Кротова Е.Л. Статистика 2009

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
СТАТИСТИКА
Учебное пособие для студентов
экономических специальностей.
Составил: доцент, к.ф.-м.н Кротова Е.Л.
Пермь 2009
На современном этапе развития общества, с переходом к рыночным отношениям, резко повысилась управленческая роль руководителя предприятия (производства). В связи с
этим в нашей стране проводятся многочисленные исследования, перенимается и пропагандируется опыт зарубежных стран в области менеджмента и маркетинга. Одним из важнейших моментов в деятельности руководителя, менеджера, экономиста является принятие решений в условиях неопределенности. При этом наиболее разработанным инструментарием
является математическая статистика, позволяющая решать задачи принятия решений в условиях вероятностной неопределенности.
В мире имеются закономерности двух типов: динамические и стохастические (статистические). В случае динамических закономерностей начальные условия однозначно определяют исход. Примерами динамических закономерностей являются процессы, описываемые
законами классической механики. В социально-экономических явлениях чаще встречаются
стохастические закономерности. При статистических закономерностях при одних и тех же
начальных условиях результат будет различным (случайным).
Математическая статистика – наука, основанная на теории вероятностей и изучающая
общие методы обработки, анализа и интерпретации данных, наблюдений случайных явлений
в технике, экономике, демографии, социологии и других отраслях знаний. По существу математическая статистика дает единственный, математически обоснованный, аппарат для решения задач управления и прогнозирования при отсутствии явных закономерностей в изучаемых процессах.
Рассмотрим следующую ситуацию. Допустим, мы хотим продать автомобиль и решили дать объявление о продаже в газете «Из рук в руки». Естественно, перед нами встает вопрос: какую цену указать в объявлении?
Очевидно, мы будем руководствоваться информацией о цене, которую выставляют
другие продавцы подобных автомобилей. Что значит «подобные автомобили»? – Скорей всего, это автомобили, обладающие близкими значениями таких факторов, как год выпуска,
пробег, мощность двигателя. Проглядев колонку объявлений, мы формируем свое мнение о
рынке интересующего нас товара и, возможно, после некоторого размышления, назначаем
свою цену.
На этом простейшем примере, на самом деле, можно проследить основные моменты
статистического моделирования. Рассмотрим наши действия более формализовано.
Мы ставим задачу определить цену – величину, формируемую под воздействием некоторых факторов (года выпуска, пробега и т.д.). Такие зависимые величины обычно называются зависимыми (объясняемыми) переменными, а факторы, от которых они зависят, объясняющими.
Формируя общее мнение о состоянии рынка, мы обращаемся к интересующему нас
объекту и получаем ожидаемое значение зависимой переменной при заданных значениях
объясняющих переменных.
Указанная конкретная цена – наблюдаемое значение зависимой переменной зависит
также от случайных явлений, таких, например, как характер продавца, его потребность в
конкретной денежной сумме, возможные сроки продажи автомобиля и др.
Продавец одиночка вряд ли будет строить какую-либо математическую модель, но
менеджер крупного салона, специализирующегося на торговле автомобилями на вторичном
рынке, скорее всего, захочет иметь более точное представление об ожидаемой цене и о возможном поведении случайной составляющей. Следующий шаг и есть статистическое моделирование.
Сформулируем задачу моделирования следующим образом: на основании экспериментальных данных определить объясненную часть и, рассматривая случайную составляющую как случайную величину, получить оценки параметров ее распределения.
Таким образом, модель будет иметь вид:
Y  f ( X )  ,
где Y - наблюдаемое значение зависимой переменной; f ( X ) - объясненная часть, зависящая
от значений объясняющих переменных;  - случайная составляющая.
3
Остановимся теперь на целях моделирования. Предположим, получено следующее
выражение для объясненной части переменной Y - цены автомобиля:
yˆ  18000  1000 x1  0,5 x2 ,
где ŷ - ожидаемая цена автомобиля (в условных денежных единицах); x1 - срок эксплуатации
автомобиля (в годах); x2 - пробег (в тыс. км).
Каково практическое применение полученного результата? Очевидно, во-первых, он
позволяет понять: как именно формируется рассматриваемая экономическая переменная –
цена на автомобиль. Во-вторых, он дает возможность выявить влияние каждой из объясняющих переменных на цену автомобиля (так в данном случае цена нового автомобиля (при
x1  0, x2  0 )18000 у.е., при этом только за счет увеличения срока эксплуатации на 1 год цена автомобиля уменьшается в среднем на 1000 у.е., а только за счет увеличения пробега на 1
тыс.км – на 0,5 у.е.). В третьих, что, пожалуй, наиболее важно, этот результат позволяет прогнозировать цену на автомобиль, если известны его основные параметры. Теперь менеджеру
не составит большого труда определить ожидаемую цену вновь поступившего для продажи
автомобиля, даже если его год выпуска и пробег не встречались ранее в данном салоне.
Структура методического пособия следующая: в начале содержаться разделы по классической статистике, понимание которых необходимо для успешного проведения экономико-статистического анализа деятельности хозяйствующего субъекта; затем следует раздел
непосредственно описывающий этапы экономико-статистического анализа на примере троительной организации, где введены основные статистические показатели, использующиеся
при проведении экономических расчетов; далее идут варианты контрольных работ; а после
приведены приложения и список литературы.
Раздел 1.
Вероятности событий, основные отношения для них.
Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Пусть производится n независимых, повторных испытаний: вероятность появления
события A в каждом испытании одинакова и равна p , вероятность того, что событие A не
наступит равна q  1  p . При соблюдении данных условий вероятность того, что в n испытаниях событие A появится ровно k раз, находят по формуле Бернулли вида:
n!
Pn (k ) 
p k q nk ; k  0, n.
k !(n  k )!
При больших n трудно пользоваться этой формулой, поэтому используют локальную
теорему Муавра-Лапласа. Если n - велико, то вероятность Pn (k ) того, что событие A появится ровно k раз, приближенно вычисляется следующим образом:
 k  np 
1
Pn (k )

,
npq  npq 
где
  x2 

1

( x) 
exp 
 , ( x)  ( x) .
2
2




Эта формула дает достаточно точные приближения, когда np  10, nq  10, n  50 .
Пример. Вероятность поражения мишени при каждом выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах мишень будет поражена ровно 8 раз. Изменится ли
вероятность попадания, если число выстрелов и поражений мишени увеличится в 10 раз?
Решение. Вероятность поражения мишени при одном выстреле постоянна
p  0.75  q  1  0.75  0.25; n  10; k  8 . Воспользовавшись формулой Бернулли, найдем:
4
10!
0.7580.252  45*0.1001*0.0625  0.281 ;
8!2!
при увеличении числа выстрелов и поражений в 10 раз трудно производить расчеты по
формуле Бернулли. Так как np  75  10; nq  25  10 , то используя локальную теорему Муавра-Лапласа получим:
P10 (8) 
P100 (80)
1
 80  100*0.75 

  0.23* (1.15)  0.047 .
100*0.75*0.25  100*0.75*0.25 
При увеличении числа наблюдений вероятность попадания существенно уменьшилась.
Если при больших значениях n величина np - мала, а nq - велика, то для вычисления вероятности используется приближение Пуассона вида:
Pn (k )
где   np (обычно   10 ).
k
exp  , k  0,1,...,
k!
Пример. На курсе учится 147 студентов. Какова вероятность того, что 1 января является
днем рождения одновременно для 3 студентов данного курса?
Решение. По условию n  147; k  3 . Вероятность родиться 1 января для любого из студен1
p
 0.00274  q  1  p  0.99726 .
тов
курса
составляет
Так
как
365
np  0.4  10; nq  146.6  10 , то можно воспользоваться приближением Пуассона, найдем
  147*0.00274  0.4 и
P147 (3)
(0.4)3
exp 0.4  0.0071 .
3!
Интегральная теорема Лапласа. Если n, np, nq - велики, то вероятность того, что событие
A появится при испытаниях от k1 до k 2 раз приближенно равна
Pn  k1  X  k2 
 k  np 
 k  np 
 2
 1
.

 npq 
 npq 




Здесь функция
( x) 
x
2

1
y 

exp

 dy, ( x)  ( x).

2
2 0




Значения ее приведены в таблице 1 приложения.
Пример. В страховом обществе застраховано 5000 человек одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти для каждого лица в течение года равна 0,006. Каждый
застрахованный вносит 150 рублей страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного страховое учреждение выплачивает наследникам 1000 рублей. Какова вероятность
что к концу года страховое общество окажется в убытке?
Решение. Пусть X – число умерших в течение года. Страховое общество со всех застрахованных собрало 150*5000  750000 рублей. Страховое общество окажется в убытке, если
750000
 750 человек. Тогда k1  751 , а в качестве верхней
число умерших окажется больше
1000
границы берется k2  5000 человек – общее число застрахованных. По условию
5
n  5000; p  0.006; q  0.994; np  30  10; nq  4970  10 , тогда по интегральной теореме
Муавра-Лапласа получим:
 5000  5000*0.006 
 751  5000*0.006 
P 751  X  5000  
 

 5000*0.006*0.994 
 5000*0.006*0.994 
   910.12    131.84   0.5  0.5  0
Вероятность того, что страховое общество окажется в убытке, приближенно равна нулю.
Раздел 2.
Статистические задачи оценивания и проверки гипотез для вероятностей событий.
X
 частость появления события при n независимых, повторных испытаниях, а
Пусть
n
p - вероятность появления события в каждом из испытаний. Тогда по теореме Бернулли для
любого конечного n и   0 имеют место следующие неравенства:
X

pq
P   p     P np  n  X  np  n  1  2 ,
n
 n

X

1
P   p    1 
.
4n2
 n

Если n велико и выполнены условия интегральной теоремы Лапласа, то:

X

n 
P   p     P np  n  X  np  n 2  
 .
pq
 n



Пусть требуется при фиксированных значениях  найти необходимое число наблюдений n , при котором в правых частях соотношений получим заданную вероятность
  1  2 , обычно   0.9;0.95;0.99;0.9973 . Получим неравенства для определения необходимого числа наблюдений:
pq
n
,
2 2
а когда p - неизвестно
1
n
.
8 2
Вычислив по таблице 2 приложения значения U  , удовлетворяющие соотношению
2 U   1  2,
получим приближенную формулу для подсчета необходимого объема числа наблюдений
следующего вида:
pq
n U 2 2 .

Интервал  p, p  называется доверительным, если он покрывает истинное значение
p с заданной вероятностью  , то есть


P p  p  p    1  2.
Когда n велико, приближенные доверительные границы для p находим с помощью
интегральной теоремы Лапласа, решая следующие уравнение:
6
X
p(1  p)
 p  U
,
n
n
которое сводится к уравнению вида
 U2 
 X U2  X2
p 2 1     2 p      2  0.

 n 2n  n
n 



Более точные границы доверительного интервала дает формула, основанная на преобразовании арксинуса вида:

U 
X U 
X
2
sin 2 arcsin

  .
  p  sin arcsin
n 2 n
n 2 n


Пример. Среди 500 молодых семей, живущих с родителями, было зарегистрировано 98 разводов в течении первых трех лет совместной жизни. Оценить вероятность того, что молодая семья, живущая с родителями, разведется в течение первых трех лет. Построить
приближенные доверительные границы для этой вероятности при   0.95 , используя: 1)
интегральную теорему Лапласа; 2) преобразование арксинуса. Как изменится доверительный интервал, если при той же частости события число наблюдаемых семей возрастет в
10 раз?
Решение. Из условия известно, что n  500; X  98;   0.95  U   1.96 . Найдем оценку вероятности события
98
pˆ 
 0.196 .
500
1. Квадратное уравнение примет вид:
 1.962 

1.962 
2
p 2 1 
 2 p  0.196 

  0.196  0 ,



500
1000




1.0077 p2  0.3997 p  0.0384  0 .
p1  0.163; p2  0.233
Окончательно имеем:
0.163  p  0.233, pˆ  0.196 .
2. Найдем приближенные доверительные границы с помощью преобразования арксинуса
следующим образом:
1.96 
1.96 

2
sin 2  arcsin 0.196 
  p  sin  arcsin 0.196 
;
2 500 
2 500 


0.163  p  0.232 .
Эти вычисления привели к близким с предыдущим результатам.
3. Если число наблюдений возрастет в 10 раз, а частость не изменится, вновь приведем
вычисления с увеличенными данными:
1.96 
1.96 

2
sin 2  arcsin 0.196 
  p  sin  arcsin 0.196 
;
2 5000 
2 5000 


0.185  p  0.207 .
Интервал, в котором заключено неизвестное значение вероятности, при увеличении числа наблюдений стал более узким.
Рассмотрим две задачи проверки статистических гипотез о вероятностях событий, когда число наблюдений велико.
Первая задача заключается в следующем: по результатам наблюдений необходимо
проверить нулевую гипотезу H : p  p0 против конкурирующей K : p  p0 , когда n велико.
7
Для ее решения при заданном уровне значимости   2 (уровень значимости – это вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна) воспользуемся статистикой


X
1   2 arcsin
 2 arcsin p0  n .
n


Исходя из того, что   1  2 , находим U  из таблицы 2 приложения. Если 1  U  , то
H : p  p0 (нулевая гипотеза принимается); когда 1  U  тогда K : p  p0 (нулевая гипотеза
отвергается и принимается конкурирующая).
Пример. Игровой автомат должен обеспечивать вероятность выигрыша 0,005 при одной
игре. По жалобе общество защиты прав потребителей провело 10000 наблюдений и зафиксировало 40 выигрышей. Можно ли считать с уровнем значимости 0,01, что игровой автомат обеспечивает обещанную вероятность выигрыша?
Решение. По условию задачи n  10000; X  40; p0  0.005;   0.01    0.99  U   2.58 .
Найдем значение статистики 1 .


