УДК 511 В.А. Мешков, канд. техн. наук (ОИР Украины, г. Евпатория) V.A. Meschkoff УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ: МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ СВОЙСТВА И АЦИКЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ THE PELLIAN EQUATION: MULTIPLICATIVE PROPERTIES AND ACYCLICAL METHOD OF DECISION Предложен новый метод решения уравнения Пелля, позволяющий значительно упростить и сократить вычисления по сравнению с циклическим методом. Метод применим для диофантовых уравнений y Ax . Для частных значений 1; 2; 4 найдены формулы. Приведены примеры применения метода и сравнение по эффективности с циклическим методом. It is the new method of decision for the Pellian equation, allowing simplifying and reducing the 2 2 computations. The method is generalized for Diophantine equations y Ax . Giving the examples of method’s working and efficiency comparison with the cyclical method. 2 2 1 УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ: МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ СВОЙСТВА И АЦИКЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ. Хотя решению уравнения Пелля и связанных с ним диофантовых уравнений, 2 2 приводимых к виду y Ax , 1 , посвящено много работ, интерес к этим задачам теории чисел актуален и в настоящее время. Наиболее известен циклический метод, применяемый еще с древних времен 1. Имеются некоторые разновидности и варианты этого метода (английский метод, метод непрерывных дробей, композиции форм и т.д.), но все они являются той или иной интерпретацией циклического метода (ЦМ). Оказывается, что, при некоторых значениях A нахождение начального решения уравнения Пелля y 2 Ax 2 1 требует значительных вычислительных усилий. Большинство современных работ 2-4 также используют в качестве основы ЦМ и во многом опираются на анализ, проведенный, в том числе и в историческом плане, в работе 1. Предлагаемый в данной работе ациклический метод решения (АЦМ) включает элементы ЦМ, однако не имеет жесткой привязки к фиксированному алгоритму вычислений, и является гибким методом, позволяющим искать и находить оптимальный алгоритм решения для конкретных значений A, ω, используя мультипликативные свойства. В качестве наводящего примера рассмотрим уравнение Пелля с A 67. На пятом шаге 2 2 ЦМ (см. 1, 1.9, стр.45) приходим к равенству 221 67 27 2. Индийское древнее решение, позволяющее сократить вычисления, применяет возведение в квадрат этого 2 равенства и сокращение на 2 , т.е. (2212 67 27 2 ) 2 67 (2 27 221) 2 2 (2) 48842 2 67 5967 2 1. Таким образом, в этом случае имеется способ получения решения, не используя полный цикл, содержащий 9 шагов. При этом под шагом циклического метода (ШЦМ) в соответствии с 1, стр.46 понимаем переход от уравнения ri Aqi ki , полученного в результате предыдущего i го шага, к 2 2 уравнению ri 1 Aqi 1 ki 1 . Это уравнение определяется по результатам операции циклического метода (ОЦМ). 2 2 Каждая такая операция состоит из умножения уравнения ri2 Aqi2 ki на уравнение hi2 A si , что в результате дает уравнение hi ri qi A2 Ahi qi r 2 ki si . При этом hi 0, выбирается такое значение для которого h r qi A r qi hi s ri 1 i i , qi 1 i , ki 1 i при наименьшем si . В общем случае такое ki ki ki значение ri выбирается из ряда решений сравнения ri qi hi 0mod ki . В ациклическом методе будем рассматривать операции композиции (ОК) и декомпозиции (ОД). Для их определения удобно использовать матричные уравнения, отражающие мультипликативные свойства решений 2 A q y z r x v r q 1 (1) 1 2 2 ОК позволяет, если известны решения уравнений r A q 1 , 2 2 y 2 Ax 2 2 , с помощью (1) получить решение уравнения z A v 1 2 . 2 2 Соответственно ОД означает, что если известны решения уравнений y2 Ax 2 2 , z 2 A v 2 1 2 , то из решения системы (1) может быть получено решение уравнения r 2 A q 2 1. В дальнейшем будем использовать эквивалентные обозначения r A q q r 1 r q 1 r 1 q (2) опуская индексы в очевидных случаях и соотношениях. В силу квадратичности рассматриваемых уравнений, для любого натурального решения q, r 0 имеем эквивалентные решения в кольце целых чисел, т.