Lekciya16

Лекция 16
Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения.
Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических
координатах
Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов Ĥ , L̂2 и Lˆ z . для
частицы массой  и зарядом e , движущейся в кулоновском поле притяжения
U (r )  
e2
r
(1)
Собственные функции перечисленных операторов имеют вид  (r , ,  )  fl (r )Ylm ( ,  ) , причем
радиальные функции l (r )  rfl (r ) удовлетворяют уравнению
l(r ) 
2
2 
e2
l (l  1) 
E


  l (r )  0
2 
r
2 r 2 

(2)
и граничному условию l (r  0)  0 . Введем безразмерную координату r  r / a , где a 
2
/ me 2
- величина, имеющая размерность длины и называемая боровским радиусом атома (в
дальнейшем для упрощения записи формул штрих у безразмерной координаты опущен). В
новых переменных уравнение (1) имеет вид
 d2
2 l (l  1) 
2
 2   
  l (r )  0
r
r2 
 dr
(3)
где  2   E 2a / e2 - безразмерное собственное значение (которое для состояний дискретного
спектра является положительным). Перейдем в уравнении (3) к новой неизвестной функции
u (r ) :  l (r )  r l 1 exp( r )u (r ) . Подставляя эту функцию в уравнение (3), получим уравнение для
новой неизвестной функции u (r ) :
ru(r )  2u(r )  (l  1)   r   u(r )  2l  1  0
(4)
Ищем решение уравнения (4) в виде степенного ряда

u ( r )   Cn r n
(5)
n 0
где Cn - неизвестные коэффициенты. Подставляя выражение (5) в уравнение (4), получим

 n(n  1)C r
n 0
n
n 1



n 0
n 0
n 0
 2(l  1) nCn r n 1  2  nCn r n  (2l  1) Cn r n  0
1
(6)
Меняя в первой и второй суммах индекс суммирования и собирая слагаемые с
одинаковыми степенями r , получим рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (5)
Cn1 
2 (l  n  1)  1
C
 2(l  1)  n  (n  1) n
(7)
Для больших номеров n соотношение (7) сводится к
2
Cn
n
Cn 1 
(8)
и, следовательно, для больших номеров ряд (5) имеет вид

u (r )

 2 
n 0
n
n!
r n  exp(2 r )
(9)
Таким образом, решение уравнения (2)  l (r )  r l 1 exp( r )u (r ) расходится при r   .
Следовательно, чтобы существовали ограниченные решения уравнения (1), ряд (5), (8) должен
точно оборваться на каком-то шаге. В этом случае все слагаемые ряда, начиная с некоторого,
равны нулю, а функция u (r ) является многочленом. Ряд (5), (8) точно обрывается, если