40
1   2 arcsin
 2 arcsin 0.005  10000  1.496
10000


1  1.496  2.58 . Следовательно, гипотеза H принимается, автомат обеспечивает обещанную вероятность выигрыша.
Пусть  nX , X  ,  nY , Y  - результаты двух серий испытаний, где n X - число опытов в
первой серии; X - число появления события A в первой серии; nY - число опытов во второй
серии; Y - число появления события A во второй серии. Требуется, когда n X , nY - велики,
при уровне значимости   2 проверить нулевую гипотезу H : p X  pY против
K : p X  pY . Для решения таких задач используется статистика

X
Y  n X nY
2   2 arcsin
 2 arcsin
.

nX
nY  n X  nY

Если 2  U , то нулевая гипотеза о равенстве вероятностей наступления двух событий
принимается; когда 2  U тогда нулевая гипотеза отвергается.
Пример. Из 432 преступлений против личности, совершенных за год в городе А, оказалось
30 особо тяжких. За тот же период времени в городе В было совершено 689 аналогичных
преступлений, из которых 39 особо тяжких. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей совершения особо тяжких преступлений в этих городах при уровне значимости
  0.1. Останется ли справедливым принятое решение, если мы располагаем данными за 10
лет и при тех же значениях частостей событий число наблюдений возросло в 10 раз?
Решение. Известно, что nX  432; X  30; nY  689; Y  39;   0.1    0.9  U   1.64 .
Найдем значение статистики 2 .

30
39  432  689
2   2 arcsin
 2 arcsin
 0.8629  1.64

432
689
432

689


Учитывая, что 2  U , нулевая гипотеза принимается – вероятности совершения особо
тяжких преступлений в упомянутых городах одинаковы.
При анализе преступности за 10 лет вновь воспользуемся той же формулой для увеличенных
данных nX  4320; X  300; nY  6890; Y  390;   0.1    0.9  U   1.64 получим
8
4320  6890
2  2arcsin 0.0694  2arcsin 0.0566 
 2.72  1.64 .
4320  6890
Гипотеза отвергается. Уже нельзя считать, что вероятности совершения особо тяжких
преступлений одинаковы. Таким образом, накопленная информация позволяет учесть и те
расхождения вероятности, которые первоначально были незначимы.
Раздел 3.
Статистические задачи, связанные с выявлением зависимостей событий (признаков).
Пусть результаты наблюдений представлены в виде таблицы:
Признаки
A
B
n( AB)
B
n( AB )
Всего
n ( A)
A
Всего
n( AB)
n( B )
n( AB )
n ( A)
n
n( B )
Эта таблица представляет собой простейший вариант таблиц сопряженности  2  2 . Здесь:
A, B - исследуемые события (признаки); A, B - соответственно события им противополож-
ные;
n( AB), n( AB ), n( AB), n( AB ) - частоты одновременного появления двух событий;
n( A), n( A) - сумма частот по строкам; n( B), n( B ) - сумма частот по столбцам; n - общая сумма частот или объем выборки.
В общем случае таблица сопряженности  K  L  будет задаваться следующим образом:
Признаки
B1
B2
…
BL
Всего
A1
n( A1B1 )
n( A1B2 )
…
n( A1BL )
n( A1 )
A2
…
AK
Всего
n( A2 B1 )
…
n( AK B1 )
n( A2 B2 )
…
n( AK B2 )
…
…
…
n( A2 BL )
…
n( AK BL )
n( B1 )
n( B2 )
…
n( BL )
n( A2 )
…
n( AK )
n
Здесь: A, B - исследуемые события (признаки); Ai B j (i  1, K ; j  1, L) - уровни признаков A и
B ; n( Ai B j )(i  1, K ; j  1, L ) - фактические частоты появления признаков A и B ; общая сумK L
L
K
ма частот n   n( Ai B j )   n( B j )   n( Ai ) . Таблица сопряженности
i 1 j 1
j 1
i 1
 2  2
является
частным случаем таблицы сопряженности  K  L  .
По таблице для общего случая можно оценить условные и безусловные вероятности событий A и B следующим образом:
Pˆ ( Ai B j ) n( Ai B j )
Pˆ ( Ai | B j ) 

,
n( B j )
Pˆ ( B )
j
Pˆ ( B j | Ai ) 
Pˆ ( Ai B j ) 
Pˆ ( Ai B j ) n( Ai B j )

,
n( Ai )
Pˆ ( Ai )
n( Ai B j )
, i  1, K , j  1, L;
n
n( Ai )
Pˆ ( Ai ) 
, i  1, K ;
n
9
Pˆ ( B j ) 
n( B j )
n
Коэффициент корреляции зависимости
 K  L  оценивается следующим образом:
K L
Rˆ  
i 1 j 1
Pˆ ( Ai B j )  P( Ai ) P( B j )
Pˆ ( Ai ) Pˆ ( B j )
, j  1, L.
событий, по
K L
 
таблице сопряженности
n( Ai B j )  n( Ai B j )
i 1 j 1
n( Ai )n( B j )
,
где
n( A i B j ) 
n( Ai )n( B j )
, i  1, K , j  1, L.
n
n( Ai B j ) называются прогнозируемыми значениями частот, когда признаки A и B независимы.
Коэффициент R̂ будем называть эмпирическим коэффициентом корреляции зависимости событий A, B .
n( AB)n( AB )  n( AB)n( AB )
Rˆ 
.
n( A)n( A)n( B)n( B )
Отметим основные свойства коэффициента корреляции зависимости событий.
1. Он принимает значения от -1 до 1, то есть Rˆ   1,1 .
2. Коэффициент R̂ обращается в 0 когда события A и B независимы.
3. Коэффициент Rˆ  1 когда события A и B совпадают; и напротив Rˆ  1 когда события A и B совпадают.
Для проверки нулевой гипотезы H : P( Ai B j )  P( Ai ) P( B j ),  i, j  о независимости
событий A, B против K : P( Ai B j )  P( Ai ) P( B j ) при заданном уровне значимости  используют статистику вида
K L
(n( Ai B j )  n( Ai B j ))2
i 1 j 1
n( Ai B j )
Y1  
,
имеющую распределение хи-квадрат.
Для таблиц сопряженности  2  2 обычно используется уточненная статистика, имеющая вид:
2
n

n  n( AB)n( AB )  n( AB )n( AB )  
2
Y2  
.
n( A)n( B)n( A)n( B )
По значению  из таблицы 3 приложения находим 2 () , где   ( K  1)  ( L  1) - число
степеней свободы (для таблиц  2  2   1 ), и сравниваем значение статистики Yh , h  1, 2 с
2
2 () . Если Yh  
() , то гипотеза H о независимости признаков A, B принимается, если
2
Yh  
() - гипотеза H отвергается и признаки A, B - зависимы.
Зная Yh , h  1, 2 , можно также оценить тесноту связи с помощью следующего показателя

где h  1, 2 . Здесь  0,1 .
Yh
,
n
10
Пример. Социологические обследования дали следующие результаты. Из 1000 опрошенных
людей 849 никогда не обращались за юридической консультацией, из них 649 занимаются
предпринимательской деятельностью, а 200 работают на государственных предприятиях.
И из 151 обращавшегося респондента 101 человек занимался предпринимательской деятельностью, а 50 – нет. По имеющимся данным:1) построить таблицу сопряженности; 2)
оценить условные и безусловные вероятности признаков; 3) оценить тесноту связи между
признаками; 4) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков; 5) изменится ли характер зависимости, если все данные увеличить в 25 раз?
Решение. 1. Пусть признак A – человек занимается предпринимательской деятельностью;
признак B – человек обращался за юридической консультацией. Тогда, согласно условию:
n  1000; n( AB)  101; n( AB )  649; n( AB)  50; n( AB )  200 и таблица сопряженности имеет
вид
Признаки
Всего
B
B
101
649
750
A
50
200
250
A
Всего
151
849
1000
2. Вычислим оценки условных и безусловных вероятностей.
n( AB) 101
Pˆ ( A | B) 

 0.67, Pˆ ( A | B)  1  0.67  0.33,
n( B) 151
n( AB) 101
Pˆ ( B | A) 

 0.135, Pˆ ( B | A)  1  0.135  0.865,
n( A) 750
200
Pˆ ( A | B ) 
 0.24, Pˆ  A | B   1  0.24  0.76,
849
200
Pˆ ( B | A) 
 0.8, Pˆ  B | A   1  0.8  0.2,
250
n
(
A
)
750
Pˆ ( A) 

 0.75, Pˆ ( A)  1  0.75  0.25,
n
1000
n( B) 151
Pˆ ( B) 

 0.151, Pˆ ( B )  1  0.151  0.849.
n
1000
3. Тесноту связи между признаками оценим, вычислив эмпирический коэффициент корреляции событий
101 200  50  649
12250
Rˆ 

 0.079 .
151 849  750  250 155039.71
Так как полученное значение коэффициента R̂ мало, можно предположить, что зависимость между A и B практически отсутствует.
4. Найдем значение статистики Y2
2
1000 

1000  101  200  50  649 

2 

Y2 
 5.74  6.635.
151  849  750  250
Из
таблицы
3
приложения
нашли
при
2
(1)  6.635 .
  0.01 0.01
Учитывая,
что
2
Y2  0.01
(1) нулевая гипотеза принимается и делается вывод – обращение за юридической
консультацией не зависит от того занимается ли человек своим бизнесом или работает на
государственном предприятии.
5.74

 0.075 .
1000
5. При увеличении данных в 25 раз опять подсчитаем статистику
11
2
1000 

1000  25  101  200  50  649 

2  25 

Y2 
 155.56  6.635.
151  849  750  250
Следовательно, нулевая гипотеза отвергается, что говорит о наличии связи между признаками, оценим тесноту связи:
155.56

 0.079 ,
25000
Теснота связи между A и B остается прежней, ее значения не зависят от числа наблюдений.
Раздел 4.
Статистические задачи оценивания характеристик случайных величин.
Независимой повторной выборкой объема n называются результаты наблюдения
над случайной величиной X , являющиеся независимыми, одинаково распределенными случайными величинами X1, X 2 ,..., X n .
Вариационным рядом называется упорядоченная по возрастанию элементов независимая повторная выборка
X (1)  X (2)  ...  X (n) .
Размах выборки – это разность между максимальным и минимальным элементами
выборки
H  X (n)  X (1) .
Зная размах выборки, можно находить оценку для среднеквадратического отклонения
в случае нормального распределения по формуле
 X  K ( n) H ,
где коэффициенты K (n) находятся по специальной таблице; когда n велико, K (n)  1 .
6
Функция от выборки называется статистикой, а функция от вариационного ряда носит
название порядковой статистики. Отметим, что X (k )  k -ая порядковая статистика является
k -ым членом вариационного ряда X (1) , X (2) ,..., X (n) .
Для оценки математического ожидания нормального закона распределения нередко используется выборочная медиана, которая определяется через порядковые статистики следующим
образом:
 X ( k 1) , n  2k  1,

*
Z0,5
  X ( k )  X ( k 1)
, n  2k .


