Основные понятия квантовой механики Содержание

Лекции 2-3. Основные понятия квантовой механики
Содержание
1. Волновая функция и ее физическая интерпретация (плотность вероятности,
нормировка волновой функции, неоднозначность волновой функции в виде фазового
множителя e i ).
2. Принцип суперпозиции в квантовой механике (разложение в ряд Фурье, волновая
функция в импульсном представлении).
3. Среднее значение координат и импульсов (оператор физической величины, принцип
соответствия).
4. Свойства
операторов
физических
величин
(линейность,
эрмитовость,
некоммутативность), оператор отклонения физической величины от среднего
значения.
5. Задача на собственные значения операторов (состояния, в которых физические
величины строго определены, стандартные условия, спектр оператора, квантование
физических величин).
6. Свойства собственных функций. Полная ортонормированная система функций.
I. Волновая функция и ее физическая интерпретация
Согласно гипотезе де Бройля, любой частице можно поставить в соответствие
2
2
волновой процесс с длиной волны  
. Зная длину волны, по формулам k 
и

p
2 c

можно определить волновое число и частоту, отвечающие движению частицы. Но

достаточно ли знать частоту  и длину волны  для количественного описания волновых
свойств микрочастиц? Напомню, что для описания электромагнитных волн используются,


помимо  и  , напряженность электрического поля E и магнитная индукция B , которые

зависят от r и t . По аналогии с электродинамикой естественно предположить, что волна де
Бройля описывается некоторой функцией, зависящей от координат и времени. Эту функцию
будем обозначать через

  ( r , t )
(1)
и называть волновой функцией или  - функцией.
Квантовая механика исходит из предположения (это основной постулат квантовой
механики), что состояние микрочастицы описывается функцией (1) координат и времени,
которая интерпретируется вероятностным способом: величина
 2

*   (r , t )  w(r , t )

является плотностью вероятности нахождения частицы в данной точке пространства r в
момент времени t . Волновая функция содержит полную физическую информацию о

поведении частицы. В квантовой механике она играет такую же роль, какую векторы E и

B играют в электродинамике.
Вероятность того, что частица в момент t находится в области пространства объёмом

dV , лежащей в окрестности точки r , определяется формулой


dW (r , t )  w(r , t )dV .
(2)
Если эту величину проинтегрировать по объёму всего пространства, то получим вероятность
события, состоящего в том, что частица в момент времени t находится где-нибудь в
пространстве. Это достоверное событие: согласно теории вероятности, его вероятность равна
1. Значит,
2

 w(r , t )dV  1,
(3)
V
где V - объем всего пространства. Равенство (3) называется условием нормировки
волновой функции. Волновая функция, подчиняющаяся условию (3), называется
нормированной.
Отметим, что существуют такие состояния микрочастицы, для которых интеграл
 2
  (r , t ) dV расходится и, следовательно, волновая функция не может быть нормирована
V
условием (3). Примером могут служить состояния свободной квантовой частицы (см.
лекцию 5). Один из способов действий в такой ситуации состоит в следующем. Поскольку
движение реальной физической системы всегда происходит в ограниченной области
пространства, то представляется естественным ограничиться рассмотрением движения
частицы в некоторой области пространства, линейные размеры которой достаточно велики,
но конечны. Очевидно, что в указанной области пространства волновая функция частицы
может быть нормирована на единицу. Предельный переход к бесконечному пространству
можно выполнить, в случае необходимости, в самом конце вычислений.
Волновая функция определяется с точностью до фазового множителя. Так как
2
фазовый множитель выпадает из выражения для плотности вероятности *   , то
функции  и e i физически эквивалентны, если только e i  1 . Эта неоднозначность не
отражается на физических результатах, поскольку все физические величины выражаются
2
через  .
2. Принцип суперпозиции
Пусть микрочастица может находиться в состоянии с волновой функцией 1 , а также
в состоянии с волновой функцией 2 . Тогда она может находиться и в состоянии с волновой
функцией
(4)
  c1 1  c2 2 ,
где c1 и c2 - произвольные постоянные.
В общем случае, если возможны состояния 1 , 2 ,..., то согласно принципу
суперпозиции возможно состояние вида:
  c11  c2 2  ... .
Важным примером суперпозиции является разложение
Фурье волновой функции:

Et  pr

 i

(r , t )   c( p)  e  dp ,
здесь

dp  dp x dp y dp z , функция
ce
i

Et  pr


  p (r , t )
описывает состояние свободной
Et
i


микрочастицы с импульсом p и энергией E . Включим множитель e  в c( p, t ) и введем
обозначение:
Et
i

c ( p, t )  e  
Тогда получаем:

 (r , t ) 

1
 ( p, t ) .
3/ 2
(2)

p r
i


1
 dp .