1
l  nr  1
(10)
где nr  0,1, 2, ... - целое неотрицательное число, имеющее смысл радиального квантового числа
(в этой задаче минимальное значение квантового числа
nr
выбрано равным нулю).
Следовательно, собственные значения оператора Гамильтона Enr l (которые можно отметить
двумя индексами nr и l ) имеют вид
Enr l  
e2
2a(l  nr  1) 2
(11)
При этом функции u (r ) являются многочленами степени nr (коэффициенты этих многочленов
зависят от числа l , которое входит в рекуррентное соотношение (7)). В математике эти
многочлены (с определенной нормировкой) называются обобщенными полиномами Лагерра.
Найдем несколько первых полиномов.
Сначала для уравнения с l  0 .
l  0 , nr  0 . Ряд обрывается на первом слагаемом, если   1 . В этом случае unr 0,l 0 (r )  C0 , где
нулевой коэффициент ряда C0 может быть выбран любым.
2
l  0 , nr  1 . Ряд обрывается на втором слагаемом, если   1/ 2 . В этом случае C1  C0 / 2 , и,
следовательно, unr 1,l 0 (r )  C0 (1  r / 2) .
l  0 , nr  2 . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если   1/ 3 . В этом случае C1  2C0 / 3 ,
C2  2C0 / 7 , и, следовательно, unr 2,l 0 (r )  C0 (1  2r / 3  2r 2 / 7) .
Уравнение с l  1.
l  1, nr  0 . Ряд обрывается на первом слагаемом, если   1/ 2 . В этом случае unr 0,l 1 (r )  C0 .
l  1, nr  1 . Ряд обрывается на втором слагаемом, если   1/ 3 . В этом случае C1  C0 / 6 , и,
следовательно, unr 1,l 1 (r )  C0 (1  r / 6) .
l  1, nr  2 . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если   1/ 4 . В этом случае C1  C0 / 4 ,
C2  C0 / 80 , и, следовательно, unr 2,l 1 (r )  C0 (1  r / 4  r 2 / 80) .
Аналогично можно найти решения, отвечающие любым квантовым числам nr и l .
Как следует из формулы (11), уровни энергии частицы в кулоновском поле можно
перечислить с помощью одного целого положительного числа N  l  nr  1 : Enr l  EN , при
этом, как следует из этого утверждения, имеет место вырождение состояний по моменту.
Состояния с разными l и nr вырождены, если сумма квантовых чисел l и nr для этих
состояний одинакова. Кратность вырождения находится из следующих очевидных рассуждений.
Поскольку l , nr  0 , для уровня с данным N момент импульса l может принимать N значений
от l  0 до l  N 1 . При этом для каждого значения l существуют 2l  1 состояний,
отличающихся проекций момента импульса на ось z . Поэтому данному уровню отвечают
N 1
N 1
N 1
l 0
l 0
l 0
G ( N )   (2l  1)  2 l  1 ( N  1) N  N  N 2
(12)
различных вырожденных собственных состояний.
Построим волновые функции нескольких первых собственных состояний.
N  1 (основное состояние). EN 1  e 2 / 2a . Значению N  1 отвечает единственная пара
квантовых чисел nr  0 и l  0 , поэтому основное состояние не вырождено. Волновая функция
основного состояния не зависит от углов и имеет вид (напомним, что во всех нижеследующих
формулах (13)-(18) r  r / a - безразмерный радиус-вектор).
 n 0,l 0,m0 (r , ,  )  C exp(r )Y00 ( ,  ) 
r
3
1
 a3
exp( r )
(13)
N  2 (первый возбужденный уровень). EN  2  e 2 / 8a . Значению N  2 отвечает две пары
квантовых чисел nr  0 , l  1 и nr  1 , l  0 .
Поэтому
первый
возбужденный
уровень
вырожден. Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню имеют
вид
 n 1,l 0,m0 (r,, )  C 1  r / 2 exp(r / 2)Y00 (,  ) (одна функция)
(14)
 n 0,l 1,m (r , ,  )  Cr exp(r / 2)Y1m ( ,  ) (три функции)
(15)
r
r
N  3 (второй возбужденный уровень). EN  2  e 2 /18a . Значению N  3 отвечает три пары
квантовых чисел nr  0 и l  2 , nr  1 и l  1, nr  2 и l  0 . Волновые функции состояний,
отвечающих второму возбужденному уровню имеют вид
 n  2,l 0,m0 (r , ,  )  C 1  2r / 3  2r 2 / 27  exp( r / 3)Y00 ( ,  ) (одна функция)
(16)
 n 1,l 1,m (r,, )  Cr 1  r / 6 exp(r / 3)Y1m (,  ) (три функции)
(17)
 n 0,l 2,m (r,, )  Cr 2 exp(r / 3)Y2m (,  ) (пять функций)
(18)
r
r
r
Обратим внимание на то, что все волновые функции каждого уровня содержат одинаковую
экспоненту: exp( r ) - для первого, exp(r / 2) - для второго, exp(r / 3) - для третьего и т.д. Это
значит, что можно говорить об определенной локализации уровней энергии в кулоновском поле
в пространстве: r  1 - для первого уровня (напомним, что r здесь – безразмерная координата, в
размерных единицах - r  a , где a - боровский радиус), r  2 - для второго уровня, r  3 - для
третьего уровня и т.д.
Рассмотрим теперь частицу, движущуюся в потенциале
U ( x, y , z ) 
 2 x 2
2

 2 y 2
2

 2 z 2
2

 2 r 2
2
(19)
которую принято называть сферическим (или трехмерным изотропным) осциллятором.
Уравнение Шредингера
2

 2 x 2  2 y 2  2 z 2 






 ( x, y, z )  E ( x, y, z )
2
2
2 
 2
(20)
для такой частицы допускает разделение переменных. Ищем решение уравнения (20) в виде
 ( x, y, z )  f ( x) g ( y )h( z ) . Подставляя эту функцию в уравнение, получим
 f ( x)  2 x 2   g ( y )  2 y 2   h( z )  2 z 2  2 E






 2
2   g ( y)
2   h( z )
2 
 f ( x)
4
(21)
Так как первое слагаемое уравнения (21) зависит только от x , второе - только от y , а третье только от z , то равенство (2) может удовлетворяться только в том случае, когда первое, второе
и третье слагаемые формулы (2) равны некоторым постоянным  ,  ,  . Поэтому функции
f ( x ) , g ( y ) и h( z ) удовлетворяют независимым уравнениям



2
2
2
2
2
2
f ( x) 
g ( y) 
h( z ) 
 2 x2
2
 2 y 2
2
 2 z 2
2
f ( x)   f ( x)
(22)
g ( y)   g ( y)
(23)
h( z )   h( z )
(24)
Собственное значение E равно сумме собственных значений E       .
Уравнения (22), (23) и (24) совпадают с уравнением Шредингера для одномерного
осциллятора. Решения этого уравнения найдены в лекции, посвященной одномерному
осциллятору:
собственные функции An H n (q) exp(q2 / 2), q  q
собственные значения