2
Пусть на основе независимой повторной выборки X1, X 2 ,..., X n необходимо оценить
неизвестные величины математического ожидания m  M ( x) , дисперсии 2  D( x) и среднеквадратического отклонения  X . Данные оценки находятся соответственно по формулам:
12
mˆ  X 
1 n
 Xi ,
n i 1
ˆ 2  S X2 
ˆ 
2
S12X
n
2
1 n
2 1
( X i  X )   X i2   X  ,

n i 1
n i 1
1 n

( X i  X )2 ,

n  1 i 1
ˆ X  S X  S X2 ,
2
где S X2 -выборочная дисперсия; S1X
- исправленная выборочная дисперсия; S X - выборочное
среднеквадратичное отклонение случайной величины X .
Если X1, X 2 ,..., X n - независимая повторная выборка и X i N (m, 2 ), i  1, n , то для оцен-

ки параметров

m, 2 ,  X нормального распределения используют приведенные формулы.
*
Когда n велико, то для оценки данных параметров можно пользоваться Z 0,5
, и значением


1
X ( n)  X (1) .
6
По независимой повторной выборке можно вычислить выборочные коэффициенты:
g0 - коэффициент вариации, g1 - коэффициент асимметрии, g2 - коэффициент эксцесса
соответственно следующим образом:
S
g0  X ,
X
X 
g1 
g2 
3
1 n
Xi  X 


n i 1
S 3X
4
1 n
Xi  X 


n i 1
 
2
S X2
,
 3.
Оценкой для функции распределения FX ( x) является эмпирическая функция распределения следующего вида:
( x)
FX* ( x) 
,
n
где ( x) - число элементов независимой повторной выборки или вариационного ряда, меньших заданного x , а n - объем выборки.
Оценкой плотности распределения или ее эмпирическим аналогом является гистограмма.
Она строится следующим образом: область значений случайной величины X разбивается на
k интервалов h (h  1, k ) . Затем находятся оценки вероятностей попадания наблюдений в
заданный интервал h (h  1, k ) по формуле:
nh
,
n
где nh - число элементов выборки, попавших в  h интервал, n - общее число элементов выборки и h  1, k . Далее на плоскости XOY строится k прямоугольников, основаниями котоpˆ h 
13
nh
, h  1, k . Причем
n
для большей наглядности гистограммы масштаб по осям OX и OY может браться разный.
По независимой повторной выборке можно оценить величину отклонения среднего
арифметического значения от математического ожидания, пользуясь теоремой Чебышева.
Пусть
независимая
повторная
выборка,
причем
X1, X 2 ,..., X n
рых являются интервалы h (h  1, k ) , а высотами соответствующие pˆ h 
M  X i   m, D  X i   2 , i  1, n . По теореме Чебышева для любой случайной величины имеет
место неравенство


P X  m    1
2
n 2
.
Отсюда при   k  X получаем:
P  X  k X  m  X  k X   1 
1
.
nk 2
Частные случаи этой формулы носят название правил двух и трех сигм, соответственно. Они
задаются формулами:
1
P X  m  2 X  1 
,
4n
1
P X  m  3 X  1  .
9n
Если n велико, то отклонение среднего арифметического от математического ожидания можно оценить, используя центральную предельную теорему по следующей формуле:
 n 
P X  m   2 
 ,
 X 
где значения  ( z ) даны в таблице 1 приложения. Из этой формулы следует, что если поло
жить   U  x , то
n
 

P  X  m  U  X  2 U   ,
n

где значения U  даны в таблице 2 приложения.
Когда n - велико и известно среднее арифметическое, а математическое ожидание неизвестно, можно на основе полученного соотношения построить приближенный доверительный интервал с доверительной вероятностью   1  2 для математического ожидания m произвольной случайной величины следующим образом:


X U X  m  X  U X .
n
n
Пусть по независимой повторной выборке найдено X ,  X - известно и n велико. Тогда в
случае нормального распределения приведенная формула справедлива для любого объема
выборки.
Если же дисперсия неизвестна и n - велико, то приближенный доверительный интервал для
математического ожидания произвольного распределения имеет вид:
S
S
X  U X  m  X  U X .
n
n






Пример. В ходе исследований по проблемам женского алкоголизма стояла задача оценить
срок в годах, за который начавшая регулярно пить женщина становится алкоголиком.
Наблюдения при n  900 (число обследуемых женщин-алкоголиков) дали следующие резуль14
таты: X  3.75; S X2  0.81. Построить доверительный интервал для математического
ожидания с уровнем доверия   0.9973 .
Решение. По условию n  900 ; X  3.75; S X2  0.81  S X2  0.9 . По таблице 2 приложения
при   0.9973 U   3.00 . По формуле получим
0.9
0.9
;
3.75  3
 m  3.75  3
900
900
3.66  m  3.84 .
Построенный доверительный интервал показывает срок в годах, за который начавшая регулярно пить женщина становится алкоголиком.
Пусть X1, X 2 ,..., X n - независимая повторная выборка и X i


N (m, 2 ), i  1, n . Тре-
буется построить точный доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью   1  2 , когда дисперсия неизвестна. Такой точный доверительный
интервал дается формулой:
S
S
X  t (n  1) X  m  X  t (n  1) X ,
n 1
n 1
где t (n  1) - критические точки распределения Стьюдента с доверительной вероятностью
  1  2 и n 1 числом степеней свободы. Значения t (n  1) даны в таблице 4 приложения.
Учитывая, что
lim t (n 1)   U
приближенный доверительный интервал при больших
n
n совпадает с точным.
Пример. Даны 5 наблюдений над случайной величиной скорости автомобилей на одном из
участков шоссе (км/ч): X1  85.9; X 2  89.1; X 3  72.3; X 4  82.5; X 5  70.6 . Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания m при   0.95 , когда
дисперсия 2 - неизвестна. Как изменится доверительный интервал, если при тех же значениях средней скорости и выборочной дисперсии число наблюдений возрастет в 10 раз?
n  5; X1  85.9; X 2  89.1;
Решение.
Из
условия
известно,
что
X 3  72.3; X 4  82.5; X 5  70.6 . По имеющимся данным вычислим:
X
1 n
1
X i  (85.9  89.1  72.3  82.5  70.6)  80.8,

n i 1
5
S X2 
1 n
1
( X i  X ) 2   271.49  54.29,

n i 1
5
S X2  54.29  7.37.
По таблице 4 приложения находим, что при n  5;   1  2  0.95    0.025 и
t (n  1)  t0.025 (4)  2.78 . Вычислим доверительный интервал:
7.37
7.37
80.08  2.78
 m  80.08  2.78
;
5 1
5 1
69.84  m  90.32
Получили доверительный интервал для скорости, которую можно ожидать на данном
участке шоссе.
Если число наблюдений возрастет в 10 раз ( n  50 ), вновь воспользуемся той же формулой
для
построения
интервала.
По
таблице
4
приложения
находим,
что
t (n  1)  t0.025 (49)  2.01 . Тогда
15
80.08  2.01
7.37
7.37
;
 m  80.08  2.01
5 1
5 1
77.96  m  82.20 .
Раздел 5.
Методы исследования зависимостей двух величин.
Пусть даны результаты наблюдений над двумя величинами X и Y :  X i , Yi  , i  1, n ,
когда X - неслучайная величина, а Y - случайная. Если n мало, то результаты таких наблюдений можно представить в виде таблицы:
X
X1
X2
...
Xn
Y
Y1
Y2
...
Yn
Ставится задача нахождения формулы (выражения), устанавливающей зависимость между
величинами X и Y , вида
Y  f  X | a, b,... .
Это выражение носит название уравнения регрессии. Здесь Y является функцией от
величины X и зависит также от неизвестных коэффициентов a, b,....
Эта формула нужна для установления характера зависимости величин X и Y , а также
для решения задач интерполяции и экстраполяции значений функции f .
Интерполяция заключается в нахождении значений функции Y при любых значениях
X на интервале X   X (1) , X ( n)  . Экстраполяция сводится к определению значений Y вне
области наблюдений над X , X   X (1) , X ( n)  , с помощью чего можно прогнозировать поведение величины Y . Однако к решению задач экстраполяции нужно относиться с большой
осторожностью, так как могут измениться начальные условия и функция Y поведет себя
иначе.
Задача нахождения функции по результатам наблюдений разбивается на две: 1) определить класс функций F ,…. К которому принадлежит f , f  F ; 2)найти неизвестные значения коэффициентов a, b,....
Для решения первой задачи обычно используются два метода: графический и «соображения специалиста». Первый метод заключается в следующем. На плоскости XOY строятся точки A1  X1, Y1  , A2  X 2 , Y2  ,..., An  X n , Yn  и подбирается одна из функций, график которой неплохо сглаживал бы нанесенные на плоскость значения. Нередко берется одна из следующих функций:
a
1)Y  a( X )  b(Y  aX  b; Y  a ln X  b; Y   b);
X
b
b
2)Y  a( X )  b ( X )(Y  aX  ; Y  a sin X  ; Y  aX  ln X );
X
X
3)Y  aX 2  bX  c;
4)Y  aebX .
Когда класс функции определен, то для решения второй задачи используют МНК
(метод наименьших квадратов). Опишем его суть. Пусть Y i  F  X i | a, b,  – расчетное
значение функции в некоторой точке X i ; Yi – наблюдаемое значение функции в той же точ~
ке. Разность Yi  Yi   i представляет некоторую случайную величину - случайную ошибку.
Наличие этой случайной погрешности является следствием многих причин, влиянием которых на переменную Y мы пренебрегаем. Значения неизвестных параметров желательно по16
добрать так, чтобы уменьшить погрешность  i во всех точках. Эту задачу будем решать методом наименьших квадратов, который состоит в том, чтобы из всех возможных значений
параметров
выбрать
те,
которые
доставляют
минимум
функции
n
n
2
~
S (a, b,...)    i2   Yi  Yi .

i 1

i 1
Минимум достигается когда все частные производные функции S по всем параметрам равны нулю, таким образом, для оценки неизвестных параметров осталось только решить систему уравнений вида
 S
 a  0

 S
  0.
 b
...


Аналогичным способом можно поступать когда возникает необходимость рассматривать функцию не от одной, а от нескольких переменных.
Пусть даны результаты наблюдений над двумя случайными величинами X и Y :
 X i , Yi  , i  1, n ,необходимо установить вид зависимости между ними.
Многие реальные задачи сводятся к установлению вида зависимости между двумя
случайными величинами. Например: 1. Пусть X - количество билетов приобретенных на
новый кинофильм за прошедшую неделю, а Y - число коробок попкорна проданного вашей
компанией за эту же неделю. 2. Пусть X - процент алкоголиков и наркоманов, а Y - процент
людей имеющих судимость в некотором городе; Z - величина, характеризующая уровень
преступности в данном городе.
Сформулированные задачи установления зависимости между случайными величинами также будут решаться МНК. Но поскольку обе величины случайны, то можно рассмотреть как уравнение регрессии Y по X : YX  f  X | a, b  , так и уравнение регрессии X по
Y : XY  h Y | c, d  . В простейшем случае эти уравнения имеют вид:
YX  aX  b - уравнение прямой регрессии Y по X ;
X Y  cY  d - уравнение прямой регрессии X по Y .
Уравнения регрессии могут быть более сложного типа. Для нахождения неизвестных коэффициентов a, b, c, d воспользуемся МНК и получим
a  Y / X 
XY  X Y
X 2 X 
2

XY  X Y
S X2
,
где
X
n
1 n
1 n
2 1
2
X
;
X

X
;
XY

 i
 i
 X iYi .
n i 1
n i 1
n i 1


по Y : X Y  X   X / Y Y  Y  ,
Уравнение прямой регрессии Y по X : YX  Y  Y / X X  X .
Уравнение прямой регрессии X
где  X / Y - коэффициент прямой регрессии X по Y вычисляется по формуле:
X /Y 
XY  X Y
SY2
17
.
Коэффициент линейной корреляции rXY характеризует линейную зависимость между
случайными величинами.
Коэффициент rXY обладает следующими свойствами:
1) 1  rXY  1, rXY  1 ;
2) если X и Y независимы, то rXY  0 ; обратное утверждение неверно;
3) если rXY  0 , то X и Y зависимы;
4) если случайные величины X и Y связаны линейной функциональной зависимостью
YX  aX  b , то rXY  1.
*
Выборочный коэффициент линейной корреляции rXY
находится следующим образом:
XY  X Y
*
. rXY

