Разбор задач второй части заданий

Error! Reference source not found.
1
2
Электронная физико-техническая школа
Разбор задач второй части заданий
1 4-5 класс
Задача №1.
Несколько гномов, навьючив свою поклажу на пони, отправились в дальний
путь. Их заметили тролли, которые насчитали в караване 36 ног и 15 голов. Сколько
было гномов и сколько пони?
Решение 1
Если вы уже умеете составлять системы уравнений, то задача решается просто.
Пусть Х-количество гномов, а У-количество пони. У каждого гнома по 2 ноги, а у
каждого пони по 4 ноги. И каждый гном либо пони имеет 1 голову. Получаем
систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
Х+У=15 и 2Х+4У=36. Из первого уравнения получаем, что Х=15-У. подставляем во
второе уравнение, получаем: 2(15-У)+4У=36. Решаем уравнение, получаем, что У=3.
Подставляем 3 вместо У в первое уравнение получаем, что Х+3=15, значит Х=12.
Ответ: 12 гномов и 3 пони.
Решение 2
Если вы еще не умеете составлять системы уравнений, то можно решить другим
способом. Попробуем пообобрать количество пони и гномов, чтобы все условия
задачи выполнялись. Возьмем наибольшее количество гномов, чтобы количество
голов пони и гномов было 15. Пусть 14 гномов и 1 пони. Будем заменять по очереди
одного гнома на одного пони, пока общее количество ног не станет 36. При 14
гномах и 1 пони мы имеем 14х2+1х4=32 ноги. Заметим, что при замене одного гнома
на 1 пони количество голов остается неизменным, а количество ног увеличивается
на 2. Так как мы имеем 32 ноги, а надо 36 ног, то нам не хватает 4 ноги. Таким
образом надо заменить 2 гнома на 2 пони. Количество голов останется равным 15, а
количество ног увеличится на 4. Таким образом, все условия задачи будут
выполняться.
Ответ: 12 гномов и 3 пони.
Комментарий
В данном случае не требовалось приводить решение задачи, но если подобная
задача встретится в части требующей подробного решения, то во втором решении
надо будет еще объяснить, почему других решений нет. То есть добавить то, что
при дальнейшей замене каждого гнома на пони, количество ног будет только
увеличиваться, поэтому решение единственное.
Уважаемые участники конкурсов, при решении задач очень часто требуется
найти все ответы. Не забывайте доказывать то, что других ответов, кроме найденных
вами, не существует.
Задача №2.
Сумма двух натуральных чисел равна 1244. Если в конце первого приписать 3, а в
конце второго отбросить 2, то числа окажутся равными. Найти эти числа.
Разбор задач второй части заданий
3
Решение
12 и 1232. Если в конце первого числа приписать 3, получится 123. Также если в
конце второго отбросить 2 то получим 123. И 12+1232=1244.
Комментарий
Как можно прийти у такому ответу. Из условия «Если в конце первого приписать
3, а в конце второго отбросить 2, то числа окажутся равными» логично
предположить, что количество цифр в искомых числах отличается на 2. То есть если
первое число состоит из 1, 2 или 3 цифр, то второе из 3, 4 или 5 цифр
соответственно. Но так как в сумме они дают 1244, то у нас не может быть числа
более чем из 4 цифр. Также если первое число состоит их 1 цифры, а второе из 3, то
в сумме они будут меньше чем 1244. Получается, что мы ищем два числа, одно из
которых двухзначное и второе четырехзначное. Обозначим искомые числа, как ** и
****. Из условия, мы знаем, что второе число заканчивается на 2. Так как сумма этих
чисел заканчивается на 4, то второе число тоже заканчивается на 2. Из того, что
«Если в конце первого приписать 3, а в конце второго отбросить 2, то числа
окажутся равными» получаем, что вторая и третья цифры второго числа это 2 и 3
соответственно. Ведь *23=*** . Таким образом, мы уже получили, что искомые числа,
это *2 и *232, причем первые цифры у них равны. Так как их сумма равна 1244, то
первая цифра второго числа не может быть больше 1. Так находим ответ 12 и 1232.
Участники, допустившие ошибки в данной задаче, сделали это потому, что не
правильно поняли условие. Некоторые посчитали, что приписать 3 означает
прибавить 3 к числу, а отбросить 2 значит вычесть из числа двойку.
