4. Волновой механизм возникновения давления

1. Волновое уравнение и его решение в виде бегущей волны. Соотношения
между параметрами волнового процесса (длина волны, волновое число,
частота, период, фазовая скорость).
1.1. Волновое уравнение и его решение в виде бегущей волны.
 ( r , t ) -возмущение в волне, меняющееся в пространстве и времени; возмущения малы,
свойства среды не меняются под воздествием волны и волновое уравнение линейно:
 2 (r , t )
 c0 2  (r , t )  0 -волновое уравнение;
2
t
 ( x, t ) - возмущение в волне, бегущее вдоль одной пространственной координаты:
2
 2 ( x, t )
2   ( x, t )

c
 0 - одномерное волновое уравнение;
0
t 2
x 2
 ( x, t )  f ( x  c0t )  g ( x  c0t ) - решение в виде бегущей волны, где
f ( x  c0t ) - волна, бегущая вправо, а g ( x  c0t ) - волна, бегущая влево.
1.2. Соотношения между параметрами волнового процесса (длина волны, волновое
число, частота, период, фазовая скорость).
c0 - фазовая скорость; [ c0 ] = м/с;
 - длина волны; [  ] = м;   c0T ;
Т – период; [T] = c; T 

c0
;
k – волновое число; [k] = 1/м; k 
2

;
 - частота колебаний; [ ] = 1/c = Гц;  
1
;
T
 - циклическая (круговая) частота; [  ]=рад/с;  
2 2 c0

 kc 0 ;
T

2. Акустические волны. Формула и для скорости звука в воздухе и ее
величина. Порог слышимости.
2.1. Акустические волны.
p  c 2  - соотношение между возмущением плотности  в звуковой и давлением p в
среде;
2 
 c 2   0 (из приближений линейной акустики);
t 2
с – скорость звука в среде;
2.2. Формула и для скорости звука в воздухе и ее величина.
1
c2 
;
0 
c - скорость звука в среде;
 0 - равновесная плотность;
 - сжимаемость c;
c2  
p0
- скорость звука в газах;
0
(из-за того, что процессы сжатия и растяжения в звуковой волне быстры по сравнению с
теплопередачей, и их можно считать адиабатическими)
p0 - давление в равновесном состоянии; при нормальных атмосферных условиях
p0  1, 01105 Па ;
 - показатель адиабаты; в воздухе   1, 4 ;
0  1,3кг / м3 (при нормальных атмосферных условиях)
Следовательно, скорость звука в воздухе
с  330 м / с .
2.3. Порог слышимости.
zV 2
I 0  0min ; I 0  1012 Вт / м 2 ;
2
z – импеданс среды, волновое сопротивление среды; z  0 c ;
3. Шкала электромагнитных волн. Длина волны видимого света. Скорость
света в вакууме.
3.1. Шкала элетромагнитных волн.
Ультракороткие
Длины
волн, λ
100 —
10 км
10 км
— 1 км
1 км —
100 м
100 м
— 10 м
< 10 м
Инфракрасное
(тепловое)
760 нм
— 2 мм
Видимое
(видимый свет)
400—
760 нм
(1 октава)
Ультрафиолетовое
10 —
400 нм
< 3×1016
Гц (5
октав)
Рентгеновские
10 —
10−2нм
3×1016 —
6×1019 Гц
Гамма
10−1 —
10−6 нм
3×1020 —
1023
Название диапазона
Сверхдлинные
Длинные
Радиоволны
Средние
Короткие
Оптическое
излучение
Частоты,
ν
3 — 30
кГц
30 кГц —
300 кГц
300 кГц
— 3 МГц
3 МГц —
30 МГц
> 30 МГц
> 1,5×1011
Гц (11
октав)
Жёсткие
лучи
Источники
Атмосферные
явления.
Переменные токи в
проводниках и
электронных потоках
(колебательные
контуры).
Излучение молекул и
атомов при тепловых
и электрических
воздействиях.
Излучение атомов
под воздействием
ускоренных
электронов.
Атомные процессы
при воздействии
ускоренных
заряженных частиц.
Ядерные и
космические
процессы,
радиоактивный
распад.
3.2. Длина волны видимого света.
Видимая область лежит в диапазоне от фиолетовая до красная ;
фиолетовая  0,39 мкм
красная  0, 76 мкм
;
;
Наибольшая чувствительность человеческого зрения при
желто зеленая  0,55 мкм \
3.3. Скорость света в вакууме.
1
c
- скорость распространения электромагнитной волны в СИ;
 0 0
 0  8,85 1012 ( А  с) /( В  м) - электрическая постоянная;
0  1, 26 106 ( В  с) /( А  м) - магнитная постоянная;
 - диэлектрическая проницаемость среды (в вакууме  =1);
 - магнитная проницаемость среды (в вакууме  =1);
Следовательно, скорость света в вакууме:
с0  2,998 108 м / с .
4. Волновой механизм возникновения давления электромагнитных волн.
Величина светового давления.
4.1. Волновой механизм возникновения давления электромагнитных волн.
p  w  cos(ek , d ) - давление электромагнитной волны для полностью поглощающей
среды;
ek - единичный вектор в направлении волнового вектора k падающей волны;
d - вектор нормали к поверхности;
w - объемная плотность энергии в падающей волне;
p  (1  RI )w - давление электромагнитной волны в случае нормального падения на
поверхность среды с коэффициентом отражения RI .
4.2. Величина светового давления.
dF = [j, B]d(Omega)
5. Законы отражения и преломления. Полное внутреннее отражение.
Волоконно-оптические линии связи.
5.1. Законы отражения и преломления.
Закон Снеллиуса:
n1 sin 1  n2 sin 2
n1 - показатель преломления среды, из которой свет падает на границу раздела;
n2 - показатель преломления среды, в которую свет падает, пройдя границу раздела;
1 - угол падения света – угол между падающим на поверхность лучом и нормалью к
поверхности;
 2 - угол преломления света – угол между прошедшим через поверхность лучом и
нормалью к поверхности.
5.2. Полное внутреннее отражение.
Волна начинает распространяться вдоль границы раздела сред 1 и 2, и луч практически
полностью остается в 1-ой среде, не проходит во 2-ую. Свет должен падать из оптически
более плотной в оптически менее плотную среду, и угол падения должен быть
n
  arcsin 2 -угол полного внутреннего отражения;
n1
n1 , n2 - показатели преломления сред 1 и 2 соответственно.
n1 sin 1  n2 -условие возникновения эффекта полного внутреннего отражения.
5.3. Волоконно-оптические линии связи.
6. Формулы преобразования Фурье. Дискретный и сплошной спектр
Фурье. Свойства преобразования Фурье.
6.1. Формулы преобразования Фурье.

