L10-1

Лекция 10
Вращение системы. Сохранение углового момента
Моменты силы и импульса относительно оси. Вращение системы
вокруг неподвижной оси. Закон сохранения углового момента. Момент
инерции. Кинетическая энергия вращательного движения. Работа сил,
сообщающих телу вращение. Примеры сохранения углового момента.
Скамья Жуковского.
Проецируя уравнение моментов на оси прямоугольной
проходящие через точку О, получим три скалярных уравнения:
Lk  M kвнеш ,
Здесь величины
Lk и M k ,
системы
(k = x,y,z).
координат,
(10.1)
(k = x, y, z) называются моментами импульса и силы
относительно соответствующей оси. В частности, уравнение
dLz
 Mz
dt
(10.2)
Рис. 10.1
является уравнением моментов относительно оси Z. Если относительно какой-либо
неподвижной оси суммарный момент сил равен нулю, то относительно соответствующей
оси момент импульса сохраняется. Это закон сохранения момента импульса
относительно неподвижной оси.
Для выяснения геометрического смысла момента силы (или импульса) относительно
оси
представим
вектор r
в
виде суммы
составляющих,
параллельных
и
перпендикулярных оси Z , а F - также на радиальную составляющую (рис. 10.1).
r  r  r , F  F  F  Fr .
(10.3)
С учетом (10.3) момент силы относительно точки О примет вид
M   r F    r F    r F    r F   r Fr   r Fr  .
Четвертый и пятый члены в правой части, как векторное произведение
параллельных векторов, равны нулю, а второе, третье и последнее слагаемые – это
векторы, перпендикулярные оси Z, проекции которых на Z равны нулю. Значит,
проекция момента силы на ось Z будет
M   r F  .
(10.4)
Таким же образом проекция момента импульса на ось Z будет
L   r p  .
(10.5)
Одним из наиболее распространенных движений в природе является вращение
системы вокруг неподвижной оси. Астрономические наблюдения показывают, что
вращение вокруг осей, проходящих через их центры инерции, характерно не только
планетам, отдельным или двойным звездам, но и скоплениям звезд, галактикам и их
группам. Вообще, если в механической системе частицы совершают финитные
движения, то это в основном вращения вокруг различных осей, проходящих через
центр инерции. С подобными движениями мы встречаемся как в атмосфере, водоемах,
так и в электрических и механических устройствах.
Момент импульса относительно оси вращения обычно называют угловым
моментом (angular momentum).
Связь углового момента с угловой скоростью.
Рассмотрим частицу массой m, которая кроме вращения вокруг неподвижной оси Z
 вр 
 [r ] , совершает также движение параллельно оси со скоростью
со скоростью v
v
, и радиальное движение (удаляющее частицу от оси или приближающее к ней) - со
скоростью
v рад
(рис. 10.2):
v  [r ]  v  v рад .
(10.6)
Момент импульса частицы, как было показано выше, обусловлен только скоростью
вращательного движения
[r ] :
L  m[r [r ]]  mr2   I  ,
(10.7)
так как моменты импульсов параллельных оси и радиальных движений относительно
точки С перпендикулярны оси Z.
Рис. 10.2
Величина
I  mr2
в полученном выражении, то есть произведение массы частицы
на ее расстояние от рассматриваемой оси, называется моментом инерции частицы
относительно оси Z.
Теперь рассмотрим систему из n частиц, которая вращается вокруг неподвижной оси
Z, проходящей через ее центр инерции С, причем скорость
выражается
скоростями
формулой
i ,
(10.6).
Когда
частицы
вращаются
каждой i-той частицы
vi
с
разными
угловыми
то говорят, что вращение системы дифференциально, а если все
частицы вращаются с одинаковой угловой скоростью  – то вращение однородно.
Частным случаем однородного вращения является вращение твердого тела, при
котором отсутствуют составляющие скорости
vII
и
v рад .
В дифференциально вращающейся системе силы диссипативного взаимодействия
стремятся уравнять угловые скорости вращения разных частиц. Благодаря этому,
дифференциальное вращение через некоторое время переходит в однородное. Так что,
рассмотрим случай однородного вращения.
Момент импульса i-той частицы относительно оси вращения однородно
вращающейся системы определится согласно формуле (10.7):
Li  mi ri  2   I i i ,
(10.8)
а полный угловой момент системы будет:
n
L   Li   mi ri  2  I  ,
(10.9)
i 1
где
n
n
i 1
i 1
I   I i   mi ri 2
(10.10)
- момент инерции системы относительно оси Z.
Заметим, что момент инерции системы определяется как величина
аддитивная: он равен сумме моментов инерций составляющих систему частиц. Момент
инерции – есть характеристика распределения массы системы вокруг рассматриваемой
оси.
Основной результат, полученный в данном подпункте, выражается формулой
(10.9): угловой момент системы, вращающейся вокруг неподвижной оси, равен
произведению момента инерции системы относительно этой оси и угловой скорости
вращения.
Уравнение динамики вращательного движения.
Подставляя формулу (10.9) в уравнение моментов (10.2), получим основное
уравнение динамики однородно вращающейся системы вокруг неподвижной
оси
d
 I   M
dt
.
Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной
величина, и ее можно вынести из-под знака дифференциала:
(10.11)
оси,
I-
постоянная
I
d
M
dt
.
(10.12)
Полученное является основным уравнением динамики вращательного движения
твердого тела вокруг неподвижной оси (аксиального движения).
Из уравнения динамики вращательного движения (10.11), в частности, следует
закон сохранения углового момента
если M  0, то L  I  t    t   const .
(10.13)
То есть, если суммарный момент внешних сил относительно оси вращения равен
нулю, то угловой момент системы сохраняется.
Частицы однородно вращающейся системы благодаря радиальной составляющей
скорости могут удаляться от оси вращения или приближаться к ней. Благодаря этому
момент инерции системы (10.10) будет меняться. Согласно закону сохранения углового
момента (10.13), соответствующие изменения должны происходить и с угловой
скоростью. Скоро мы обсудим несколько примеров, поясняющих этот закон.