Теория_вышка_1_сем

1. Матрицы. Линейные операции над ними и их свойства.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк одинаковой длины.
3.
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
A

...


a

 n1 an 2 ... ann 
Для нахождения определителя более высокого порядка,
матрицу приводят к треугольному виду и считают произведение элементов на главной диагонали.
Свойства:
1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
3. Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных ряда, равен нулю.
4. Общий множитель элементов можно вынести за
знак определителя.
5. Если элементы какого-либо ряда представляют собой сумму элементов, то определитель может быть
разложен на сумму двух соответствующих определителей.
6. Определитель не изменится, если прибавим ко всем
элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и
тоже число.
7. Определитель равен сумме элементов, умноженных
на соответствующее им алгебраическое дополнение.
8. Сумма произведения элементов одного ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.
A 0  A
A A  0
1 A  A
  ( A  B )  A  B
7. (   )  A  A   A
8.   (  A)  ( )  A
3.
4.
5.
6.
2. Умножение матриц. Транспонирование. Свойства.
Операция умножения возможна, если количество
столбцов первой матрицы равно количеству строк другой матрицы.
4. Разложение определителя по элементам ряда.
Теорема замещения.
Определитель равен сумме произведений элементов на
соответствующее им алгебраическое дополнение.
Берем любые N чисел d1 , d 2 ,..., d n и умножим на ал-
Amn (aij )  Bn p (b jk )  Cm p (cik )
cik  ai1  b1k  ai 2  b2 k  ...  ain  bnk
гебраическое дополнение какой-либо строки.
где i  1, m
2.
3.
k  1, p
A  ( B  C )  ( A  B)  C
A  ( B  C )  AC  BC
( A  B)  C  AC  BC
 ( AB)  (A) B
d1  ai1  Ai1  d 2  ai 2  Ai 2  ...  d n  ain  Ain  det B
a11
...
B  d1
...
an1
4.
Матрица, полученная заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной, к данной.
1.
( A  B)T  AT  BT
2.
( AB)T  BT  AT
a12
... a1n
d2
...
dn
an 2 ... ann
5. Обратная матрица. Достаточное условие существования обратной матрицы.
A  A*  det A  E
3. Определители матриц. Свойства определителей.
Миноры и алгебраические дополнения.
1. n  1 A(a11 ) det A  a11
2.
A13 

A23 
A33 
 
det A        
     
Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.
Матрица, у которой число строк и столбцов равно –
называется квадратной.
Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой все элементы главной
диагонали равны 1, называется единичной. Обозначается буквой Е.
Матрица, у которой все элементы по одну сторону от
главной диагонали равны нулю, называется треугольной.
Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.
1. A  B  B  A
2. A  ( B  C )  ( A  B)  C
1.
 A11 A12

n  3 A A21 A22
A
 31 A32
   
A
A*
E
det A
 A11
A*
1 
A 

  A21
det A det A 
 A31
 a11 a12 
 det A  a11  a22  a12  a21
n  2 A
 a21 a22 
1
1
A12
A22
A32
A13 

A23 
A33 
2.
1
det A
1
( A  B)  B 1  A1
3.
( A1 )T  ( AT ) 1
1.
ния, необходимо, чтобы ее определитель был равен
нулю.
det( A 1 ) 
10. Линейные пространства. Линейная зависимость
и независимость системы векторов. Размерность и
базис линейного пространства.
Рассмотрим непустое множество элементов, которые
будем обозначать через x, y, z, … и множество действительных чисел. На этом множестве введем две операции (сложение и умножение). Пусть эти две операции
подчиняются аксиомам:
1. x  y  y  x
Для того чтобы матрица имела обратную достаточно
того, чтобы она была невырождена.
6. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.
1. Перестановка местами 2 параллельных рядов матрицы.
2. Умножение элементов ряда матрицы на число отличное от нуля, отличное от нуля.
3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда,
умноженных на одно и тоже число.
Из элементов стоящих на пересечении выделенных
строк и столбцов, составим определитель k-ого порядка. Наибольший из порядков таких миноров называется
рангом матрицы.
2. ( x  y )  z  x  ( y  z )  x  y  z
3. x  0  x
4. x  ( x)  0
1 x  x
 ( x)   (x)  x
7.  ( x  y )  x  y
8. (   ) x  x  x
V; x, y, z, …  V
5.
6.
0  r  min( m; n)
Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее
аксиомам называется линейным пространством.
Элементы линейного пространства называются векто-
7. Решение линейных уравнений. Решение невырожденых систем.
Метод Гаусса.
Сначала следует привести систему к треугольному
(ступенчатому) виду, а затем ступенчато решить.
Формула Крамера.
рами, обозначаются x , y , z . Существует единственный нулевой элемент, для каждого элемента существует единственный противоположный.
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.
a11x1  a12 x2  a13 x3  b11

a21x1  a22 x2  a23 x3  b21
a x  a x  a x  b
 31 1 32 2 33 3 31
 a11 a12 a13 
 b11 