1
F ( ) 
f (u )eiu du

2 
f ( x) 
1
2

 F ( )e
 i x
d

6.2. Дискретный и сплошной спектр Фурье.
Сплошной, если сигнал непериодический.
Дискретный, если сигнал периодический.
6.3. Свойства преобразования Фурье.
7. Теорема о ширине частотной полосы. Спектр уединенного
прямоугольного испульса и периодической последовательности таких
импульсов.
7.1. Теорема о ширине частотной полосы.
t  1/ 2(t1  t2 )
=>
t   2
Чем меньше полоса частот, тем длиннее импульс t  2 /  .
7.2. Спектр уединенного прямоугольного испульса и периодической
последовательности таких импульсов.
Одиночный импульс (от –tau/2 до +tau/2):
S ( )  1/ 2 
 /2
 / 2
Aeiwt dt  A / 2  SINC ( / 2)
  2 /  (размер главного колокольчика спектра).
Периодический импульс:

 (t )   d n ei t , n  2 n / T
n

 (t ) |t[ T / 2;T / 2]   0a ,t[ T / 2;T / 2]
 (t )   (t  T )
dn  1/ T 
T /2
T /2
 (t )eiw t dt  a / T  SINC (n / 2)
n
8. ДПФ. Периодизация спектра. Частота Найквиста. Наложение частот.
Формула Котельникова-Шенона.
8.1. ДПФ. Периодизация спектра.
8.2. Частота Найквиста.
8.3. Формула Котельникова-Шенона.
 (t )  h (t )SINC( / h  (t  hj ))
9. Дисперсия.
10. Пространственная дисперсия в цепочке. Дисперсия разностной схемы
для волнового уравнения.
10.1. Пространственная дисперсия в цепочке.
Уравнение Лагранжа:

d T [ j ] U [ j ]

0
dt  
 j
j

Подставим T [ j ]  
j

m 2
 j и U [ j ]   ( j   j 1 )2 ,
2
j 2
Получим:


ES
 c2
 j   2 j  0 , где 2 j  ( j 1  2 j   j 1 ) и  
, а m   Sh   02
m
h
m h


 2
 j  c0 2 2 j  0 , совершим предельный переход при h  0 , получим:
h
2
2
  ( x, t )
2   ( x, t )

c
 0 , где  ( x, t )  aei (t kx )  ( 2  c0 2 k 2 )aei (t  kx )  0
0
2
2
t
x

 j  c0 2
 2 j
 0 - диффернциально-разностное уравнение.
h2
 j (t )  ae(i  j ) , где   kh - сдвиг фазы в колебании двух соседних масс на расстоянии h.
c0

sin
h
2
 ( )
sin  / 2
cф 
 c0
k
/2


Vгр 
 c0 cos
k
2
 ( )  2
10.2. Дисперсия разностной схемы для волнового уравнения.
2
 2 j c0 2 2
 2 ( x, t )
2   ( x, t )
 c0
 0  2  2  j  0
t 2
x 2
t
h
 Цепочка является физической системой, которая описывается дифференциальноразностным уравнением.
2c
 Конечно-разностная сетка по x имеет частоту Найквиста  N  0 и N  2h .
h
 Если  N или  N дисперсия и решение дифференциально-разностного
уравнения близко к волне в непрерывной системе.
 При   N и   max существует вычислительная дисперсия из-за дискретизации
по x.
11. Определение понятия интерференции. Время и длина когерентности.
Ширина полос для интерференции плоских волн.
11.1. Определение понятия интерференции.
Интерференция – это перераспределение интенсивности в пространстве при наложении
двух или более волн.
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos  - результирующая интенсивность.
I1 и I 2 - интенсивности падающих волн;
2

- фазовый сдвиг между волнами,  - оптическая разность хода волн.

11.2. Время и длина когерентности.
Когерентность – сохранение неизменной разности фаз за время, достаточное для
наблюдений.
L
T  – время когерентности.
c
с – скорость света, L – длина цуга волн.
Цуг волн – часть последовательности колебаний, на протяжении которой сохраняется их
регулярность.
L  d 2  d1 
2
- длина когерентности.

d 2  d1 - разность хода интерферирующих световых пучков,  - длина волны,  
порядок интерференции.
11.3. Ширина полос для интерференции плоских волн.

y 
- ширина интерференционной полосы.

2sin
2

m
,m–
12. Теорема Винера-Хинчина.
12.1.Теорема Винера-Хинчина.
Теорема Винера-Хинчина устанавливает связь между автокорреляционной функцией
сигнала ( )   (t   ) * (t )  и его спектральной плотностью энергии G( )  2 | S ( ) |2 :
G ( ) 

 ( ) exp(i )d

( ) 
1
2

 G( ) exp(i )d

13. Угловое распределение интенсивности при многолучевой
интерференции. Ширина максимума.
13.1. Угловое распределение интенсивности при многолучевой интерференции.
Сложим N когерентных волн. Пусть их уравнения имеют вид:
1   0 ei (t  kz )
 2   0 ei (t  kz  )
3   0 ei (t  kz  2  )
....
 N   0 ei (t  kz  ( N 1)  )
 - сдвиг фаз между соседними волнами.
Сумма волн:
  1   2  ...   N   0 ei (t  kz ) (1 ei  ...  ei ( N 1)  )
 sin N   iN  2
2 e

  0e
 sin   i 2

2  e
Интенсивность результирующей волны:
2
 sin N 

2  
I  I0 
 sin 


2

i (t  kz )
13.2. Ширина максимума.
2
 
- ширина интерференционного максимума.
dN
d – разность хода соседних волн.
N – число интерферирующих волн.
14. Определение явления дифракции. Приближение Кирхгофа, формула
Гельмгольца-Кирхгофа.
14.1. Определение явления дифракции.
Дифракция волн – явление отклонения волн от прямолинейного движения, которое нельзя
объяснить рефракцией или отражением на границе раздела двух сред.
14.2. Приближение Кирхгофа, формула Гельмгольца-Кирхгофа.
E ( p) 
1
4
E 
 G
G
E
d 

n

n

экрана отверстия 

Приближение Кирхгофа:

Поле в отверстии E |отверстия совпадает с полем реального источника Es ( M ) в
отсутствии отверстия.

Поле на экране E |экрана  0
Тогда E ( p) 
E ( p) 
1
4
E 
 G
G
E
d отверстия
n
n 
отверстия 

1  G
E 
G
E
d  - интеграл Гельмгольца-Кирхгофа.

4   n
n 
15. Метод Френеля в решении задач дифракции.
15.1. Метод Френеля в решении задач дифракции.
Принцип Гюйгенса-Френеля:
Формулировка:
 Поверхность, охватывающая реальный источник, содержит вторичные источники
Es (M )

