ЧАСТЬ 5. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ЧАСТЬ 5. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Переходим к следующему разделу общей физики – физике твердого
тела, в котором рассматриваются современные представления о
механических, электрических, магнитных и оптических свойствах
кристаллов. Для вас, будущих инженеров радиоэлектронного профиля,
физика твердого тела имеет особое значение. Это обусловлено тем, что
элементная база современных радиоэлектронных приборов, в том числе
устройств связи и вычислительной техники, изготавливается на основе
кристаллов с помощью специальных технологий, позволяющих управлять их
свойствами.
Физические свойства кристаллов в основном определяются состоянием
электронной оболочки атомов, из которых состоит кристалл, а также
колебаниями этих атомов в узлах кристаллической решетки. Вначале мы
рассмотрим более подробно колебания атомов, и в качестве иллюстрации их
проявлений одно из важных физических свойств кристаллов – их
теплоемкость. Затем перейдем к состояниям электронов атомов и рассмотрим
важнейшее электрическое свойство кристаллов – электропроводность.
ТЕМА 6. ТЕПЛОЕМКОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
6.1. Теплоемкость в теории Эйнштейна
Согласно классическим представлениям, кристалл, состоящий из N
атомов, обладает 3N колебательными степенями свободы, на каждую из
которых приходится средняя энергия теплового движения, равная kT ( kT / 2
на кинетическую и столько же на потенциальную энергию). Если считать,
что внутренняя энергия кристалла состоит только из энергии тепловых
колебаний, то для одного моля вещества имеем:
U  kT  3N A  3RT , CV 
dU
 3R .
dT
Мы пришли к закону Дюлонга и Пти, согласно которому молярная
теплоемкость всех химически простых кристаллов одинакова и равна 3R .
Опыт же показывает, что этот закон достаточно хорошо выполняется только
при обычных температурах (порядка комнатной). При понижении
температуры теплоемкость уменьшается, стремясь к нулю при T  0 .
Значение средней энергии тепловых колебаний, равное kT , получается в
рамках предположения о том, что энергия представляет собой непрерывную
величину. Рассматривая квантовомеханическую задачу о гармоническом
осцилляторе, мы убедились в том, что его колебательная энергия является
квантованной величиной:
1

Wn   n   , n  0,1,2,... .
2

1
Теория теплоемкости кристаллов, учитывающая квантование колебательной
энергии, была развита А. Эйнштейном в 1907 г. и впоследствии
усовершенствована П. Дебаем в 1912 г.
Эйнштейн отождествил кристаллическую решетку, состоящую из N
атомов, с совокупностью 3N независимых гармонических осцилляторов с
одинаковой частотой собственных колебаний. Существование нулевой
энергии было установлено значительно позже (после создания квантовой
механики), поэтому Эйнштейн исходил из формулы для колебательной
энергии осциллятора, предложенной Планком:
 n  n , n  0,1,2... .
Вероятность того, что осциллятор имеет энергию  n , определяется
равенством
Pn 
Nn
,
3N
где N n – количество осцилляторов с энергией  n  n , 3N – общее
количество осцилляторов кристалла. Полагая, что в состоянии
термодинамического равновесия распределение осцилляторов по энергиям
подчиняется закону Больцмана, имеем:
Pn 
3 Ne


n
kT
 3Ne

n
kT

0
e


n
kT
e

n
kT
.
0
Зная вероятность пребывания осциллятора в состоянии с энергией  n  n ,
можно найти среднюю энергию осциллятора:


   Pn  n  
0
ne
0

e
n

kT
n

kT

 ne


n
kT
0

e
0

n
kT
.
0
Для того чтобы произвести вычисления, сделаем замену / kT  x и
допустим, что переменная x изменяется непрерывно. Тогда последнее
равенство можно переписать так:

  
 ne
 nx
0

 e nx
 

d
ln  e  nx .
dx
0
(6.1)
0
Под знаком логарифма имеется сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии со знаменателем e  x . Имеем:

e
0
 nx

1
.
1  ex
После соответствующей подстановки в (6.1) и дифференцирования получим:
2
  

d
1



ln
,
e x 1
dx 1  e  x


kT
.
e 1
Умножив среднюю энергию осциллятора на постоянную Авогадро, получим
внутреннюю энергию моля кристаллического вещества:
3 N A 
.
U  
kT
e 1
Продифференцировав это равенство по температуре, найдем молярную
теплоемкость кристалла:
2



dU
   e kT
C 
 3 N A  
 kT 2 .
dT
 kT
 e 1
Рассмотрим два предельных случая.
1). При высоких температурах
  kT 