 
A a21 a22 a23 
B b21 
a

b 
 31 a32 a33 
 31 
x1, x2 ,..., xn
Составим линейную комбинацию:
1 x1   2 x2  ...   n xn  y
y  0 , если 1   2  ...   n  0  система n векторов – линейно-зависима.
Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то
вся система векторов является линейно-зависимой.
Если система n векторов линейно-независима, то любая
часть из этих векторов будет тоже линейнонезависимой.
Размерность и базис линейного пространства. Пусть
система n векторов линейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно-зависима, тогда число n
называют размерностью пространства. dimV=n
Система этих n линейно-независимых векторов называется базисом линейного пространства. Рассмотрим си-
Подсчитать определитель матрицы А.
Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А,
подсчитать определитель и разделить его на detA, так
мы получим x1. То же самое проделать со 2-ым и 3-им
столбцом.
8. Решение произвольных систем. Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r
уравнений, из которых составлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный
минор, называются главными и остаются слева, а
остальные называются свободными и переносятся в
правую часть уравнения. Найдя главные через свободные, получим общее решение системы.
стему n+1 векторов.
x1 , x2 ,..., xn , y
y  a1 x1  a2 x2  ...  an xn
Такое представление называется разложение y по базису, а числа
(a1 , a2 ,..., an ) называют координатами
вектора.
Разложение любого вектора в выбранном базисе - единственно.
9. Однородные система уравнений. Фундаментальная система решений.
Система однородных уравнений всегда имеет нулевое
решение. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы система имела ненулевые реше-
11. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
n – мерное пространство.
Vn – базис, состоящий из n векторов.
2
Рассмотрим линейное пространство V, в котором уже
есть 2 операции (сложение и умножение). В этом пространстве введем еще одну операцию. Она будет удовлетворять следующим аксиомам.
В пространстве есть базисы
e1, e2 ,..., en

Введем матрицу перехода от e к e .
 t11 t12 ... t1n 

 T 
T   ...
 e e
t

 n1 tn 2 ... tnn 
 
e1  t11 e1  t12 e2  ...  t1n en
 
e2  t 21 e1  t 22 e2  ...  t 2 n en

...
 
en  t n1 e1  t n 2 e2  ...  t nn en
 x  1 e1   2 e2  ...   n en

 



 x  1 e1   2 e2  ...   n en

 
 
 
x  1 e1   2 e2  ...   n en 
1 (t11 e1  t12 e2  ...  t1n en ) 

  2 (t 21 e1  t 22 e2  ...  t 2 n en )  ... 

  n (t n1 e1  t n 2 e2  ...  t nn en ) 



 (1 t11   2 t12  ...   n t1n ) 



 (1 t 21   2 t 22  ...   n t 2 n )  ... 



 (1 t n1   2 t n 2  ...   n t nn ) 
1. ( x; y )  ( y; x)
2. ( x  y; z )  ( x; y )  ( y; z )
3. ( x; y )   ( x; y )
2
4. ( x; x)  ( x )  0
Указанная операция называется скалярным произведением векторов. N – мерное линейное пространство с
введенной операцией скалярного произведения, называется Евклидовым пространством.
Длиной вектора называется арифметическое значение
квадратного корня и скалярного квадрата.
2
x  (x )
Длина вектора удовлетворяет следующим условиям:
1.
x  0 , если x  0  x  0
2.
x    x
3.
x; y  
4.
x  y  x  y - неравенство треугольника
x  y - неравенство Коши-Буня
( x; y )  x y
x; y
x y
1 
 1 e1   2 e2  ...   n en 
   t   t  ...   t
1 11
2 12
n 1n
 1
   t   t  ...   t
1 21
2 22
n 2n
 2
...

 n  1t n1   2t n 2  ...   nt nn
  
 1 
 1 
 
 

 
x   2  y   2 
...
 ... 
 
 
  
 n
 n 
1

x; y
x y
cos  
x; y
x y
1
13.Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов
называется число, равное произведению этих векторов
на косинус угла между ними.
a  b  a  b  cos 
ab  a  прa b  b  прb a
1.
ab  ba
2. ( a )  b  a  ( b)
 t11 t12 ... t1n  1   1 


 
 t 21 t 22 ... t2 n   2    2 
T 
    ... 
...