Будьте внимательны, если вам кажется, что условие задачи можно
интерпретировать разными способами, то не стесняйтесь задавать вопросы по
условию. Также это поможет нам изменить условия на более однозначное, дабы
избавить остальных участников от подобных ошибок.
Задача №3.
В корзине лежат 30 рыжиков и груздей. Среди любых 12 грибов имеется хотя бы
один рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Сколько
рыжиков и сколько груздей в корзине?
Решение 1
Поскольку среди любых 12 грибов есть хотя бы один рыжик, груздей не может
быть больше 11. Аналогично, среди любых 20 грибов есть хотя бы один груздь,
поэтому рыжиков не больше 19. Но всего 30 грибов, следовательно, груздей ровно 11
и рыжиков ровно 19.
Решение 2
Поскольку среди любых 12 грибов есть хотя бы один рыжик, а всего грибов 30, то
рыжиков не меньше чем 30-12+1, то есть 19 штук. Аналогично поскольку среди
любых 20 грибов есть хотя бы один груздь и грибов всего 30, то груздей не меньше
чем 30-20+1, то есть 11 штук. 19+11=30 значит, груздей ровно 11 и рыжиков ровно 19.
С этой задачей справились почти все, хотя были и те, кто приводил
неправильные ответы без всяких вычислений. Сложно сказать какие именно
4
Электронная физико-техническая школа
ошибки они допустили при решении этой задачи. Наверное, просто неправильно
произвели подсчеты.
Уважаемые участники конкурсов, проверяйте свои ответы. Возможно, вы
допустили какую-либо арифметическую ошибку в вычислениях, такое бывает. Если
вы вовремя ее обнаружите и исправите, это поможет вам сохранить драгоценные
баллы, зачем растрачивать их попусту.
Задача №4.
4 мецената пожертвовали театру 132 тысячи рублей. При этом второй
пожертвовал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвёртый —
вчетверо больше третьего. Сколько пожертвовал четвёртый?
Решение
Составим уравнение. Пусть первый меценат пожертвовал x тысяч рублей. Так
как второй пожертвовал вдвое больше первого, то он пожертвовал 2x тысяч рублей.
Третий втрое больше второго, значит 2x*3=6x тысяч рублей. Четвертый вчетверо
больше третьего, получаем 6x*4=24x тысяч рублей. Все вместе пожертвовали 132
тысячи рублей, получаем уравнение:
x+2x+6x+24x=132
33x= 132
x=132/33
x=4 (тысячи рублей).
Получили, что первый меценат пожертвовал 4 тысячи рублей. Чтобы найти
сколько пожертвовал четвертый меценат надо найти, чему равно 24x. 24*4=96 (тысяч
рублей).
Ответ: четвертый меценат пожертвовал 96 тысяч рублей.
Комментарий
Самая распространенная ошибка участников конкурса была в том, что после
нахождения x=4 тысячи рублей, они писали «ответ: 4 тысячи рублей».
Друзья, внимательно читайте условия задачи. Зачем терять баллы в задачах,
которые вы решили!
Задача №5.
Три невисокосных года идут подряд. В первом из них понедельников больше,
чем сред. На какой день недели заканчивается третий год?
Решение 1
В невисокосном году 365 дней. Посчитаем количество недель в году 365=7х52+1.
Значит, в невисокосном году 52 раза встречаются какие-то шесть дней недели и 53
раза еще один день недели (на который год начинается и заканчивается). Раз в
первом году понедельников больше чем сред, то этот год начинается и
заканчивается понедельником. Получаем, что второй год начинается и
заканчивается вторником. Третий же год соответственно начинается и
заканчивается средой.
Решение 2
Разбор задач второй части заданий
5
При решении нестандартных задач вам могут помочь не только ваши знания, но
и ваша смекалка. Открываем календарь, находим три невисокосных года идущих
подряд, первый из которых начинается в понедельник. Например, нам подходят
2001, 2002 и 2003 годы. Они полностью удовлетворяют условие. Смотрим, 31 декабря
2003 года была среда. Вот и ответ на вопрос задачи.
Комментарий
Друзья, в данной задаче не требовалось приводить решения, от вас требовался
только ответ. Достойно уважения то, что многие из вас не поленились и привели
свои вычисления. Но если все же вы не справились с заданием, в котором требуется
только ответ, попытайтесь его угадать, возможно, это принесет вам какие-то баллы.