(
p
,
t
)

e
3/ 2 
(2)
(5)
3
Значит, любое состояние частицы можно рассматривать как суперпозицию состояний с
определенным импульсом, т.е. суперпозицию плоских волн.
Рассмотрим условие нормировки волновой функции (5):
 
 
p  r
pr
i
i





1

V * (r , t ) (r , t )dV  (2 )3 V dV  * ( p, t )  e dp  ( p, t )  e  dp 


  
( p   p )r
i
 


1


dp  dp * ( p, t ) ( p, t )   e
dV 
3 
(2  )



(6)
 
( 2 ) 3  ( p   p )



(2  )3

*( p, t )   ( p, t )dp  1.
3 
(2  )
Выше использовался интеграл
  
( p p )r
i
 
1

(7)
e
dV  ( p  p ) ,
3 
(2)
представляющий собой фурье-разложение   функции. Здесь и всюду далее
подразумевается, что если только в интеграле не указана область интегрирования, то
интегрирование ведется по всей бесконечной области изменения переменных
интегрирования. Выражение (6) естественно интерпретировать как вероятность того, что
импульс частицы имеет какое-то значение, т.е. как вероятность достоверного события.
Значит, выражение



~ 
dW ( p, t )  * ( p, t ) ( p, t )dp
(8)
 

представляет собой вероятность того, что импульс частицы лежит в интервале ( p, p  dp ) .

Очевидно, что  ( p, t ) - это волновая функция частицы в импульсном

представлении. Она представляет собой компоненту Фурье (Фурье-образ) функции ( r , t ) ,

соответствующую импульсу p .
i
 
p  r

/( 2) и интегрируя по объёму всего
Умножая обе части равенства (5) на e
пространства, найдём (при интегрировании используем формулу (7)):
 
  
p  r
( p   p )r
i
i




1
1

(9)
dV  (r , t )  e    dp
 ( p, t )   dV e
  ( p, t ) .
3/ 2 
3
(2)
(2)
Равенство (9) позволяет найти волновую функцию в импульсном представлении по
известному выражению для волновой функции в координатном представлении. Обратный
переход – от волновой функции в импульсном представлении к волновой функции в
координатном представлении – может быть выполнен по формуле (5). Теперь можно
уточнить смысл волновой функции в импульсном представлении. Это такая функция,

зависящая от импульса p (и времени t ), квадрат модуля которой определяет плотность

вероятности того, что частица обладает импульсом p в момент времени t .
3/ 2
3. Среднее значение координат и импульсов.
Операторы физических величин
Выражения (2) и (8),

 2

dW (r , t )   (r , t ) dV , dV  dr ,
 2 
~ 
dW ( p, t )   ( p, t ) dp,
позволяют сразу же написать среднее значение координат и импульсов. Согласно
определению среднего значения случайной величины,
4

 ~ 
  

p   p dW ( p, t )   * ( p, t ) p  ( p, t ) dp,


  

r   r dW (r , t )   * (r , t ) r  (r , t ) dr .
(10)


Аналогично записывается среднее значение для любой функции g (r ), f ( p) .
Вычислим величину



p x     ( p, t ) p x ( p, t )dp ,
где

 ( p, t ) 
 
1
dr  (r , t ) e
3/ 2 
(2)

 ipr

.
Простые преобразования дают:
 


  
px   dr dr    (r , t ) (r , t ) i  (r  r ).
x
После интегрирования по частям и отбрасывания подстановки (на самом деле подстановка

исчезает, так как волновая функция, по предположению, обращается в нуль при r   )
оператор i