 ...   
t
     
t
...
t
nn   n 
 n1 n 2
 n
3. a (b  c)  ab  a c
2
4.
a a
2
14. Векторное произведение векторов и его свойства.
Три некомпланарных вектора образуют правую тройку
если с конца третьего поворот от первого вектора ко
второму совершается против часовой стрелки. Если по
часовой – то левую.
  T 
12. Евклидово пространство. Длина вектора. Угол
между векторами.
3
Векторным произведением вектора
a
16. Линейные преобразования пространства. Матрица линейного преобразования. Связь между координатами образа и прообраза.
Рассмотрим линейное пространство V, в котором каждому элементу x, в силу некоторого закона поставлен
элемент этого же пространства.
на вектор
b называется вектор c , который:
1. Перпендикулярен векторам a и b .
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах a и b .
f
с  a  b  sin  , где   (a; b)
x  y  y  f (x)
x - прообраз
y - образ
3. Векторы a , b и c образуют правую тройку векторов.
Свойства:

  
 a  b    a  b  a   b 
a || b  a  b   0
a  b c  a  c  b  c
Каждому прообразу соответствует единственный образ.
Каждый образ имеет единственный прообраз.
Линейное преобразование пространства, при котором
существует взаимнооднозначные соответствия.
1. a  b   b  a
2.
3.
4.
i
a  b  ax
j
ay
k
az
bx
by
bz
Блективное преобразование – y  f (x) называется
линейным, если выполняются 2 условия.
1. F ( x  y )  F ( x)  F ( y )
2. F ( x )  F ( x )
F ( x   y )  F ( x )   F ( y )
Рассмотрим n-мерное линейное пространство
(e) : e1 , e2 ,..., en
15. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Смешанное произведение записывают в виде:
x  x1 e1  x2 e2  ...  xn en
Для того, чтобы задать линейные преобразования в
этом пространстве достаточно задать это преобразование для базисных векторов.
d  ( a  b)  c .
Смысл смешенного произведения: сначала два вектора
векторно перемножают, а затем полученный скалярно
перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат
смешанного произведения – объем параллелепипеда,
образованного векторами.
Свойства.
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:



e1  F (e1 ) e2  F (e2 ) ... en  F (en )
y  F ( x)  F ( x1 e1  x2 e2  ...  xn en ) 
 x1 F (e1 )  x2 F (e2 )  ...  xn F (en ) 



 x1 e1  x2 e2  ...  xn en
Матрица линейного преобразования.
Пусть F – линейное преобразование линейного про-
( a  b )  c  (с  b )  a  ( c  a )  b
2. Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.
  в базис
странства, переводящая базис e
e  - базис, то верны соотношения
(a  b)  c  a  (b  c)
3. Смешанное произведение меняет знак при перемене
мест
любых
двух
векторов-сомножителей.

e1  a11 e1  a12 e2  ...  a1n en

e2  a21 e1  a22 e2  ...  a2 n en
a  b  c  a  c  b
a  b  c  b  a  c
...
a  b  c  c  b  a

en  an1 e1  an 2 e2  ...  ann en



e1 e2 ... en
4. Смешанное произведение трех ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.
ax
abc  bx
cx
ay
by
cy
 
 e  . Т.к.
 
az
bz
cz
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
A

...


a

a
...
a
n
1
n
2
nn


Три вектора называются компланарными, если результат смешанного произведения равен нулю.
А – является матрицей линейного преобразования или
линейным оператором пространства.
Связь между координатами образа и прообраза.
4
18. Характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора
и их свойства.
x, y  V
y  f ( x)
Если в базисе
В базисе
e вектор x имеет координаты
x  x1 e1  x2 e2  ...  xn en

а в базисе ( e ) оператор имеет матрицу В
det( A  E )  det( B  E )
y  f ( x)  f ( x1 e1  x2 e2  ...  xn en ) 
det( B  E )  det(T 1 AT  T 1 ET ) 
 x1 (a11 e1  a12 e2  ...  a1n en ) 
 det(T 1 ( A  E )T )  det T 1 det( A  X );
1
det T  det A1 
det A
 a11 a12 ... a1n   1 0 ... 0 

 

 a21 a22 ... a2 n   0 1 ... 0 
A  E  
    ...

...

 

a
  0 0 ... 1 
a
...
a
n
1
n
2
nn




a12
...
a1n 
 a11  


a22   ...
a2 n 
 a21
 ...



 a
an 2
... ann   
 n1
 x2 (a21 e1  a22 e2  ...  a2 n en )  ... 
 x4 (an1 e1  an 2 e2  ...  ann en ) 
 e1 (a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn ) 
 e2 (a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn )  ... 
 e4 (an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn ) 
 y1 e1  y2 e2  ...  yn en
 y1  a11x1  a12 x2  ...  a1n xn
 y  a x  a x  ...  a x

21 1
22 2
2n n
() 2
...
 yn  an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn
 y1 
 x1 
 
 
y   ...  x   ... 
y 
x 
 n
 n
Если характеристически многочлен линейного оператора прировнять к 0, получим характеристическое
уравнение линейного оператора.
Собственные векторы линейного оператора
y  Ax
х называется собственным вектором
линейного оператора, если АХ  кХ оператор к х ,
получим этот же х , умноженный на некоторое к.
 2 1