е. r q r q r q r q (3) Достаточно часто можно ограничиться полукольцом решений r r q q (4) Нетрудно видеть, что ОК является составной частью ОЦМ, что может быть записано, как ri 1 p A p p r Aqi i ii i 1 qi 1 ri s qi k pi ri qi k s k i 1 i i i i Возведение в квадрат, использованное выше, также является ОК и представимо в виде матричного уравнения 221 67 27 221 2 48842 48842 . 27 221 2 27 2 2 5967 4 5967 1 3 Этот пример показывает, что и при использовании фиксированного алгоритма ЦМ имеются возможности прервать цикл, перепрыгнуть несколько шагов и сократить вычисления. Различные такие частные случаи рассмотрены в качестве примеров и упражнений в 1, разд.1.9. Ациклический метод, используя все эти приемы, а также ОЦМ и ОК, существенно отличается систематическим использованием ОД, что в ЦМ отсутствует. На этой основе удается еще более сократить вычисления, необходимые для решения уравнения Пелля. Действительно, рассмотрим снова уравнение Пелля с A 67. На втором и третьем шаге 2 2 2 2 ЦМ (см. 1, стр.45) имеем уравнения 8 67 1 3, 41 67 5 6. Применяем к этим уравнениям ОД, и в этом случае из (1) следует матричное уравнение r 67 q 8 41 q r 2 1 3 5 6 (5) Это матричное уравнение соответствует системе линейных уравнений первого порядка 8r 67q 41; 8q r 5 Нетрудно видеть, что эта система не имеет решения при q, r 0 , поэтому будем искать решения 2 в полукольце (4), тогда, подставляя в первое уравнение, r 5 8q 3q 81, q 27 r 221. Применяя теперь к этому решению ОК (возведение в квадрат и сокращение), получим искомое решение 1. Из этого примера видно, что применив АЦМ, мы используем два шага ЦМ, затем с помощью ОД переходим с третьего на пятый шаг, и с помощью ОК с пятого шага на последний девятый шаг ЦМ. Таким образом, число шагов в АЦМ равно 4. Поскольку в ЦМ первый шаг — это тривиальное равенство 1 A 0 1 , то число шагов решения в ЦМ равно 8. Применение АЦМ уже в этом простом случае вдвое уменьшило число шагов, без учета того, что в ЦМ порядок чисел и сложность вычислений возрастают с каждым шагом. В сложных случаях этот эффект гораздо значительнее, и во многом зависит от правильного отбора пробных уравнений. Выше эти пробные уравнения были получены с помощью ОЦМ, однако в АЦМ эти возможности значительно шире и не ограничиваются рамками ЦМ. Поэтому для «трудных случаев» объем вычислений менее зависит от значений A , в отличие от циклического метода, трудоемкость которого существенно и весьма неравномерно возрастает с ростом A , как за счет увеличения числа шагов цикла, так и за счет возрастания с каждым шагом порядка чисел. В наиболее простом варианте, примененном выше, АЦМ состоит из: 2 1) выбора начального уравнения h A s или r Aq k ; 2 2 2 2) получение с помощью ОЦМ следующего уравнения R AQ K ; 3) анализ всего полученного к этому шагу подмножества уравнений ЦМ и принятие решения, переходить к следующему ШЦМ, или найти алгоритм АЦМ и с его помощью решение. 2 2 4 4) если на этапе 3 решение не удается найти, возвращаемся в п.2. Первым существенным отличием АЦМ от ЦМ является получение и использование некоторого подмножества пробных уравнений из множества уравнений ЦМ. Вторым отличием является применение ОД, что требует «памяти». В ЦМ «памяти» нет, т.к. предыдущие уравнения больше не используются. Третьим отличием является отсутствие фиксированного алгоритма вычислений: для конкретного значения A алгоритм надо найти на основании анализа полученного на данный момент подмножества уравнений. Это может вносить, на первый взгляд, субъективный момент в найденный алгоритм АЦМ. Однако этот момент присутствует всегда, когда одна и та же задача может быть решена различными способами. В данном случае нетрудно определить критерий: наилучший алгоритм АЦМ использует наименьшее подмножество пробных уравнений (или ОЦМ) и содержит наименьшее число ОК+ОД (суммарное число операций композиции и декомпозиции). Этот критерий является объективным. Для дальнейшего докажем ряд вспомогательных лемм и теорем, дающих теоретическое обоснование метода. Лемма 1. Если имеется y 2 Ax 2 p, и начальное решение решение r 2 Aq 2 1, то существуют такие решения, что y Предположим, что имеем решение y1 pq . Применим ОК в виде y ry Aqx1 A q 1 1 qy1 rx1 p r 1 x1 p r q Будем считать, что Отсюда следует, что pr , x1 pr , x pq. r , q 1 , и с достаточной точностью y1 x1 A , r q A. y ry1 Aqx1 r y1 x1 A x qy1 rx1 q y1 x1 A pr rp rp y , 2 y1 A x1 2 y1 pq qp x . 