 
X  X
2
2
 
Y  Y
2
2

XY  X Y
S X2
SY2
  Y / X  X / Y .
Пример. Случайная величина X - число лет, которые служащие проработали в торговой
компании; Y - сколько отпусков за это время они брали в этой компании. Результаты
наблюдений над случайными величинами X и Y : приведены в следующей таблице:
X 2 3 4 5
Y 3 4 6 8
Построить уравнения прямых регрессий Y по X и X по Y . Найти выборочный коэффици*
ент линейной корреляции rXY
.
Решение. Из условия находим:
1
1
1
n  4; X  (2  3  4  5)  3.5; Y  (3  4  6  8)  5.25; XY  (2  3  3  4  4  6  5  8)  20.5;
4
4
4
1
S X2  (2  3.5) 2  (3  3.5) 2  (4  3.5) 2  (5  3.5) 2   1.25 ;

4
1
SY2  (3  5.25) 2  (4  5.25) 2  (6  5.25) 2  (8  5.25) 2   3.69 ;

4
Воспользовавшись предложенными формулами, вычислим коэффициенты прямых регрессий
Y по X и X по Y .
20.5  3.5  5.25
20.5  3.5  5.25
Y / X 
 1.7;  X / Y 
 0.58.
1.25
3.69
И по формулам построим уравнения прямых регрессий и выборочный коэффициент линейной корреляции.
YX  5.25  1.7( X  3.5)  YX  1.7 X  0.7 ;
X Y  3.5  0.58(Y  5.25)  X Y  0.58Y  0.45.
*
rXY
 1.7  0.58  0.99 .
Решим задачу построения приближенного доверительного интервала для rXY . Если
n - велико, то приближенный доверительный интервал для rXY с доверительной вероятностью   1  2 задается формулой
*
rXY
U
 
*
1  rXY
2
*
 rXY  rXY
 U
n
значения U  даны в таблице 2 приложения.
18
 
*
1  rXY
n
2
,
Пример. При обработке наблюдений из 900 торговых точек за количеством проданных
шампуней и соответствующих им лечебных бальзамов был найден выборочный коэффици*
ент линейной корреляции rXY
 0.8 . По имеющимся данным построить доверительный интервал для коэффициента линейной корреляции rXY с доверительной вероятностью
  0.95 .
Решение. По таблице приложения 2 находим для   0.95 соответствующее значение
U   1.96 . Согласно формуле доверительный интервал выглядит следующим образом:
1  (0.8) 2
1  (0.8) 2
 rXY  0.8  1.96
.
900
900
0.8  0.023  rXY  0.8  0.023;
0.8  1.96
0.777  rXY  0.823.
Следовательно, при заданной доверительной вероятности истинное значение rXY может
варьировать в пределах от 0,777 до 0,823 и зависимость между случайными величинами X и
Y сильная.
Пусть на результирующую величину Z действуют две случайные величины X и Y .
При линейной связи ее теснота измеряется выборочным совокупным коэффициентом линей*
ной корреляции rXYZ
,. Который находится по формуле
 rXZ*    rYZ*   2rXY* rXZ* rYZ* ,
* 2
1   rXY

2
*
rXYZ

2
*
*
*
где rXY
- выборочные коэффициенты линейной корреляции указанных двух случай, rXZ
, rYZ
ных величин.
При линейной связи между случайными величинами X , Y , Z выборочный частный
коэффициент линейной корреляции X и Y при исключенном Z будет равен
*
rXY
(Z ) 

*
* *
rXY
 rYZ
rXZ
*
1  rYZ

*
1  rXZ

.
Аналогично можно найти выборочные коэффициенты линейной корреляции при исключении влияния X и Y .
Пусть требуется при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу
H : rXY  0 против K : rXY  0 . В качестве проверки нулевой гипотезы берется статистика
вида:
T
*
rXY
n2
1
 
* 2
rXY
.
По таблице 4 приложения находим t (n  2) . Если T  t (n  2) - нулевая гипотеза H принимается, если T  t (n  2) - нулевая гипотеза отвергается и принимается конкурирующая.
( K : случайные величины X и Y зависимы).
Пример. По выборке n  122 найден выборочный коэффициент линейной корреляции
*
rXY
 0.4 . При уровне значимости   0.05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю
коэффициента линейной корреляции H : rXY  0 против K : rXY  0 .
19
*
Решение. Известно, что n  122 , rXY
 0.4 . Вычислим статистику T :
T
0.4 122  2
1   0.4 
2
 4.78 .
Из таблицы приложения 4 находим, что при   n  2  120,   0.05  2    0.25 , значение критической точки распределения Стьюдента t (k )  t0.025 (120)  1.9799 . Поскольку
4,78>1,9799, то есть T  t (k ) , то нулевая гипотеза отвергается, величины X и Y зависимы, поскольку rXY  0 .
В том случае, когда одну или обе случайные величины X и Y невозможно измерить,
но можно упорядочить, для установления зависимости случайных величин X и Y используют ранговые коэффициенты корреляции. Один из таких коэффициентов, ранговый коэффициент корреляции Спирмена *XY , вычисляется по формуле
*XY
6
 1
n
3
n
  Ri (Y )  Ri ( X ) 
n
2
,
i 1
где n - объем выборки; Ri ( X ), Ri (Y ),(i  1, n) - ранги случайных величин X и Y . Ранг случайной величины находится следующим образом: наибольшему значению присваивается
ранг 1; следующим значениям по мере убывания присваивают ранги 2,3,..., n .
Пример. При проведении социологического обследования, касающегося выявления жизненных ценностей и приоритетов у людей,.. в качестве одной из проблем выдвигалась задача
установить, существует ли зависимость между материальным положением человека и его
удовлетворенностью своим образом жизни, которую предполагалось оценить по пятибалльной шкале. Результаты обследования представлены в таблице:
X - среднемесячный доход (тыс. руб) Y – удовлетворенность образом жизни в баллах
1. ниже 2
3,74
2. 2-6
4,05
3. 6-10
4,68
4. 10-15
4,52
5. выше 15
4,47
Вычислить ранговый коэффициент корреляции Спирмена, установить, зависимы ли величины.
Решение. Проранжируем величину X следующим образом: самому большому доходу «выше
15» присвоим ранг 1; доходу «10-15» - ранг 2 и так далее. Аналогично проранжируем величину Y , присвоив значению 4,68 ранг 1; значению 4,52 – ранг 2;…; значению 3,74 – ранг 5. Исходная таблица может быть записана следующим образом:
Ri  X 
1 2 3 4 5
Ri Y 
3 2 1 4 5
Воспользовавшись формулой для вычисления рангового коэффициента корреляции Спирмена,
получим
1 
2
2
2
2
2
*XY  1  3
1  3   2  2    3  1   4  4    5  5    0.93 .



