1261332892_Конференция в УДГУ

А.С. Шаура
Ижевский Государственный Технический Университет, г. Ижевск
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ЗАДАЧ
УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Ключевые слова: генетический алгоритм, условная оптимизация.
Решение реальных задач экономики и управления часто связано с необходимостью решения задач условной оптимизации, которые в общем виде
можно представить как:
F ( X )  F ( x1 , x2 ,..., x N )  min , X  D  G  H ,
(1)
G  X  ( x1 , x2 ,..., x N ) g i ( X )  0, i  1, m1 ,
(2)




H  X  ( x1 , x2 ,..., x N ) hi ( X )  0, i  1, m2 ,
(3)
G( X )   g i  X   min .
(5)
(4)
D  X  ( x1 , x2 ,..., x N ) ai  xi  b, 1  i  N .
Множество D задает область поиска минимума функции F (X ) , удовлетворяющего ограничениям-неравенствам g i и ограничениям-равенствам hi , задающим допустимое множество G  H .
Целевая функция может быть нелинейной, многоэкстремальной, разрывной и т.д., а область G  H – многосвязной. Применение классических
методов оптимизации может оказаться неэффективным, либо вообще невозможным, в то время как использование эволюционных методов, в частности
генетических алгоритмов, может дать хорошие результаты.
При применении генетических алгоритмов для решения задач условной
оптимизации основная сложность заключается в учете ограничений на переменные. Как правило, задачи вида (1)-(4) сводят к задачам безусловной оптимизации, реже модифицируют генетический алгоритм. Можно выделить
следующие основные подходы [1,2]: «лечение» индивидов, барьерные методы и методы штрафных функций. Последние являются наиболее часто используемыми и в свою очередь делятся по виду штрафной функции на статические, динамические, адаптивные.
Применение адаптивных штрафных функций позволяет избежать настройки весовых коэффициентов. В частности, предложенный С.А. Исаевым
метод с применением самоадаптации основан на оценке соотношения количества допустимых и недопустимых особей в популяции [3].
Автором данной статьи для решения задач условной оптимизации предлагается использовать модифицированный генетический алгоритм с параллельным поиском допустимых особей. Суть метода заключается в учете «допустимости» особей на этапе отбора, делая акцент на поиске оптимального
решения, используя уже найденные допустимые. При этом используется
вспомогательная целевая функция, представляющая свертку из ограничений:
i
Схематически алгоритм представлен на рис. 1.
P0
P0
F
P0F
copy
cross
P0
G
P0G
P1
F
…
P1
P1
G
Рис. 1. Одна глобальная итерация генетического алгоритма.
Из случайной начальной популяции P0 создаются две популяции с целевыми функциями F и G (copy), для которых генерируются следующие поколения P0F и P0G. Первая популяция отвечает за минимизацию исходной целевой функции F, вторая за то, чтобы эта минимизация проходила на допустимом множестве. Далее проводится скрещивание популяций P0F и P0G с помощью классических операторов (cross), выбирая по одному родителю из каждой популяции. На этом заканчивается одна глобальная итерация алгоритма.
Вычислительный эксперимент проводился на следующих задачах [4]:
Задача 1. Минимизация функции Розенброка:
N 1
f ( X )   (100  ( xi 1  xi2 ) 2  (1  xi ) 2 )  min , xi  [5,5], i  1, 2, ..., N
i 1
при ограничениях вида R12  xi2  xi21  R22 , i  1, N  1 . Размерность N  30 ,
границы кольца R1  2 , R2  4 . Ограничения активны.
Задача 2. Условия те же, что и в задаче 1, но R1  1 , R2  3 . Ограничения неактивны, минимум лежит внутри области.
Задача 3. Минимизация функции Растригина:
N
f ( X )   ( xi2  10 cos(2xi ))  10 N  min , xi  [5,5], i  1,2,..., N
i 1
с ограничениями R12  xi2  xi21  R22 , i  1, N  1 , R1  2 , R2  4 . Размерность
N  30 . Ограничения активны.
Задача 4. Условия те же, что и в задаче 3, но ограничения вида xi2  xi21  R ,
i  1, N  1 , R  2 . Ограничения неактивны, минимум лежит внутри области.
Эксперимент состоял в проведении серии из 30 запусков для каждой задачи с применением следующих методов: штрафная функция с постоянной
величиной штрафа (ШФ), схема с самоадаптацией величины штрафа
(ШФСА), генетический алгоритм с параллельным поиском допустимых особей (ГАПП). Время каждого запуска ограничивалось одной минутой.
В табл. 1 для каждого случая приведены лучшие ( Fbopt ), средние ( Fmopt ) и
худшие ( Fwopt ) полученные значения. Для лучших решений указано среднее
время их достижения ( t , с) и процент успешных запусков (%), в которых они
были найдены. Обе используемые в задачах функции являются сложными
для минимизации, поскольку функция Розенброка имеет ярко выраженный
овражный характер, а функция Растригина многоэкстремальна.
Таблица 1.
Результаты решения тестовых задач
Экспериментальные значения F opt
Номер Точное
задачи значение
opt
b
F
1
≈932
opt
b
F
2
0
t ,с %
Fmopt
945,1
955,3
935,02
Fwopt
959,8
992,2
941,6
t ,с % 0,00002 15 10 0,00001 12 23 3,3e-9 3 13
Fmopt
0,00021
0,02023
1e-7
opt
w
0,00095
0,46072
1,4e-5
F
opt
b
F
3
60
ШФ
ШФСА
ГАПП
932,7 42 23 935,0 35 20 932,7 12 53
t ,с %
60,00 60 6,7 66,74 45 6,7 60,00 10 30
opt
m
F
67,30
75,69
66,31
Fwopt
74,80
83,76
74,62
Fbopt t ,с % 4,3e-8 32 20 1,9e-14 15 30
4
0
0
5 100
Fmopt
1,11
0,44
0
opt
w
4,97
1,98
0
F
Видно, что наибольшую сложность для всех методов представляют задачи 1 и 3 – т.е. когда ограничения в глобальном оптимуме активны. При использовании методов со штрафными функциями не все найденные решения
строго удовлетворяли ограничениям в отличие от решений, найденных методом ГАПП. В этом и заключается его основная особенность – при оценке
решения в первую очередь важна его допустимость, которая в этом методе
сильнее, чем в других, влияет на выживание каждой особи в популяции.
Кроме того, предлагаемый метод не требует дополнительной настройки параметров алгоритма.
Список литературы
1. Michalewicz Z. Genetic algorithms, numerical optimization and constraints //
Proc. of the 6th Int. Conf. on Genetic Algorithms and their Applications. –
Pittsburg, PA, 1995.
2. Бежитский С.С. Генетический алгоритм условной оптимизации в задаче
выбора эффективной структуры системы управления космическим аппаратом // С.С. Бежитский, Е.С. Семенкин, О.Э. Семенкина // Вестник Красноярского государственного университета. Серия «Физико-математические науки», № 4. - 2005. – С. 228-233.
3. Исаев С.А. Решение задач нелинейного программирования с использованием схем самоадаптации при построении штрафных функций. Электронный
научный
журнал
«Исследовано
в
России»
//
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/126.pdf.
4. Тененев В.А. Применение генетических алгоритмов с вещественным кроссовером для минимизации функций большой размерности // Интеллектуальные системы в производстве. – 2006. – №1. С. 93–107.