2 x1 A 2 A Лемма доказана. Лемма 2. Существуют необходимые и достаточные условия, при которых уравнение (А) y 2 Ax 2 имеет решение. 1) Данное уравнение эквивалентно квадратичному вычету y mod A и имеет решение, если вычет существует. 2 2) Из циклического метода следует, что должно существовать уравнение y A k , 2 что эквивалентно квадратичному вычету y Amod . Эти условия являются необходимыми для существования решения уравнения (А). Если хотя бы одно из условий не выполняется, решения не существует. Прямого определения достаточных условий, по-видимому, не существует. Однако доказано, что если решение существует, то оно будет найдено с помощью циклического метода за период повторения [1, стр. 376-377]. В противном случае решения нет. 2 5 В АЦМ достаточные условия мультипликативных свойств. определяются косвенным путем с помощью z 2 Av 2 1 , r 2 Aq 2 1 . Тогда это Пусть имеются решения уравнений y Ax имеет является достаточным условием, при котором уравнение (А) решения. Доказательство. Поскольку имеем решения обобщенных уравнений Пелля, то к ним 2 2 применимы ОК и ОД. Следовательно, уравнение r Aq 1 может быть получено с 2 2 z 2 Av 2 1 . Но в этом случае должно существовать помощью ОД из уравнения r Aq 1 также не решение y Ax . В противном случае решения существует, что противоречит начальным условиям. Лемма доказана. Теорема о решениях обобщенного уравнения Пелля. Существует две непересекающиеся последовательности решений уравнения (А), если p, p простое число. Известно (см. 1, стр.404), что если A положительное целое, не являющееся 2 2 2 2 2 2 квадратом, то уравнение y Ax , 1 либо вообще не имеет решения, либо имеет конечное число бесконечных последовательностей решений вида y x A V W A X Y A где X Y n (6) A основная единица, т.е. начальное решение с 1, n 0, 1, 2,... , V W A одно из конечных квадратичных целых, соответствующих . В полукольце (4) существует соотношение, аналогичное (6), но с заменой всех знаков при A A . Соответственно имеем инвариант ( или норму) n y 2 Ax 2 y x A y x A и сопряженное с (6) соотношение y x A V W A X Y A (7) Из свойств основной единицы следует a X Y A, a X Y A, an an 1n (8) an an an an n 2 2 rn , qn rn qn 1 2 2 A Для уравнений, не имеющих решений 1, в (8) используются только четные n. Из соотношений (6-8) теперь находим y Vrn AWq n , x Wr n Vq n Соответственно имеем матричное представление для первой последовательности натуральных решений, определяемых квадратичным целым V W y0 V x0 W ; p y n rn xn q n A qn V rn 1 W A , n 1 (9) p Другая последовательность определяется сопряженным квадратичным целым V W A 6 yn xn A qn V rn 1 W rn qn p , n 1 (10) p Пусть V W A соответствует решению с наименьшими натуральными V , W , тогда r1 y1 V , q1 x1 W . Для рассматриваемого для решений внутри первого цикла случая имеем в (6) только эти два квадратичных целых [1, стр.299, упр.7.1], что и доказывает теорему. Определение. Простыми обобщенными уравнениями Пелля будем называть уравнения, имеющие только две непересекающиеся последовательности решений. Следствие 1. Пусть известны два последовательных решения уравнения (А), p, p простое число. Тогда с помощью ОД можем найти решение уравнения Пелля r1 , q1 , если оно неизвестно. Для случая, когда эти решения относятся к непересекающимся последовательностям и r1 y1 V , q1 x1 W , решение уравнения Пелля можно найти с помощью ОК и сокращения. Имеем A q1 V r1 1 W y1 r 1 x1 p q1 p Vr1 WA q1 . Vq1 Wr1 p Теперь находим композицию V A W W V p Vr1 WA q1 Vq1 Wr1 p q V r1 V 2 AW 2 1 2 AW 2 p p2 r1 q1 Отсюда получаем полезную формулу для практического решения уравнения Пелля A W V r1 V p 1 q1 1 W p y1 p 1 V y1 WA q1 1 x1 p p V x1 W y1 1 (11) Следствие 2. Пусть известны решения уравнений y Ax 2 p, 2 z 2 Av 2 pp1 , p, p1 простые числа. Тогда с помощью ОД можем найти решение уравнения m An p1 , если оно неизвестно. 