R yn
  0.05  Ф y
  0.45  y
 1.645 

  ( R) 
0
.
1
R
y



 Ry  281 МПа при R yn  235 МПа.
 ( R)
Ry
 0.05  Ry  256 МПа.
Определим, на сколько сдвинуто влево от математического ожидания предела текучести Ry расчетное
сопротивление по пределу текучести R y .
 m  1.025 ; v( R)  0.05 ; R yn  235 МПа; Ry  256 МПа;
Ry 
R yn

235
 230 МПа;
1.025
m
  Ry  Ry  256  230  26 МПа;
 ( R)  v( R) Ry  0.05  256  12.8 МПа;
таким образом, расчетное сопротивление сдвинуто влево от математического ожидания предела
текучести Ry на

26

 2 ( R) и вероятность того, что предел текучести будет меньше расчетного
 ( R) 12.8
сопротивления Ry равна:
P( R y ) 
По нормам...
 Ry  Ry
1
 Ф
2
  ( R)
 1
230  256  1
   Ф
   Ф(2)  0.0228
 2
12
.
8

 2

28
19. Характеристики нагрузок и воздействий
Классификация нагрузок
Нагрузки и воздействия представляют собой наиболее неопределенные величины, обладающие большим
статистическим разбросом.
В части математического описания нагрузки делятся на
- нагрузки, представляющие собой случайные величины;
- нагрузки, представляющие собой случайные функции времени;
- нагрузки, изменяющиеся не только во времени, но и в пространстве по случайным или
детерминированным законам.
Снеговые нагрузки
Для расчета сооружений на длительные сроки требуется значение максимальной снеговой нагрузки за
много лет. Поскольку корреляция между годовыми нагрузками практически отсутствует, многолетнюю
снеговую нагрузку можно получить теоретически, зная функцию распределения максимальной годовой
нагрузки. Обычно для описания максимальной годовой снеговой нагрузки используют законы

распределения Гумбеля ((57) и (58)) P(qc1 )  exp   exp

  qc1 
 , хотя этот закон допускает вероятность
 
отрицательных значений qc1. Коэффициенты  и  имеют различные значения для разных местностей.
Например, для Москвы =931Н/м2, =365Н/м2.
Для определения максимально допустимой снеговой нагрузки на сооружение, рассчитанное на n лет,
вероятность непревышения его значения qcn: P qcn   P n qc1  (127). Или вероятность превышения
величины qcn за n лет Q  1  P n qc1  (128)  Pqc1   n 1  Q (129).
С помощью (129) величину qc1, соответствующую заданному числу лет n и допустимой вероятности Q
легко определить графически по кривой интегрального закона распределения Pqcn  . РИС Подставляя

(126) в (127) получим P(qcn )  exp   n  exp


   qc1


  qc1 
  qc1 
  exp  exp 

 ln n   exp   exp n
 
 
 



(130), где  n     ln n .
Т.о., переход от максимума за год к максимуму за n лет (при распределении Гумбеля) приводит к
поступательному смещению кривой P(qc1) вдоль ОХ вправо на величину  ln n . Также смещается и p(qc1).
Тогда можно записать q cn  q c1   ln n (131), но дисперсия при этом не изменяется D(qcn)=D(qc1). Если
рассматривать снеговую нагрузку как случайный стационарный процесс, то его можно задать следующим
образом:
Для г. Волгоград – аппроксимация функции м.о. высоты снегового покрова: h(t )  h0  A0 cos2  t / T  ,
где h0=4.3см – среднее значение; А0=4.2см – амплитуда; Т=180 дней – период математического ожидания.
Корреляционная функция случайного процесса h() аппроксимируется функцией K h ( )  De
 T
, где
D=D(h)=55.67см2 – дисперсия высоты снегового покрова; =0.04 день-1 – параметр.
20. Ветровая нагрузка
Нормативное значение ветрового давления w0 
V 2
2
, где  - плотность воздуха (=f(p,t)const, p –
давление, t – температура), V – скорость ветра. Скорость ветра представляет собой случайную функцию
времени, являющуюся пространственным вектором с координатами Vx(t), Vy(t), Vz(t). Распределение
горизонтальных составляющих скорости ветра Vx и Vy определяет розу ветров. Обычно статистическое
наблюдение ведут за скоростями ветра. В общем случае переход от статистического распределения
скоростей ветра к распределению ветрового давления сложен, но переход может быть осуществлен
приближенно.
В качестве функции распределения скоростей ветра используют распределение Вейбулла (54)
21. Постоянные нагрузки
Постоянные нагрузки — постоянные во времени случайные величины. Как правило, постоянные
нагрузки обладают небольшой изменчивостью, порядка 0.1,(т. е. V  x  
 x 
x
 0.1 ) и могут с
29
достаточной точностью считаться подчиняющимися нормальным законам распределения. Если
все нагрузки распределены по одному и тому же закону, то математическое ожидание их суммы:
Q  Q1  Q2  ...  Qn ; DQ   DQ1   DQ2   ...  DQn  .
Коэффициент вариации (изменчивости) снижается при увеличении n .
n
DQ 