к – собственное число оператора А= 
3
0


Ненулевой вектор
Линейное преобразование – матрица линейного оператора.
Каждому линейному преобразованию соответствует 1
матрица линейного оператора и наоборот.
Если имеется квадратная матрица  задано линейное
преобразование пространства.
х  е1  3е
17. Связь между координатами одного и того же
линейного оператора в разных базисах.
e
y  Ax
y  Bx
 2 1  1 
 1
     (1)       х
А х  
 3
 3 0    3
T
Каждый собственный вектор имеет единственное собственное число.
Ах  k1 х 
k1 х  k2 х  (k1  k2 ) x  0  k1  k2
Ах  k2 х
B  T 1 AT
Т – матрица перехода от e к e’ , то:
x  Tx
Ax  ATx
Ty  ATx

λ – произвольное число ≠0
Е – единичная матрица
 x1 F (e1 )  x2 F (e2 )  ...  xn F (en ) 
ee
y  f x 
e
e линейный оператор имеет матрицу А,
19. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой.
Угол между прямыми.
Векторное уравнение прямой.
Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.
Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0;y0;z0) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку
M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M и M0 через r и r0.
y  Ty 
y  T 1 ATx
y  Bx
Если линейный оператор имеет в базисе невырожденную матрицу Т, матрица этого оператора в любом другом базисе не будет вырождена.
r  r0  M 0 M
Тогда уравнение прямой запишется в виде:
5
r  r0  t S
где t – скалярный множитель (параметр).
Параметрические уравнения прямой.
Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0) и вектором
n( A; B; C ) , перпендикулярной этой плоскости.
r ( x; y; z )

r0 ( x0 ; y0 ; z0 )

t S (tm; tn; tp)
xi  y j  z k  ( x0  tm)i  ( y0  tm) j  ( z0  tm)k
Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор
положении точки М на плоскости Q
этому
n  M0M  0 .
Общее уравнение плоскости.
 : Ax  By  Cz  D  0
 Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка
О (0;0;0)
Канонические уравнения прямой.
S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M0(x0;y0;z0)
 Если С=0 то вектор n( A; B;0)  oz . Следовательно,
плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если
А=0 – то ox.
 Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0),
параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.
M 0 M  ( x  x0 ; y  y0 ; z  z0 ) со-
единяет M0 с произвольной точкой М.
x  x0 y  y0 z  z0


m
n
p
 Если А=В=0 то уравнение примет вид z  
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через
две точки.
M1(x1;y1;z1)
M2(x2;y2;z2)
В качестве направляющего вектора можно задать век-
m  x2  x1
x  x1
y  y1
z  z1



n  y2  y1 , тогда
x2  x1 y2  y1 z2  z1
p  z  z
2
1

KP  ( x  x1 ; y  y1 ; z  z1 )
KM  ( x2  x1 ; y2  y1 ; z 2  z1 )
Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:
KN  ( x3  x1 ; y3  y1 ; z3  z1 )
Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно
они компланарны:
n1 ( A1 ; B1 ; C1 )
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0


n2 ( A2 ; B2 ; C2 )
 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то
направляющий вектор запишется как векторное произведение:
j
B1
B2
D
плосC
кость параллельна плоскости Oxy.
 Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид z  0 . Это
уравнение плоскости Oxy.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
К (х1;у1) М (х2;у2) N (x3;y3)
Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).
Составим векторы:
тор M 1M 2  ( x2  x1 ; y2  y1 ; z 2  z1 )
Следовательно:
i
S  n1  n2  A1
A2
n  M 0 M , по-
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
 x  x0  mt

 y  y0  nt
 z  z  pt
0

– точка на прямой.
M 0 M1  ( x  x0 ; y  y0 ; z  z0 ) . При любом рас-
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
x3  x1
y2  y1
y3  y1
z2  z1  0
z3  z1
Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит
через точки:
k
C1
C2
A( a;0;0)
xa
B (0; b;0) ;  a
C (0;0; c )  a
Угол между прямыми.
x  x1 y  y1 z  z1 x  x2 y  y2 z  z 2




;
m1
n1
p1
m2
n2
p2
y
z
x y z
  1
b 0  0;
a b c
0 c
Нормальное уравнение плоскости.
d  x  cos  y  cos   z  cos   p
S1 (m1 ; n1 ; p1 )

S 2 (m2 ; n2 ; p2 )
S S
m1m 2  n1n2  p1 p2
cos   1 2 
2
S1  S 2
m1  n12  p12  m22  n22  p22
21. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние
от точки до плоскости.
 : Ax  By  Cz  D  0
x  x0 y  y0 z  z0
Прямая L:


m
n
p
20. Плоскость в пространстве. Виды уравнения
плоскостей. Угол между плоскостями.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору.
Пусть φ – угол между плоскостью и прямой.
Тогда θ – угол между n( A; B; C ) и S ( m; n; p ) .