2 Пусть теперь y x 2 V ; W p z v m A n n m p1 V W Vm WA n p Vn Wm . pp1 Для этого случая решение можно найти с помощью ОК и сокращения. . V A W W V p Vm WA n Vn Wm pp1 n V m V 2 AW 2 2 AW 2 p p 2 p1 m n p1 Аналогично имеем формулу для практического решения обобщенного уравнения Пелля m n p 1 p1 Следствие 3. z 2 Av 2 p, V A W z W V v p pp Пусть p 7 V z WA v p 1 V v W z 1 известны 1 решения (12) p1 y 2 Ax 2 p, уравнений p простое число. Аналогичная формула, позволяющая найти решение уравнения m An 1, имеет вид 2 2 m V p 1 n 1 W A W V p z p 1 V z WA v 1 v p p V v W z 1 (13) Следствие 4. Полученные соотношения (9-13) остаются справедливыми и в тех случаях, когда p, p1 не являются простыми числами, но соответствуют простым обобщенным уравнениям Пелля. Следствие 5. Для простых обобщенных уравнений Пелля ОД соответствует ОК с сокращением в кольце целых чисел (4). Действительно, в соответствии с (1) ОД определяется соотношением r A q q r 1 y x 2 y A x x y 2 r q 1 y x A x y 2 r q 1 z v 1 2 Умножим теперь последнее равенство на сопряженную матрицу и получим y x A y x A r y x A z x y x y q x y v 2 r y 2 Ax 2 q y 2 Ax 2 2 2 1 2 yz xvA yv xv 1 2 1 2 2 1 2 r 21 yz xvA 1 q 2 yv xv 1 1 В дальнейшем ОД= ОК с сокращением будем записывать в виде y 2 z 1 2 r 1 , x v q y x 2 z v 1 2 r q 1 , r 21 yz xvA 1 q 2 yv xv 1 r q 1 1 21 yz xvA 21 yv xv 1 (14) 8 Теорема. Пусть m - число ШЦМ, необходимое для нахождения решения уравнения Пелля с помощью ЦМ. Тогда в худшем случае алгоритм АЦМ содержит 1 m / 2 последовательных ШЦМ и одну ОД. Доказательство.Начальное уравнение ЦМ имеет вид 1 A 0 1 , и после каждого j -го 2 ШЦМ имеем уравнение p j A q j j , j 1,...,m. Из основного свойства ЦМ следует, что m 1, m 1 1 , ..., m j j , .... Если m - четное число, то m 2 не имеет пары, 2 2 а после 1 m / 2 последовательных ШЦМ имеем первую пару уравнений с m 2 1 m 2 1 . Если m - нечетное число, то все уравнения имеют пару, и первая соответствует значениям m1 2 m1 2 . Таким образом, необходимая пара уравнений получается за 1 m / 2 шагов, x целая часть числа. Используя теперь свойства кольца (4) и применяя ОД в виде ym / 21 ym / 21 r 1 xm / 21 xm / 21 q найдем решение уравнения Пелля. Теорема доказана. На практике такой худший алгоритм АЦМ может реализоваться для ЦМ с малым числом шагов. В «трудных» случаях эффективность АЦМ резко возрастает. Рассмотрим теперь, как в конкретных случаях можно находить алгоритм решения АЦМ. При использовании некоторого числа последовательных операций ЦМ нет необходимости вычислять ri , qi . Как показано в [1, стр.50, упр.1.9.4-5], для того, чтобы определить необходимое число шагов в ЦМ, не надо вычислять решение. Таким же образом находим минимальное множество начальных шагов ЦМ, необходимых для построения алгоритма АЦМ. На каждом шаге достаточно вычислять значения hi , k i , используя рекуррентные формулы соответствуют hi2 A hi 1 hi 0mod ki , ki 1 . ki Начальные значения h0 1, k0 1, h1 min h 2 A . Для рассмотренного выше примера A 67 полная таблица всех значений hi , k i за цикл имеет вид i hi 0 1 1 8 2 7 3 5 4 9 5 9 6 5 7 7 8 8 ki 1 -3 6 -7 -2 -7 6 -3 1 Из таблицы следует, что для алгоритма АЦМ достаточно два первых шага ЦМ (закрашены серым). Далее ход решения соответствует уже полученному выше и кратко записывается в виде 1 8 3 h2 7 41 23 8 3 221 2 221 2 2212 1 48842 1 A 67 : 1 5 1 27 27 221 27 5967 9 Здесь знаком обозначаем ОК с сокращением общих множителей и для случаев, рассмотренных в Следствиях 1-5, совпадающих с ОД. Соответственно ОД в кольце целых чисел (3) или (4), соответствующий второй строчке (14) будем обозначать . ОЦМ, после того, как найдено значение