 1 .
kT
В этом случае


kT
1

2
kT  3N k 2T 2 1  3N k  3R ,
e  1
, C  3N A kT 
A
A
kT
kT 2
kT 2
т.е. мы пришли к закону Дюлонга и Пти.
2). При низких температурах kT   . В этом случае e
2

kT
1  e

kT
,



() 2 1
   e kT
C   3N A   
 C   3 N A 
.
2
kT 2
 kT  kT
kT
e
e 

kT
Можно показать, что множитель 1 / e уменьшается при понижении
температуры значительно быстрее, чем возрастает множитель 1 / kT 2 .
Поэтому теплоемкость кристалла при T  0 убывает по экспоненциальному
закону. Поскольку на опыте теплоемкость уменьшается пропорционально
T 3 , можно сказать, что теория Эйнштейна дает лишь качественное согласие
с экспериментом.
6.2. Теплоемкость кристаллов в теории Дебая
П. Дебай учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не
являются независимыми. Смещение из положения равновесия одного из
атомов влечет за собой смещение соседних атомов. Таким образом, в теории
Дебая кристалл представляет собой систему N упруго связанных атомов,
обладающих s  3N степенями свободы.
3
Состояние системы связанных атомов с s степенями свободы может
быть задано с помощью s переменных q i , которые называются
обобщенными координатами. Роль обобщенных координат могут выполнять
расстояния между атомами, углы между отрезками, их соединяющие, и т.п.
Обобщенные координаты можно выбирать по-разному; вместе с тем в теории
колебаний доказывается, что система связанных атомов с s степенями
свободы обладает s собственными частотами колебаний независимо от
выбора обобщенных координат. При их произвольном выборе каждая из
обобщенных координат как функция времени представляет собой
суперпозицию s гармонических колебаний с собственными частотами:
s
qi   A cos( t    ) .
 1
Вместе с тем обобщенные координаты можно выбрать и так, что изменение
каждой из них будет представлять собой не суперпозицию, но простое
гармоническое колебание с одной из собственных частот, которое
совершается независимо от остальных колебаний. Выбранные таким образом
координаты называются нормальными, а соответствующие им
гармонические колебания – нормальными колебаниями системы.
Каждому нормальному колебанию кристаллической решетки
соответствует стоячая волна, которая устанавливается в кристалле.
Действительно, из-за связи между атомами колебание, возникшее в какомлибо месте кристалла, передается от одного атома другому, в результате чего
возникает упругая волна. Дойдя до границы кристалла, волна отражается;
при наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна.
Можно показать, что количество стоячих волн в единице объема,
частоты которых заключены в промежутке (,   d) , равно:
dN  
2 d
2 2  3
(6.2)
(здесь  – фазовая скорость упругой волны в кристалле). Формула (6.2) не
учитывает поляризации, хотя вдоль любого направления в кристалле могут
распространяться три волны с одинаковой частотой и различными
направлениями колебаний – одна продольная и две поперечные со взаимно
перпендикулярной поляризацией. В соответствии с этим равенство (6.2)
следует изменить:
dN  
2 d  1
2 
 3  .
2 
3
2   
n 
(6.3)
Здесь   и  n – фазовая скорость продольной и поперечной волн. Положим
для упрощения , что   n   . Тогда
32 d
dN  
.
2 2  3
(6.4)
Поскольку количество нормальных колебаний кристалла ограничено числом
2
3N ( N – число атомов), и dN  ~  , колебательный спектр кристалла должен
4
иметь максимальную частоту. Её значение для кристалла единичного объема
можно найти, приравняв количество колебаний к 3n ( n – количество атомов
в единице объема):
m
32 d
3n   2 3  m  3 6 2 n .
0 2 
(6.5)
Исключив переменную  из уравнений (6.4) и (6.5), получим:
dN  
9 n 2
m
3
d .
Внутреннюю энергию кристалла единичного объема найдем путем
интегрирования по частоте колебаний:
U
m
  () dN
(6.6)
0
(здесь () – средняя энергия колебаний осциллятора с частотой  ). Выше
уже говорилось о том, что в теории теплоемкости Эйнштейна для энергии
осциллятора использовалась формула Планка  n  n , n  0,1,2..., не
учитывающая нулевой энергии. Если же использовать формулу
1