Q
V Q  
DQi 
;
2
Qi
где V 2 Qi  
 DQ 
Q
i 1
V Q1   Q1  V Q2   Q22  ...  V Qn   Qn
2
i
i 1
n

2
2
2
2
, (140)
Q1  Q2  ...  Qn
i
V Qi  , Q i — коэффициент вариации и математическое ожидание i точки случайной нагрузки Qi .
Формулы справедливы для корреляционно не связанных нагрузок.
В случае, когда отдельные независимые нагрузки по-разному приложены к конструкции и усилие в
рассчитываемом элементе (например, колонне) выражается линейной функцией N 
n
  Q , тогда
i 1
i
i
коэффициент вариации случайного усилия N :
V N   V Q1   c1  V Q2   c22  ...  V Qn   cn , (142)
2
где сi 
 i Qi
n
 Q
i 1
i
2
2
2
2
. (143)
i
Например, для колонны, если Qi — это распределенная нагрузка (кН/м2), то  i — это грузовая
площадь i нагрузки, м2.
Приведенный (средний) коэффициент перегрузки:
n
 f  1   V N   1  
где  — характеристика безопасности  
V Q  c
2
i
i 1
i
2
, (144)
S
1

, (100) где S — случайная величина резерва
 S  V S 
прочности.
Расчетное усилие: N расч  N     N   N 1   V N  . (145)
Приняв V Qi  
 fi  1
, где  fi — коэффициент перегрузки отдельных нагрузок, получим:

 c 
n
 f  1
i 1
2
i
 1 ;
2
fi
если  i  1; i  1, n ;
q1  0.1;
q2  0.4 ;
q3  0.32 ;
q4  1.5 ;
q5  0.13 кПа;
 f 1   f 2   f 3  1.3 ,  f 4  1.1 ,  f 5  1.05 , то
5
q
i 1
с1 
i
 2.45 кПа;
0 .1
0 .4
0.32
1 .5
0.13
; с2 
; с3 
; с4 
; с5 
;
2.45
2.45
2.45
2.45
2.45
и общий коэффициент перегрузки:
30


1
0.12  0.32  0.4 2  0.32  0.32 2  0.32  0.12 1.52  0.132  0.052  1.089 ;
2.452
 qn  2.45 кПа; q  qn   f 2.45 1.089  2.67 кПа;
Учет всех коэффициентов в отдельности дает 2.8525 кПа (   6.4% ).
 f  1
Шарнирно опертая балка со случайно распределенной нагрузкой
Пусть балка, шарнирно опертая по концам,
y
Q(x)
нагружена поперечной нагрузкой Q (x ) , которая
представляет собой случайную функцию длины x .
Например, это ветровая нагрузка, действующая в
заданный момент времени на протяженную балку
мостового пролета в горизонтальном направлении.
Дифференциальное уравнение для изгибающего момента в
x
балке:
x
d 2 M ( x)
 Qx  (150)
dx 2
L
Т. к. оператор дифференцирования линеен, то функция математического ожидания
d 2 M ( x)
 Q x  , (151)
dx 2
т. е. математическое ожидание изгибающего момента можно определить известными методами
сопротивления материалов.
Для определения расчетного значения момента M расч необходимо знать корреляционную
функцию K м x1 , x2  .
Если Y t  
dX t 
, то автокорреляционная функция Y t  :
dt
 2 K x t1 , t 2 
K y x1 , x2  
(152) (см.(71)).
t1t 2
 4 K м  x1 , x2 
 K Q  x1 , x2  (153) (неоднородное линейное уравнение с частными
Аналогично
2
2
x1 x2
производными 4-го порядка.),
где K Q  x1 , x2  — корреляционная функция нагрузки.
Для получения K м x1 , x2  необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение с учетом
граничных условий:
l
 l