6
cos  
Найдем sin  , если

nS
C
. Это уравнение прямой, параллельной оси
A
 C 
оу. и проходящей через точку   ;0 
 A 
nS
x

2


sin   sin      cos  , т.к. sin   0
2

Am  Bn  Cp
sin  
A2  B 2  C 2  m 2  n 2  p 2
 Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом y  
Расстояние d от точки М0 до плоскости ∆ равно модулю
M 0 M1 (где М1(x1;y1;z1) - произволь-
ная точка плоскости) на направление нормального век-

Подставим в это уравнение точку М
n  ( A; B; C )
M 1M 0  n
 y0  kx0  b  y  kx  b


 y  kx  b b  y0  kx0
y  kx  y0  kx0

n
( x0  x1 ) A  ( y0  y1 ) B  ( z0  z1 )
A2  B 2  C 2
Ax0  By0  Cz0  Ax0  By0  Cz0

y  y0  k ( x  x0 )
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
К (х1;у1) М (х2;у2)
A2  B 2  C 2
Ax0  By 0  Cz0  D  0
y  y1  k ( x  x1 )
D   Ax0  By 0  Cz0
k
d
y2  y1  k ( x2  x1 )

Ax0  By 0  Cz0  D
A  B C
2
2
y0  kx0  b
Решим систему:
d  прn M 1M 0 

C
. Это
B
уравнение прямой, параллельной оси ох.
 Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).
Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном
направлении.
т М (х0;у0).
Уравнение прямой записывается в виде y  kx  b .
 : Ax  By  Cz  D  0
тора
A
C
x .
B
B
 Если А=0, то уравнение имеет вид y  
Расстояние от точки до плоскости.
Дано:
M0 (x0;y0;z0)
проекции вектора
Ax  C  0 или
 Если В=0, то уравнение имеет вид
y2  y1
x2  x1
 y  y1  k ( x  x1 )

y2  y1

k  x  x
2
1

y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
2
!!!Если плоскость задана уравнением:
x  cos   y  cos   z  cos   p  0
то расстояние до плоскости находится по формуле:
d  x  cos  y  cos   z  cos   p
Уравнение прямой в отрезках.
К (а;0); М (0;b)
Подставим точки в уравнение прямой:
22. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на
плоскости. Угол между двумя прямыми.
Уравнение с угловым коэффициентом.
y0 xа

b0 0а
x y
 1
a b
y  kx  b
k= tg α – угловой коэффициент.
Если b=0 то прямая проходит через начало координат.
Уравнение примет вид y  kx
Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох. y  b
Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае
уравнение примет вид x  a и пройдет параллельно
оси оу.
Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку,
перпендикулярно данному вектору.
М0 (х0;у0).
n  ( A; B)
Возьмем произвольную точку М (х;у).
M 0 M  ( x  x0 ; y  y0 )
Т.к.
Ax  By  C  0
n  M 0 M , то n  M 0 M  0
A( x  x0 )  B( y  y0 )  0
A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны
нулю одновременно.
Нормальное уравнение прямой.
7
Уравнение прямой можно записать в виде:
( x  c) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2  2a
r  cos(   )  p  0
r  cos   cos   r  sin   sin   p  0
Т.к. r  cos   x ; r  sin   y , то:
x  cos   y  sin   p  0
( x  c) 2  y 2  2a  ( x  c) 2  y 2
x 2  2 xc  c 2  y 2  4a 2  4a ( x  c) 2  y 2 
 x 2  2 xc  c 2  y 2 ;
Угол между прямыми.
Дано: прямые L1 и L2 с угловыми коэффициентами
xc  a 2   a ( x  c) 2  y 2
 y  k1 x  b1

 y  k2 x  b2
a 4  2a 2 cx  c 2 x 2  a 2 x 2  2a 2cx  a 2 c 2  a 2 y 2
(c 2  a 2 ) x 2  a 2 (c 2  a 2 )  a 2 y 2
Требуется найти угол между прямыми:
   2  1
x2 y 2

1
a 2 b2
tg 2  tg1
tg  tg ( 2  1 ) 
1  tg1  tg 2
tg1  k1 ; tg 2  k2
k k
tg  2 1
1  k1  k 2
25. Парабола. Определение. Вывод канонического
уравнения.
Парабола – множество всех точек плоскости, каждая
из которых одинаково удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через р>0.
Пусть M(x;y) – произвольная
y
точка M с F. Проведем отрезок
MN перпендикулярно
N
M (x;y)
директрисе. Согласно
определению MF=MN.
23. Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.
Эллипсом называется
y
M (x;y)
геометрическое место всех
точек плоскости, сумма
расстояний от которых до
F (-c;0)
O
F (c;0)
x
до фокусов есть величина
постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.
Т.к. MF1 + MF2 = 2a
1
2
2
p

MF   x    y 2
2

2
2
2
p
p


2
x   y  x 
2
2


x 2  2 xc  c 2  y 2  4a 2  4a ( x  c) 2  y 2 
 x 2  2 xc  c 2  y 2 ;
x 2  px 
a ( x  c) 2  y 2  a 2  cx
(a 2  c 2 ) x 2  a 2 y 2  a 2 (a 2  c 2 )
Т.к. a  c  b
То получаем
Или
F (p/2;0)
2
p2
p2
 y 2  x 2  px 
4
4
y 2  2 px
a 2 x 2  2a 2cx  a 2 c 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 cx  c 2 x 2
2
x
x
2
2
( x  c ) 2  y 2  2a  ( x  c ) 2  y 2
2
O
x= -p/2
p