 n   n   , n  0,1,2...
2

и проделать рассуждения, аналогичные тем, которые уже приводились при
изложении теории Эйнштейна, то для средней энергии осциллятора
получается следующее:
 () 
1
 
2

e

kT
.
(6.7)
1
Сделав в интеграле (6.6) замену (6.7), получим:
 m



  9n 2
9n m 3
9n m  3
1
U      
d .
  3 d  2 3   d   3  
2
0
0
0
m
m
m
e kT  1 
e kT  1

Первый интеграл дает энергию нулевых колебаний (нулевую энергию):
U0 
m
9n
m
9
  d  8 n
3
3
m
,
0
поэтому
U  U0 
9n
m
3
m
3

0
e

kT
d .
(6.7А)
1
Продифференцировав последнее равенство по температуре, найдем
удельную теплоемкость кристалла:
C
9n
m
3
m

0
e




kT
4

kT
e
d .
2
2
kT

 1

(6.8)
5
Величина  D , определяемая равенством  m  k D , называется
характеристической температурой Дебая. Из определения следует, что эта
величина характеризует область температур, в которой уже существенно
квантование колебательной энергии. Сделав в интеграле (6.8) замену

 x,
kT
получим равенство
T
C  9n
D



3x
m
e x x 4 dx
 e
0
x

1
2
,
где xm  m / kT . При T   D можно считать, что xm   . Поскольку
несобственный интеграл – это число, теплоемкость кристалла в области
низких температур пропорциональна T 3 . Зависимость C ~ T 3 получила
название закона Дебая. Опыт показывает, что для химически простых
кристаллов этот закон выполняется достаточно хорошо. При T   D , когда
m / kT  1 ,

kT

.
kT
Тогда, учитывая равенство (6.7А), имеем:

9n m  3 kT
U  U0  3 
d  U 0  3nkT.
m 0 
e
Если n  N A ,
 1
U
 3R  C  , т.е. мы пришли к закону Дюлонга и Пти.
T
Как уже отмечалось, теория Дебая хорошо описывает зависимость
теплоемкости от температуры лишь для химически простых кристаллов. В
случае кристаллов более сложного химического состава эта теория
неприменима из-за того, что их колебательный спектр значительно сложнее
спектра простых кристаллов.
6.4. Фононы
Ранее уже говорилось о том, что Эйнштейн и Дебай, следуя Планку,
полагали энергию осциллятора квантованной величиной. Опыт показывает,
что многие явления в кристаллах протекают так, как если бы квант, имеющий
энергию  , обладал бы импульсом k (здесь k – волновой вектор упругой
волны с частотой  ). Исходя из этого квант колебательной энергии
осциллятора в современной физике рассматривается как частица,
обладающая энергией  и импульсом k , и называется «фонон». Поскольку
в отличие от известных вам микрочастиц (электрон, нейтрон, протон и т.п.)
фонон не может существовать в вакууме, он относится к квазичастицам. В
соответствии с этим импульс фонона называется квазиимпульсом.
Кристалл, состоящий из N атомов, можно представить как систему 3N
осцилляторов. Выше было показано, что в условиях термодинамического
6
равновесия кристалла с окружающей средой средняя энергия осциллятора с
частотой  i
 (i ) 

1
i  i i .
2
e kT  1
Эту же энергию можно представить следующим образом:
1

(i )    ni   i ,
2

где  ni  – величина, которую можно рассматривать как среднее количество
фононов в кристалле с энергией  i . Приравняв правые части двух
последних равенств, имеем:

1
1
1
i  i i   ni  i  i   n i   i
.
2
2
kT
kT
e 1
e 1
Такое же распределение по энергиям свойственно и фотонам, находящимся
в термодинамическом равновесии с веществом, излучающим эти фотоны.
Это означает, что фотоны и фононы подчиняются одной и той же статистике,
которая называется статистикой Бозе–Эйнштейна.
Таким образом, тепловые колебания кристаллической решетки можно
рассматривать как фононный газ в кристалле подобно тому, как тепловое
излучение рассматривается как газ фотонов. Корпускулярные свойства
фононов обнаруживаются в ряде явлений, среди которых мы кратко
рассмотрим комбинационное рассеяние света и эффект Мёссбауэра.
В 1928 г. российские физики Ландсберг и Мандельштам и независимо от
них индийские ученые Раман и Кришнан наблюдали явление,
заключающееся в том, что в спектре света, прошедшего через некоторые
газы, жидкости и кристаллы, помимо линии падающего излучения с частотой
0 присутствовали линии с частотами 0  i (  i – частоты колебаний атомов
вещества). Поскольку в настоящее время мы рассматриваем физику твердого
тела, в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением этого явления,
получившего название комбинационного рассеяния света, именно в
кристаллах.
В рамках классической физики в спектре излучения, прошедшего через
кристалл, должна быть лишь одна линия с частотой 0 . Действительно, под
влиянием переменного электрического поля падающей на вещество световой
волны электроны атомов будут совершать вынужденные колебания именно с
такой частотой. В результате этого возникает вторичное (рассеянное)
излучение с частотой 0 . В квантовой теории процесс рассеяния света
кристаллом можно рассматривать как неупругое соударение фотона с
фононом. Если при столкновении энергия фонона воспринимается фотоном,
то   0  i    0  i , т.е. частота фотона увеличивается. В противном
случае часть его энергии передается фонону, поэтому частота фотона
уменьшается: 0  i      0  i . Следует отметить, что исследование
7
комбинационного рассеяния света позволяет получить много информации о
рассеивающем веществе. Например, можно найти частоты колебаний
кристаллической решетки, выяснить свойства симметрии кристалла и многое
другое.
Наиболее отчетливо корпускулярные свойства фононов обнаруживаются
в явлении, которое называется эффектом Мёссбауэра. Прежде чем
переходить к его обсуждению, необходимо рассмотреть вопрос о
спектральной ширине линий испускания и поглощения света атомами.
6.5. Спектральная ширина линий испускания и поглощения света
Опыт показывает, что валентные электроны атомов вещества,
находящиеся в возбужденном состоянии, могут самопроизвольно
(спонтанно) переходить в состояния с меньшей энергией, испуская при этом
кванты света – фотоны (далее вместо словосочетания «возбужденные
состояния электронов в атомах» мы будем говорить «возбужденные атомы»).
Промежуток времени (), в течение которого количество атомов,
находящихся в определенном возбужденном состоянии, уменьшается в e
раз, называется временем жизни этого состояния. Как правило, величина 
для различных атомов имеет значение в промежутке 10-9…10-8 с.
Возможность спонтанных переходов указывает на то, что возбужденные
состояния атомов нельзя рассматривать как строго стационарные. Из
соотношения неопределенностей ∆𝑊 ∙  ³ ħ следует, что энергия
возбужденных состояний не является строго определенной, но имеет
значения в промежутке 𝑊, 𝑊 + ∆𝑊, где ∆𝑊 = ħ/. Иначе говоря,
энергетические уровни атомов характеризуются вполне определенной
спектральной шириной (уширением).
Состояние, в котором атом обладает минимальной энергией,
называется основным, а соответствующий этому состоянию энергетический
уровень – основным уровнем. Понятно, что основное состояние атома
является строго стационарным (из него невозможны переходы в состояния с
меньшей энергией). Поэтому можно сказать, что спектральная ширина
основного уровня равна нулю. Вследствие уширения возбужденных уровней
энергии фотонов, испускаемых атомами при переходе с определенного
уровня на основной, несколько различаются. В соответствии с этим каждая
линия в спектре испускания характеризуется промежутком, в котором имеют
значения частоты и длины волн, относящиеся к этой линии. Говоря иначе,
каждая линия в спектре испускания обладает определенной спектральной
шириной. Зависимость интенсивности электромагнитного излучения атомов
вещества от длины волны либо частоты называется спектром испускания. На
рис. 6.1 изображена отдельная спектральная линия; здесь на вертикальной
оси указана интенсивность испускания, на горизонтальной – его частота.
Крайние значения частот находятся из условий
ħ𝜔1 = 𝑊1 − 𝑊0 , ħ𝜔2 = 𝑊2 − 𝑊0 .
8
Понятно, что 𝑊1 и 𝑊2 - соответственно минимальное и максимальное
значение энергии возбужденного уровня, 𝑊0 - энергия основного уровня. Из
этих равенств следует, что
I