Приятно же иногда испытать свою удачу.
6
Электронная физико-техническая школа
2 6-7 класс
Задача №1.
В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица стоит вдвое
дороже маленькой. Одна дама купила 5 больших птиц и 3 маленьких, а другая — 5
маленьких и 3 больших. При этом первая дама заплатила на 20 рублей больше.
Сколько стоит каждая птица?
Решение 1
Составим уравнение. Пусть маленькая птица стоит Х рублей, тогда большая
птица стоит 2*Х рублей. 5*2*Х+3*Х-20=5*Х+3*2*Х, то есть 13*Х-20=11*Х, значит
2*Х=20, отсюда Х=10. Получаем, что маленькая птица стоит 10 рублей, а большая 20
рублей.
Решение 2
Можно использовать несколько иной подход к решению данной задачи.
Заметим, что в покупках каждой дамы присутствует по 3 больших и маленьких
птицы. Значит 20 рублей разницы, это разница между стоимостью 2 больших птиц
и 2 маленьких. Получается, большая птица стоит на 10 рублей дороже, чем
маленькая. А так как по условию большая птица в 2 раза дороже маленькой то цена
маленькой птицы 10 рублей.
Комментарий
С этой задачей справились практически все. Действительно, если правильно
составить уравнение, то с его решением не должно возникать проблем.
Задача №2.
Тилли, Вилли и Дилли участвовали в легкоатлетическом забеге. В какой-то
момент времени оказалось, что они бегут рядом друг с другом, впереди них бежит
половина частников забега и позади них — треть участников забега. Сколько
спортсменов участвовало в забеге?
Решение
В момент времени, описанный в условии задачи, Тилли, Вилли и Дилли
составляют 1/6 часть от всех участников забега. Так как все участники забега это 1/2
бегущая впереди плюс Тилли, Вилли и Дилли плюс 1/3 бегущая позади, а
1=1/2+1/6+1/3. Пусть Х — количество участников. Тогда 1/6*Х=3. Получается всего
3*6=18 участников забега.
Вторая задача второй части, как и первая, рассчитана на составление уравнения.
И с ней тоже справились практически все. За исключением нескольких человек,
которые почему-то посчитали, что треть участников, бегущая сзади, равна трети от
Тилли, Вилли и Дилли (то есть 1). А половина участников, бегущая спереди,
получилась равной 4 (видимо это Тилли, Вилли и Дилли плюс 1 бегущий сзади).
Комментарий
Друзья, внимательно читайте условия, задавайте вопросы, если вам что-то не
понятно, это поможет вам заработать больше баллов и поможет нам поправить
условия так, чтобы у других участников не возникало подобных непониманий.
Разбор задач второй части заданий
7
Задача №3.
Глеб написал на доске обыкновенную дробь, а Гриша почитал сумму ее
числителя и знаменателя. Найдите наименьшее натуральное значение этой дроби,
если у Гриши получилось число 2013.
Решение 1
Если значение дроби есть натуральное число, значит, числитель дроби нацело
делится на знаменатель, то есть знаменатель равен Х, а числитель А*Х. По условию
Х+А*Х=2013. Значит , 2013=Х*(А+1). Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее
натуральное число А чтобы Х было целым числом. Для этого найдем наименьший
простой делитель числа 2013, и возьмем А на 1 меньше. 2013=3*11*61 значит,
наименьший простой делитель равен 3. Тогда А=2, Х=671, дробь равна 1342/671=2.
Комментарий
Многие участники решали задачу простым перебором.
Решение 2
Наименьшее натуральное число 1, но дробь не могла равняться 1, так как в таком
случае числитель равен знаменателю, а 2013 не делится на 2. Следующее
натуральное число 2, число 2 могло получиться 2=1342/671.
Комментарий
Перебором конечно эта задача решается легче, но я все же настоятельно
рекомендую решать задачи перебором только в тех случаях, когда другими
методами ничего не получается, так как очень часто перебор бывает достаточно
громоздким и легко пропустить какие-либо варианты и потерять баллы. Для
примера, если бы в задаче было дано число не 2013, а 2011, решая задачу перебором,
вам пришлось бы перебрать 2010 натуральных чисел, так как 2011 число простое и
ответом на задачу было бы число 2010. Дробь 2010/1.
Задача №4.