5 5 
По величине *XY можно сделать вывод, что между материальным положением человека и
его удовлетворенностью своим образом жизни существует довольно сильная зависимость.
20
Экономико-статистический анализ основных результатов деятельности хозяйствующего субъекта.
Экономико-статистический анализ необходим для принятия действенных управленческих решений, определения путей совершенствования производства и улучшения финансового состояния хозяйствующего субъекта. Анализ предполагает комплексное изучение производственно-хозяйственной деятельности организации, что важно для оценки производительности труда, использования основных и оборотных средств, эффективности текущих затрат, влияния факторов на достигнутые результаты. Цель и задачи анализа, специфика изучаемых показателей и имеющаяся информация предопределяют выбор статистических методов. Особенность проводимого исследования состоит в том, что оно основывается на данных, взятых в динамике за ряд лет. Сопоставимость уровней изучаемого явления обеспечивается возможностями индексного метода, а также применением в исследовании показателей, независящих от инфляции или подверженных ее влиянию в малой степени, например
относительных величин структуры. Завершающим этапом анализа является составление заключений и рекомендаций для менеджмента.
Исходные данные в текущей оценке, характеризующие деятельность объекта исследования
за три года, студент должен скорректировать в соответствии с индивидуальным вариантом
(номер варианта согласуется с преподавателем). Числовые значения показателей со знаком
«*», следует изменить, умножив на коэффициент, соответствующий варианту, и округлить с
принятой в задании степенью точности.
Таблица коэффициентов, соответствующих индивидуальным вариантам
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Коэффициент 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10
…
…
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Вариант ____
Показатели производственно-хозяйственной деятельности строительной организации
№
п/п
Показатели
1
2
1.
Объем выполненных
подрядных работ*,
в том числе:
 объекты производственного назначения*
Ед.
измер
.
Обо
знач.
3
4
млн
.
руб
.
Q
 объекты непроизводственного назначения*
Из общего объема под21
Год (номер по порядку) 1
1
2
3
5
6
7
рядных работ выполнено за счет:
 бюджетных средств*
 внебюджетных источников финансирования*
2.
Среднегодовая численность работников*
чел.
3.
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов*
млн
.
4.
Среднегодовой остаток
материальных оборотных средств*
Т
Ф
руб
.
--
С
5.
Материальные затраты*
--
М
6.
Затраты на оплату труда *
--
З
7.
Амортизация основных
средств*
--
А
8.
Прочие затраты*
--
У
9.
Затраты на выполненный объем подрядных
работ*
--
Z
10.
Индекс цен подрядных
работ2
%
Ip
11.
Индекс переоценки основных фондов2
--
КФ
12.
Индекс потребительских цен2
--
IПЦ
__________________
1
2
– оформить в соответствии с выданным заданием (указать годы).
– изменение по отношению к предыдущему году.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Центральное место в системе показателей производственной деятельности хозяйствующего субъекта отведено показателю объема произведенной продукции, характеризующему
результат производства, определяющему величину дохода. Планирование выпуска продукции, предвидение темпов роста и пропорций конкретных ее видов на перспективу определяет устойчивость и место предприятия в современном рыночном хозяйстве.
1.1. Анализ структуры подрядных работ и источников их финансирования
22
Объем подрядных работ неоднороден по своему составу и может быть сгруппирован по
ряду признаков. Задачей проводимого анализа в данном подразделе является выявление студентом особенностей структуры выполненных работ по видам и источникам финансирования. Исходные данные и результаты расчетов рекомендуется представить в табл. 1.1 (см.
приложение 5, табл. 1).
Таблица 1.1
Структура выполненных подрядных работ по видам и источникам финансирования
Показатели
1
млн.
руб.
Год (номер по порядку)
2
%
млн.
%
млн.
к итогу
руб.
к итогу
руб.
3
%
к итогу
Объем выполненных подрядных работ Q,
в том числе:
 объекты производственного назначения
 объекты непроизводственного назначения
Из общего объема подрядных работ выполнено за
счет:
 бюджетных средств
 внебюджетных источников финансирования
Показатели структуры подрядных работ в процентах по видам и источникам финансирования следует отобразить графически на рис. 1 в виде круговой секторной или столбиковой диаграммы (см. приложение 5 рис. 1).
В выводе студент должен охарактеризовать особенности структуры подрядных работ и
ее изменение в динамике.
1.2.
Анализ динамики объема подрядных работ и цен
Задачами проводимого анализа в данном подразделе являются выявление студентом
тенденции динамики стоимостного и реального объема выполненных подрядных работ за
исследуемый период, а также оценка влияния изменения цен и физического объема работ на
рост их стоимости.
Анализируя динамику объема подрядных работ, следует использовать индексный метод. Изменение стоимостного объема выполненных работ характеризует общий индекс стоимости подрядных работ (Ipq):
Ipq = p1q1/p0q0,
(1.1)
где p0q0, p1q1 – стоимость работ в текущих (фактических) ценах соответственно в базисном и исследуемом периоде.
Динамику реального объема подрядных работ, свободную от влияния цен, отражает
общий индекс физического объема подрядных работ (Iq):
Iq = (p1q1/ip)/p0q0.
(1.2)
23
Из формулы (1.2) видно, что переоценка текущей стоимости работ в сопоставимые цены базисного периода производится путем деления ее на индекс цен (ip), используемый в качестве дефлятора для понижения стоимости работ каждого вида до уровня цен базисного периода. Этот прием в статистике называется дефлятированием.
Исходные данные курсовой работы содержат сведения о суммарном объеме подрядных
работ в фактических ценах и общем процентном изменении цен. В соответствии принятыми
обозначениями, приведенные выше формулы приобретают упрощенный вид:
Ipq = Q1/Q0;
(1.3)
Iq = Q1/Ip/Q0,
(1.4)
где Q0, Q1 – объем выполненных подрядных работ в текущих ценах соответственно в
базисном и исследуемом периоде;
Ip – общий индекс цен подрядных работ.
На основе формул (1.3), (1.4) должны быть исчислены как цепные, так и базисные индексы. Цепные индексы получаются при сравнении данных каждого последующего года с
предыдущим, базисные – с данными начального года, принятого за базу сравнения и приравненного к 100%.
После преобразований формула (1.4) принимает следующий вид:
Iq = Ipq/Ip.
(1.5)
Окончательный вариант формулы отличается простотой в применении и демонстрирует
взаимосвязь индексов, физического объема, стоимости и цен подрядных работ. Исходные
данные и результаты расчетов рекомендуется представить в табл. 1.2 (см. приложение 5,
табл. 2).
Таблица 1.2
Динамика объема выполненных подрядных работ и цен
Показатели
Обознач.
1
Год (номер по порядку)
2
3
1. Объем выполненных подрядных
работ в текущих ценах, млн. руб.
Q
2. Индекс стоимости подрядных
работ, %:
Ipq
 к предыдущему году
 к начальному году
3. Индекс цен подрядных работ, %:
Ip
 к предыдущему году
 к начальному году
4. Индекс физического объема
подрядных работ, %:
Iq
 к предыдущему году
 к начальному году
Динамику исчисленных показателей рекомендуется отобразить графически на рис. 2 в
виде линейной диаграммы, используя значения базисных индексов (Ipq, Ip, Iq), (см. приложение 5 рис. 2).
Анализируя результаты расчетов, студент должен сделать вывод о динамике исследуемых показателей и о влиянии изменения цен и физического объема работ на изменение их
стоимости.
24
Раздел 2. Анализ использования экономических ресурсов организации
Повышение технико-организационного уровня хозяйствующего субъекта, в конечном
счете, проявляется в уровне использования всех трех элементов производственного процесса: ресурсов труда, средств труда, предметов труда. Во вступлении ко второму разделу курсовой работы студент должен продемонстрировать экономические знания, представив в общем виде систему показателей, отражающих интенсивность использования экономических
ресурсов и определить направления их анализа для выявления неиспользованных резервов
производства с целью повышения эффективности работы хозяйствующего субъекта.
2.1. Анализ динамики эффективности использования персонала организации и уровня
оплаты труда
Производственные результаты во многом определяются степенью эффективности использования персонала организации. Задачами проводимого анализа в данном подразделе
являются выявление студентом тенденции динамики показателей по труду за исследуемый
период, оценка влияния изменения численности работников и уровня производительности
труда на изменение объема выполненных подрядных работ, выявление соотношения темпов
роста номинальной и реальной заработной платы.
Представление об эффективности использования персонала организации дает показатель выработки на одного работника, с помощью которого измеряется уровень производительности труда. Среднегодовая выработка в стоимостном выражении (W) исчисляется
как отношение стоимости выполненных подрядных работ к среднегодовой численности работников:
W = Q/Т.
(2.1)
Динамику уровня производительности труда измеряет индекс среднегодовой выработки (IW):
IW = q1p0/T1 : q0p0/T0,
(2.2)
где q0p0; q1p0 – объем подрядных работ в сопоставимых ценах соответственно в базисном и исследуемом периоде;
T0; T1 – общие затраты труда соответственно в базисном и исследуемом периоде.
Преобразуем формулу (2.2):
IW = q1p0 /q0p0 : T1/T0,
(2.3)
откуда:
IW = Iq/IТ.
(2.4)
Формула (2.4) отражает взаимосвязь индексов среднегодовой выработки, физического
объема работ и затрат труда и удобна в применении.
В исходных данных курсовой работы общие затраты труда представлены среднегодовой численностью работников, поэтому индексу затрат труда соответствует индекс среднегодовой численности работников (IТ):
IТ= T1/T0,
(2.5)
25
где T0, T1 – среднегодовая численность работников соответственно в базисном и исследуемом периоде.
Исходные данные и результаты расчетов рекомендуется представить в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Динамика показателей использования персонала организации
Показатели
Обознач.
1
1. Среднегодовая численность работников, чел.
2. Индекс среднегодовой численности работников, %:
 к предыдущему году
 к начальному году
3. Индекс физического объема
подрядных работ, %:
 к предыдущему году
 к начальному году
4. Индекс среднегодовой выработки одного работника, %:
 к предыдущему году
 к начальному году
Год (номер по порядку)
2
3
Т
IТ
Iq
IW
Динамику исчисленных показателей рекомендуется отобразить графически на рис. 3 в
виде линейной диаграммы, используя значения базисных индексов (Iq, IW, IТ).
Формулируя вывод, студент должен охарактеризовать темпы изменения численности
работников и выработки, оценить их влияние на динамику объема подрядных работ, выявить
наличие резервов роста строительной продукции за счет повышения производительности
труда.
Уровень оплаты труда измеряется показателем средней заработной платы одного работника. В статистике различают показатели средней номинальной и реальной заработной
платы.
Среднегодовая номинальная начисленная заработная плата (З) исчисляется путем
деления суммы начисленной за год заработной платы (З) к среднегодовой численности работников:
З = З/Т.
(2.6)
Покупательную способность номинальной заработной платы отражает реальная заработная плата, исчисляемая с учетом темпов роста потребительских цен на основные товары и
услуги. Уровень реальной заработной платы прямо пропорционален уровню номинальной
заработной платы и обратно пропорционален уровню потребительских цен.
Динамику среднего уровня оплаты труда характеризуют индексы номинальной и реальной заработной платы. Индекс номинальной заработной платы (IНЗП) исчисляется как
отношение средних уровней номинальной начисленной заработной платы за два сравниваемых периода времени:
IНЗП = З1/З0 .
(2.7)
Индекс реальной заработной платы (IРЗП) вычисляют путем деления индекса номинальной заработной платы на индекс потребительских цен:
26
IРЗП = IНЗП/IПЦ .
(2.8)
Исходные данные и результаты расчетов рекомендуется представить в таблице 2.2.
Таблица 2.2
Динамика показателей оплаты труда
Показатели
1. Затраты на оплату труда, млн.
руб.
2. Среднегодовая численность работников, чел.
3. Среднегодовой уровень оплаты
труда одного работника, млн. руб.
4. Индекс номинальной заработной
платы, %:
 к предыдущему году
 к начальному году
5. Индекс потребительских цен, %:
 к предыдущему году
 к начальному году
6. Индекс реальной заработной
платы, %:
 к предыдущему году
 к начальному году
Обознач.
Год (номер по порядку)
1
2
3
З
Т
З
IНЗП
IПЦ
IРЗП
Динамику исчисленных показателей следует отобразить графически на рис. 4 в виде
линейной диаграммы, используя значения базисных индексов (IНЗП, IПЦ, IРЗП).
В выводе студент должен дать оценку влияния соотношения темпов роста (индексов)
номинальной заработной платы и потребительских цен в организации на динамику реального уровня оплаты труда.
2.2. Анализ динамики эффективности использования производственных фондов
Задачами проводимого анализа в данном подразделе курсовой работы являются определение студентом уровня эффективности использования основных фондов и материальных
оборотных средств, оценка влияния эффективности использования производственных фондов на динамику результатов деятельности строительной организации.
Прямым показателем уровня эффективности использования основных фондов является
фондоотдача (f), представляющая собой отношение стоимости выполненных подрядных
работ к среднегодовой стоимости основных производственных фондов:
f = Q/Ф.
(2.9)
Индекс динамики фондоотдачи (If) исчисляется по формуле:
If = q1p0 /Ф´1 : q0p0 /Ф´0,
(2.10)
где Ф´0, Ф´1 – среднегодовая стоимость основных производственных фондов соответственно
в базисном и исследуемом периоде в сопоставимой оценке базисного периода.
27
Пересчет среднегодовой стоимости основных фондов текущего года в сопоставимую
оценку базисного года производится с помощью индекса переоценки основных фондов:
Ф´ = Ф/КФ.
(2.11)
Преобразуем формулу (2.10):
If = q1p0 /q0p0 : Ф´1/Ф´0,
(2.12)
откуда:
If = Iq/IФ.
(2.13)
Формула (2.13) отражает взаимосвязь индексов фондоотдачи, физического объема работ и среднегодовой стоимости основных фондов и проста в применении.
Приведенный в знаменателе формулы (2.13) индекс среднегодовой стоимости основных производственных фондов (IФ), представляет собой следующее отношение:
IФ = Ф´1 /Ф´0.
(2.14)
Исходные данные и результаты расчетов рекомендуется представить в табл. 2.3.
Таблица 2.3
Динамика показателей использования основных производственных фондов
Показатели
Обознач.
1
1. Индекс физического объема
подрядных работ, %:
 к предыдущему году
 к начальному году
2. Среднегодовая стоимость основных производственных фондов (в
текущей оценке), млн. руб.
3. Индекс переоценки основных
фондов, %
4. Среднегодовая стоимость основных производственных фондов (в
сопоставимой оценке), млн. руб.
5. Индекс среднегодовой стоимости основных производственных
фондов (в сопоставимой оценке),
%:
 к предыдущему году
 к начальному году
6. Индекс фондоотдачи, %:
 к предыдущему году
 к начальному году
Год (номер по порядку)
2
3
Iq
Ф
КФ
Ф´
IФ
If
Динамику исчисленных показателей рекомендуется отобразить графически на рис. 5 в
виде линейной диаграммы, используя значения базисных индексов (Iq, If, IФ).
При формулировании вывода студенту рекомендуется охарактеризовать темпы изменения размера основных производственных фондов и фондоотдачи, оценить их влияние на ди28
намику объема подрядных работ, выявить наличие резервов роста строительной продукции
за счет улучшения использования технического потенциала организации.
Представление об эффективности использования материальных оборотных средств дают показатели их оборачиваемости. Прямым показателем является коэффициент оборачиваемости, характеризующий число оборотов среднего остатка оборотных средств за отчетный
период (в нашем случае за год).
Коэффициент оборачиваемости оборотных средств (КОБ) исчисляется как отношение выручки от реализации продукции к среднему остатку оборотных средств:
КОБ = Q/С,
(2.15)
где – Q выручка от выполненных подрядных работ (в нашем случае равна объему выполненных подрядных работ);
С – среднегодовой остаток материальных оборотных средств.
Средняя продолжительность одного оборота (Д) исчисляется путем деления числа
дней исследуемого календарного периода на коэффициент оборачиваемости:
Д = ТКАЛ/КОБ,
(2.16)
где – ТКАЛ число календарных дней в году (в экономических расчетах равно 360 дней).
Исходные данные и результаты расчетов рекомендуется представить в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Динамика показателей оборачиваемости оборотных средств
Показатели
Обознач.
1
1. Объем выполненных подрядных
работ, млн. руб.
2. Среднегодовой остаток материальных оборотных средств, млн.
руб.
3. Коэффициент оборачиваемости
оборотных средств
4. Средняя продолжительность одного оборота, дней
Год (номер по порядку)
2
3
Q
С
КОБ
Д
Число оборотов среднего остатка оборотных средств (КОБ) и среднюю продолжительность одного оборота (Д) следует отобразить графически на рис. 6. в виде любой диаграммы,
подходящей для изображения динамики показателя.
Интерпретируя результаты расчетов, студент должен сделать вывод о динамике эффективности использования материальных оборотных средств.
Раздел 3. Анализ текущих затрат и рентабельности организации
Затраты в денежной форме отражают потребление соответствующего вида ресурсов.
Затраты всегда связаны с достижением определенных целей. Для оценки эффективности затрат на производственную деятельность конкретные затраты можно сопоставить с производственным или финансовым результатом. Это позволяет проводить комплексный анализ эффективности производства в целях совершенствования управления организацией. Во вступлении к третьему разделу студент должен подчеркнуть важную роль анализа текущих затрат