MN   x    ( y  y ) 2
2

( x  c )  y  ( x  c )  y  2a
2
b2  c2  a2
26. Поверхности вращения.
Поверхность, образованная вращением некоторой
плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости,
называется поверхностью вращения. Пусть некоторая
кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнение этой кривой запишутся в виде:
2
b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2
x2 y2

1
a 2 b2
F ( y; z )  0
x0
24. Гипербола. Определение. Вывод канонического
уравнения.
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых
до фокусов есть величина постоянная.
Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда
согласно определению гиперболы |MF1 – MF2|=2a или
MF1 – MF2=±2a,
Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.
х
Возьмем на поверхности точку
M (x;y;z). Проведем через точку
L
М плоскость, перпендикулярную
N (0;y ;z )
оси oz, и обозначим точки
M (x;y;z)
пересечения ее с осью oz
и кривой L соответственно O1 и N.
O
y
y
x
Обозначим координаты точки
N (0;y1;z1). Отрезки O1M и O1N x
O (0;0;0)
8
1
1
являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O1M = O1N. Но O1M = (x2+y2)0.5, O1N=|y1|.
Следовательно, |y1|=(x2+y2)0.5 или y1=±(x2+y2)0.5. Кроме
того, очевидно, z1=z.
Полуоси достигают своего наименьшего значения при
h=0, a1=a, b1=b. При возрастании |h| полуоси будут увеличиваться.
Если пересекать поверхность плоскостями x=h или y=h,
то в сечении получим гиперболы. Найдем линию пересечения поверхности с плоскостью Oyx, уравнение которой x=0. Эта линия пересечения описывается уравнениями:
Следовательно F ( x  y ; z )  0 – искомое урав2
2
нение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точка М этой поверхности и не удовлетворяет координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.
27. Поверхности 2-го порядка. Эллипсоид, Гиперболоид.
Эллипсоид.
2
2
y2 z2
 1
b2 c2
x0
Поверхность имеет форму бесконечно расширяющейся
трубки и называется однополостным гиперболоидом.
Двуполостный гиперболоид.
2
x
y
z
 2  2 1
2
a
b
c
x2 y 2 z 2

  1
a 2 b2 c2
Рассмотрим сечение поверхности с плоскостями, параллельными xOy. Уравнения таких плоскостей z=h,
где h – любое число. Линия, получаемая в сечении,
определяется двумя уравнениями:
Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия
пересечение уравнениями
 x2 y2
h2
 2  2  1 2
b
с
a
z  h

Если |h|>c, c>0, то
 x2 y2 z 2
 2  2  2 1
b
c
a
z  h

Если |h|<c, то плоскости z=h не пересекаются.
Если |h|=c, то плоскости h=±c касаются данной поверхности соответственно в точках (0;0;с) и (0;0;-с).
Если |h|>c, то уравнения можно переписать в виде:
x2 y2

 0 точек пересечения
a 2 b2
поверхности с плоскостями z=h нет.
Если |h|=c, т.е. h=±c, то
x2 y2

 0 . Линия пересечеa 2 b2

x2
y2

1

2
2
2
2




 2 h
h
1   b2 2 1 
 a
2



c
c

 


z  h
ния вырождается в две точки (0;0;с) и (0;0;-с). Плоскости z=c и z=–c касаются поверхности.
Если |h|<c, то уравнения можно переписать в виде:

x2

 
h2
 a 1  2
c


z  h




2

y2
2 

b 1 h 

c 2 

2
1
Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого
возрастают с ростом |h|.
У обеих гипербол действительной осью является ось oz.
Метод сечения позволяет изобразить поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму двух неограниченных чаш. Поверхность называется двуполостным гиперболоидом.
Линия пересечения есть эллипс с полуосями.
Эллипсоид – замкнутая овальная поверхность, где a,b,с
– полуоси. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две полуоси равны,
то тело называется эллипсоид вращения, если a=b=c, то
тело называется сферой x2+y2+z2=R2
Однополостный гиперболоид.
28. Поверхности 2-го порядка. Параболоиды.
Эллиптический.
При пересечении поверхности координатами плоскостями Oxz и Oyz получается соответственно параболы
z
x2 y 2 z 2

 1
a 2 b2 c 2
y2
x2
и z
. Таким образом, поверхность,
2p
2q
определяемая уравнением, имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши.
Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеют вид.
x2 y2