hi , si ki ki 1 , соответствует ОД= ОК с сокращением. Например, 8 3 h2 7 41 23 A 67 : 1 5 8 3 7 18 31 8 7 67 41 23 1 1 5 31 8 7 Ясно, что при АЦМ всю таблицу, приведенную выше, строить не надо. Она может использоваться для нахождения числа ШЦМ, например, для сравнения числа шагов в ЦМ с числом шагов в АЦМ. Для конкретных значений A обычно достаточно получить лишь небольшую начальную таблицу и на ее основе найти алгоритм АЦМ. Так, для A 139 после трех ШЦМ имеем таблицу i hi 0 1 1 12 2 13 3 11 ki 1 5 6 -3 Алгоритм АЦМ аналогичен предыдущему, и содержит 3 ШЦМ. Получаем решение 12 5 h2 13 59 23 h3 11 224 3 59 23 A 139 : 1 5 19 5 1 8807 2 8807 2 8807 2 1 77563250 1 747 747 8807 747 6578829 Рассмотрим вспомогательные приемы, позволяющие упростить вычисления в АЦМ. В зависимости от конкретного A , строить алгоритм решения и выбирать пробные уравнения следует так, чтобы кратчайшим путем получить уравнения, где правая часть имеет значения из ряда 1; 2; 4. Для первых двух случаев решение уравнения Пелля получаем возведением в квадрат, как это было сделано выше для A 67 . Фактически в этих случаях решение вычисляется по формулам 1 1 r 1 r 1 2r 2 1 ; q q 2rq r 2 r 2 r2 1 ; q q rq В последнем случае решение получаем в два этапа r 4 r 4 r2 2 q q rq 4 1 1 r 2 r 2 r2 1 q q rq 1 (15) 1 r 4 r r2 3 / 2 r r2 3 / 2 (16) q q r2 1 / 2 q Aq 2 3 / 2 Аналогично для значений A , когда решений 1;4 не существует, но есть решение 4 находим r 4 r 4 r2 2 q q rq 4 r 4 r r2 3 / 2 r r2 3 / 2 q q r2 1 / 2 q Aq 2 3 / 2 1 (17) 10 Заметим, что (15-17) можно рассматривать, как соотношения между рациональными числами, у которых числитель и знаменатель натуральные взаимно простые числа. Соответственно для правой части (16-17) свойства A, r , q должны обеспечивать это условие. Нетрудно найти условия, когда решения 1 существуют. В этом случае имеем 2 2 2 уравнение y 1 Ax , что является частным случаем сравнения y 1(mod A). Таким образом, необходимым условием является существование квадратичного вычета 1 по модулю A . 2 2 С другой стороны, из существования решения y 1 Ax , и теории, изложенной в 1, (раздел 1.7) следует, что в этом случае A является суммой двух квадратов, и также суммой двух квадратов будут решения x. Пробные уравнения в общем случае можно искать не только с помощью операций, образующих циклический метод. Часто необходимые уравнения можно найти непосредственно методом проб или с помощью метода приближений. В последнем случае удобно рассматривать пару y, x y 2 Ax 2 , 1 как решений уравнения у A. Тогда x 2 2 у у у у x A у у Ax A A x x у x A x x x x некоторое рациональное приближение у x 2 xy (18) Понятно, что значения характеризуют точность рационального приближения, а наилучшие приближения соответствуют значениям 1. В качестве конкретных примеров рассмотрим частные случаи уравнения Пелля, предложенные в свое время Ферма (см. 1, стр.46-48). Для значений A 150 это случаи A 61; 109; 149 . При этом отмечается, что первый случай трудный, а два следующих очень трудные. 3 1 39 4 8 В первом случае имеем 61 8 , где последнее выражение в 28 5 5 2 2 правой части означает, что 39 61 5 4. С помощью формулы (16)получаем первое решение для 1 39 39 2 3 y( 1) 39 762, 2 5 5 2 61 3 x( 1) 5 761 2 12 Далее применяем первую формулу (15) первое решение для 1 и получаем решение уравнения Пелля, т.е. y(1) 2 y(21) 1 239 762 2 1, x(1) 2 x( 1) y( 1) 2 5 761 39 762 226153980 . 11 Во многих случаях необходимое рациональное приближение, и тем самым начальное пробное уравнение можно найти с помощью десятичного представления два случая относятся к их числу: 109 12 A . Последние 1044 261 4 122 61 4 12 10,44030 ... , 149 12,2065 ... . 100 25 10 5 Теперь нетрудно получить решение тем же способом, что и (11-12). Вычисления удобно свести в таблицу A p q y(1) x(1) y(1) x(1) 109 261 25 26134062 2534061 2261 34062 2 1 2253406126134062 149 61 5 611862 51861 261 1862 2 1 251861611862 Из этих примеров следует, что АЦМ основан на целенаправленном поиске пробных уравнений для значений 1; 2; 4, т.