 (n  1/ 2), n  0, 1, 2, ...
(25)
откуда находим, что энергии и волновые функции стационарных состояний сферического
осциллятора определяются тремя квантовыми числами n, k , m :
 nkm ( x, y, z )  Cnkm H n ( x) H k ( y) H m ( z ) exp( r 2 / 2)
(26)
Enkm   (n  k  m  3/ 2)
(27)
причем квантовые числа n, k , m независимо друг от друга могут принимать значения 0,1,2,3,...
(эти квантовые числа, которые возникают при решении уравнения Шредингера в декартовых
координатах, часто называют «декартовыми»). Из (27) следует, что все уровни энергии
сферического осциллятора можно описать формулой EN   ( N  3/ 2) , где N
- целое
неотрицательное число, причем основному состоянию отвечает N  0 .
Очевидно, собственные значения Enkm совпадают для таких наборов квантовых чисел
n, k , m , сумма которых одинакова. В этом случае различным собственным состояниям отвечает
одинаковая энергия, то есть эти состояния вырождены. Поэтому кратность вырождения N -го
уровня энергии осциллятора равна количеству способов, которыми можно представить число
N как сумму трех неотрицательных целых чисел. Вычислим кратность вырождения. При
5
фиксированном квантовом числе n числа k и m могут принимать столько разных вариантов
значений, сколькими способами можно целое неотрицательное число N  n представить как
сумму неотрицательных целых чисел k и m , то есть N  n  1 способов. А поскольку квантовое
число n может принимать любые значения от n  0 до n  N , то кратность вырождения N -го
уровня сферического осциллятора G ( N ) равна
N
G( N )    N  1  n  
n 0
( N  1)( N  2)
2
(28)
Таким образом, основное состояние сферического осциллятора ( N  0 ) не вырождено
( G ( N  0)  1 ), ему отвечает единственная собственная функция
 000 ( x, y, z )  f 0 ( x) g 0 ( y )h0 ( z ) exp( r 2 / 2)
(29)
Первое возбужденное состояние имеет кратность вырождения G ( N  1)  3 , ему отвечают три
различных собственных функции
 100  f1 ( x) g 0 ( y )h0 ( z )
x exp( r 2 / 2)
 010  f 0 ( x) g1 ( y )h0 ( z )
y exp( r 2 / 2)
 001  f 0 ( x) g 0 ( y )h1 ( z )
z  exp(r 2 / 2)
(30)
Кратность вырождения второго возбужденного состояния равна G ( N  2)  6 , третьего G ( N  3)  10 и т.д.
Формула (26) дает собственные функции осциллятора в декартовых координатах. С
другой стороны, все состояния такого осциллятора можно классифицировать по квантовым
числам nr , l и m , поскольку поле – центрально. При этом волновые функции  nr lm (r ,  ,  ) не
обязаны совпадать с  nkm ( x, y, z ) из-за вырождения уровней энергии сферического осциллятора.
Для нахождения этих функций необходимо решить уравнение Шредингера в сферических
координатах. Однако для уровней с маленькими квантовыми числами состояния можно
классифицировать по квантовым числам nr , l и m , исходя только из кратностей вырождения
уровней.
Основное состояние. Поскольку в любом сферически-симметричном потенциале все
состояния за исключением состояний с l  0 вырождены по проекции момента, а кратность
вырождения основного состояния равна единице, то основному состоянию отвечают квантовые
числа l  0 , m  0 . А поскольку это состояние с самой маленькой энергией, то nr  0 (в задаче о
сферическом осцилляторе нумерацию радиальных квантовых чисел удобно начинать от нуля).
6
Первый возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения первого возбужденного
уровня осциллятора равна G ( N  1)  3 . Поэтому первому возбужденному уровню осциллятора
отвечают квантовые числа nr  0 , l  1. При этом три собственные функции можно выбрать так,
чтобы в каждом из собственных состояний имела определенное значение проекция момента на
ось z : m  0, 1, 1.
Второй возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения второго возбужденного
уровня равна G ( N  2)  6 . Отвечающие ему состояния не могут иметь никакие моменты, кроме
l  0, 1, 2 . Учитывая, что кратность вырождения состояний с определенным моментом l по
проекции момента равна 2l  1 , получаем квантовые числа состояний, отвечающих второму
энергетическому уровню: nr  1 , l  0 , m  0 и nr  0 , l  2 , m  2,  1, 0, 1, 2 . Как видно из этих
рассуждений имеет место вырождение по моменту: энергии собственных состояний с l  0
( nr  1 ) и с l  2 ( nr  0 ) одинаковы.
7