 2z
p q
 x2 y2
z2
 2  2  1 2
b
c
a
z  h


x2
y2

1

2
2
2 
2 



h
h
  a 1  2   b 1  2 
c  
c 


z  h
Гиперболический.
x2 y2

 2z
p q
Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кривую
9
 x2
y2

1

 2 ph 2qh
z  h

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке
х0, если для любой последовательности допустимых
значений аргумента xn, n€N (xn≠x0), сходящейся к х0
(т.е. lim xn  x0 ), последовательность соответствую-
которая при всех h≠0 является гиперболой. При h>0 ее
действительные оси параллельны оси Ox, при h<0 –
параллельные оси Oy. При h=0 линия пересечения распадается на пару пересекающихся прямых:
щих значений функции f(xn), n€N, сходится к числу А,
т.е. lim f ( x)  A . Геометрический смысл предела






n 
x  x0
этой функции, что для всех точек х, достаточно близких
к точке х0, соответствующие значения функции как
угодно мало отличается от числа А.
Односторонние пределы.
Считается, что х стремится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), большим, чем х0
(справа от х0), или колеблясь около точки х0.
Число А1 называется пределом функции y=f(x) слева в
точке х0, если для любого ε<0 существует число
σ=σ(ε)>0 такое, что при х€(x0-σ;x0), выполняется неравенство |f(x)-A1|<ε lim f ( x)  A1
x
y

0
p
q
x
y

0
p
q
При пересечении поверхности плоскостями, параллельности плоскости Oxz (y=h), будут получаться параболы, ветви которых направлены вверх.
 2

h2 

 x  2 p z  
2q 


y  h

x  x0  0
  0,    ( ), x  ( x0   ; x0 )  f ( x)  A1    lim f ( x)  A1
xx0 0
Пределом функции справа называется
  0,    ( ), x  ( x0 ; x0   )  f ( x)  A2    lim f ( x)  A2
xx0 0
Свойства пределов.
1) если предел lim
29. Поверхности 2-го порядка. Конусы и цилиндры.
Конус.
Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через Р) называется конической поверхностью или конусом. При
этом линия L называется направляющей конуса, точка
Р – ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность,
называется образующей.
x x0
ция равна этому числу плюс б.м.
lim f ( x)  0    0,   0 :| x  x0 |  | f ( x)  a | 
x x0
ε – сколь угодно малое число
|f(x)-a|=α; f(x)=a+ α
2) сумма конечного числа б.м. чисел есть б.м. число
3) предел произведения равен произведению пределов
4) константы можно выносить за знак предела
x2 y 2 z 2


- уравнение конуса
a 2 b2 c 2
5) lim
Цилиндр.
Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное
направление и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется цилиндром. При этом кривая К
называется направляющей цилиндра, а прямая L –
образующая.
2
f ( x)  a  f ( x)  a   функ-
x  x0
f ( x)
f ( x) xlim
 x0

g ( x) lim g ( x)
x  x0
32. Замечательные пределы.
1 замечательный предел.
sin x
lim
1
x 0
x
2
x
y
 2  1 - уравнение цилиндра
2
a
b
С
М
х
tgx
О
cos x A B
Возьмем круг радиуса 1, обозначим
радианную меру угла MOB через Х.
Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ
численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда
30. Исследование кривой второго порядка по ее уравнению без произведения координат.
Уравнение вида Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 всегда определяет либо окружность (при А=С), либо эллипс (при
А*С>0), либо гиперболу (при А*С<0), либо параболу
(при А*С=0), при этом возможны случаи вырождения:
для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных
прямых.
Общее уравнение второй степени с двумя неизвестными: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
Коэффициент В с произведением координат преобразовывает уравнение путем поворота координатных осей.
SMOB  SсектораMOB  S COB
1
1
1
sin x  x  tgx
2
2
2
1
Разделим все на sin x  0 и получим:
2
x
1
1

sin x cos x
sin x
cos x 
1
x
31. Определение предела числовой функции. Односторонние пределы. Свойства пределов.
10
Т.к. lim cos x  1 , то по признаку существования пре-
- А1≠А2 то точка х0 называется точкой конечного разрыва.
|A1 – A2| называется скачком функции.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода
функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности.
x 0
sin x
 1.
x 0
x
делов следует lim
2 замечательный предел.
x
 1
lim 1    e
x 
 x
34. Производная от функции. Дифференцируемость
функции. Дифференциал.
Производной функции y=f(x) в точке х0 называется
предел отношения приращения функции к приращению
аргумента, когда аргумент стремится к нулю.
f ( x 0  x)  f ( x0 )
y  lim
x 0
x
Производная функции f(x) есть некоторая функция
f ’(x), произведенная из данной функции.
Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке
интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом
интервале.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется
главная часть ее приращения, равная произведению
производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x) ).
Иначе. Дифференциал функции равен произведению
производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:
n  x  n 1
1
1 1
 
n 1 x n
n
x
1   1  1

1 
   1    1  
 n 1  x   n 
n
Если x→∞, то n→∞, тогда
n 1
1 

lim 1 

n
n 
1 

 1 n   e  e
lim 1 


n 
1 
1

 n 1
lim 1 

n 
 1 n 
 1
lim 1  
n 
 n
n 1
n
 1
 1
 lim 1    lim 1    e 1  e
n 
n


 n
 n
По признаку о существовании пределов:
35. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функции. Производные сложных
функций.
x
 1
lim 1    e
x 
 x
(U  V )  U   V 
(U V )  U V  V U

