Тела вращения . Объём тела , образованного вращением

Тела вращения.
Объём тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox .
1) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями
x 2  y 2  16 , x  5 .
Фигура ограничена правой половинкой гиперболы и прямой:
Объём тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ox , вычислим по формуле
b
V     y 2 dx .
a
Вычисляем:
 x3



V     x  16 dx    
 16 x 
 3

4
5
5
2
4
 5 3
  43
  13
   
 16  5   
 16  4   
(куб. ед.)
3
  3

 3
Вычисление интеграла в Mathcad 15:
Объём тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Oy .
2) Сделайте чертёж и вычислите объём тела, образованного вращением вокруг оси
ограниченной линиями
Oy фигуры,
x 2  2y  0, y  2  0 .
1 Чертёж области, ограниченной заданными линиями:
Объём тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy , вычислим по формуле
d
V     x 2 dy .
c
Вычисляем:
2
2
y2
V     x dy     2 y dy  2 
2
0
0
2
2
    2 2  0 2   4 (куб. ед.)
0
Литература:
1) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2014, стр. 288.
Площадь боковой поверхности тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox .
3) Найти площадь боковой поверхности тела, образованного вращением вокруг Ox фигуры
y ex, 1 x  5 .
► Площадь боковой поверхности вращения определим по формуле
b
S  2   y  1   y  dx
2
a
Т.е.
5
S  2   e x  1  e 2 x dx
1
2 Вычислим сначала неопределённый интеграл
t  sh u



x
2 




e
t



1
u
ln
t
t
x
2x
2

 e  1  e dx  e x dx  dt    1  t dt  
2




1  t  ch u


 dt  ch u du

u
1
1 1
1

  ch 2 u du     ch 2u  1 du    sh 2u  u   C  sh u ch u   C 
2
2 2
2
2

1
1
1
1
 t  1  t 2   ln t  1  t 2  C  e x  1  e 2 x   ln e x  1  e 2 x  C
2
2
2
2






Так что

5

S  2   e x  1  e 2 x dx    e x  1  e 2 x  ln e x  1  e 2 x

1



 1 
5
   e 5  1  e 10  ln e 5  1  e 10  e  1  e 2  ln e  1  e 2

e 5  1  e 10
5
10
2

   e  1  e  e  1  e  ln

e  1 e2

 

  69188 (кв. ед.)


3