будет действовать на ( r , t ) :
x




px   dr   (r , t )( i ) (r , t ) .
x
(11)
Из (11) видно, что импульсу p x соответствует величина - i  :
p x   i
Тогда (11) можно переписать так:

 pˆ x .
x



p x   dr  * (r .t ) pˆ x  (r .t ) .
x
(12)
Аналогично получаем соответствие и для других компонент импульса. Значит,


импульсу p нужно поставить в соответствие величину  i :


̂
p   i  p ,

где величина p̂ называется оператором импульса.
Так приходим к выводу о том, что физической величине отвечает оператор этой
величины. Это утверждение представляет собой одно из основных положений квантовой
механики. При этом под оператором координат понимают сами координаты. Итак,
операторы радиуса-вектора и вектора импульса даются формулами:

  
rˆ  r , p̂  i .
В классической механике любая физическая величина может быть записана в виде функции


от r и p :
 
F  F (r , p) ,
(13)
 
где r , p - динамические переменные (напомним, что состояние частицы описывается
заданием радиуса-вектора и вектора импульса). Оператор F̂ строится по такому правилу: в


соответствующей классической формуле для величины F нужно заменить r и p


операторами r̂ и p̂ , т.е.
 
Fˆ  F (rˆ , pˆ ) .
Это правило называется принципом соответствия.
Согласно общепринятому соглашению, операторы действуют слева направо – на все
функции, стоящие справа от него. Например, запись pˆ x f ( x) g ( x) имеет следующий смысл:
5

 f ( x) g ( x) .
x
В квантовой механике постулируется, что


F    * (r , t ) Fˆ  (r , t ) dV ,
(14)
 
где Fˆ  F (rˆ , pˆ ) - оператор, соответствующий величине F. Очевидно, что формула (14)
является обобщением формул (10) - (11), определяющих средние значения координат и
импульсов.
Замечание. Приведенные выше выражения для операторов радиуса-вектора и вектора
импульса даны в координатном представлении. Согласно первой из формул (10), в
 
импульсном представлении оператор импульса совпадает с самим импульсом, т.е. pˆ  p .
pˆ x f ( x) g ( x)  i
Формулу же для оператора радиуса-вектора в импульсном представлении можно получить с

помощью второй из формул (10). Для этого волновую функцию  (r , t ) нужно выразить в

этой формуле через функцию  ( p, t ) с помощью равенства (5). В результате, после простых



преобразований, получим: rˆ  i   i p .
p
4. Свойства операторов физических величин
В квантовой механике используются линейные операторы,
обладающие свойствами:
Fˆ (1  2 )  Fˆ1  Fˆ2 ,
Fˆ (a )  aFˆ ,
т.е. операторы,
(15)
где 1 , 2 ,  - произвольные функции, а - произвольная постоянная. Оператор физической
величины должен обладать еще одним свойством: он должен быть эрмитовым
(самосопряженным). По определению, оператор F̂ называется эрмитовым , если






 1* (r , t ) Fˆ 2 (r , t ) dV  ( 2* (r , t ) Fˆ 1 (r , t ) dV )*   2 (r , t ) Fˆ* 1* (r , t ) dV , (16)
т.е. F12  F21* , где


F12   1* (r , t ) Fˆ 2 (r , t ) dV -
матричный элемент оператора F̂ .
Покажем, что свойство эрмитовости обеспечивает вещественность среднего значения
физической величины. С этой целью вычислим величину, комплексно сопряженную к
величине (14):




F *  (  * (r , t ) Fˆ  (r , t ) dV )*    (r , t ) Fˆ * * (r , t ) dV 
~ˆ
(если оператор F̂ эрмитов, то Fˆ *  F и поэтому)


  * (r , t ) Fˆ  (r , t ) dV  F ,
~ˆ
что и требовалось доказать. Здесь F - оператор, транспонированный к оператору F̂ ,
определяемый равенством


 ~ˆ

 * (r , t ) Fˆ  (r , t ) dV   (r , t ) F  * (r , t ) dV ,

1
2
где 1 и 2 - произвольные функции.