на выполненный объем подрядных работ, затратоемкости строительного производства, от
уровня которой зависят финансовые результаты и рентабельность организации.
29
3.1. Анализ структуры и динамики затрат на выполненный объем работ
Задачами проводимого анализа в данном подразделе являются определение студентом
доли отдельных элементов затрат в их общей сумме и выявление тенденции динамики уровня затрат на выполненный объем подрядных работ за исследуемый период.
Абсолютные и относительные показатели затрат по элементам рекомендуется представить в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Структура затрат на выполненный объем подрядных работ
Показатели
млн.
руб.
Год (номер по порядку)
1
2
%
млн.
%
к итогу
руб.
к итогу
3
млн.
руб.
%
к итогу
Материальные затраты
М
Затраты на оплату труда
З
Амортизация основных
средств А
Прочие затраты У
Итого затрат Z
Показатели относительной доли затрат в процентах следует отобразить графически на
рис. 7.
Анализируя полученные результаты, студент должен сделать вывод об особенностях
структуры затрат на выполненный объем работ и ее изменении в динамике.
В исследовании динамики затрат на выполненный объем подрядных работ, необходимо
принять во внимание, что показатель общей суммы затрат несопоставим во времени и
напрямую зависит от объема выполненных работ. В аналитических целях лучше использовать затраты на один рубль подрядных работ (YZ):
YZ = Z/Q.
(3.1)
Данный показатель не зависит от динамики объема выполненных работ и мало подвержен влиянию инфляции. Уровень затрат свидетельствует об эффективности строительного
производства. Если затраты на каждый рубль выполненных работ менее одного рубля, то
производство рентабельно, т.е. эффективно.
Индекс динамики затрат на один рубль подрядных работ (IYz) исчисляется по формуле:
IYz = Z1/Q1 : Z0/Q0 = YZ1/ YZ0 ,
(3.2)
где Z0, Z1 – затраты на выполненный объем подрядных работ соответственно в базисном и
исследуемом периоде;
YZ0, YZ1 – затраты на один рубль подрядных работ соответственно в базисном и исследуемом периоде.
Исходные данные и результаты расчетов рекомендуется представить в табл. З.2.
30
Динамику уровня затрат на один рубль подрядных работ (YZ) и одноименный базисный
индекс (IYz), следует отобразить графически на рис. 8. Сформулировать выводы.
Таблица 3.2
Динамика затрат на выполненный объем подрядных работ
Показатели
Обознач.
1
1. Объем выполненных подрядных
работ, млн. руб.
2. Затраты на выполненный объем
подрядных работ,
млн. руб.
3. Затраты на один рубль подрядных работ, руб.
4. Индекс затрат на один рубль
подрядных работ, %:
 к предыдущему году
 к начальному году
Год (номер по порядку)
2
3
Q
Z
YZ
IYz
3.2. Анализ динамики эффективности затрат
Задачами проводимого анализа в данном подразделе являются комплексная оценка уровня
эффективности текущих затрат, определение степени влияния факторов на величину и
динамику общей затратоемкости, выявление резервов роста эффективности производства.
Для оценки эффективности затрат на производственную деятельность строительной организации текущие затраты как совокупные, так и частные можно сопоставить с эффектом
производства – объемом выполненных подрядных работ. Полученные в результате такого
сравнения показатели уровня эффективности, означают соответственно общую или частную затратоемкость производства.
Общий уровень эффективности затрат (Э) исчисляется по формуле:
Э = Zi/Q,
(3.3)
где Zi – совокупные текущие затраты на выполненный объем подрядных работ;
Частный уровень эффективности затрат (Эi) представляет собой отношение конкретного элемента текущих затрат к объему выполненных подрядных работ:
Эi = Zi/Q,
(3.4)
Общий уровень эффективности затрат можно разложить на частные показатели:
Э = ZМ/Q + ZЗ/Q + ZА/Q + ZУ/Q,
(3.5)
31
где ZМ – материальные затраты;
ZЗ – затраты на оплату труда;
ZА – амортизация основных средств;
ZУ – прочие затраты.
откуда
Э = ЭМ + ЭЗ + ЭА + ЭУ ,
(3.6)
где ЭМ – материалоемкость;
ЭЗ – зарплатоемкость;
ЭА – амортизацеемкость;
ЭУ – услугоемкость.
или
Э = Эi .
(3.7)
Приведенные в формуле (3.6) частные уровни эффективности текущих затрат можно рассматривать как факторы, определяющие рост или снижение общей затратоемкости производства.
В статистическом анализе динамики эффективности производства используются индексы.
Индекс общего уровня эффективности затрат (затратоемкости) IЭ исчисляется по
формуле:
IЭ = Z1/Q1 : Z0/Q0 = Э1/Э0 ,
(3.8)
где Z0, Z1 – совокупные текущие затраты на выполненный объем подрядных работ соответственно в базисном и исследуемом периоде;
Э0, Э1 – общий уровень эффективности текущих затрат соответственно в базисном и исследуемом периоде.
Поскольку в расчетах используется обратный вариант показателя уровня эффективности
затрат (отношение затрат к эффекту), то IЭ  1 означает рост эффективности производства, IЭ  1 – ее снижение. Это обстоятельство следует учесть при формулировании выводов.
Величину экономии (со знаком «минус») или перерасхода (со знаком «плюс») затрат на 1
рубль подрядных работ отражает абсолютное изменение уровня эффективности затрат (затратоемкости) Э:
Э = Э1 –Э0 .
(3.9)
32
Влияние факторов на динамику общей затратоемкости определяется посредством индексного анализа частных показателей эффективности затрат. Индекс частного уровня эффективности затрат (IЭi) исчисляется по формуле:
IЭi = Zi1/Q1 : Zi0/Q0 = Эi1/Эi0 ,
(3.10)
где Zi0, Zi1 – конкретные текущие затраты на выполненный объем подрядных работ соответственно в базисном и исследуемом периоде;
Эi0 , Эi1 – частный уровень эффективности текущих затрат соответственно в базисном и
исследуемом периоде.
Абсолютное изменение частного уровня эффективности затрат (Э i) по каждому
элементу в отдельности определяется по формуле:
Э i = Эi1 – Эi0 .
(3.11)
Общее абсолютное изменение затратоемкости равно сумме частных ее отклонений:
Э = Эi ,
(3.12)
или
Э = ЭМ + ЭЗ + ЭА + ЭУ.
(3.13)
Выражение (3.13) свидетельствует о вкладе отдельных факторов в абсолютное изменение общей затратоемкости.
Исходные данные за первый и последний годы и результаты расчетов рекомендуется
привести в табл. 3.3
Анализируя результаты вычислений, студент должен сделать выводы о росте или снижении уровня эффективности текущих затрат за исследуемый период, определить вклад отдельных составляющих (по элементам затрат) в изменение общей затратоемкости, выявить
наличие резервов повышения эффективности производства.
Таблица 3.3
Динамика показателей эффективности текущих затрат
Показатели
Затраты на выполненный объем подрядных
работ,
млн. руб.
Уровень эффективности затрат
(затратоемкость), руб.
базисный
год
Z0
базисный
год
Э0
текущий
год
Z1
Материальные
затраты М
33
текущий
год
Э1
Индекс
уровня эффективности затрат,
%
IЭ
Абсолют.
изменение
уровня эффективности затрат, руб.
Э
Затраты на оплату труда З
Амортизация основных средств
А
Прочие затраты
У
Итого затрат Z
Объем выполненных подрядных работ Q
–
–
–
–
3.3. Анализ динамики рентабельности строительной продукции
Задачами проводимого анализа в данном подразделе являются оценка финансовых результатов организации, выявление студентом тенденции динамики уровня рентабельности
строительной продукции за исследуемый период.
Базой для исчисления уровня рентабельности строительной продукции являются показатели финансовых результатов организации: выручка от выполненных подрядных работ (в
нашем случае равна объему выполненных подрядных работ Q) и прибыль от выполненных
подрядных работ.
Исходные данные курсовой работы позволяют рассчитать прибыль от выполненных
работ (П) как разность между объемом выполненных подрядных работ и текущими затратами:
П = Q – Z.
(3.14)
Уровень рентабельности строительной продукции (R) представляет собой отношение прибыли от выполненных подрядных работ к текущим затратам, выраженное в процентах:
R = (П/Z)100.
(3.15)
Показатель уровня рентабельности характеризует эффективность финансовой деятельности организации. Будучи относительной величиной, он обладает свойством сравнимости у
разных объектов и сопоставим в динамике.
Индекс динамики уровня рентабельности (IR) исчисляется по формуле:
IR = П1/Z1 : П0/Z0 = R1/R0,
(3.16)
где П0, П1 – прибыль от выполненных подрядных работ соответственно в базисном и исследуемом периоде;
R0, R1 – уровень рентабельности строительной продукции соответственно в базисном и исследуемом периоде.
Индекс уровня рентабельности впрямую свидетельствует о росте или снижении эффективности финансовой деятельности организации. Это обстоятельство следует учесть при
формулировании выводов.
Исходные данные и результаты расчетов рекомендуется представить в табл. 3.4.
Таблица 3.4
34
Динамика показателей рентабельности строительной продукции
Показатели
1. Объем выполненных подрядных
работ, млн. руб.
2. Затраты на выполненный объем
подрядных работ,
млн. руб.
3. Прибыль от выполненных подрядных работ, млн. руб.
4. Уровень рентабельности строительной продукции, %
4. Индекс уровня рентабельности
строительной продукции, %:
 к предыдущему году
 к начальному году
Обознач.
Год (номер по порядку)
1
2
3
Q
Z
П
R
IR
Динамику уровня рентабельности строительной продукции (R) и одноименный базисный индекс (IR) следует отобразить графически на рис. 9.
Анализируя результаты расчетов, студент должен оценить уровень рентабельности
строительной продукции, сделать вывод о его динамике и соответствующем изменении эффективности финансовой деятельности организации за исследуемый период.
Заключение
В заключительной части студенту рекомендуется дать обобщающую оценку производственно-хозяйственной деятельности строительной организации, в следующей последовательности:
 производственные результаты деятельности организации – объем выполненных подрядных работ, его структура, динамика в стоимостном и реальном исчислении;
 эффективность использования экономических ресурсов: производительности труда,
фондоотдачи, оборачиваемости материальных оборотных средств;
 эффективность затрат на выполненные подрядные работы;
 финансовые результаты организации;
 резервы повышения эффективности производства и рентабельности строительной
продукции.
35
Контрольная работа.
Вариант 1.
1. В ходе этнографической экспедиции по двум этнокультурным группам (районам) Архангельской области были выявлены наиболее часто встречающиеся узоры русской вышивки:
конь и крылатая птица. На основе частоты появления этих образов орнамента в обследуемых
этнокультурных группах была составлена следующая таблица:
Район
конь крылатая птица
Онежский
7
40
Плисецкий
11
17
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
между признаками; 2) при уровне значимости   0.05 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: вид орнамента и принадлежность его к определенной
группе.
2. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность нового препарата. Из 100 пациентов с одним и тем же заболеванием часть принимала старый общеизвестный препарат X, а часть принимала новый препарат Y. Из принимавших старый препарат: у
48 человек была нормальная реакция, а у 4 человек обнаружена аллергия. Среди тех, кто
принимал новый препарат: у 42 зафиксирована нормальная реакция,. А у 6 человек аллергия.
Проверить гипотезу о равенстве вероятностей возникновения аллергии при применении препаратов X и Y, когда уровень значимости равен 0,02. останется ли принятое решение о проверке данных гипотез справедливым, если при тех же значения частостей число пациентов
возрастет в 10 раз?
3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты. Для проверки годности автомата произведено 400 испытаний, где выигрыш появился 5 раз. Оценить вероятность появления выигрыша. Построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при   0.9973 ,
используя: преобразование арксинуса. Как изменится доверительный интервал, если при той
же частости появления выигрыша число наблюдений возрастет в 20 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2 -1 3
Y 2 3 1 4
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX  b найти неизвестные коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  1.5; X 6  4 .
Вариант 2.
1. Пусть вероятность того, что покупателю магазина женской обуви необходимы туфли 37
размера, равна 0,25. Оценить с помощью теоремы Бернулли и интегральной теоремы Муавра-Лапласа, вероятность того, что доля покупателей, которым необходимы туфли 37 размера,
отклонится по абсолютной величине от вероятности 0,25 не более чем на 0,1, если всего в
день магазин посещает 1000 покупателей.
2. Из 250 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по математике, в одном потоке
63 человека получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа построить доверительные границы для этой вероятности при   0.98 . Как изменится этот интервал,
если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 10 раз?
3. Из проконтролированных 100 телевизоров, выпущенных на Воронежском заводе, целиком
удовлетворяют заданным техническим требованиям 85. При контроле 105 телевизоров, выпущенных на Шауляйском заводе, заданным техническим требованиям удовлетворяет 98 телевизоров. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска годного телевизора на
36
этих заводах при уровне значимости   0.01. Останется ли принятое решение в силе, если
при тех же значениях частостей число проконтролированных телевизоров возрастет в 20 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2
4
6
Y 2 2,5 2,3 2,1
b
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  a 
найти неизвестные коX
эффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  2.5; X 6  7 .
Вариант 3.
1. За некоторый период времени в населенном пункте А в ночное время было совершено 68
преступлений, из которых оказалось 20 квартирных краж. За тот же промежуток времени в
населенном пункте В в ночное время было совершено 102 преступления, среди которых оказалось 35 квартирных краж. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в населенных пунктах А и В при уровне значимости   0.1 . Останется
ли принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей число преступлений, совершенных в А и В возрастет в 15 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к религии, проведенных в
Пермском крае и Нижегородской области были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Верю в Убежденный
Бога
атеист
Пермский край
63
27
Нижегородская область
46
54
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его веры в Бога.
3. Вероятность заболеть некоторой инфекционной болезнью в течение года для данной социальной группы, включающей 90000 человек, составляет 0,1. какова вероятность того, что
число заболевших за год будет находиться в интервале от 8820 до 9270?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
Вариант 4.
1. Из 450 деталей, изготовленных станком-автоматом оказалось 39 нестандартных. Оценить
вероятность того, что произвольным образом взятая деталь окажется стандартной. Используя
преобразование арксинуса, построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при   0.999 . Как изменится доверительный интервал, если при той же частости
изготовления стандартных деталей число наблюдений возрастет в 25 раз?
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли миграционные
установки выпускников от того, в каком регионе они живут. Результаты опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем городе постоянно
Пермь
656
556
Екатеринбург
344
444
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
37
между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в 40 раз?
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,97.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 1000 наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее вероятности
не превысит по абсолютной величине 0,02.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
Вариант 5.
1. В ходе социологических исследований среди студентов технических вузов Приволжского
федерального округа было выявлено разделение студентов на две четко очерченные группы
по музыкальным пристрастиям «рэпперы» и «рокеры». На основе частоты появления этих
признаков в обследуемых группах была составлена следующая таблица:
Район
рок рэп
Самарский
12 45
авиационный
институт
ПГТУ
34 45
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: любимое музыкальное направление и обучение в одном
из крупных городов федерального округа.
2. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность нового препарата. Из 250 пациентов с одним и тем же заболеванием часть принимала старый общеизвестный препарат X, а часть принимала новый препарат Y. Из принимавших старый препарат: у
67 человек была нормальная реакция, а у 33 человек обнаружена аллергия. Среди тех, кто
принимал новый препарат: у 100 зафиксирована нормальная реакция, а у 50 человек аллергия. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей возникновения аллергии при применении
препаратов X и Y, когда уровень значимости равен 0,05. останется ли принятое решение о
проверке данных гипотез справедливым, если при тех же значения частостей число пациентов возрастет в 20 раз?
3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в трех случаях из 150 бросаний монеты. Для проверки годности автомата произведено 500 испытаний, где выигрыш появился 5 раз. Оценить вероятность появления выигрыша.
Построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при   0.9 используя: интегральную теорему Муавра-Лапласа. Как изменится доверительный интервал, если
при той же частости появления выигрыша число наблюдений возрастет в 10 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2 -1 3
Y 2 3 1 4
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX  b найти неизвестные коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  1.5; X 6  4 .
38
Вариант 6.
1. Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции города, чтобы ошибка доли
фирм несвоевременно уплачивающих налоги не превысила 4%. По данным предыдущей
проверки доля таких фирм составляла 49%. Доверительную вероятность принять равной
0.98.
2. Из 180 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по математике, в одном потоке