В записи ***5:11=** замените звездочки цифрами так, чтобы получилось верное
равенство.
Решение
Для начала заметим, что последняя цифра частного равна 5. Далее заметим, что
если первая цифра частного не больше 8, то делимое будет трехзначным, так как
85*11=935. Значит, первая цифра частного равна 9 и частное равно 95. 95*11=1045.
Ответ: 1045:11=95.
Комментарий
Неправильных ответов на эту задачу участники не давали. Наверное, это связано
с тем, что проверить правильность своего ответа в данной задаче достаточно просто.
И те, кто не справился с данным заданием, предпочли не давать никакого ответа
тому, чтобы давать неправильный.
Задача №5.
8
Электронная физико-техническая школа
На шахматной доске стоят ладьи так, что каждая из них бьет N ладьей. При
каких N это возможно? (Ладья бьет в каждом направлении только ближайшую
ладью.)
Решение
Пример для N=1 — две ладьи в одной горизонтали, для N=2 — четыре ладьи в
вершинах прямоугольника. Предположим, что N>2, выберем из всех ладьей самую
нижнюю, если их несколько, то самую правую из них. Эта ладья не может бить
другую ладью вниз и вправо, поэтому она бьет не более двух ладьей.
Типичная ошибка в данной задаче заключалась в том, что многие участники
давали только один ответ «при N=2». Но в задачи спрашивается «При каких N это
возможно?», значит надо привести все возможные варианты.
Дорогие участники конкурсов, из-за таких глупых ошибок вы теряете
драгоценные баллы. Находя не самые простые ответы к задаче, не забывайте об
очевидных ответах при оформлении решения. И также не забывайте доказывать
отсутствие других правильных ответов.
Разбор задач второй части заданий
9
3 8-9 класс
Задача №1.
В комнате стоят несколько четырехногих стульев и трехногих табуреток. Когда
на всех стульях и табуретках сидит по человеку, в комнате всего 39 ног. Сколько в
комнате стульев и сколько табуреток?
Решение 1
Составим уравнение. Пусть Х-количество стульев, а Y- количество табуреток.
4*Х+3*Y+2*(X+Y)=39, то есть 6*Х+5*Y=39. Имеем одно уравнение и 2 неизвестных.
Заметим, что слагаемое 5*Y делится на 5, 39 при делении на 5 дает остаток 4, значит,
слагаемое 6*Х при делении на 5 тоже дает остаток 4. Так как 6 при делении на 5 дает
остаток 1, то Х при делении на 5 должно давать в остатке 4. Так как 6*9>39, а Y –
неотрицательное целое число, то Х=4. 6*4+5*Y=39, отсюда Y=3. Получилось 4 стула и
3 табуретки.
Решение 2
Ответ можно найти и другим способом. Возьмем количество табуреток равное
нулю, а количество стульев наименьшее такое, чтобы общее количество ног в
комнате было больше 39. 6*7=42 значит, возьмем количество стульев равное 7. Далее
будем постепенно заменять один стул одной табуреткой, тем самым уменьшая
общее количество ног в комнате на 1. После того как мы заменим 3 стула из 7 на 3
табуретки, общее количество ног станет равно 39. Получили ответ: 4 стула и 3
табуретки.
Комментарий
В данном случае не требовалось приводить решение задачи, но если подобная
задача встретится в части требующей подробного решения, то во втором решении
надо будет еще объяснить, почему других решений нет. То есть добавить то, что
при дальнейшей замене каждого стула на табуретку, количество ног будет только
уменьшаться, поэтому решение единственное.
Уважаемые участники конкурсов, при решении задач очень часто требуется
найти все ответы. Не забывайте доказывать то, что других ответов, кроме найденных
вами, не существует.
Задача №2.
В школе два восьмых класса: 8 «А» и 8 «Б», в которых одинаковое число учеников.
Мальчики из 8 «А» составляют 70% всех мальчиков-восьмиклассников, а девочки из
8 «А» – 20% всех девочек-восьмиклассниц. Найдите процент мальчиков в 8 «А».
Решение
Пусть А1 и А2 количество мальчиков в 8 «А» и 8 «Б» соответственно, В1 и В2 –
количество девочек в 8 «А» и 8 «Б» соответственно. Составим систему уравнений:
А1+В1= А2+В2;
А1=7/10(А1+А2);
В1=2/10(В1+В2).