к. решение для 1 далее можно вычислить просто по формулам. С ростом значений A находить нужные пробные уравнения методом проб или с помощью рациональных приближений может оказаться затруднительным, и тогда следует применять ОЦМ. Рассмотрим случаи A 421; 433, которые считаются самыми трудными из предложенных Ферма. Для первого из них с помощью ОЦМ получим ряд пробных уравнений ЦМ, записываемых в виде 12 421 21 20 h 19 41 3 h 23 595 36 . 1 2 29 Этих данных уже достаточно для использования алгоритма АЦМ: 41 3 41 3 3365 9 595 36 444939 4 . 2 2 164 29 21685 Имея это решение, далее с помощью формул находим решение для 1 и затем решения 1. y ( 1) x( 1) 444939 444939 2 3 444939 9898535686 2, 2 21685 21685 2 421 3 21685 9898535686 1. 2 Аналогично (12) вычисляем решение для 1. y (1) 2 y (21) 12 1 2444939 9898535686 2 1, 2 x(1) 2 x( 1) y ( 1) 2 21685 9898535686 1 444939 9898535686 2 1890739959 5183902088 0499780706 260 . Однако для уравнения с A 433 такой способ вычислений не подходит по причинам, которые будут понятны ниже. В данном случае, варьируем с помощью ОЦМ, но полученное подмножество пробных уравнений не принадлежит ЦМ. 4331 2 h 19 104 9 5 21 8 h h 21 437 16 1 21 h 23 229 48 11 (14) Этих уравнений оказывается достаточно, чтобы найти решение с помощью АЦМ. 229 316 437 16 12506 3 104 9 867263 3 12506 3 7230660684 1 . 11 21 601 5 41678 601 347483377 И теперь по формулам нетрудно получить решение для y(1) 2 y(21) 1 27230660684 1, 1. 2 x(1) 2 x( 1) y( 1) 2 347483377 7230660684 5025068784 834899736 . Оказывается, что в случае A 433 решений 4 с взаимно простыми x, y нет, как и решений 2 . Это общее свойство уравнений с A 8n 1. В этом случае имеем y 2 8n 1x 2 2 y 2 x 2 2 4nx 2 1 . Но разность двух квадратов не может быть равна нечетному числу, умноженному на 2. Далее рассмотрим y 2 8n 1x 2 4 y 2 x 2 4 2nx 2 1 . Если x, y нечетны, то y 2 x 2 y x y x 2k 1 2l 12k 1 2l 1 4k l k l 1 8m . Поэтому предыдущее равенство невозможно, что и доказывает указанные выше свойства уравнений с A 8n 1. Аналогичное рассмотрение для уравнений с A 4n 1, n нечетное, показывает, что решений с 2 и в этом случае не существует, но для 4 решения с нечетными x, y существуют. 13 Далее для уравнений с A 2n 1, n нечетное, приходим к выводу, что решений с 1;4 не существует, но могут быть решения либо 2 , либо 2 , либо 4. Такая предварительная информация о свойствах решения может быть полезна при построении алгоритма АЦМ. С современной точки зрения и современных вычислительных возможностей предложенные Ферма уравнения не являются слишком трудными. В приложении рассмотрены более сложные задачи и проведено сравнение эффективности современных компьютерных алгоритмов, основанных на ЦМ, с эффективностью алгоритмов АЦМ. Для этого использовались результаты 5, где найдено, что значения A 1201; 1549; 3061; 56149; 92821 являются рекордными по числу шагов ЦМ, в том смысле, что уравнения Пелля с меньшими A , решаются за меньшее число шагов. Кроме этих значений сравнение зффективности проведено для всех значений, рассмотренных в статье. Дополнительно рассмотрен случай A 991 , для которого приведено решение АЦМ. Для случая A 9221 такого решения не приводим, чтобы читатель мог использовать его для самоконтроля. Для достаточно больших A задача нахождения алгоритма АЦМ становится все более нетривиальной, и интересным представляется вопрос о существовании наиболее короткого и тем самым наиболее эффективного алгоритма. В рассмотренных примерах эффективность увеличивалась с ростом A , и для последних рассмотренных значений выигрыш только за счет уменьшения шагов вычисления составил более чем в 30 раз. При этом реализуется принцип: больше анализируем, меньше вычисляем. Представляет интерес, что хотя отдельные приемы прерывания цикла известны с древних времен, сформулировать АЦМ в общем случае удалось только в настоящей работе. Приложение 1. Сравнение зффективности циклического и ациклического методов. На сайтах Интернета существуют компьютерные программы решения уравнения Пелля и обобщенного уравнения Пелля, например, использованная в 5. Эффективность алгоритма будем оценивать по числу шагов ЦМ или АЦМ, необходимых для получения решения. Далее представлены результаты, полученные для некоторых «трудных» случаев, компьютерное исследование которых проведено в 5 на основе ЦМ, и для ряда более простых случаев. Поскольку в АЦМ для решения уравнения Пелля достаточно найти решения обобщенных уравнений Пелля для 1; 2; 4 , то число шагов АЦМ соответствует получению этих значений. Далее решение уравнения Пелля мы не приводим, т.