54 человека получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа построить доверительные границы для этой вероятности при   0.95 . Как изменится этот интервал, если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 30 раз?
3. Из проконтролированных 200 пылесосов, выпущенных на Бобруйском заводе, целиком
удовлетворяют заданным техническим требованиям 80. При контроле 100 пылесосов, выпущенных на Быховском заводе, заданным техническим требованиям удовлетворяет 92 пылесоса. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска годного пылесоса на этих заводах при уровне значимости   0.05 . Останется ли принятое решение в силе, если при тех же
значениях частостей число проконтролированных телевизоров возрастет в 10 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2
4
6
Y 2 2,5 2,3 2,1
b
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  a 
найти неизвестные коX
эффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  2.5; X 6  7 .
Вариант 7.
1. За некоторый период времени в Перми в ночное время было совершено 125 преступлений,
из которых оказалось 40 квартирных краж. За тот же промежуток времени в населенном
пункте Березняки в ночное время было совершено 102 преступления, среди которых оказалось 35 квартирных краж. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках при уровне значимости   0.05 . Останется ли
принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей число преступлений, совершенных в этих городах возрастет в 10 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к реформе медицинского
образования, проведенных в Пермском крае и Нижегородской области были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Доволен Недоволен
Пермский край
21
115
Нижегородская область
11
165
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
между признаками; 2) при уровне значимости   0.05 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков.
3. Вероятность заболеть сальмонеллезом в течение года для данной социальной группы,
включающей 100000 человек, составляет 0,3. какова вероятность того, что число заболевших
за год будет находиться в интервале от 8300 до 10000?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
39
Вариант 8.
1. Из 150 деталей, изготовленных токарем, оказалось 12 нестандартных. Оценить вероятность того, что произвольным образом взятая деталь окажется стандартной. Используя преобразование арксинуса, построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при   0.9 . Как изменится доверительный интервал, если при той же частости изготовления стандартных деталей число наблюдений возрастет в 15 раз?
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли миграционные
установки выпускников педагогических образовательных учреждений от того, в каком регионе они живут. Результаты опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем городе постоянно
Пермь
100
223
Екатеринбург
251
450
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в 10 раз?
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,99.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 500 наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее вероятности
не превысит по абсолютной величине 0,02.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
Вариант 9.
1. В ходе социологических исследований среди студентов технических вузов Приволжского
федерального округа было выявлено разделение студентов на две группы - «автомобилисты»
и «велосипедисты». На основе частоты появления этих признаков в обследуемых группах
была составлена следующая таблица:
Район
авто велосипед
Самарский
100
12
авиационный
институт
ПГТУ
50
55
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
между признаками; 2) при уровне значимости   0.1 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков.
2. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность нового препарата. Из 1000 пациентов с одним и тем же заболеванием часть принимала старый общеизвестный препарат X, а часть принимала новый препарат Y. Из принимавших старый препарат: у 348 человек была нормальная реакция, а у 32 человек обнаружена аллергия. Среди тех,
кто принимал новый препарат: у 590 зафиксирована нормальная реакция, а у 30 человек аллергия. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей возникновения аллергии при применении препаратов X и Y, когда уровень значимости равен 0,01. останется ли принятое решение
о проверке данных гипотез справедливым, если при тех же значения частостей число пациентов возрастет в 5 раз?
40
3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в 5 случаях из 500 бросаний монеты. Для проверки годности автомата произведено
1000 испытаний, где выигрыш появился 7 раз. Оценить вероятность появления выигрыша.
Построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при   0.95 используя: преобразование арксинуса. Как изменится доверительный интервал, если при той
же частости появления выигрыша число наблюдений возрастет в 30 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2 -1 3
Y 2 3 1 4
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX  b найти неизвестные коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  1.5; X 6  4 .
Вариант 10.
1. Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции города, чтобы ошибка доли
фирм несвоевременно уплачивающих налоги не превысила 6%. По данным предыдущей
проверки доля таких фирм составляла 23%. Доверительную вероятность принять равной
0.95.
2. Из 300 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по физике, в одном потоке 45 человек получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа построить доверительные границы для этой вероятности при   0.9 . Как изменится этот интервал, если
при той же частости, число абитуриентов возрастет в 5 раз?
3. Из проконтролированных 147 чайников, выпущенных на Новосибирском заводе, целиком
удовлетворяют заданным техническим требованиям 132. При контроле 780 чайников, выпущенных на Кемеровском заводе, заданным техническим требованиям удовлетворяет 692
чайника. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска годного пылесоса на этих
заводах при уровне значимости   0.01 . Останется ли принятое решение в силе, если при
тех же значениях частостей число проконтролированных телевизоров возрастет в 5 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2
4
6
Y 2 2,5 2,3 2,1
b
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  a 
найти неизвестные коX
эффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  2.5; X 6  7 .
Вариант 11.
1. За некоторый период времени в Перми в ночное время было совершено 179 преступлений,
из которых оказалось 40 краж мобильных телефонов. За тот же промежуток времени в населенном пункте Березняки в ночное время было совершено 102 преступления, среди которых
оказалось 65 краж мобильных телефонов. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках при уровне значимости   0.01 .
Останется ли принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей число преступлений, совершенных в этих городах возрастет в 7 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к использованию кредитных продуктов представленных в регионе, проведенных в Пермском крае и Нижегородской
области были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Пользуюсь Не пользуюсь
Пермский край
874
451
Нижегородская область
654
678
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
41
между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков.
3. Вероятность заболеть вирусом гриппа в течение года для студента ПГТУ (50 000) человек, составляет 0,6. Какова вероятность того, что число заболевших за год будет находиться
в интервале от 10 000 до 15 000?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
Вариант 12.
1. Из 234 кубиков, выструганных Самоделкиным, оказалось 12 нестандартных. Оценить вероятность того, что произвольным образом взятый кубик окажется стандартным. Используя
теорему Муавра-Лапласа, построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при   0.8 . Как изменится доверительный интервал, если при той же частости изготовления стандартных кубиков число наблюдений возрастет в 4 раза?
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли миграционные
установки выпускников школ от того, в каком регионе они живут. Результаты опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем городе постоянно
Пермь
654
100
Екатеринбург
568
98
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в 5 раз?
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,98.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 800 наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее вероятности
не превысит по абсолютной величине 0,03.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
Вариант 13.
1. Из 150 деталей, изготовленных токарем, оказалось 12 нестандартных. Оценить вероятность того, что произвольным образом взятая деталь окажется стандартной. Используя преобразование арксинуса, построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при   0.9 . Как изменится доверительный интервал, если при той же частости изготовления стандартных деталей число наблюдений возрастет в 15 раз?
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли миграционные
установки выпускников педагогических образовательных учреждений от того, в каком регионе они живут. Результаты опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем городе постоянно
42
Пермь
100
223
Екатеринбург
251
450
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в 10 раз?
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,99.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 500 наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее вероятности
не превысит по абсолютной величине 0,02.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
Вариант 14.
1. В ходе социологических исследований среди студентов технических вузов Приволжского
федерального округа было выявлено разделение студентов на две группы - «автомобилисты»
и «велосипедисты». На основе частоты появления этих признаков в обследуемых группах
была составлена следующая таблица:
Район
авто велосипед
Самарский
100
12
авиационный
институт
ПГТУ
50
55
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
между признаками; 2) при уровне значимости   0.1 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков.
2. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность нового препарата. Из 1000 пациентов с одним и тем же заболеванием часть принимала старый общеизвестный препарат X, а часть принимала новый препарат Y. Из принимавших старый препарат: у 348 человек была нормальная реакция, а у 32 человек обнаружена аллергия. Среди тех,
кто принимал новый препарат: у 590 зафиксирована нормальная реакция, а у 30 человек аллергия. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей возникновения аллергии при применении препаратов X и Y, когда уровень значимости равен 0,01. останется ли принятое решение
о проверке данных гипотез справедливым, если при тех же значения частостей число пациентов возрастет в 5 раз?
3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в 5 случаях из 500 бросаний монеты. Для проверки годности автомата произведено
1000 испытаний, где выигрыш появился 7 раз. Оценить вероятность появления выигрыша.
Построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при   0.95 используя: преобразование арксинуса. Как изменится доверительный интервал, если при той
же частости появления выигрыша число наблюдений возрастет в 30 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2 -1 3
Y 2 3 1 4
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX  b найти неизвестные коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  1.5; X 6  4 .
43
Вариант 15.
1. Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции города, чтобы ошибка доли
фирм несвоевременно уплачивающих налоги не превысила 6%. По данным предыдущей
проверки доля таких фирм составляла 23%. Доверительную вероятность принять равной
0.95.
2. Из 300 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по физике, в одном потоке 45 человек получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа построить доверительные границы для этой вероятности при   0.9 . Как изменится этот интервал, если
при той же частости, число абитуриентов возрастет в 5 раз?
3. Из проконтролированных 147 чайников, выпущенных на Новосибирском заводе, целиком
удовлетворяют заданным техническим требованиям 132. При контроле 780 чайников, выпущенных на Кемеровском заводе, заданным техническим требованиям удовлетворяет 692
чайника. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска годного пылесоса на этих
заводах при уровне значимости   0.01 . Останется ли принятое решение в силе, если при
тех же значениях частостей число проконтролированных телевизоров возрастет в 5 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2
4
6
Y 2 2,5 2,3 2,1
b
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  a 
найти неизвестные коX
эффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  2.5; X 6  7 .
Вариант 16.
1. За некоторый период времени в Перми в ночное время было совершено 179 преступлений,
из которых оказалось 40 краж мобильных телефонов. За тот же промежуток времени в населенном пункте Березняки в ночное время было совершено 102 преступления, среди которых
оказалось 65 краж мобильных телефонов. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках при уровне значимости   0.01 .
Останется ли принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей число преступлений, совершенных в этих городах возрастет в 7 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к использованию кредитных продуктов представленных в регионе, проведенных в Пермском крае и Нижегородской
области были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Пользуюсь Не пользуюсь
Пермский край
874
451
Нижегородская область
654
678
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков.
3. Вероятность заболеть вирусом гриппа в течение года для студента ПГТУ (50 000) человек, составляет 0,6. Какова вероятность того, что число заболевших за год будет находиться
в интервале от 10 000 до 15 000?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
44
Вариант 17.
1. Из 234 кубиков, выструганных Самоделкиным, оказалось 12 нестандартных. Оценить вероятность того, что произвольным образом взятый кубик окажется стандартным. Используя
теорему Муавра-Лапласа, построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при   0.8 . Как изменится доверительный интервал, если при той же частости изготовления стандартных кубиков число наблюдений возрастет в 4 раза?
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли миграционные
установки выпускников школ от того, в каком регионе они живут. Результаты опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем городе постоянно
Пермь
654
100
Екатеринбург
568
98
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи
между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в 5 раз?
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,98.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 800 наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее вероятности
не превысит по абсолютной величине 0,03.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
45
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Приложение 1. Таблица значений функции
x
  z 2 
1
 ( x) 
exp 
 dz
2 0
 2 
x
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,2
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,3
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,4
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
Ф(x)
0
0,004
0,008
0,012
0,016
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,091
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,148
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,17
0,1736
0,1772
x
0,47
0,48
0,49
0,5
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,6
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,7
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,8
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,9
0,91
0,92
0,93
Ф(x)
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,195
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,219
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,258
0,2611
0,2642
0,2673
0,2704
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,291
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
x
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,2
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,3
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,4
Ф(x)
0,3264
0,3289
0,3315
0,334
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,377
0,379
0,381
0,383
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,398
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
x
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,5
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,6
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,7
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,8
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
Ф(x)
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,437
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
46
x
Ф(x)
1,88 0,4699
1,9 0,4713
1,92 0,4726
1,94 0,4738
1,96 0,475
1,98 0,4761
2 0,4772
2,02 0,4783
2,04 0,4793
2,06 0,4803
2,08 0,4812
2,1 0,4821
2,12 0,483
2,14 0,4838
2,16 0,4846
2,18 0,4854
2,2 0,4861
2,22 0,4868
2,24 0,4875
2,26 0,4881
2,28 0,4887
2,3 0,4893
2,32 0,4898
2,34 0,4904
2,36 0,4909
2,38 0,4913
2,4 0,4918
2,42 0,4922
2,44 0,4927
2,46 0,4931
2,48 0,4934
2,5 0,4938
2,52 0,4941
2,54 0,4945
2,56 0,4948
2,58 0,4951
2,6 0,4953
2,62 0,4956
2,64 0,4959
2,66 0,4961
2,68 0,4963
2,7 0,4965
2,72 0,4967
2,74 0,4969
2,76 0,4971
2,78 0,4973
2,8 0,4974
x
3
3,2
3,4
3,6
3,8
4
∞
Ф(x)
0,4987
0,4993
0,4997
0,4998
0,4999
0,5
0,5
Приложение 2. Таблица наиболее распространенных значений U  - критических точек
стандартного нормального распределения при   1  2 ,   1   .