2
1
~ˆ
F̂ 
F *  Fˆ  ,
Часто
используют
обозначение:
оператор
называется
эрмитовосопряженным по отношению к оператору F̂ . Если оператор F̂ эрмитов, то
Fˆ   Fˆ .
6
В классической механике компоненты радиуса-вектора и вектора импульса частицы
подчиняются коммутативному закону умножения. Например, p x x  xpx . Проверим,
выполняется ли этот закон для операторов физических величин. Вычисляем:

f ( x)
pˆ x xˆ f ( x)  i ( xf ( x))  if ( x)  ix
,
x
x
f ( x)
xˆpˆ x  x(i)
.
x
Значит,
pˆ x xˆ  xˆpˆ x  i .
ˆ Bˆ  Bˆ Aˆ  [ Aˆ , Bˆ ] называется коммутатором операторов Â и B̂ . Если
Величина A
[ Aˆ , Bˆ ]  0 , то говорят, что операторы Â и B̂ коммутируют друг с другом.
Введём оператор отклонения физической величины от среднего значения
(оператор абсолютной погрешности, или оператор флуктуации физической величины):
ˆ F
ˆ F .
F
Это эрмитовый оператор, если только оператор F̂ эрмитовый. Поскольку (F )  0 , то в
качестве меры отклонения величины от среднего значения можно взять среднее
квадратичное отклонение (F ) 2 . Вычислим эту величину:
(F ) 2  *(Fˆ ) 2  dV 

2
ˆ Fˆ   Fˆ*  dV  Fˆ (Fˆ )* dV  Fˆ dV  0. (17)
 
*

F

2
1




1
2
Как видим, среднее квадратичное отклонение всегда неотрицательно.
5. Собственные значения и собственные функции операторов.
Задача на собственные значения операторов
Поставим задачу: найти такие состояния микросистемы, в которых физическая
величина имеет строго определённые значения. Очевидно, что в таких состояниях среднее
квадратичное отклонение
(F ) 2 =0.
В силу (17) это равенство можно представить в виде
2
Fˆ dV  0 .

Так как подынтегральное выражение здесь неотрицательно, то отсюда следует, что
Fˆ  0  Fˆ  F
(18)
Здесь мы учли, что среднее значение имеет строго определенное значение и поэтому
заменили F на F . Выражение (18) представляет собой уравнение для определения  и F .
Очевидно, что функция  будет зависеть от F как от параметра:  = F . В результате
получаем соотношение
FˆF  FF .
(19)
Это задача на собственные значения оператора F̂ , F - собственное значение оператора
F̂ , отвечающее собственной функции F .
Нас интересует не любое решение уравнения (19), а решение, имеющее физический
смысл. Только такое решение мы будем считать физическим и называть волновой
функцией. Волновая функция должна подчиняться следующим условиям:
7
1. Волновая функция должна быть непрерывной и иметь достаточное число
непрерывных производных. Это обусловлено тем, что волновая функция
должна подчиняться динамическому уравнению, которое является
дифференциальным.
2. Волновая функция должна быть конечной, за исключением, может быть,
особых точек, где она может обращаться в бесконечность, но так, чтобы
2 
интеграл   dr был конечным. Это обусловлено тем, что волновая функция
имеет вероятностный смысл.
3.  -функция должна быть однозначной. В противном случае предсказания
теории не будут определенными.
Это стандартные условия, налагающиеся на  -функцию. Оказывается, что задача
на собственные значения имеет физические решения не при любых F , а лишь при
избранных: F1 , F2 ,... . Совокупность этих значений называется спектром физической
величины. Спектр называется дискретным, если величина F принимает лишь отдельные
значения, и непрерывным, если эта величина может принимать любое значение.
Говорят, что величина F квантуется, если спектр оператора этой величины
дискретный. Очевидно, что причиной квантования являются стандартные условия,
накладываемые на волновую функцию.
Собственные значения эрмитова оператора вещественны.
В квантовой механике постулируется, что совокупность собственных значений
оператора F̂ даёт множество всех значений величины F , которое она может принимать при
измерениях. Этот постулат определяет физическое значение задачи на собственные значения
оператора.
В математике доказывается, что совокупность собственных функций n 
линейного эрмитового оператора образует полную систему. Это значит, что любую

функцию  (r ) можно разложить по этой системе:


(20)
( r )   C n n ( r ) ,
n

где n (r ) - собственные функции некоторого эрмитового оператора, C n - некоторые

постоянные, определяющиеся видом функции  (r ) . Правая часть выражения (20)

называется обобщённым рядом Фурье для функции  (r ) .
6. Свойства собственных функций.
Полная ортонормированная система функций
Рассмотрим задачу на собственные значения:
Fˆm  Fm m .
Для простоты считаем, что собственная функция
m
зависит только от одной
пространственной координаты: m  m (x) . Введем понятие ортогональности функций
1 и 2 . Говорят, что эти функции ортогональны между собой, если
*
1
2 dV  0 .
Рассмотрим собственные функции m и n , отвечающие различным собственным
значениям оператора F̂ :
Fˆm  Fm m ,
Fˆn  Fn n , Fn  Fm .
Возьмём комплексное сопряжение от первого из приведенных равенств и умножим их далее
так, как показано ниже:
8
Fˆ* m*  Fm m* n
 *  Fˆ  F  .
m
n
n
n
Затем обе части полученных равенств проинтегрируем по всему пространству и вычтем
почленно из первого равенства второе:
ˆ
ˆ
n F* m* dx   m* Fn dx  ( Fm  Fn )   m* n dx  0 .



m *Fˆ n
В силу эрмитовости оператора F̂ левая часть этого равенства обращается в нуль. Отсюда, в
силу условия Fn  Fm , получаем:  m* n dx  0 . Следовательно, собственные функции,
отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Волновые функции дискретного спектра всегда квадратично интегрируемы и поэтому
могут быть нормированы на единицу. Значит, можно записать:
(21)
 m* n dx   mn ,
где  mn - символ Кронекера. Система функций, подчиняющихся условию (21), называется
ортонормированной.
Если функции n в (20) образуют ортонормированную систему, то C n можно
определить следующим образом: умножаем обе части (20) на m* и интегрируем по всему
пространству:
(22)
 m*  dx   (m*  C n n )dx  C m  C m   m *  dx .
n
Здесь мы использовали условие ортонормировки (21). Подставим это выражение в (20):
 ( x)    n* ( x )  ( x )dx  n ( x)   dx  n* ( x )n ( x) ( x ) 
n
n
  dx   ( x ) n ( x)n* ( x ).
(23)
n
Формула (23) должна быть тождеством относительно  (x) . Поэтому должно выполняться
соотношение
(24)
 n ( x)n* ( x)   ( x  x).
n
Это условие полноты системы функций n . Система функций n , подчиняющихся
условиям (21) и (24), называется полной ортонормированной системой.
Если собственные функции принадлежат к непрерывному спектру, то в (24)
необходимо выполнить замену
 ...   dF, n  F . При этом условие
n
ортонормировки (21) заменяется следующим равенством:
 F * ( x)F  ( x) dx   ( F  F ) ,
где в правой части стоит  -функция Дирака. Здесь F - собственная функция оператора F̂ ,
отвечающая собственному значению F .
Контрольные вопросы
1. Что такое волновая функция? Зачем она нужна? Какова ее роль в квантовой
механике?
2. Какова физическая интерпретация волновой функции?
3. От чего зависит волновая функция?
4. В чем состоит условие нормировки волновой функции?
5. В чем состоит принцип суперпозиции в квантовой механике?
6. Может ли волновая функция подчиняться нелинейному уравнению?
9
7. Что такое волновая функция в импульсном представлении?
8. Как получить волновую функцию в импульсном представлении, зная эту функцию в
координатном представлении?
9. Почему операторы физических величин должны быть эрмитовыми?
10. Какая величина называется коммутатором операторов Â и B̂ ?
11. Как построить оператор произвольной физической величины?
 

12. Как найти среднее значение физической величины F (r , p ) в состоянии  (r , t ) ?
13. Каков физический смысл собственных значений оператора физической величины?
14. Какова связь между собственным значением оператора физической величины и
средним значением этой величины?
15. Что называется спектром оператора?
16. Что такое квантование физической величины?
17. Что является причиной квантования?
18. Каковы стандартные условия, налагаемые на волновую функцию? Зачем нужны эти
условия?
19. Почему собственные значения операторов физических величин вещественны?