 U  U V  V U
  
V2
V 
33. Непрерывные функции и их свойства. Точка разрыва функций и их классификация.
Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется
непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой
точке:
Для нахождения производной сложной функции надо
производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного
аргумента по независимому аргументу.
Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
1
с  0
(ctgU )   2  U 
sin U
(U a )  a  U a 1
1
(arcsin U ) 
U 
1
1U 2
( u ) 
U 
2 U
1
(arccos U )  
U 
U
(a )  aU  ln a  U 
1U 2
lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
Это означает:
- функция определена в точке х0 и в ее окрестности;
- функция имеет предел при х→х0
- предел функции в точке х0 равен значению функции в
этой точке, т.е. выполняется равенство.
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком
функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х
подставить предельное значение х0
Точки разрыва функции – это точки в которых нарушается непрерывность функции.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода
функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние
пределы)
lim f ( x)  A1 и lim f ( x)  A2
x  x0  0
( e U )   eU  U 
(log a U ) 
1
U 
U  ln a
1
U
U
(sin U )  cos U  U 
(cos U )   sin U  U 
1
(tgU ) 
U
cos 2 U
(ln U ) 
x  x0  0
При этом, если:
- А1=А2 то точка х0 называется точкой устранимого
разрыва;
11
1
U 
1U 2
1
(arcctgU )  
U 
1U 2
( shU )  chU  U 
(chU )   shU  U 
(arctgU ) 
1
U 
ch 2U
1
(cthU )   2  U 
sh U
(thU ) 
36. Логарифмическое дифференцирование.
Логарифмическое дифференцирование - в некоторых
случаях целесообразнее функцию сначала прологарифмировать, а результат продифференцировать.
Если существует предел
f ( x)  g ( x)
 ( x)
f ( x)  g ( x)
ln( y )  ln(
)
 ( x)
ln y  ln f ( x)  ln g ( x)  ln  ( x)
1
f ( x) g ( x)  ( x)
 y 


y
f ( x) g ( x)  ( x)
Неопределенности вида 0∙∞ ; ∞-∞ ; 1∞ ; ∞0 ; 00 сводятся
к двум основным.
Например, 0∙∞
Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х0
f ( x)
f ( x)
f ( x)
 l , то lim
 lim
l
x  x0  ( x )
x  x0  ( x )
x  x0  ( x )
lim
y
y 
lim ( f ( x) ( x))  [0  ]  lim
x  x0
f ( x)  g ( x)  f ( x) g ( x)  ( x) 

 


 ( x)
 f ( x) g ( x)  ( x) 
38. Дифференциалы высших порядков.
Пусть y=f(x) дифференцируема функция, а ее аргумент
х – независимая переменная. Тогда дифференциал dy=f
′(x)dx есть также функция х, можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала
есть второй дифференциал.
Производную можно рассматривать, как отношение
дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Дифференциал n-ого порядка, есть дифференциал от
дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную
функции можно рассматривать, как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствустепени
d n y  d (d n 1 y )  f ( n ) ( x)( dx) n ющей
дифференциала
независимой переdny
(n)
f ( x)  n
менной.
Однако производные степенных функций находят
только логарифмическим дифференцированием.
Производная степенно-показательной функции равна
сумме производно показательной функции, при условии
U=const, и производной степенной функции, при условии V=const.
(U V )  U V  ln U V   V U V 1 U 
37. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0
и ∞ / ∞, который основан на применении производных.
Правило Лопиталя, при 0 / 0.
Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращается в
нуль в этой точке: f ( x0 )   ( x0 )  0 .
Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x0
Если существует предел
dx
39. Исследование условий и построение графиков.
- найти область определения функции
- найти точки пересечения графика с осями координат
- найти интервалы знака постоянства
- исследовать на четность, нечетность
- найти асимптоты графика функции
- найти интервалы монотонности функции
- найти экстремумы функции
- найти интервалы выпуклости и точки перегиба
f ( x)
f ( x)
f ( x)
 l , то lim
 lim
l
x  x0  ( x )
x  x0  ( x )
x  x0  ( x )
lim
Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для
отрезка [x0;x], лежащего в окрестности точки x0 , тогда
f ( x)  f ( x0 ) f (c)

, где с лежит между x0 и х.
 ( x)   ( x0 )  (c)
х0 с х
х
При x→x0 величина с также стремится к х0; перейдем в
предыдущем равенстве к пределу:
f ( x)
f (с)
 lim
x  x0  ( x )
с  x0  (с )
f (с)
f ( x)
l.
Так как lim
 l , то lim
с  x0  (с )
x  x0  ( x )
f ( x)
l
Поэтому lim
x  x0  ( x )
lim
(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)
Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.
Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 (кроме точки x0), в
этой окрестности
lim f ( x)  lim  ( x)  
x  x0
x  x0
f ( x)
0
[ ]
1
0
 ( x)
x  x0
 ( x)  0
12