к. оно вычисляется по формулам (15-17). Табл. П1. Число шагов для получения решений в ЦМ и АЦМ. Значения А ЦМ ЦМ ЦМ ЦМ АЦМ 4 2 1 1 61 2 7 14 2 67 4 8 4 109 4 11 22 1 139 6 12 5 149 2 7 14 1 421 8 25 50 5 433 15 30 7 991 22 44 14 1201 33 66 11 14 Значения А ЦМ ЦМ ЦМ ЦМ АЦМ 1549 15 51 102 8 4 2 1 1 3061 23 74 148 9 9221 24 48 10 56149 121 349 698 24 92821 169 503 1006 31 Приложение 2. АЦМ алгоритмы для некоторых уравнений Пелля. A 991 i hi 0 1 1 31 2 29 3 31 4 29 5 35 6 43 7 23 8 40 ki 1 -30 5 -6 25 -39 -22 21 29 i hi 9 18 10 28 11 26 ki -23 9 -35 5 25 39 h 43 22 h 23 21 29 31 6 29 35 9911 2 30 h h h h 40 r 29 18 h 23 9 28 26 h h 35 5 7 21 3 6 2 . A 1201 i hi 0 1 1 35 2 37 3 33 4 31 5 29 6 19 ki 1 24 7 -16 15 -24 35 7 24 37 33 16 31 15 29 12011 2 24 r r r r 19 r 35 7 5 15 3 24 8 24 - 3 3 -1 . A 1549 i hi 0 1 1 39 2 45 3 40 4 38 5 32 ki 1 -28 -17 -3 35 -15 45 15491 2 28 h 32 h 15 17 40 h 3 38 h 15 35 3 5 35 7 28 4 . A 3061 i 0 1 1 hi ki 1 55 -36 2 53 7 3 52 -51 4 50 11 5 60 49 6 38 -33 51 h 50 11 h 60 49 53 7 52 30611 2 36 h h 38 h 33 9 11 3 36 4 . A 56149 i hi 0 1 1 237 2 243 3 192 4 207 5 193 6 185 7 279 8 282 ki 1 20 145 -133 100 -189 116 187 125 4·5 5·29 -7·19 4·5·5 3·3·3·7 4·29 17·11 hi 9 218 10 265 11 143 12 207 13 249 14 213 15 207 16 268 17 227 ki -69 -204 175 -76 -77 140 -95 -165 28 -3·23 -4·3·17 -4·19 7·11 5·4·7 5·19 5·11·3 i 145 h 192 133 h 207 100 h 193 189 h 185 116 243 56149 1 2 20 h 279 h 207 h 187 76 282 h 125 218 h 249 133 28 h 248 68 20 85 h 63 69 209 265 h 204 143 h 175 76 44 187 256 h 149 ; 149 3 149 340 133 h 3 63 21 3 7 28 4 . A 92821 i hi 1 305 2 307 3 302 7 302 8 292 9 395 ki 204 7 -231 -33 229 276 4·3·17 -3·7·11 -3·11 3·4·23 16 i hi 10 157 11 337 12 335 13 358 14 254 15 301 16 299 17 271 18 273 ki -247 -84 -231 -153 185 -12 285 -68 269 -13·19 -4·3·7 -3·7·11 -3·3·17 5·37 -3·4 3·5·19 -4·17 hi 18+ 341 19 265 20 323 21 362 22 196 23 194 24 372 ki -345 -84 -137 -279 195 -283 -161 -3·5·23 -3·4·7 -3·3·31 3·5·13 i -7·23 7 231 7 33 h292 229 h395 276 307 302 928211 2 204 h h 157 h 247 299 h 362 h 285 337 h 271 h 279 84 68 196 h 195 335 h 273 h 231 269 194 h 358 h 265 h 283 153 84 372 h 301 h 323 h 723 12 137 7 23 ; 143 h248 219 341 1523 23 324 68 h 15 12 20 68 85 h 737 7 37 190 h ; 20 185 437 37 4 Приложение 3. Последовательность вычислений в АЦМ. 12 991 31 30 h 29 63 5 h 31 787 6 h 29 7933 25 h 35 8720 39 1 2 25 252 277 16653 22 h 23 41239 21 h 40 140370 29 h 18 239501 23 529 1310 4459 7608 h 43 619372 9 h 26 3955733 35 63 5 99653067 7 41239 21 14675 125658 2 3165584 1310 h 28 1174169376 379 3 787 6 6160490247 59241 2 . 3729871947 8 25 1956944221 2887 17 12 1201 35 24 h 37 104 7 h 33 1005 16 h 31 4124 15 h 29 17501 24 1 3 29 119 505 36126 35 104 7 1162413 5 4124 15 1917516062 3 35 24 1129 3 33542 119 55330871 1 h 19 4452181274 7 8 17501 24 1947940650 37249 - 3 1917516062 3 1284698849 505 5620878749 198 55330871 2490138323 2746505714 4832 -1 . 7185416856 0944230773 85 1549 12 39 28 h 45 118 17 h 40 551 3 h 38 14208 35 h 32 1 3 14 361 28967 15 551 3 10640571 5 14208 35 6047249048 6 7 39 28 736 14 270358 361 1536498519 1 6769233335 55 4 . 1719941896 1 12 3061 55 36 h 53 166 7 h 52 2545 51 h 50 5256 11 r 60 55105 49 1 3 46 95 996 104954 33 5256 11 100297849 3 1897 95 1812842 r 38 2011931702 8053605 9 55 36 2466322113 65741439 4 . 