l


 l
K м   , x2   K м  , x2   K м  x1 ,   K м  x1 ,   0 , (154)
2
 2

2


 2
т. к. значения изгибающих моментов по концам балки равны 0 и, значит, корреляционно не связаны со
значениями изгибающих моментов в любом другом сечении балки.
Полным решением дифференциального уравнения (153) является:


K м x1 , x2   K м x1 , x2   K м x1 , x2  , (155)
где K м x1 , x2   f1 x1   f 2 x2   x2 f 3 x1   x1 f 4 x2  (156) — общее решение однородного

уравнения
 4 K м  x1 , x2 
 0 , (157)
2
2
x1 x2
f1 , f 2 , f 3 , f 4 — производные функции своих аргументов;
Kм

x1 , x2     K Q x1 , x2 dx12 dx2 2
(158) — частное решение неоднородного уравнения.
Примем, что случайная функция представляет собой стационарную случайную функцию x , т. е.
K Q x1 , x2   K Q t  , где t  x1  x2 .
Примем автокорреляционную функцию нагрузки в виде:
KQ t   DQe
 t 
31
,(159) (см. (69))
где DQ  — постоянная по длине балки дисперсия;
 — параметр (произвольная константа).
Тогда частное решение неоднородного дифференциального уравнения (158) примет вид:
t t t t
K м t       K q t dt 4 .

0 0 0 0
Для корреляционной функции (159) будем иметь:
t t t t
t t t t
0 0 0 0
0 0 0 0
K м t    DQ e t dt 4 DQ  e t dt 4 .

 t  x
t

1) e
t
0
t
1




1
1
1
dt  dx  dt    e x dx   e 0   e t  e 0  1  e t .
0



1
dt   dx

2)
1

1  e dt    dt   e



1
t
t
0
t
t
0
0
3)
1
2
t
 1 1
 1
dt    t  1  e t   2 t  e t  1 .
 
  

t
 t  e
t

 1 dt 
0



t
t
t

1 
t

tdt

e
dt

dt  
2 


 0
0
0

 2 t 2

 1  e t  t 
3 

 2

t
t
t
t
2 2
2 t


1  t
1 
 1  e t  t  dt  3   t 2 dt   e t dt    tdt   dt  
4) 3  
 0 2
 2 0

0
0
0

2 3
2
3 3
 1  t

1  t
1
t
 2t 2
 3
 1  e t    t   4 
 1  e t 
 t  
  6

2    6
2


1  t2

 2  2
t
0



t


Тогда K м
 1

1  e  t  


1
1  t 1 3 3 1 2 2

e   t   t  t  1 .
4 
6
2
 

t   DQ  e t dt 4  DQ  1  e t dt 3 
t t t t
t t t

0 0 0 0
DQ 
0 0 0
t

DQ    2t 2
 2  t  e  1 dt  3  
 1  e t  t dt 
 00
 0 2

DQ   t 1 3 3 1 2 2



e   t   t  t  1  K м t  . (160)
4 
6
2
 

t t

t

2
(160) — частное решение неоднородного уравнения.
Общее решение (156) определяем методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.
Подставив ( ) и ( ) в ( ) и учитывая граничные условия ( ), получаем систему четырех
функциональных уравнений с четырьмя неизвестными функциями f1 , f 2 , f 3 , f 4 , найдя и подставляя
которые в (156), а затем в ( ), получим функцию дисперсии изгибающих моментов (при x1  x2  x ).
3 2
DQ    2  l
 3l 3
  lx l
e
ch