Вторичные источники когерентны


eikr


 E(p)- результат интерференции волн вторичных источников   Es ( M )
d 
r


отверстия

 Амплитуда волн вторичных источников пропорциональна:
- амплитуде реальной волны в точке M
- элементу поверхности d
- фактору К, зависящему от угла      (угол между нормалью и точкой
наблюдения)
Результат: интерференция сдвигается по фазе на  / 2 .
Зоны Френеля - участки, на которые можно разбить поверхность световой (или звуковой)
волны для вычисления результатов дифракции света (или звука).
Суть метода:
Пусть от светящейся точки Q распространяется сферическая волна и требуется определить
характеристики волнового процесса, вызванного ею в точке Р. Разделим поверхность волны S
на кольцевые зоны; для этого проведём из точки Р сферы радиусами PO, Pa = PO + /2; Pb =
Pa + /2, Pc = Pb + /2, (О — точка пересечения поверхности волны с линией PQ;  — длина
световой волны). Кольцеобразные участки поверхности волны, «вырезаемые» из неё этими
сферами, и называется Зонами Френеля. Волновой процесс в точке Р можно рассматривать
как результат сложения колебаний, вызываемых в этой точке каждой Зоной Френеля в
отдельности. Амплитуда таких колебаний медленно убывает с возрастанием номера зоны
(отсчитываемого от точки О), а фазы колебаний, вызываемых в Р смежными зонами,
противоположны. Поэтому волны, приходящие в Р от двух смежных зон, гасят друг друга, а
действие зон, следующих через одну, складывается. Если волна распространяется, не
встречая препятствий, то, как показывает расчёт, её действие (сумма воздействий всех Зон
Френеля) эквивалентно действию половины первой зоны. Если же при помощи экрана с
прозрачными концентрическими участками выделить части волны, соответствующие,
например, N нечётным зонам Френеля, то действие всех выделенных зон сложится и
амплитуда колебаний Uнечёт в точке Р возрастёт в 2N раз, а интенсивность света в 4N2 раз,
причём освещённость в точках, окружающих Р, уменьшится. То же получится при выделении
только чётных зон, но фаза суммарной волны Uчёт будет иметь противоположный знак.
16. Эффект Тальбо.
16.1. Эффект Тальбо.
Эффект Тальбо – эффект дифракционного самовоспроизведения волнового поля с
периодической модуляцией комплексной амплитуды А.
Если A( x, z  0)  A( x  as, z  0) , то A( x, z ) 

 A ( z)e
n 
n
i
2 n
x
a
,
2 n
 k n – пространственная частота. Тогда
a
2 n


i
t
dAn
2 n

 ikn x
2
T
 n .
2
ik

k
A
e

0
и
, где

(
t

T
)

a
e


n
n

n
T
dz

n  
n 
где
a/2
Т. к.

eikn x e  ikm x dx   nm , 2ik
a / 2
dAn
 kn 2 An  0 , и начальные условия
dz
a/2
An (0) 
1
A( x, z  0)e ikn x dx ,

a a / 2
kn 2 z  z 2
 2 n .
2k
a
2
Если на расстоянии z  zT , 1 ( z  zT )  2 , то n ( z  zT )  2 n 2 , тогда An ( z )  An (0)ei 2 n ,
Получаем An ( z )  An (0)ein ( z ) , где n ( z ) 
а ei 2 n  1 , получим A( x, z  zT )  A( x, z  0) .
Это и говорит об эффекте самовоспроизведение только за счет дифракции.
2a 2
- расстояние Тальбо.
zT 
2

zTS 
2a 2

s - кратное расстояние Тальбо.
17. Распределение интенсивности при дифракции на щели. Дифракционная
расходимость.
17.1. Распределение интенсивности при дифракции на щели.
 kb

sin 2  sin  
 2

I ( )  I 0
2
 kb

 sin  
 2

b – ширина щели;
 - угол между нормалью к плоскоти щели и направлением на точку наблюдения.
17.2. Дифракционная расходимость.
При дифракции света в параллельных лучах, при которой отверстие много меньше одной
z (дифракция Фраунгофера), при падении параллельного
зоны Френеля, т.е. b

пучка света на отверстие пучок становится расходящимся с углом расходимости j
;
b
 – длина волны;
z - расстояние от точки наблюдения до экрана.
18. Угловое распределение интенсивности света за дифракционной
решеткой.
18.1. Угловое распределение интенсивности света за дифракционной решеткой.
Nkd sin 
sin 2
2
I ( )
2 kd sin 
sin
2
d – период решетки;
N – число щелей;
 - угол между нормалью к плоскоти щели и направлением на точку наблюдения.
19. Ближняя, дальняя зоны дифракции, приближение геометрической
оптики.
Rn  nr - радиус n – ой зоны Френеля.
Число зон Френеля NФренеля 1 (десятки тысяч). Приближение геометрической оптики
состоит в том, что считают, что зон Френеля так много, что дифракции нет.