3636483063 53716 1 4457774875 278665 18 56149 12 237 20 h 243 5687 145 h 192 16824 133 h 207 56159 100 1 24 71 237 241460 189 h 185 539079 116 h 279 2397776 187 h 282 1019 2275 10119 h 193 6654249 125 h 218 24219220 69 h 265 176188789 204 h 143 28082 102209 743545 328158358 175 h 207 832505505 76 16824 133 1474323606 467 28 1384881 3513307 71 6221882517 249 h 2558782355 2047 209 76 2242316207 1629244318 65 44 187 1079847269 00 9462934694 754903891 9775585428 9137624154 7967051 68 20 4125454127 3574787961 98941 1158303746 1556281154 3660632324 85 4888227927 6877467906 1779017 248 h 6608569870 0980596138 1972551081 63 h 256 2788922673 2025756700 11550924 5171025521 4628848795 1211977632 4 149 ; 2182255859 2851830681 030628375 16824 133 340 72983 149 3 149 71 308 5065731054 3716594561 1720250634 1208 3 63 2137819902 2769622157 6066526295 33 2231815841 0627082729 6686716884 6701527991 3633004114 1753279691 1052 21 9418621462 5890071254 9184922201 0457378525 4830669684 7787445045 5 21 3 7537185875 8066434142 3606050613 4615457365 9320 3180813548 8272368243 1939842729 0604302972 8648 0235874999 3894073378 6317110362 9074461793 5582501303 517 7 28 8486506306 5255694698 3610441599 4141372063 9381004945 2 1022460176 6865013354 0262993806 6290109552 8249596576 80141 4314946236 8707360682 5242924165 2588404911 5363957017 2790 6143492667 3434290835 6196890978 9 4 . 5685902720 6423785934 017727685 12 92821 305 204 h 307 914 7 h 302 79213 231 914 7 20685866 33 1 3 263 3 67897 292 h 374016373 229 h 395 1142734985 276 h 157 1227630 3750787 1911453597 247 h 337 4965642179 84 h 335 3781368383 5 231 h 358 6273944 16298675 124115456 1084754093 26 153 h 301 1296739269 733 12 h 299 6523305144 0119 285 356047693 4256273641 2141137573 66 271 h 1317628421 49971 68 h 273 1119335788 639887 269 h 265 4324837883 73 3673984064 350 2370434419 429745 84 h 323 1771237672 4648102 137 h 362 1180451917 073 5813714748 3861 8619144920 3810765 279 h 196 1546705216 82973428 195 h 194 2829052855 02232 5076734235 20603 3955324925 69757621 283 h 372 9457355068 22488670 7 23 914 7 1298252132 543438 3104177688 607479 3 2469715549 9120843845 1 23 8106321325 50671688 1317628421 49971 68 h 341 1251098630 789858 15 23 23 4324837883 73 4106467852 723 2686832819 9438521554 1505510369 61394 15 12 8818963053 1165915599 0257285387 99 2322747752 5524319480 5056186177 0373796947 6494447 20 68 7623930472 8671446860 6274269986 4150347789 5407 1530259227 3688299534 2389581292 2232961864 8600902356 3512358271 7 85 5022753737 2937367460 3591662573 0030673753 9412202911 00936982 324 h 1131789428 6080504040 1546124765 1400772720 8579379352 7771777930 18 143 3714860515 5905890107 5239152901 0309294307 2200536587 668554881 248 h 4374131791 6953186207 1945540931 3379794696 9457427175 4735875893 55 219 1435716668 8632982368 4059744534 6823410985 3486092605 9573282542 190 h 20 r 190 9880053011 9986876454 5437206627 8160362114 7494233703 7243529717 28 7 37 3242919389 2856553747 5643404359 4677751401 4192238870 6815119965 7 37 7 2580099867 4219021477 3618642848 4755153979 6878551961 6671310524 24741 37 8468634607 7238504373 7670333675 5690819164 7457109198 4574397947 42 20 185 3680049614 9328479656 8787500675 7935016029 9086110576 40805219 437 1207898807 3551571085 7248800794 7395609816 2637902124 117427 4 37 37 5132375958 6996016683 8832501008 7124786345 2482955129 0664806636 71 1684594352 8195213938 7194581283 8380304355 7859445536 8641035848 1 4 7776924913 6435630315 6448744476 4759919316 9775789836 426861189 5205720657 6140810134 0549272522 1502741294 9635584942 14227565 [1] Эдвардс Г. Последняя Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М., Мир, 1980. [2] Lenstra Jr. H.W. Solving the Pell Equation. Notices of AMS, v.49, p.182-192. [3] Barbeau E.J. Pell’s equation. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, N.Y., 2003. [4] Williams H.C. Solving the Pell Equation. Number Theory for the millennium, III (Urbana, IL, 2000), A.K. Peters, Natick, MA, 2002, p. 397-435. [5] Oliveira e Silva T. Large fundamental solutions of Pell equation. Web site. http://www.iee ta. pt/~tos/.