2
1
Рис. 6.1
𝜔1 =
Если
𝑊1 −𝑊0
ħ
, 𝜔2 =
𝑊2 −𝑊0
ħ
, ∆𝜔0 = 𝜔2 − 𝜔1 =
𝑊2 −𝑊1
ħ
.
ħ
𝑊2 − 𝑊1 = ∆𝑊, ∆𝑊 = ,

то
∆𝜔0 =
∆𝑊
ħ
=
ħ
∙ħ
1
⇒ ∆𝜔0 = .

(6.9)
Величина ∆𝜔0 называется естественной шириной спектральной линии.
Подставив в последнее равенство  = 10−8 с, найдем, что ∆𝜔0 = 108 1/с.
Для того чтобы найти промежуток длин волн, соответствующий
определенному промежутку частот, воспользуемся известным соотношением
  cT (здесь  - длина волны, c - скорость света в вакууме, T - период
световой волны). Сделаем в этом равенстве замену T  2 /  :

2  c

.
(6.10)
Несложно подсчитать, что частота видимого света имеет значения в пределах
2,3∙1015…4,7∙1015 1/с. Поскольку величину  0  10 8 1/с можно считать очень
малой в сравнении с частотой световой волны, ширину промежутка 
можно найти как дифференциал функции (6.10):
d  
2  c
2
 d .
(6.11)
Из (6.10) следует, что   2  c /  ; сделав в (611) соответствующую замену,
получим:
0 
2
  0 .
2  c
(6.12)
9
Подставив сюда   0,5  10 6 м, что соответствует зеленому свету, и  0  10 8
1/с, найдем естественную ширину линий испускания в единицах длины волн:
0  1,3  10 4 Ǻ.
Тепловое движение атомов вещества вследствие его хаотичности также
приводит к уширению спектральных линий. Действительно, частоты
испускания атомов, движущихся с разными скоростями по различным
направлениям относительно приемника излучения, различаются вследствие
эффекта Доплера. Именно поэтому уширение спектральных линий,
обусловленное тепловым движением атомов вещества, называется
доплеровским. Для того чтобы оценить величину доплеровского уширения,
будем полагать, что в момент испускания фотона атом обладает импульсом
2
P0 и кинетической энергией P0 / 2m (здесь m - масса атома). В результате