10
Электронная физико-техническая школа
Из второго уравнения получим, что А2=3/7А1. Из третьего, что В2=4В1.
Подставив это в первое уравнение, получим 4А1=21В1. Если взять А1+В1=100,
получим А1=84 и В1=16. Мальчики в 8 «А» составляют 84% учеников класса.
Комментарий
С данной задачей справились далеко не все. Но так как подробное решение тут
не требовалось, то сложно сказать, где именно участники допустили ошибки. При
решении задачи возникает система из четырех уравнений (А1+В1=100 четвертое) с
четырьмя неизвестными. Если внимательно выражать одни неизвестные через
другие и подставлять результаты из одних уравнений в другие, то рано или поздно
вы придете к правильному ответу.
Задача №3.
Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя
прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5,
не то 6. В итоге получилось 73. Какое число задумал Вася?
Решение
Заметим, что Женя и Саша прибавили и отняли разные числа, так как в
противном случае получается, что 73 – результат вычислений Коли. Но 73 не
делится ни на 5, ни на 6. Значит результат вычислений Коли либо 73+6-5=74, либо
73+5-6=72. Но 74 не делится ни на 5, ни на 6, значит, Коля получил число 72. 72 не
делится на 5, следовательно, Коля умножал на 6. Из этого получаем, что Вася
задумал число 72/6=12.
Комментарий
Многие участники не дали никакого ответа на данную задачу. Возможно, это
связано с тем, что на первый взгляд задача кажется запутанной, и они просто не
брались за ее решение. Но если подумать и разобраться, то задача оказывается не
такой уж сложной.
Друзья, не пугайтесь подобных запутанных условий. Как говорится «внешность
обманчива». Чаще всего под маской непонятного на первый взгляд условия
спрятана совсем простенькая задачка. Надо только немного подумать, разобраться в
возможных действиях и вариантах. А если же условие непонятно, то вы всегда
можете задать нам свои вопросы, написав сообщение на почту.
Задача №4.
Маша выписывает последовательно на доску по возрастанию все числа, в
которых число четных цифр равно числу нечетных цифр. Какое число выпишет
Маша сорок шестым?
Решение
Для начала заметим, что каждое такое число имеет четное количество цифр.
Значит, Маша сначала выписывает двухзначные числа, потом четырехзначные и т.д.
Среди 90 двухзначных чисел ровно 45 удовлетворяют условию. Так как в каждом
десятке таких чисел ровно 5 (например: среди чисел 20-29 это 21, 23, 25, 27 и 29), Это
либо четные, либо нечетные числа, в зависимости от четности десятков. Значит,
Разбор задач второй части заданий
11
сорок шестым шагом Маша выпишет первое четырехзначное число, подходящее
под ее критерий отбора. Такое число 1001.
С этой задачей справилось большинство участников. Действительно, здесь было
достаточно только привести правильный ответ. В конце концов 46 подходящих
чисел выписать и самому не так сложно.
Задача №5.
Найдите значение выражения 20132-20122+20112-…-22+12.
Решение
Разбиваем числа на группы 20132-20122, 20112-20102, … , 32-22 и последняя группа
это число 1. Применяем формулу разности квадратов в каждой группе А2-В2=(АВ)*(А+В). В каждой группе множитель (А-В)=1. Получим, что значение всего
выражения равно сумме первых 2013 натуральных чисел. Сумма первых 2013
натуральных чисел равна 2013*(2013+1)/2 по формуле суммы первых n членов
арифметической прогрессии. Получаем ответ: 2027091.
Комментарий
Находились, конечно, и такие работы, в которых был приведен неправильный
ответ. Но сказать где именно участники допускали ошибку, не предоставляется
возможности. Ведь задание не требовало подробного решения. Большинство все же
справилось с данной задачей. Не удивлюсь, если были такие, кто набрался мужества
и терпения, чтобы посчитать ответ на калькуляторе.
Дорогие «мужественные» и «терпеливые» участники конкурса. Некоторые
задачи может и решаются на калькуляторе, или путем простого программирования
(не сомневаюсь, что многие из вас это умеют). Но наши конкурсы рассчитаны не на
проверку ваших способностей, а на то чтобы вы развивали свое мышление, решая
предложенные вам задачи. Поэтому прежде чем прибегнуть к подобным методам,
попробуйте найти более оригинальный способ решения.
12
Электронная физико-техническая школа