2
ch

x



1





2
2
24
4 
 2

l
4x2 
l 4 x l
2 3l 4  3lx 2
x 2 
 2 e 2 sh  e 2 shx 

2

2
l
3l
6
l 
l
Dx  
Dм  x  
l
DQ   
2 2 x 2
3


e
ch


2
ch

x




1


3
3
 4 
32
4 x 
4x
2 x
x 
, (161)
e sh  e  shx 
2
2
l
3l
l 
l
e x  e x
, chx 
— гиперболические синус и косинус.
2

где  
l
2
; shx 
e x  ex
2
2
3
4
2
В середине пролета при x  0
(максимальная дисперсия):

DQ   
3


e
ch


2
e

   1 ,
4 
3
 

Dм 0 
 
l
2
.
И окончательно, расчетное значение момента при детерминированной прочности материала:
М расч 
Q 0l 2
  Dм 0 ,
8
где  — нормируемая характеристика безопасности.
Проведем аналогичные рассуждения для консольной балки. Это может быть высотное сооружение
башенного типа с действующей на него ветровой нагрузкой.
Граничные условия: К м 0, x2   К м x1 ,0 
0
Q(x)
 2 К м 0, x2   2 К м x1 ,0

 0.
x1x2
x1x2
Граничные условия показывают, что значения моментов и поперечных сил на
свободном конце балки корреляционно не связаны со значениями в любом другом
сочетании балки, т. к. они равны нулю.
dM
, то ее автокорреляционная функция:
dx
 2 K м x1 , x2 
.(по (71))
K Q0 x1 , x2  
x1x2
Т. к. поперечная сила Q 0 
x
Аналогично, как для шарнирно опертой балки, получим автокорреляционную
функцию изгибающих моментов, задавшись автокорреляционной функцией случайной
функции нагрузки Qx  по (159).
K м  x1 , x2  
K м x1 , x2  
DQ 

4
e
  x1  x2  x1 x2 
DQ    x1  x2
1
1


e
   3t 3   2 t 2  t  1  K м t  ;
4 
6
2
 

 x1  x2
3
6
 e x1  e x2  x1e x2  x2 e x1  1 
3
x1  x2 
x
6
3
1
3

2
2
3 
 3x1 x2  3x1 x2  x2  ;

При x1  x2  x получим функцию дисперсии изгибающих моментов:
Dм x  
DQ  
2

 2e x   3 x 3   2 x 2  2xex  2  (162)
4 
3
 

Тогда расчетное значение момента при детерминированной прочности материала:
М расч 
Q l l
  Dм l  ,
2
где Q l  и Dм l  — значения функции математического ожидания внешней нагрузки и дисперсии
изгибающего момента при аргументе x  l (в защемлении).
33
22. Превышение нагрузкой заданного уровня
В большинстве случаев нагрузки, действующие на строительные конструкции, представляют собой
случайные функции Q(t). Случайная функция Q(t) характеризуется математическим ожиданием Q (t )
(детерминированная функция аргумента t) и корреляционной функцией Kx(t1,t2) (см (67)).
Обычно нагрузка Q(t) — стационарный (или квазистационарный) случайный процесс и случайная
функция.
Вернемся к формуле временной плотности вероятности выброса за уровень а для случайного
стационарного процесса, т. е. когда случайная функция X(t) независима со своей скоростью изменения
dX (t )
и тогда случайные функции X(t) и V(t) можно заменить случайными величинами X и V с
dt
плотностями распределения PQ (q ) и PV (v) .
V (t ) 

q(a)  Px (a)  PV (v)vdv (80)
0
Применительно к перегрузкам, т. е. превышению нагрузки Q(t) или комбинации нескольких
нагрузок некоторого допустимого уровня нагрузки а, запишем (аналогично (80)):