U
0,9999
0,999
0,0001
0,001
0,00005 0,0005
0,9973
0,0027
0,0014
3,89069 3,29056
3
0,99
0,01
0,005
0,98
0,02
0,01
0,95
0,05
0,025
2,5758 2,3263
1,96
0,9
0,1
0,05
0,8
0,2
0,1
1,6449 1,2816
Приложение 3. Таблица критических точек 2 () распределения хи-квадрат. В крайнем левом столбце указано значение  равное числу степеней свободы, а сверху - уровень значимости  .
\
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,01
6,63489
9,21035
11,3449
13,2767
15,0863
16,8119
18,4753
20,0902
21,666
23,2093
24,725
26,217
27,6882
29,1412
30,578
31,9999
33,4087
34,8052
36,1908
37,5663
38,9322
40,2894
41,6383
42,9798
44,314
45,6416
46,9628
48,2782
49,5878
50,8922
0,05
3,8415
5,9915
7,8147
9,4877
11,07
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,41
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
41,337
42,557
43,773
0,1
2,7055
4,6052
6,2514
7,7794
9,2363
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
35,563
36,741
37,916
39,087
40,256
0,9
0,0158
0,2107
0,5844
1,0636
1,6103
2,2041
2,8331
3,4895
4,1682
4,8652
5,5778
6,3038
7,0415
7,7895
8,5468
9,3122
10,085
10,865
11,651
12,443
13,24
14,041
14,848
15,659
16,473
17,292
18,114
18,939
19,768
20,599
0,95
0,0039
0,1026
0,3518
0,7107
1,1455
1,6354
2,1673
2,7326
3,3251
3,9403
4,5748
5,226
5,8919
6,5706
7,2609
7,9616
8,6718
9,3904
10,117
10,851
11,591
12,338
13,091
13,848
14,611
15,379
16,151
16,928
17,708
18,493
0,99
0,0002
0,0201
0,1148
0,2971
0,5543
0,8721
1,239
1,6465
2,0879
2,5582
3,0535
3,5706
4,1069
4,6604
5,2294
5,8122
6,4077
7,0149
7,6327
8,2604
8,8972
9,5425
10,196
10,856
11,524
12,198
12,878
13,565
14,256
14,953
47
Приложение 4. Таблица критических точек t () распределения Стьюдента. В крайнем левом столбце указано значение  равное числу степеней свободы, а сверху доверительная вероятность   1  2 .
\
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
60
70
80
90
100
150
0,99
63,656
9,925
5,8408
4,6041
4,0321
3,7074
3,4995
3,3554
3,2498
3,1693
3,1058
3,0545
3,0123
2,9768
2,9467
2,9208
2,8982
2,8784
2,8609
2,8453
2,8314
2,8188
2,8073
2,797
2,7787
2,7633
2,75
2,7385
2,7284
2,7195
2,7116
2,7045
2,6981
2,6923
2,687
2,6822
2,6778
2,6603
2,6479
2,6387
2,6316
2,6259
2,609
0,98
31,821
6,9645
4,5407
3,7469
3,3649
3,1427
2,9979
2,8965
2,8214
2,7638
2,7181
2,681
2,6503
2,6245
2,6025
2,5835
2,5669
2,5524
2,5395
2,528
2,5176
2,5083
2,4999
2,4922
2,4786
2,4671
2,4573
2,4487
2,4411
2,4345
2,4286
2,4233
2,4185
2,4141
2,4102
2,4066
2,4033
2,3901
2,3808
2,3739
2,3685
2,3642
2,3515
0,95
12,706
4,3027
3,1824
2,7765
2,5706
2,4469
2,3646
2,306
2,2622
2,2281
2,201
2,1788
2,1604
2,1448
2,1315
2,1199
2,1098
2,1009
2,093
2,086
2,0796
2,0739
2,0687
2,0639
2,0555
2,0484
2,0423
2,0369
2,0322
2,0281
2,0244
2,0211
2,0181
2,0154
2,0129
2,0106
2,0086
2,0003
1,9944
1,9901
1,9867
1,984
1,9759
0,9
6,3137
2,92
2,3534
2,1318
2,015
1,9432
1,8946
1,8595
1,8331
1,8125
1,7959
1,7823
1,7709
1,7613
1,7531
1,7459
1,7396
1,7341
1,7291
1,7247
1,7207
1,7171
1,7139
1,7109
1,7056
1,7011
1,6973
1,6939
1,6909
1,6883
1,686
1,6839
1,682
1,6802
1,6787
1,6772
1,6759
1,6706
1,6669
1,6641
1,662
1,6602
1,6551
0,8
3,0777
1,8856
1,6377
1,5332
1,4759
1,4398
1,4149
1,3968
1,383
1,3722
1,3634
1,3562
1,3502
1,345
1,3406
1,3368
1,3334
1,3304
1,3277
1,3253
1,3232
1,3212
1,3195
1,3178
1,315
1,3125
1,3104
1,3086
1,307
1,3055
1,3042
1,3031
1,302
1,3011
1,3002
1,2994
1,2987
1,2958
1,2938
1,2922
1,291
1,2901
1,2872
48
Приложение 5.
Таблица 1
Структура выполненных подрядных работ по видам
2003 г.
Показатели
Объем выполненных подрядных работ Q,
в том числе:
 объекты производственного назначения
 объекты непроизводственного назначения
2004 г.
2005 г.
млн.
руб.
104,5
%
к итогу
100
млн.
руб.
116,2
%
к итогу
100
млн.
руб.
135.6
%
к итогу
100
75,6
72,3
85,7
73,8
101,0
74,5
28,9
27,7
30,5
26,2
34,6
25,5
120
100
Объекты
непроизв.
строительства
Объекты произв.
строительства
80
60
40
20
0
2003 г.
2004 г.
2005 г.
Рис. 1. Структура выполненных подрядных работ по видам, %
Результаты расчетов свидетельствуют о стабильности структуры выполненных работ.
Наибольшая их доля приходится на объекты производственного строительства – около ¾.
Прослеживая структуру работ по годам, можно отметить незначительный прирост удельного
веса объектов производственного строительства, в среднем ежегодно на 1%.
Таблица 2
Динамика объема выполненных подрядных работ и цен
Показатели
1. Объем выполненных подрядных
работ в текущих ценах, млн. руб.
2. Индекс стоимости подрядных
работ, %:
 к предыдущему году
Обознач.
2003 г.
2004 г.
2005 г.
Q
104,5
116,2
135,6
100
111,2
111,2
116,7
129,8
Ipq
49
 к начальному году
3. Индекс цен подрядных работ, %:
 к предыдущему году
 к начальному году
4. Индекс физического объема
подрядных работ, %:
 к предыдущему году
 к начальному году
Ip
100
110,3
110,3
112,2
123,8
100
100,8
100,8
104,0
104,8
Iq
140
Индексы, %
120
100
Ipq
Ip
Iq
80
60
40
20
0
2003 г.
2004 г.
2005 г.
Рис. 2. Динамика объема подрядных работ и цен
Результаты расчетов свидетельствуют о том, что стоимостной и физический объем
подрядных работ характеризуются тенденцией к росту. Фактическая стоимость выполненных работ за период 2003-2005 гг. увеличилась на 29,8% (129,8 – 100). Одновременно цены
на выполненные работы возросли на 23,8%. Прирост реального объема работ был менее
ощутимым и составил только 4,8%. Основная часть прироста физического объема подрядных
работ пришлась на вторую половину исследуемого периода. Как видим, увеличение стоимости подрядных работ в большей степени связано с ценовым фактором.
50
ЛИТЕРАТУРА
1.
Гусаров В.М. Статистика: Учебное пособие для вузов. – М., 2001.
2.
Микроэкономическая статистика: Учебник / Под ред. С.Д. Ильенковой. – М., 2004.
3.
Общая теория статистики: Учебник. – 5-е изд., перераб. и доп. / Под ред. И.И. Елисеевой. – М., 2005.
4.
Павленко Г.С., Усенко С.В. Статистика. Методические указания по изучению дисциплины для студентов экономических специальностей. – М.. 2004.
5.
Российский статистический ежегодник 2005: Статистический сборник / Росстат. – М.,
2005.
6.
Социально-экономическая статистика: Практикум: Учебное пособие / Под ред. В.Н.
Салина, Е.П. Шпаковской, – М., 2005.
7.
Статистика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М., 2003.
8.
Статистика: Учебник / Под ред. В.С. Мхитаряна. – М., 2005.
9.
Теория статистики: Учебник. – 2-е изд., перераб. и доп. / Под ред. Л.Г. Громыко. – М.,
2005.
10.
Усенко С.В. Методические рекомендации для выполнения курсовой работы по дисциплине «Статистика». – М., 1999.
11.
Шмойлова Р.А. Практикум по теории статистики: Учебное пособие. – М., 2003.
12.
Экономика и статистика фирм: Учебник. – 3-е изд., переаб. и доп. / Под ред. С.Д.
Ильенковой. – М., 2000.
13.
Экономико-статистический анализ: Учебное пособие / Под ред. С.Д. Ильенковой. –
М., 2002.
14.
Экономическая статистика: Учебник. – 2-е изд., доп. / Под ред. Ю.Н. Иванова. – М.,
2002.
51