⃗ кинетическая энергия атома изменится и
испускания фотона с импульсом ħ𝑘
2
⃗ ) /2𝑚. Разность кинетической энергии атома после
⃗⃗⃗⃗0 − ħ𝑘
станет равной (𝑃
испускания и до испускания фотона представляет собой энергию отдачи:
𝑊отд =
⃗ )2
⃗⃗⃗⃗0 −ħ𝑘
(𝑃
2𝑚
−
𝑃0 2
=
2𝑚
ħ2 𝑘 2
𝑊отд =
2𝑚
⃗ )+ħ2 𝑘 2
⃗⃗⃗⃗0 ,𝑘
𝑃0 2 −2ħ(𝑃
−
2𝑚
ħ𝑃0 𝑘𝑐𝑜𝑠𝛼
−
𝑃0 2
2𝑚
;
𝑚
(здесь 𝛼 - угол между векторами импульса атома и испущенного фотона).
𝑃
Сделаем в последнем равенстве замену 𝑘 = 𝜔/𝑐 и учтем, что 0 = 𝑣 –
𝑚
скорость атома до испускания фотона:
(ħ𝜔)2
𝑣
𝑊отд =
− ħ𝜔 𝑐𝑜𝑠𝛼.
(6.13)
2𝑚𝑐 2
𝑐
Поскольку все направления теплового движения равновероятны, 𝑐𝑜𝑠𝛼
может принимать все значения в промежутке -1…+1. В соответствии с этим
среднее значение энергии отдачи
(ħ𝜔)2
⟨∆𝑊отд ⟩ = 𝑅 =
,
(6.14)
2𝑚𝑐 2
а равенство (6.13) примет вид:
𝑣
𝑊отд = 𝑅 − ħ𝜔 𝑐𝑜𝑠𝛼.
(6.15)
𝑐
Согласно постулатам Бора, в результате излучения фотона энергия
атома уменьшается на величину ∆𝑊 = 𝑊𝑛 − 𝑊𝑚 (здесь 𝑊𝑛 и 𝑊𝑚 - энергия
атома до и после излучения фотона). В соответствии с законом сохранения
энергии величина ∆𝑊 равна сумме энергии фотона и энергии отдачи:
∆𝑊 = ħ𝜔 + 𝑊отд .
(6.16)
Если бы атомы в момент испускания не получали энергии отдачи, энергия
фотона была бы в точности равна ∆𝑊:
ħ𝜔0 = ∆𝑊
(6.17)
10
(здесь 𝜔0 - частота фотона при отсутствии энергии отдачи). Сделаем в (6.16)
замену (6.15), (6.17), выразим ħ𝜔 и разделим полученное равенство на
постоянную Планка:
𝑅
𝑣
𝜔 = 𝜔0 − + 𝜔𝑐𝑜𝑠𝛼.
(6.18)
ħ
𝑐
Подставив сюда значения 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ±1, найдем протяженность спектрального
промежутка, в котором заключены возможные значения частот фотонов, т.е.
доплеровскую ширину линии испускания:
𝑣
∆𝜔𝐷 = 2 𝜔.
(6.19)
𝑐
С учетом равенства (6.12) имеем:
 D 
2