u(a)  PQ (a) PV (v)vdv ,
0
где u(a) назовем интенсивностью отказов конструкции, считая отказом превышение нагрузкой Q(t)
допускаемого для данной конструкции значения;
PQ (а ) и PV (v) — плотности распределения Q(t) с аргументом а и V(t).
Величина, обратная интенсивности отказов, — период отказа, т. е. средняя продолжительность
интервала между соседними выбросами (отказами).
 (а) 
1
u (a)
В большинстве случаев соседние отказы могут считаться независимыми случайными событиями, т. е.
период отказа Q(а) значительно превышает интервал времени t2 - t1, в течение которого корреляционная
функция K Q (t1 , t 2 )  0 и к ним (отказам) можно применять формулу вероятности непоявления редких
событий (74.3)
 t

Pt  exp   u (a )dt  ,
 0

где Pt — вероятность того, что в течение времени t нагрузка Q(t) ни разу не превысит значение а. Функция
Pt представляет собой интегральную функцию распределения максимума Q(t) за время t.
Тогда надежность конструкции при заданном сроке t:
 t

N  PQ (a) Pt  PQ (a) exp   u (a)dt  ,
 0

где PQ (а ) — интегральная функция распределения случайной нагрузки Q(t).
Связь между надежностью и интенсивностью отказов:
u (a)  
1 dN d
 (ln N ) .
N dt
dt
34
23. Влияние износа и изменения прочности во времени
Износ (ржавление, гниение, старение) — изменение прочности конструкции или ее элементов во
времени. Если прочность R — случайная величина, то при наличии износа ее следует считать случайной
функцией времени R (t ) .
Запишем S (t )  R(t )  F (t ) ,
где S (t ) — случайная функция резерва прочности.
Отказом будет являться переход случайной функции S (t ) через нуль в отрицательную область
( S (t ) 0).
При отсутствии взаимной корреляционной связи между F (t ) и R (t ) (т. е. F (t ) и R (t ) независимы
и их взаимная корреляционная функция K FR (t1 , t2 )  0 (см.(68))) математическое ожидание случайной
функции S (t ) (как детерминированной функции аргумента t ):
S (t )  R (t )  F (t ) .
Автокорреляционная функция для S (t ) :
K S (t1 , t 2 )  K R (t1 , t 2 )  K F (t1 , t 2 ) .
Дисперсия для функции S (t ) при t1  t2  t :
DS (t )  DR (t )  DF (t ) .
Аналогично (78) временная плотность вероятности того, что S (t ) 0:
0
q (0)    PSV (0, v)vdv ,
где v  f (t ) , вместо аргумента s — значение 0,

PSV ( s, v) — совместное распределение значений s  0 и ее производной в данный момент
времени. Знак минус указывает на то, что выбросы происходят в отрицательном направлении.
v(t ) 
dS (t ) dR(t ) dF (t )


dt
dt
dt
Если приближенно считать, что случайные ординаты s и v функций S (t ) и V (t ) — независимые
случайные величины, то (см. (80)):
0
q(0)   PS (0)  PV (v)vdv   PS (0)v ,

где v — математическое ожидание отрицательной величины v для данного момента времени;0
q зависит от t , т. к. v (t ) — математическое ожидание отрицательной скорости изменения случайной
функции S (t ) .
Если износ практически отсутствует, то прочность не зависит от времени и представляет собой не
случайную функцию, а случайную величину R . При этом:
S (t )  R  F (t )
и соответственно S (t )  R  F (t ) ; K S (t1 , t 2 )  D( R)  K F (t1 , t 2 ) .
Далее: v (t )  
dF (t )
dR (t )
 0.
; т. к.
dt
dt
И тогда функция надежности конструкции (вероятность неразрушения за период t ):
 T

Pt  1  PS (0)  exp   q(0)dt  ,
 0

где PS (0) — интегральная функция распределения резерва прочности S в начальный момент времени
t  0 (т. е. PS (S ) при S  0 ). (вероятность разрушения в начальный момент времени t  0 или
вероятность мгновенного отказа).
Продолжение ожидается...