22
.
 2    D 
2  c c
2c 2
Простые расчеты показывают, что тепловая скорость движения атомов с
массой в 100 а.е.м. при комнатной температуре составляет примерно 270 м/с.
В этом случае для линии с длиной волны 0,5 мкм (  0  3,8  1015 1/с)
 D  9  10 3 Ǻ, что почти в 100 раз больше естественной ширины.
Из равенства (6.18) следует, что центр линии испускания приходится
на частоту
𝑅
𝜔исп = 𝜔0 − .
ħ
При поглощении фотона часть его энергии передается атому (понятно, что
величина переданной энергии сравнима с энергией отдачи). Следовательно,
для того, чтобы вызвать переход атома с поглощением, фотон должен
обладать энергией ħ𝜔погл = ħ𝜔0 + 𝑅. В соответствии с этим получается, что
частота центра линии поглощения смещена относительно центра этой же
линии испускания на величину ∆𝜔𝑅 = 2𝑅/ħ. С учетом равенства (6.14)
имеем:
ħ𝜔 2
∆𝜔𝑅 = 02 .
(6.20)
𝑚𝑐
Расчеты показывают, что в случае атома массой 100 а.е.м. и  0  3,8  1015 1/с
(зеленая линия)  R  1 105 1/с, R  1,3  10 7 Ǻ. Легко видеть, что численное
значение  R на четыре порядка меньше естественной ширины и примерно
на три порядка меньше доплеровской ширины линии испускания.
Следовательно, можно считать, что для видимого света линии испускания и
поглощения практически совпадают.
6.6. Эффект Мёссбауэра
Опыт показывает, что наибольшей интенсивностью обладает
излучение, которое возникает в результате перехода атомов с первого
возбужденного на основной уровень. В свою очередь, именно это излучение
лучше всего поглощается атомами. Это явление, называемое резонансным
поглощением, впервые наблюдалось Р. Вудом в 1904 г. Он обнаружил, что
пары натрия при облучении их светом, соответствующим желтой линии
излучения натрия, начинают светиться, испуская свет такой же длины волны.
11
Впоследствии аналогичное свечение наблюдалось в парах ртути и некоторых
других веществ; при этом было установлено, что свет, проходя через пары
вещества, ослабляется.
Энергия ядра атома, как и энергия его электронов, является
квантованной величиной. Иначе говоря, атомные ядра могут находиться в
состояниях со строго определенной энергией. Переходы между этими
состояниями приводят к испусканию либо поглощению ядрами
коротковолнового электромагнитного излучения, называемого гаммаизлучением. Можно было ожидать, что существует явление резонансного
гамма-поглощения ядрами атомов, аналогичное уже упоминавшемуся
резонансному поглощению света атомами. Вопреки ожиданиям, резонансное
гамма-поглощение долгое время наблюдать не удавалось.
Как уже отмечалось, частоты линий испускания и поглощения света
атомами смещены на величину ∆𝜔𝑅 = 2𝑅/ħ (здесь 𝑅 – средняя энергия
отдачи). В случае видимого света этот сдвиг значительно меньше
спектральной ширины, поэтому линии испускания и поглощения
практически совпадают. Поскольку энергия и импульс гамма-кванта
значительно больше, чем кванта видимого света, значительно больше и
энергия отдачи ядра.
В гамма-спектроскопии принято вместо частот пользоваться
энергиями; поэтому спектральную ширину и спектральный сдвиг линий
выражают в электрон-вольтах. В таких единицах измерения энергия гаммаквантов имеет значения в пределах 10 кэВ…0,5 МэВ, что соответствует
частотам 1019…1022 1/с и длинам волн 1…0,1 Ǻ. Расчеты показывают, что
при энергии гамма кванта 100 кэВ энергия отдачи ядра с массой 100 а.е.м.
составляет ≈0,05 эВ, сдвиг частот линий испускания и поглощения ≈ 0, 1 эВ.
Типичное время жизни ядер в возбужденном состоянии равно 10 -12 с; этому
соответствует естественная ширина линий испускания ядра ≈0,001 эВ.
Тепловая скорость ядра с массой 100 а.е.м. при комнатной температуре
имеет значение 270 м/с. При такой скорости доплеровская ширина линии
испускания с энергией фотона 100 кэВ равна ≈0,2 эВ. Из сопоставления
приведенных данных видно, что даже для сравнительно «мягкого» гаммаизлучения спектральная ширина и сдвиг частот имеют один и тот же порядок
величины. На рис. 6.2 показано типичное взаимное расположение линий
испускания и поглощения  -излучения; понятно, что в такой ситуации
поглощается лишь небольшая часть испускаемых  -квантов. Сравнение
формул (6.19) и (6.20) показывает, что с возрастанием энергии гаммаизлучения значение сдвига увеличивается быстрее, нежели доплеровская
ширина. Это означает, что по мере увеличения энергии доля поглощенных  квантов будет уменьшаться.
До 1958 г. резонансное поглощение гамма-излучения удавалось
наблюдать, используя экспериментальные установки с движущимся
источником. В одном из вариантов таких установок источник гаммаизлучения (радиоактивный препарат) помещался на ободе вращающегося
12
диска, расположенном в защитном свинцовом кожухе (рис. 6.3).
Параллельный пучок излучения выходил через узкое отверстие в кожухе и
I
испускание поглощение

 0   R
 0   R
Рис. 6.2
попадал в поглощающее вещество; установленный за ним счетчик
регистрировал количество гамма-квантов, прошедших через поглотитель.
Изменяя скорость вращения диска, можно было добиться за счет эффекта
Доплера совпадения линий испускания и поглощения, т.е. обеспечить
резонансное поглощение (оно обнаруживалось по резкому уменьшению
количества гамма-квантов, прошедших через поглотитель).
кожух
поглотитель
счетчик

источник
Рис. 6.3
В 1958 г. Мёссбауэр исследовал резонансное поглощение гаммаизлучения 191Ir (энергия перехода 191 кэВ, R  0,05 эВ,  R  0,1 эВ). Легко
видеть, что в пределах доплеровского уширения ( D  0,2 эВ) линии
испускания и поглощения отчасти перекрываются, поэтому наблюдалось
слабое резонансное поглощение. Для того чтобы его уменьшить, Мёссбауэр
решил охладить источник и поглотитель, рассчитывая за счет этого
уменьшить доплеровскую ширину и перекрытие линий. Однако вместо
ожидаемого уменьшения Мёссбауэр обнаружил усиление резонансного
поглощения.
13
В установке Мёссбауэра источник и поглотитель гамма-излучения
помещались внутри вертикальной трубы, охлаждаемой жидким гелием.
Источник прикреплялся к концу длинного штока, совершающего возвратнопоступательное движение. В ходе экспериментов Мёссбауэр наблюдал
исчезновение резонансного поглощения при скорости источника порядка
нескольких сантиметров в секунду. Это указывало на то, что у охлажденного
191
Ir линии испускания и поглощения гамма-излучения совпадают и имеют
очень малую ширину, равную естественной ширине. Наблюдаемое явление
можно было рассматривать как упругое (т.е. без отдачи) испускание и
поглощение гамма-квантов; оно получило название эффекта Мёссбауэра.
Впоследствии аналогичное явление наблюдалось на других веществах.
При испускании гамма-кванта ядром атома, находящегося в узле
кристаллической решетки, энергия перехода распределяется между фотоном
и фононами. Из теории вероятностей следует, что наибольшей
эффективностью характеризуются процессы, в которых энергия отдачи ядра
передается минимальному количеству фононов с максимальной частотой.
Следовательно, если выполняется условие 𝑅 ≈ ħ𝜔𝑚 , энергия отдачи
воспринимается кристаллической решеткой наиболее эффективно, и
резонансное поглощение не имеет места. Для того чтобы таковое все же
наблюдалось, необходимо уменьшить количество фононов с максимальной
энергией. Из распределения Бозе-Эйнштейна следует, что этого можно
достичь путем охлаждения источника и поглотителя гамма-излучения.
Результаты более детальных исследований показали, что энергия отдачи ядра
191
Ir действительно сравнима с максимальной энергией фононов. Именно
поэтому для наблюдения резонансного поглощения иридиевый источник и
поглотитель необходимо было охлаждать.
Благодаря крайне малой спектральной ширине линий испускания и
поглощения гамма-излучения, метод движущегося источника позволяет
измерить его частоту с огромной точностью (до 15-ой значащей цифры).
Этим воспользовались американские физики Паунд и Ребке для измерения
красного гравитационного смещения частоты фотонов, предсказанного
общей теорией относительности. Это явление обусловлено тем, что фотон в
гравитационном поле ведет себя подобно обычной частице массой ћω/c2.
Поэтому при движении фотона в однородном гравитационном поле в
направлении, противоположном силе тяжести, его энергия должна
уменьшиться на величину
h
 gl
c2
и стать равной
h '  h 
h
gl 

 gl  h 1  2 
2
c
 c 
(здесь l – длина пройденного пути). Отсюда находим относительное
уменьшение частоты:
14



   ' gl
 2 .

c
Свет, приходящий на Землю от звезд, преодолевает их сильное
гравитационное поле. Вблизи Земли свет испытывает ускоряющее действие
поля, значительно более слабого в сравнении с полем звезд. Поэтому частота
света, попадающего на Землю, должна быть смещена к красному концу
видимого
спектра.
Такой сдвиг частоты, называемый красным
гравитационным смещением, имеет ряд косвенных подтверждений,
полученных в результате астрономических наблюдений. Паунд и Ребке
предприняли попытку обнаружить красное гравитационное смещение в
лабораторных условиях. Они расположили источник и поглотитель гаммаизлучения, изготовленные из 57 Fe , вдоль вертикали на расстоянии 21 м друг
от друга. Относительное изменение частоты должно было быть при этом
примерно 2∙10-15;
предполагалось, что оно проявится в некотором
уменьшении резонансного поглощения. Несмотря на крайне малое
уменьшение частоты, Паунду и Ребке удалось обнаружить и измерить его с
достаточной степенью точности; полученное ими значение  /  составило
0,99±0,05 от предсказанного теорией.
15